線(xiàn)性動(dòng)態(tài)電路分析課件

第4章線(xiàn)性動(dòng)態(tài)電路的分析ξ4-1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件ξ4-2一階電路的零輸入響應(yīng)ξ4-3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)ξ4-4一階電路的全響應(yīng)第4章線(xiàn)性動(dòng)態(tài)電路的分析ξ4-1動(dòng)ξ4-1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件一、基本概念㈠穩(wěn)態(tài)：電路的穩(wěn)定狀態(tài)，即電路中的電壓電流達(dá)到穩(wěn)定值時(shí)的狀態(tài)。比如前2章介紹的直流電路，全部為穩(wěn)態(tài)電路的情況。

上圖中，在開(kāi)關(guān)K閉合后的一段時(shí)間內(nèi)，電流i和電壓uc并不為穩(wěn)定值，而是有一個(gè)開(kāi)關(guān)K閉合后漸變的過(guò)程。當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，電流i和電壓uc才達(dá)到穩(wěn)定值，不再變化，此時(shí)，電路才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。為什么呢？就是因?yàn)殡娐分写嬖谝粋€(gè)電容元件C。那么，如果電路中有電感元件時(shí)又怎樣呢？

開(kāi)關(guān)K從閉合時(shí)起，電路中的電壓電流就為穩(wěn)定值，也就是說(shuō)電路達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。如果電路中含有儲(chǔ)能元件，比如有LC，就不同了：ξ4-1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件一、基本概念㈠穩(wěn)態(tài)：電㈡暫態(tài)（過(guò)渡過(guò)程）：當(dāng)電路中含有儲(chǔ)能元件時(shí)，在開(kāi)關(guān)動(dòng)作后，電路中的變量尚未達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在這段時(shí)間內(nèi)，電路變量隨時(shí)間變化的響應(yīng)稱(chēng)為電路的過(guò)渡過(guò)程，也即電路處于暫態(tài)1、兩個(gè)儲(chǔ)能元件——能引起過(guò)渡過(guò)程的兩個(gè)電路元件C和L。

電容能夠存儲(chǔ)電場(chǎng)能量，因?yàn)殡姾傻姆e累需要一個(gè)時(shí)間過(guò)程，所以電壓要慢慢上升，儲(chǔ)存的能量也隨著電容電壓的增加慢慢積累，最后達(dá)到穩(wěn)定值（t→∞時(shí)）。

電感能存儲(chǔ)磁場(chǎng)能量，在建立磁通鏈的過(guò)程中，磁場(chǎng)能量的儲(chǔ)存也需要一個(gè)過(guò)程，因此，電流也只能慢慢增加，最后達(dá)到穩(wěn)定值（t→∞時(shí)）。㈡暫態(tài)（過(guò)渡過(guò)程）：當(dāng)電路中含有儲(chǔ)能元件時(shí)，在開(kāi)關(guān)動(dòng)作后，電換路定則換路：指電路中的開(kāi)關(guān)作用、參數(shù)變化等。t=0-換路前一瞬間,t=0+換路后一瞬間,能量不能突變，只能連續(xù)變化WC=1/2CuC2uC連續(xù)變化uC(0+)=uC(0-)WL=1/2LiL2

iL連續(xù)變化

iL(0+)=iL(0-)換路定則二、電路的初始條件

何謂初始條件？就是換路后電路中各變量（電壓、電流）的起始值，也即t=0+時(shí)刻各電壓電流的值。這也是一階動(dòng)態(tài)電路過(guò)渡過(guò)程三個(gè)要素中的第一個(gè)要素。換路定則換路：指電路中的開(kāi)關(guān)作用、參數(shù)變化等。t=0-換初始值的計(jì)算t=0+電壓、電流值稱(chēng)為初始值初始值計(jì)算步驟用換路定律確定

uC(0+),iL(0+)；用初態(tài)等效電路確定其它變量的初始值。電容的初態(tài)等效電路短路電感的初態(tài)等效電路開(kāi)路初始值的計(jì)算t=0+電壓、電流值稱(chēng)為初始值初始值計(jì)算求初始條件的步驟：①用換路定理先求獨(dú)立初始條件uC(0+)和iL(0+)。②畫(huà)0+等效電路。開(kāi)關(guān)K，t=0+時(shí)已動(dòng)作，應(yīng)畫(huà)動(dòng)作以后的狀態(tài)；對(duì)于電感L可用電流源替代：；對(duì)于電容C可用電壓源替代：其他支路及元件，保持不變。③在0+等效電路上用KCL、KVL求非獨(dú)立初始條件?？磶讉€(gè)例題：求初始條件的步驟：①用換路定理先求獨(dú)立初始條件uC(0例題一如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S突然打開(kāi)。則uL(0+)=_____V。

由初態(tài)等效電路可知：

+-3V123H+-uLS+-3V12+-uL(0+)3A-6例題一如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S突然打開(kāi)。則u

例題二如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S合上。則u(0+)=_____V。由初態(tài)等效電路可知：

2+-9V342H+-u2+-6VS+-6V4+-u(0+)1A3例題二如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S合上。則如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S合上。則i(0+)=_____A。由初態(tài)等效電路可知：2+-60V51Hi101F1FS4A+-10V+-10V初態(tài)等效電路

例題三如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S合上。則i(0求圖示電路中各支路電流及電感電壓的初始值，設(shè)換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。解：⑴作ｔ＝0

-時(shí)的等效電路⑵ｕC(0＋)＝ｕC(0-)＝4ＶｉL(zhǎng)(0＋)＝ｉL(zhǎng)(0-)＝1Ａ例題四求圖示電路中各支路電流及電感電壓的初始值，設(shè)換路前電路處于穩(wěn)求圖示電路中各支路電流及電感電壓的初始值，設(shè)換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。解：⑶作ｔ＝0＋時(shí)的等效電路

4V1A代入數(shù)據(jù)得：解之得

例題五求圖示電路中各支路電流及電感電壓的初始值，設(shè)換路前電路處于穩(wěn)4-2一階電路的零輸入響應(yīng)一、RC電路的零輸入響應(yīng)1、求零輸入響應(yīng)一階電路：描述電路響應(yīng)過(guò)程的方程為一階線(xiàn)性微分方程的電路。一般情況下，含有一個(gè)儲(chǔ)能元件的線(xiàn)性電路通常就是一階電路。零輸入響應(yīng)：顧名思義，就是電路在沒(méi)有輸入激勵(lì)情況下的響應(yīng)。由于沒(méi)有輸入激勵(lì)，所以是靠?jī)?chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能建立起來(lái)的過(guò)渡過(guò)程響應(yīng)。也即：換路前電路中儲(chǔ)能元件有初始儲(chǔ)能，換路后電路沒(méi)有電源激勵(lì)輸入，僅靠?jī)?chǔ)能元件的儲(chǔ)能建立的過(guò)渡過(guò)程響應(yīng)。請(qǐng)看下圖電路，已知：t=0－時(shí)，uc(0－)=Uo(V)，求；t≥0時(shí)的uc(t)表達(dá)式。4-2一階電路的零輸入響應(yīng)一、RC電路的零輸入響應(yīng)一階電路解：有KVL定律可得：（1）

有元件約束方程得：代入上式（1）得：初始條件：(2)

)()(dtduCtitiRuCR-==此方程為一階、線(xiàn)性、常系數(shù)、齊次微分方程。解：有KVL定律可得：分析此方程可知，uc(t)應(yīng)有指數(shù)函數(shù)形式，設(shè)：代入方程（3）可得對(duì)應(yīng)微分方程的特性方程：有表達(dá)式（5）、（6）和波形圖可看出：式（5）可作為零輸入響應(yīng)的公式來(lái)直接套用。再看波形圖：分析此方程可知，uc(t)應(yīng)有指數(shù)函數(shù)形式，設(shè)：代入方程（2、時(shí)間常數(shù)τ再看表達(dá)式（5）：兩邊均為電壓量綱，指數(shù)項(xiàng)應(yīng)該無(wú)量綱。由此可見(jiàn)，RC的乘積應(yīng)該和時(shí)間t有相同的量綱“秒”。同時(shí)RC的大小，也反映了衰減得快慢，由此可定義一個(gè)新的物理量——時(shí)間常數(shù)τ。2、時(shí)間常數(shù)τ再看表達(dá)式（5）：兩邊均為電壓量綱，指數(shù)項(xiàng)應(yīng)該②τ的物理意義：τ的大小反映了過(guò)渡過(guò)程進(jìn)展的快慢。在表達(dá)式（5）中，將時(shí)間t=1τ、2τ、3τ、4τ、5τ時(shí)的電壓uc(t)列表如下：②τ的物理意義：τ的大小反映了過(guò)渡過(guò)程進(jìn)展的快慢。在表達(dá)RC電路的零輸入響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：RC一階電路的零輸入響應(yīng)的一般形式可記為

RC電路的零輸入響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：RC一階電路的零輸入響應(yīng)的一例:1

圖示電路中,S合上前電路已處于穩(wěn)態(tài),求t≥0時(shí)的uC(t)、iC(t)和i。解：

t≥0時(shí)的等效電路如圖示，例:1圖示電路中,S合上前電路已處于穩(wěn)態(tài),求t≥0時(shí)例題2、右圖所示電路，開(kāi)關(guān)K在t=0時(shí)閉合，求：t≥0時(shí)的uc(t)、ic(t)，以及i1(t)、i2(t)。顯然，沒(méi)有必要分別列寫(xiě)微分方程來(lái)求解，可以利用零輸入響應(yīng)的公式來(lái)求解。解：①先求初始條件。獨(dú)立初始條件：畫(huà)0+等效電路：得：②求時(shí)間常數(shù)τ。例題2、右圖所示電路，開(kāi)關(guān)K在t=0時(shí)閉合，求：t≥0時(shí)τ是由一階電路本身電路參數(shù)決定的固有特征，一個(gè)一階電路只有一個(gè)時(shí)間常數(shù)，所有支路電壓電流過(guò)渡過(guò)程都是以同一個(gè)時(shí)間常數(shù)為衰減系數(shù)的。③求uc(t)。思考：

uc(t)的時(shí)間常數(shù)為τ=1s，那么i1(t)和i2(t)的時(shí)間常數(shù)為多少呢？τ是由一階電路本身電路參數(shù)決定的固有特征，一個(gè)一階電路只有一二、RL電路的零輸入響應(yīng)1、求零輸入響應(yīng)。

例1、uL、iL

取關(guān)聯(lián)參考方向，求t≥0時(shí)，i

L（t）。

解：顯然有：①列方程：換路后得：和電容放電方程類(lèi)似，也是一階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程，其解應(yīng)有類(lèi)似的指數(shù)形式。二、RL電路的零輸入響應(yīng)例1、uL、iL取關(guān)聯(lián)參考方向令：則，微分方程的特征方程為：Lp+R=0其特征根為：仍然定義

為時(shí)間常數(shù)，則有：令：則，微分方程的特征方程為：Lp+R=02、時(shí)間常數(shù)：

Req為從L兩端看過(guò)去電路的戴維南等效電阻L——HR——Ωτ——s2、時(shí)間常數(shù)：Req為從L兩端看過(guò)去電路的戴維習(xí)題：圖示電路，開(kāi)關(guān)K原在位置1，已處穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)，K合到位置2。求換路后（t≥0）。

解：

①

②t≥0時(shí)，

③確定A代入t=0+時(shí)，iL(0+)=I0,得：A=I0

習(xí)題：圖示電路，開(kāi)關(guān)K原在位置1，已處穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)，K合到或者如下求解：①

②由0+等效電路得：

③

④

或者如下求解：①②由0+等效電路得：③④RL電路的零輸入響應(yīng)RL電路的時(shí)間常數(shù)為

RL一階電路的零輸入響應(yīng)的一般為形式為

一階電路零輸入響應(yīng)的一般形式為RL電路的零輸入響應(yīng)RL電路的時(shí)間常數(shù)為RL一階電路的零輸§4—3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是換路后，電路中無(wú)電源激勵(lì)輸入，僅靠?jī)?chǔ)能元件的儲(chǔ)能建立的過(guò)渡過(guò)程響應(yīng)(儲(chǔ)能元件的放電過(guò)程)。零狀態(tài)響應(yīng)：換路前儲(chǔ)能元件無(wú)初始儲(chǔ)能（即初始狀態(tài)為0），換路后在電源激勵(lì)輸入下建立的過(guò)渡過(guò)程響應(yīng)（儲(chǔ)能元件的充電過(guò)程）。一、RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

已知：K在t=0時(shí)閉合，且uc（0-）=0V,分析：t≥0時(shí)，uc（t），i（t）的變化規(guī)律。

定性分析：第一穩(wěn)態(tài)uc（0+）=0第二穩(wěn)態(tài)uc（∞）=Us

從第一穩(wěn)態(tài)到第二穩(wěn)態(tài)也不是瞬時(shí)完成的，也有過(guò)渡過(guò)程，似乎也應(yīng)該是按指數(shù)規(guī)律變化。§4—3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)是換路后，電1、定量計(jì)算：①t≥0時(shí)由KVL得：元件方程：

②先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解uc’’（t）齊次方程為：③求非齊次方程的一個(gè)特解uc’（t）

一階、線(xiàn)性、常系數(shù)、非齊次微分方程1、定量計(jì)算：①t≥0時(shí)由KVL得：元件方程：②先求對(duì)可得：非齊次方程的一個(gè)特解為uc’（t）=Us

④非齊次微分方程的通解為：A為代定常數(shù)⑤確定待定常數(shù)A

將t=0+時(shí)的值代入，即代入uc（0+）=0得：可得：非齊次方程的一個(gè)特解為uc’（t）=Us④非齊次微分2.波形（響應(yīng)曲線(xiàn)）

按指數(shù)規(guī)律從第一穩(wěn)態(tài)過(guò)到第二穩(wěn)態(tài)2.波形（響應(yīng)曲線(xiàn)）按指數(shù)規(guī)律從第一穩(wěn)態(tài)過(guò)到第二穩(wěn)態(tài)3、RC電路（零狀態(tài)響應(yīng)）的能量關(guān)系在過(guò)渡過(guò)程中，由于C無(wú)初始儲(chǔ)能，因此，電源提供功率，而C和R則吸收功率。若C無(wú)初始儲(chǔ)能，K在t=0時(shí)閉合，則：

其中τ=RC

3、RC電路（零狀態(tài)響應(yīng)）的能量關(guān)系在過(guò)渡過(guò)程中，由于C無(wú)電容上儲(chǔ)存的能量為：

可見(jiàn)，不論電阻電容為何值，零狀態(tài)響應(yīng)過(guò)程中，電源供給的能量只有一半轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能儲(chǔ)存于電容中，而另一半則消耗在電阻上。如果是專(zhuān)門(mén)為電容充電電路，則充電效率只有50%。

在整個(gè)過(guò)渡過(guò)程中，電阻消耗的能量為：電容上儲(chǔ)存的能量為：可見(jiàn)，不論電阻電容為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：例1：

已知：電容事先充電，K在t=0時(shí)閉合。求：①τ，和最大充電電流；②；③做曲線(xiàn)；④K合上150μs時(shí)的值。

解：用三要素法

①

τ=RC=100×0.5×10－6=50μs=5×10－5s②

例1：已知：電容事先充電，K在t=0時(shí)閉合。解：用三要素

③畫(huà)響應(yīng)曲線(xiàn)。

如何畫(huà)響應(yīng)曲線(xiàn)（波形）呢？方法：1.找第一穩(wěn)態(tài)值2.找第二穩(wěn)態(tài)值（漸近線(xiàn)）3.從第一穩(wěn)態(tài)按指數(shù)規(guī)律過(guò)渡到

第二穩(wěn)態(tài)

④求t=150μs時(shí)，uc和i值。③畫(huà)響應(yīng)曲線(xiàn)。如何畫(huà)響應(yīng)曲線(xiàn)（波形）呢？④求t=150μ二、直流輸入下RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖示電路，已知iL（0-）=0，K在t=0時(shí)打開(kāi)，求：t≥0時(shí)，iL（t）和uL（t）。

解：1、求零狀態(tài)響應(yīng)

t≥0時(shí)可得KCL方程：iR+iL=Is代入得：A=－IS二、直流輸入下RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖示電路，已知iL（0-2.響應(yīng)曲線(xiàn)

3.能量關(guān)系：

可見(jiàn)，RL零狀態(tài)電路中，電流源提供的能量也只有一半儲(chǔ)存在電感線(xiàn)圈中，另一半則消耗在電阻中（不論R、L為何值，結(jié)論都如此）

。2.響應(yīng)曲線(xiàn)3.能量關(guān)系：可見(jiàn)，RL零狀態(tài)電路中，電流源RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：例2

已知電感初始無(wú)儲(chǔ)能。求：K閉合后的iL(t)，i(t)。解：用三要素法

①iL(0+)=iL(0-)=0，由0+等效電路[L相當(dāng)于開(kāi)路，∵iL(0+)=0]

得：

例2已知電感初始無(wú)儲(chǔ)能。解：用三要素法①iL(0+)=畫(huà)波形

畫(huà)波形圖示電路中，S合上前，電容電壓為零，求t≥0時(shí)的電容電壓和各支路電流。Ωt=0iCR1S+US-+uC-5μF3kΩR26ki2i112v解：換路后電路的時(shí)間常數(shù)為

例一:圖示電路中，S合上前，電容電壓為零，求t≥0時(shí)的電容電壓圖示電路中，S閉合前電感中無(wú)電流，求t≥0時(shí)的uL、i和iL。解：戴維南定理例二：圖示電路中，S閉合前電感中無(wú)電流，求t≥0時(shí)的uL、i和iL4-4一階電路的全響應(yīng)一、全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的疊加，即：全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)①

零輸入：

②零狀態(tài)：

按疊加定理有：

③全響應(yīng)的求解方法再回顧零狀態(tài)響應(yīng)的求解過(guò)程：

4-4一階電路的全響應(yīng)一、全響應(yīng)是零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的

非齊次方程的特解為：uc＇（t）=Us

非齊次微分方程的通解為：

A為代定常數(shù)

代入t=0+時(shí)的值，uc(t)=uc(0+)=0得：

全響應(yīng)應(yīng)為：

非齊次方程的特解為：uc＇（t）=Us非齊次微分方程的通一階電路的全響應(yīng)及三要素分析法

三要素分析法根據(jù)疊加定理，全響應(yīng)可看作是外施激勵(lì)和儲(chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能單獨(dú)作用時(shí)各自產(chǎn)生的響應(yīng)的疊加。

零輸入響應(yīng)：

電路的全響應(yīng)為

全響應(yīng)=零狀態(tài)響應(yīng)+零輸入響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量三要素公式零狀態(tài)響應(yīng)：

對(duì)uC和iL成立一階電路的全響應(yīng)及三要素分析法三要素分析法根據(jù)疊加定理，全三要素分析法的一般步驟求f(0＋)求f(∞)(ｔ＝∞:ｕ、ｉ不隨時(shí)間變化)

求τ含源網(wǎng)絡(luò)L或C求f(t)＝f(∞)＋［f(0＋)－f(∞)］e-t/τ一般來(lái)說(shuō)，電感電路先求iL(t)較方便，電容電路先求uC(t)較方便。三要素分析法的一般步驟求f(0＋)求f(∞)(ｔ＝∞:例1.求K閉合后的iL(t)和i(t)

解：①iL(0+)=iL(0-)=-2A0+等效電路為下圖，由0+等效電路可得

i(0+)=0A

例1.求K閉合后的iL(t)和i(t)解：①iL(0例2、電路原已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)K閉合，求t≥0時(shí)的uc，iL，iK

解：K閉合電路成為兩個(gè)獨(dú)立的一階電路

例2、電路原已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)K閉合，求t≥0時(shí)的uc，i線(xiàn)性動(dòng)態(tài)電路分析課件例3圖示電路中，S閉合前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)S閉合后，則全響應(yīng)uC(t)=______________V。其中：uC(0+)=_____V；

uC()=_____V；=_____s.0.001初始值：全響應(yīng)為：2010A20S40V40穩(wěn)態(tài)值：120時(shí)間常數(shù)：例3圖示電路中，S閉合前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)S閉合后，在圖示電路中，S閉合前電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)。US=15V，R1=R3=100Ω，R2=200Ω，L=0.5H，求t≥0時(shí)的uL(t)、i(t)和iL(t)。解：由KVL得

例：4在圖示電路中，S閉合前電路已達(dá)到穩(wěn)態(tài)。US=15V，R1=R例5圖示電路中，S閉合前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)S閉合后，則全響應(yīng)i(t)=______________A。其中：i(0+)=_____A；

i()=_____A;=________s.0.0625初始值：1穩(wěn)態(tài)值：0.5時(shí)間常數(shù)：例5圖示電路中，S閉合前處于穩(wěn)態(tài)。當(dāng)t=0時(shí)S閉合后，

第4章線(xiàn)性動(dòng)態(tài)電路的分析ξ4-1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件ξ4-2一階電路的零輸入響應(yīng)ξ4-3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)ξ4-4一階電路的全響應(yīng)第4章線(xiàn)性動(dòng)態(tài)電路的分析ξ4-1動(dòng)ξ4-1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件一、基本概念㈠穩(wěn)態(tài)：電路的穩(wěn)定狀態(tài)，即電路中的電壓電流達(dá)到穩(wěn)定值時(shí)的狀態(tài)。比如前2章介紹的直流電路，全部為穩(wěn)態(tài)電路的情況。

上圖中，在開(kāi)關(guān)K閉合后的一段時(shí)間內(nèi)，電流i和電壓uc并不為穩(wěn)定值，而是有一個(gè)開(kāi)關(guān)K閉合后漸變的過(guò)程。當(dāng)時(shí)間t→∞時(shí)，電流i和電壓uc才達(dá)到穩(wěn)定值，不再變化，此時(shí)，電路才進(jìn)入穩(wěn)態(tài)。為什么呢？就是因?yàn)殡娐分写嬖谝粋€(gè)電容元件C。那么，如果電路中有電感元件時(shí)又怎樣呢？

開(kāi)關(guān)K從閉合時(shí)起，電路中的電壓電流就為穩(wěn)定值，也就是說(shuō)電路達(dá)到了穩(wěn)態(tài)。如果電路中含有儲(chǔ)能元件，比如有LC，就不同了：ξ4-1動(dòng)態(tài)電路的方程及其初始條件一、基本概念㈠穩(wěn)態(tài)：電㈡暫態(tài)（過(guò)渡過(guò)程）：當(dāng)電路中含有儲(chǔ)能元件時(shí)，在開(kāi)關(guān)動(dòng)作后，電路中的變量尚未達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在這段時(shí)間內(nèi)，電路變量隨時(shí)間變化的響應(yīng)稱(chēng)為電路的過(guò)渡過(guò)程，也即電路處于暫態(tài)1、兩個(gè)儲(chǔ)能元件——能引起過(guò)渡過(guò)程的兩個(gè)電路元件C和L。

電容能夠存儲(chǔ)電場(chǎng)能量，因?yàn)殡姾傻姆e累需要一個(gè)時(shí)間過(guò)程，所以電壓要慢慢上升，儲(chǔ)存的能量也隨著電容電壓的增加慢慢積累，最后達(dá)到穩(wěn)定值（t→∞時(shí)）。

電感能存儲(chǔ)磁場(chǎng)能量，在建立磁通鏈的過(guò)程中，磁場(chǎng)能量的儲(chǔ)存也需要一個(gè)過(guò)程，因此，電流也只能慢慢增加，最后達(dá)到穩(wěn)定值（t→∞時(shí)）。㈡暫態(tài)（過(guò)渡過(guò)程）：當(dāng)電路中含有儲(chǔ)能元件時(shí)，在開(kāi)關(guān)動(dòng)作后，電換路定則換路：指電路中的開(kāi)關(guān)作用、參數(shù)變化等。t=0-換路前一瞬間,t=0+換路后一瞬間,能量不能突變，只能連續(xù)變化WC=1/2CuC2uC連續(xù)變化uC(0+)=uC(0-)WL=1/2LiL2

iL連續(xù)變化

iL(0+)=iL(0-)換路定則二、電路的初始條件

何謂初始條件？就是換路后電路中各變量（電壓、電流）的起始值，也即t=0+時(shí)刻各電壓電流的值。這也是一階動(dòng)態(tài)電路過(guò)渡過(guò)程三個(gè)要素中的第一個(gè)要素。換路定則換路：指電路中的開(kāi)關(guān)作用、參數(shù)變化等。t=0-換初始值的計(jì)算t=0+電壓、電流值稱(chēng)為初始值初始值計(jì)算步驟用換路定律確定

uC(0+),iL(0+)；用初態(tài)等效電路確定其它變量的初始值。電容的初態(tài)等效電路短路電感的初態(tài)等效電路開(kāi)路初始值的計(jì)算t=0+電壓、電流值稱(chēng)為初始值初始值計(jì)算求初始條件的步驟：①用換路定理先求獨(dú)立初始條件uC(0+)和iL(0+)。②畫(huà)0+等效電路。開(kāi)關(guān)K，t=0+時(shí)已動(dòng)作，應(yīng)畫(huà)動(dòng)作以后的狀態(tài)；對(duì)于電感L可用電流源替代：；對(duì)于電容C可用電壓源替代：其他支路及元件，保持不變。③在0+等效電路上用KCL、KVL求非獨(dú)立初始條件。看幾個(gè)例題：求初始條件的步驟：①用換路定理先求獨(dú)立初始條件uC(0例題一如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S突然打開(kāi)。則uL(0+)=_____V。

由初態(tài)等效電路可知：

+-3V123H+-uLS+-3V12+-uL(0+)3A-6例題一如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S突然打開(kāi)。則u

例題二如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S合上。則u(0+)=_____V。由初態(tài)等效電路可知：

2+-9V342H+-u2+-6VS+-6V4+-u(0+)1A3例題二如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S合上。則如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S合上。則i(0+)=_____A。由初態(tài)等效電路可知：2+-60V51Hi101F1FS4A+-10V+-10V初態(tài)等效電路

例題三如圖所示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S合上。則i(0求圖示電路中各支路電流及電感電壓的初始值，設(shè)換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。解：⑴作ｔ＝0

-時(shí)的等效電路⑵ｕC(0＋)＝ｕC(0-)＝4ＶｉL(zhǎng)(0＋)＝ｉL(zhǎng)(0-)＝1Ａ例題四求圖示電路中各支路電流及電感電壓的初始值，設(shè)換路前電路處于穩(wěn)求圖示電路中各支路電流及電感電壓的初始值，設(shè)換路前電路處于穩(wěn)態(tài)。解：⑶作ｔ＝0＋時(shí)的等效電路

4V1A代入數(shù)據(jù)得：解之得

例題五求圖示電路中各支路電流及電感電壓的初始值，設(shè)換路前電路處于穩(wěn)4-2一階電路的零輸入響應(yīng)一、RC電路的零輸入響應(yīng)1、求零輸入響應(yīng)一階電路：描述電路響應(yīng)過(guò)程的方程為一階線(xiàn)性微分方程的電路。一般情況下，含有一個(gè)儲(chǔ)能元件的線(xiàn)性電路通常就是一階電路。零輸入響應(yīng)：顧名思義，就是電路在沒(méi)有輸入激勵(lì)情況下的響應(yīng)。由于沒(méi)有輸入激勵(lì)，所以是靠?jī)?chǔ)能元件的初始儲(chǔ)能建立起來(lái)的過(guò)渡過(guò)程響應(yīng)。也即：換路前電路中儲(chǔ)能元件有初始儲(chǔ)能，換路后電路沒(méi)有電源激勵(lì)輸入，僅靠?jī)?chǔ)能元件的儲(chǔ)能建立的過(guò)渡過(guò)程響應(yīng)。請(qǐng)看下圖電路，已知：t=0－時(shí)，uc(0－)=Uo(V)，求；t≥0時(shí)的uc(t)表達(dá)式。4-2一階電路的零輸入響應(yīng)一、RC電路的零輸入響應(yīng)一階電路解：有KVL定律可得：（1）

有元件約束方程得：代入上式（1）得：初始條件：(2)

)()(dtduCtitiRuCR-==此方程為一階、線(xiàn)性、常系數(shù)、齊次微分方程。解：有KVL定律可得：分析此方程可知，uc(t)應(yīng)有指數(shù)函數(shù)形式，設(shè)：代入方程（3）可得對(duì)應(yīng)微分方程的特性方程：有表達(dá)式（5）、（6）和波形圖可看出：式（5）可作為零輸入響應(yīng)的公式來(lái)直接套用。再看波形圖：分析此方程可知，uc(t)應(yīng)有指數(shù)函數(shù)形式，設(shè)：代入方程（2、時(shí)間常數(shù)τ再看表達(dá)式（5）：兩邊均為電壓量綱，指數(shù)項(xiàng)應(yīng)該無(wú)量綱。由此可見(jiàn)，RC的乘積應(yīng)該和時(shí)間t有相同的量綱“秒”。同時(shí)RC的大小，也反映了衰減得快慢，由此可定義一個(gè)新的物理量——時(shí)間常數(shù)τ。2、時(shí)間常數(shù)τ再看表達(dá)式（5）：兩邊均為電壓量綱，指數(shù)項(xiàng)應(yīng)該②τ的物理意義：τ的大小反映了過(guò)渡過(guò)程進(jìn)展的快慢。在表達(dá)式（5）中，將時(shí)間t=1τ、2τ、3τ、4τ、5τ時(shí)的電壓uc(t)列表如下：②τ的物理意義：τ的大小反映了過(guò)渡過(guò)程進(jìn)展的快慢。在表達(dá)RC電路的零輸入響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：RC一階電路的零輸入響應(yīng)的一般形式可記為

RC電路的零輸入響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：RC一階電路的零輸入響應(yīng)的一例:1

圖示電路中,S合上前電路已處于穩(wěn)態(tài),求t≥0時(shí)的uC(t)、iC(t)和i。解：

t≥0時(shí)的等效電路如圖示，例:1圖示電路中,S合上前電路已處于穩(wěn)態(tài),求t≥0時(shí)例題2、右圖所示電路，開(kāi)關(guān)K在t=0時(shí)閉合，求：t≥0時(shí)的uc(t)、ic(t)，以及i1(t)、i2(t)。顯然，沒(méi)有必要分別列寫(xiě)微分方程來(lái)求解，可以利用零輸入響應(yīng)的公式來(lái)求解。解：①先求初始條件。獨(dú)立初始條件：畫(huà)0+等效電路：得：②求時(shí)間常數(shù)τ。例題2、右圖所示電路，開(kāi)關(guān)K在t=0時(shí)閉合，求：t≥0時(shí)τ是由一階電路本身電路參數(shù)決定的固有特征，一個(gè)一階電路只有一個(gè)時(shí)間常數(shù)，所有支路電壓電流過(guò)渡過(guò)程都是以同一個(gè)時(shí)間常數(shù)為衰減系數(shù)的。③求uc(t)。思考：

uc(t)的時(shí)間常數(shù)為τ=1s，那么i1(t)和i2(t)的時(shí)間常數(shù)為多少呢？τ是由一階電路本身電路參數(shù)決定的固有特征，一個(gè)一階電路只有一二、RL電路的零輸入響應(yīng)1、求零輸入響應(yīng)。

例1、uL、iL

取關(guān)聯(lián)參考方向，求t≥0時(shí)，i

L（t）。

解：顯然有：①列方程：換路后得：和電容放電方程類(lèi)似，也是一階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程，其解應(yīng)有類(lèi)似的指數(shù)形式。二、RL電路的零輸入響應(yīng)例1、uL、iL取關(guān)聯(lián)參考方向令：則，微分方程的特征方程為：Lp+R=0其特征根為：仍然定義

為時(shí)間常數(shù)，則有：令：則，微分方程的特征方程為：Lp+R=02、時(shí)間常數(shù)：

Req為從L兩端看過(guò)去電路的戴維南等效電阻L——HR——Ωτ——s2、時(shí)間常數(shù)：Req為從L兩端看過(guò)去電路的戴維習(xí)題：圖示電路，開(kāi)關(guān)K原在位置1，已處穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)，K合到位置2。求換路后（t≥0）。

解：

①

②t≥0時(shí)，

③確定A代入t=0+時(shí)，iL(0+)=I0,得：A=I0

習(xí)題：圖示電路，開(kāi)關(guān)K原在位置1，已處穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)，K合到或者如下求解：①

②由0+等效電路得：

③

④

或者如下求解：①②由0+等效電路得：③④RL電路的零輸入響應(yīng)RL電路的時(shí)間常數(shù)為

RL一階電路的零輸入響應(yīng)的一般為形式為

一階電路零輸入響應(yīng)的一般形式為RL電路的零輸入響應(yīng)RL電路的時(shí)間常數(shù)為RL一階電路的零輸§4—3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)

零輸入響應(yīng)是換路后，電路中無(wú)電源激勵(lì)輸入，僅靠?jī)?chǔ)能元件的儲(chǔ)能建立的過(guò)渡過(guò)程響應(yīng)(儲(chǔ)能元件的放電過(guò)程)。零狀態(tài)響應(yīng)：換路前儲(chǔ)能元件無(wú)初始儲(chǔ)能（即初始狀態(tài)為0），換路后在電源激勵(lì)輸入下建立的過(guò)渡過(guò)程響應(yīng)（儲(chǔ)能元件的充電過(guò)程）。一、RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)

已知：K在t=0時(shí)閉合，且uc（0-）=0V,分析：t≥0時(shí)，uc（t），i（t）的變化規(guī)律。

定性分析：第一穩(wěn)態(tài)uc（0+）=0第二穩(wěn)態(tài)uc（∞）=Us

從第一穩(wěn)態(tài)到第二穩(wěn)態(tài)也不是瞬時(shí)完成的，也有過(guò)渡過(guò)程，似乎也應(yīng)該是按指數(shù)規(guī)律變化?！?—3一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)是換路后，電1、定量計(jì)算：①t≥0時(shí)由KVL得：元件方程：

②先求對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解uc’’（t）齊次方程為：③求非齊次方程的一個(gè)特解uc’（t）

一階、線(xiàn)性、常系數(shù)、非齊次微分方程1、定量計(jì)算：①t≥0時(shí)由KVL得：元件方程：②先求對(duì)可得：非齊次方程的一個(gè)特解為uc’（t）=Us

④非齊次微分方程的通解為：A為代定常數(shù)⑤確定待定常數(shù)A

將t=0+時(shí)的值代入，即代入uc（0+）=0得：可得：非齊次方程的一個(gè)特解為uc’（t）=Us④非齊次微分2.波形（響應(yīng)曲線(xiàn)）

按指數(shù)規(guī)律從第一穩(wěn)態(tài)過(guò)到第二穩(wěn)態(tài)2.波形（響應(yīng)曲線(xiàn)）按指數(shù)規(guī)律從第一穩(wěn)態(tài)過(guò)到第二穩(wěn)態(tài)3、RC電路（零狀態(tài)響應(yīng)）的能量關(guān)系在過(guò)渡過(guò)程中，由于C無(wú)初始儲(chǔ)能，因此，電源提供功率，而C和R則吸收功率。若C無(wú)初始儲(chǔ)能，K在t=0時(shí)閉合，則：

其中τ=RC

3、RC電路（零狀態(tài)響應(yīng)）的能量關(guān)系在過(guò)渡過(guò)程中，由于C無(wú)電容上儲(chǔ)存的能量為：

可見(jiàn)，不論電阻電容為何值，零狀態(tài)響應(yīng)過(guò)程中，電源供給的能量只有一半轉(zhuǎn)換成電場(chǎng)能儲(chǔ)存于電容中，而另一半則消耗在電阻上。如果是專(zhuān)門(mén)為電容充電電路，則充電效率只有50%。

在整個(gè)過(guò)渡過(guò)程中，電阻消耗的能量為：電容上儲(chǔ)存的能量為：可見(jiàn)，不論電阻電容為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：例1：

已知：電容事先充電，K在t=0時(shí)閉合。求：①τ，和最大充電電流；②；③做曲線(xiàn)；④K合上150μs時(shí)的值。

解：用三要素法

①

τ=RC=100×0.5×10－6=50μs=5×10－5s②

例1：已知：電容事先充電，K在t=0時(shí)閉合。解：用三要素

③畫(huà)響應(yīng)曲線(xiàn)。

如何畫(huà)響應(yīng)曲線(xiàn)（波形）呢？方法：1.找第一穩(wěn)態(tài)值2.找第二穩(wěn)態(tài)值（漸近線(xiàn)）3.從第一穩(wěn)態(tài)按指數(shù)規(guī)律過(guò)渡到

第二穩(wěn)態(tài)

④求t=150μs時(shí)，uc和i值。③畫(huà)響應(yīng)曲線(xiàn)。如何畫(huà)響應(yīng)曲線(xiàn)（波形）呢？④求t=150μ二、直流輸入下RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖示電路，已知iL（0-）=0，K在t=0時(shí)打開(kāi)，求：t≥0時(shí)，iL（t）和uL（t）。

解：1、求零狀態(tài)響應(yīng)

t≥0時(shí)可得KCL方程：iR+iL=Is代入得：A=－IS二、直流輸入下RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖示電路，已知iL（0-2.響應(yīng)曲線(xiàn)

3.能量關(guān)系：

可見(jiàn)，RL零狀態(tài)電路中，電流源提供的能量也只有一半儲(chǔ)存在電感線(xiàn)圈中，另一半則消耗在電阻中（不論R、L為何值，結(jié)論都如此）

。2.響應(yīng)曲線(xiàn)3.能量關(guān)系：可見(jiàn)，RL零狀態(tài)電路中，電流源RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)時(shí)間常數(shù)為：例2

已知電感初始無(wú)儲(chǔ)能。求：K閉合后的iL(t)，i(t)。解：用三要素法

①iL(0+)=iL(0-)=0，由0+等效電路[L相當(dāng)于開(kāi)路，∵iL(0+)=0]

得：

例2已知電感初始無(wú)儲(chǔ)能。解：用三要素法①iL(0+)=畫(huà)波形

畫(huà)波形圖示電路中，S合上前，電容電壓為零，求t≥0時(shí)的電容電壓和各支路電流。Ωt=0iCR1S+US-+uC