計(jì)算流體力學(xué)-不可壓縮N-S方程的求解課件

計(jì)算流體力學(xué)講義

第十二講不可壓縮Navier-Stokes方程的求解李新亮lixl@；力學(xué)所主樓219；82543801知識(shí)點(diǎn)：

1講義、課件上傳至(流體中文網(wǎng)）->“流體論壇”->“CFD基礎(chǔ)理論

”講課錄像及講義上傳至網(wǎng)盤/browse.aspx/.PublicCopyrightbyLiXinliang擬壓縮性方法求解壓力Poisson方程法渦流函數(shù)法Simple方法計(jì)算流體力學(xué)講義知識(shí)點(diǎn)：1講義、課件上傳至www.CopyrightbyLiXinliang2知識(shí)回顧一、代數(shù)方程組的求解直接法Gauss消元法LU分解法追趕法：CopyrightbyLiXinliang2知識(shí)回顧一CopyrightbyLiXinliang3迭代法Jacobi迭代n+1nnnnGauss-Seidel迭代n+1nn+1n+13n+1n+1nn+1n+1n+1nnnLU-ADILU-SGS知識(shí)回顧C(jī)opyrightbyLiXinliang3迭代法JaCopyrightbyLiXinliang4知識(shí)回顧二、網(wǎng)格生成ABCDEFA’B’C’D’E’F’物理空間計(jì)算空間1.代數(shù)網(wǎng)格生成法2.解橢圓型方程網(wǎng)格生成法CopyrightbyLiXinliang4知識(shí)回顧二CopyrightbyLiXinliang512.1不可壓縮Navier-Stokes方程的特點(diǎn)密度為常數(shù)的不可壓縮Navier-Stokes方程組：特點(diǎn)：

動(dòng)量方程與能量方程解耦

壓力屬于約束變量而不是發(fā)展變量溫度對(duì)密度的影響可忽略不計(jì)壓力不能時(shí)間推進(jìn)求解可壓縮不可壓縮易處壓力可推進(jìn)求解，易于使用顯格式壓力方程具有橢圓性，無(wú)法推進(jìn)求解。壓力方程收斂性差難處可能出現(xiàn)間斷不會(huì)出現(xiàn)間斷研究重點(diǎn)激波捕捉壓力處理CopyrightbyLiXinliang512.1CopyrightbyLiXinliang6概念澄清：壓力——?jiǎng)恿W(xué)壓力及熱力學(xué)壓力動(dòng)力學(xué)壓力——應(yīng)力的中各向同性部分連續(xù)介質(zhì)微元體的受力平衡：

應(yīng)力的概念靜止流體或無(wú)粘流體中力的平衡——?jiǎng)恿W(xué)壓力的概念熱力學(xué)壓力——由分子動(dòng)力學(xué)性質(zhì)決定——狀態(tài)方程熱力學(xué)壓力：分子對(duì)固壁的碰撞，產(chǎn)生壓力完全氣體：動(dòng)力學(xué)壓力熱力學(xué)壓力可壓縮N-S方程：

動(dòng)力學(xué)與熱力學(xué)耦合；動(dòng)力學(xué)壓力=熱力學(xué)壓力不可壓縮N-S方程：

動(dòng)力學(xué)與熱力學(xué)解耦

由不可壓縮條件確定壓力（純動(dòng)力學(xué)概念）

1）壓力的處理原則CopyrightbyLiXinliang6概念澄清：CopyrightbyLiXinliang7

奇偶失聯(lián)與交錯(cuò)網(wǎng)格壓力項(xiàng)，通常采用中心差分離散極端情況：棋盤式壓力場(chǎng)

高壓低壓特點(diǎn)：高壓-低壓點(diǎn)間隔分布采用中心差分格式計(jì)算出：流場(chǎng)竟然“保持穩(wěn)定”“奇偶失聯(lián)”CopyrightbyLiXinliang7奇偶失聯(lián)CopyrightbyLiXinliang8常用措施：交錯(cuò)網(wǎng)格

壓力p

速度u

速度v交錯(cuò)網(wǎng)格示意圖在u的網(wǎng)格點(diǎn)上離散在v的網(wǎng)格點(diǎn)上離散注：對(duì)流項(xiàng)通常采用迎風(fēng)格式離散

后差前差CopyrightbyLiXinliang8常用措施：CopyrightbyLiXinliang92)對(duì)流項(xiàng)的處理原則

關(guān)系式1：關(guān)系式2：蘭姆-葛羅米柯等式總壓表達(dá)式優(yōu)點(diǎn)不足普通型簡(jiǎn)單，易于迎風(fēng)有混淆誤差守恒型簡(jiǎn)單，守恒有混淆誤差旋度型混淆誤差小計(jì)算量大螺旋-對(duì)稱型混淆誤差小計(jì)算量略大普通型守恒型CopyrightbyLiXinliang92)對(duì)CopyrightbyLiXinliang1012.1人工壓縮性方法（求解定常方程）人工壓縮性因子達(dá)到定常態(tài)流動(dòng)壓縮時(shí)（），壓力升高流動(dòng)膨脹時(shí)（），壓力降低增大b

可令壓力收斂加快，但會(huì)增加方程的剛性（降低時(shí)間步長(zhǎng)）。人工壓縮性因子相當(dāng)于CopyrightbyLiXinliang1012.CopyrightbyLiXinliang11對(duì)于定常問題，需要迭代到收斂對(duì)于非定常問題，需要內(nèi)迭代（效率較低）Step1:得到n時(shí)間步的值Step2:進(jìn)行如下內(nèi)迭代直至收斂Step3:收斂后的V即為內(nèi)迭代收斂慢，效率較低；通常不使用人工壓縮方法解非定常問題。CopyrightbyLiXinliang11對(duì)于定常CopyrightbyLiXinliang1212.2求解壓力Poisson方法（投影法）1）壓力的控制方程對(duì)動(dòng)量方程求散度Poisson方程——壓力的控制方程無(wú)法時(shí)間推進(jìn)需聯(lián)立求解，通常采用時(shí)間分裂法CopyrightbyLiXinliang1212.2CopyrightbyLiXinliang132）

投影法——求解微分型壓力Poisson方程原理：將時(shí)間推進(jìn)分成三個(gè)子步，中間步解出壓力可時(shí)間推進(jìn)不能時(shí)間推進(jìn)Step1:預(yù)算步Step2:壓力修正步求解，得到壓力pStep3:最終步得到n+1時(shí)刻的V以1階精度時(shí)間推進(jìn)方法為例，實(shí)際上可采用更高階精度時(shí)間推進(jìn)方法：KarniadakisGE,IsraeliM,OrszagSA.1991High-ordersplittingmethodsfortheincompressibleNavier-stokesequations.J.Comp.Phys.97:414-443.CopyrightbyLiXinliang132）CopyrightbyLiXinliang143）

投影法——求解離散型壓力Poisson方程壓力修正步：

將離散的動(dòng)量方程帶入離散的連續(xù)性方程，得到離散的壓力方程交錯(cuò)網(wǎng)格上離散將（1）（2）兩式（離散的動(dòng)量方程）帶入（3）式（離散的連續(xù)性方程）可得到關(guān)于壓力p的方程（離散的壓力Poisson方程）；該方法可保證（3）式嚴(yán)格滿足，因而相容性比方法2）更好CopyrightbyLiXinliang143）CopyrightbyLiXinliang1512.3渦量-流函數(shù)方法（二維問題）引入流函數(shù)（4）（5）式即渦量-流函數(shù)的控制方程計(jì)算結(jié)束后，如果需要計(jì)算壓力，則求解如下方程CopyrightbyLiXinliang1512.3CopyrightbyLiXinliang16驅(qū)動(dòng)方腔流動(dòng)例：求解驅(qū)動(dòng)方腔流動(dòng)問題描述：

如圖示邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的方腔，上表面流體以常速度U運(yùn)動(dòng)，求解里面的流場(chǎng)（假設(shè)流動(dòng)定常）。以渦量-流函數(shù)法為例：1）

離散化對(duì)流項(xiàng)：迎風(fēng)差分迎風(fēng)差分，建議采用高階的粘性項(xiàng)：采用中心差分也可采用更高階的，可借助求差分系數(shù)的小程序時(shí)間推進(jìn)：可采用顯格式CopyrightbyLiXinliang16驅(qū)動(dòng)方腔CopyrightbyLiXinliang17采用中心差分離散：可采用Jocabi，Gauss-Seidel等方法迭代提示：時(shí)間推進(jìn)過程中的中間步無(wú)需迭代至收斂，最終（最后一個(gè)時(shí)間步）收斂即可。2）邊界條件速度邊界條件：上壁面u=1,v=0;其他壁面u=v=0;流函數(shù)的邊界條件：邊界是一條流線，流線是流函數(shù)的等值線渦量的邊界條件：由速度給出可用更高階的格式CopyrightbyLiXinliang17采用中心CopyrightbyLiXinliang1812.4SIMPLE方法基本思想：與（離散型）投影法類似，但速度推進(jìn)是隱式的；1）已知預(yù)估壓力計(jì)算速度采用隱式離散2）壓力及速度修正重要簡(jiǎn)化類似“人工壓縮性方法”修正方程對(duì)角化（顯式化）已知聯(lián)立求解CopyrightbyLiXinliang1812.4CopyrightbyLiXinliang19帶入離散的連續(xù)性方程：得到離散的壓力Poisson方程：求解后，得到壓力修正值：（4）帶入（4）時(shí)得到n+1時(shí)刻的速度具體步驟：1）已知n時(shí)刻的速度壓力2）預(yù)估壓力

（可取為n時(shí)刻的壓力）3）帶入（1）（2）式，解出（隱格式，需迭代求解）4）求解壓力的修正方程（5）得到修正壓力5）帶入（4）式，得到n+1時(shí)刻的速度及壓力6）推進(jìn)求解直到給定時(shí)刻（或收斂）如該步改用顯格式，則為（離散型）投影法提示：對(duì)于定常問題，內(nèi)迭代無(wú)需收斂，最終時(shí)刻收斂即可CopyrightbyLiXinliang19帶入離散習(xí)題12.1求解方腔問題問題描述：

如圖示邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的方腔，上表面流體以常速度U運(yùn)動(dòng)，求解里面的流場(chǎng)（假設(shè)流動(dòng)定常）。

考慮

三種情況要求：

數(shù)值方法不限（人工壓縮性方法、投影法、渦量-流函數(shù)方法及SIMPLE方法均可）；

空間離散采用差分法，建議采用較高階精度的方法。

繪制出定常解的流線圖。

請(qǐng)?jiān)敿?xì)寫明方程及公式的推導(dǎo)過程及計(jì)算流程，切勿只上交計(jì)算結(jié)果。

習(xí)題12.1求解方腔問題問題描述：要求：計(jì)算流體力學(xué)講義

第十二講不可壓縮Navier-Stokes方程的求解李新亮lixl@；力學(xué)所主樓219；82543801知識(shí)點(diǎn)：

21講義、課件上傳至(流體中文網(wǎng)）->“流體論壇”->“CFD基礎(chǔ)理論

”講課錄像及講義上傳至網(wǎng)盤/browse.aspx/.PublicCopyrightbyLiXinliang擬壓縮性方法求解壓力Poisson方程法渦流函數(shù)法Simple方法計(jì)算流體力學(xué)講義知識(shí)點(diǎn)：1講義、課件上傳至www.CopyrightbyLiXinliang22知識(shí)回顧一、代數(shù)方程組的求解直接法Gauss消元法LU分解法追趕法：CopyrightbyLiXinliang2知識(shí)回顧一CopyrightbyLiXinliang23迭代法Jacobi迭代n+1nnnnGauss-Seidel迭代n+1nn+1n+123n+1n+1nn+1n+1n+1nnnLU-ADILU-SGS知識(shí)回顧C(jī)opyrightbyLiXinliang3迭代法JaCopyrightbyLiXinliang24知識(shí)回顧二、網(wǎng)格生成ABCDEFA’B’C’D’E’F’物理空間計(jì)算空間1.代數(shù)網(wǎng)格生成法2.解橢圓型方程網(wǎng)格生成法CopyrightbyLiXinliang4知識(shí)回顧二CopyrightbyLiXinliang2512.1不可壓縮Navier-Stokes方程的特點(diǎn)密度為常數(shù)的不可壓縮Navier-Stokes方程組：特點(diǎn)：

動(dòng)量方程與能量方程解耦

壓力屬于約束變量而不是發(fā)展變量溫度對(duì)密度的影響可忽略不計(jì)壓力不能時(shí)間推進(jìn)求解可壓縮不可壓縮易處壓力可推進(jìn)求解，易于使用顯格式壓力方程具有橢圓性，無(wú)法推進(jìn)求解。壓力方程收斂性差難處可能出現(xiàn)間斷不會(huì)出現(xiàn)間斷研究重點(diǎn)激波捕捉壓力處理CopyrightbyLiXinliang512.1CopyrightbyLiXinliang26概念澄清：壓力——?jiǎng)恿W(xué)壓力及熱力學(xué)壓力動(dòng)力學(xué)壓力——應(yīng)力的中各向同性部分連續(xù)介質(zhì)微元體的受力平衡：

應(yīng)力的概念靜止流體或無(wú)粘流體中力的平衡——?jiǎng)恿W(xué)壓力的概念熱力學(xué)壓力——由分子動(dòng)力學(xué)性質(zhì)決定——狀態(tài)方程熱力學(xué)壓力：分子對(duì)固壁的碰撞，產(chǎn)生壓力完全氣體：動(dòng)力學(xué)壓力熱力學(xué)壓力可壓縮N-S方程：

動(dòng)力學(xué)與熱力學(xué)耦合；動(dòng)力學(xué)壓力=熱力學(xué)壓力不可壓縮N-S方程：

動(dòng)力學(xué)與熱力學(xué)解耦

由不可壓縮條件確定壓力（純動(dòng)力學(xué)概念）

1）壓力的處理原則CopyrightbyLiXinliang6概念澄清：CopyrightbyLiXinliang27

奇偶失聯(lián)與交錯(cuò)網(wǎng)格壓力項(xiàng)，通常采用中心差分離散極端情況：棋盤式壓力場(chǎng)

高壓低壓特點(diǎn)：高壓-低壓點(diǎn)間隔分布采用中心差分格式計(jì)算出：流場(chǎng)竟然“保持穩(wěn)定”“奇偶失聯(lián)”CopyrightbyLiXinliang7奇偶失聯(lián)CopyrightbyLiXinliang28常用措施：交錯(cuò)網(wǎng)格

壓力p

速度u

速度v交錯(cuò)網(wǎng)格示意圖在u的網(wǎng)格點(diǎn)上離散在v的網(wǎng)格點(diǎn)上離散注：對(duì)流項(xiàng)通常采用迎風(fēng)格式離散

后差前差CopyrightbyLiXinliang8常用措施：CopyrightbyLiXinliang292)對(duì)流項(xiàng)的處理原則

關(guān)系式1：關(guān)系式2：蘭姆-葛羅米柯等式總壓表達(dá)式優(yōu)點(diǎn)不足普通型簡(jiǎn)單，易于迎風(fēng)有混淆誤差守恒型簡(jiǎn)單，守恒有混淆誤差旋度型混淆誤差小計(jì)算量大螺旋-對(duì)稱型混淆誤差小計(jì)算量略大普通型守恒型CopyrightbyLiXinliang92)對(duì)CopyrightbyLiXinliang3012.1人工壓縮性方法（求解定常方程）人工壓縮性因子達(dá)到定常態(tài)流動(dòng)壓縮時(shí)（），壓力升高流動(dòng)膨脹時(shí)（），壓力降低增大b

可令壓力收斂加快，但會(huì)增加方程的剛性（降低時(shí)間步長(zhǎng)）。人工壓縮性因子相當(dāng)于CopyrightbyLiXinliang1012.CopyrightbyLiXinliang31對(duì)于定常問題，需要迭代到收斂對(duì)于非定常問題，需要內(nèi)迭代（效率較低）Step1:得到n時(shí)間步的值Step2:進(jìn)行如下內(nèi)迭代直至收斂Step3:收斂后的V即為內(nèi)迭代收斂慢，效率較低；通常不使用人工壓縮方法解非定常問題。CopyrightbyLiXinliang11對(duì)于定常CopyrightbyLiXinliang3212.2求解壓力Poisson方法（投影法）1）壓力的控制方程對(duì)動(dòng)量方程求散度Poisson方程——壓力的控制方程無(wú)法時(shí)間推進(jìn)需聯(lián)立求解，通常采用時(shí)間分裂法CopyrightbyLiXinliang1212.2CopyrightbyLiXinliang332）

投影法——求解微分型壓力Poisson方程原理：將時(shí)間推進(jìn)分成三個(gè)子步，中間步解出壓力可時(shí)間推進(jìn)不能時(shí)間推進(jìn)Step1:預(yù)算步Step2:壓力修正步求解，得到壓力pStep3:最終步得到n+1時(shí)刻的V以1階精度時(shí)間推進(jìn)方法為例，實(shí)際上可采用更高階精度時(shí)間推進(jìn)方法：KarniadakisGE,IsraeliM,OrszagSA.1991High-ordersplittingmethodsfortheincompressibleNavier-stokesequations.J.Comp.Phys.97:414-443.CopyrightbyLiXinliang132）CopyrightbyLiXinliang343）

投影法——求解離散型壓力Poisson方程壓力修正步：

將離散的動(dòng)量方程帶入離散的連續(xù)性方程，得到離散的壓力方程交錯(cuò)網(wǎng)格上離散將（1）（2）兩式（離散的動(dòng)量方程）帶入（3）式（離散的連續(xù)性方程）可得到關(guān)于壓力p的方程（離散的壓力Poisson方程）；該方法可保證（3）式嚴(yán)格滿足，因而相容性比方法2）更好CopyrightbyLiXinliang143）CopyrightbyLiXinliang3512.3渦量-流函數(shù)方法（二維問題）引入流函數(shù)（4）（5）式即渦量-流函數(shù)的控制方程計(jì)算結(jié)束后，如果需要計(jì)算壓力，則求解如下方程CopyrightbyLiXinliang1512.3CopyrightbyLiXinliang36驅(qū)動(dòng)方腔流動(dòng)例：求解驅(qū)動(dòng)方腔流動(dòng)問題描述：

如圖示邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的方腔，上表面流體以常速度U運(yùn)動(dòng)，求解里面的流場(chǎng)（假設(shè)流動(dòng)定常）。以渦量-流函數(shù)法為例：1）

離散化對(duì)流項(xiàng)：迎風(fēng)差分迎風(fēng)差分，建議采用高階的粘性項(xiàng)：采用中心差分也可采用更高階的，可借助求差分系數(shù)的小程序時(shí)間推進(jìn)：可采用顯格式CopyrightbyLiXinliang16驅(qū)動(dòng)方腔CopyrightbyLiXinliang37采用中心差分離散：可采用Jocabi，Gauss-Seidel等方法迭代提示：時(shí)間推進(jìn)過程中的中間步無(wú)需迭代至收斂，最終（最后一個(gè)時(shí)間步）收斂即可。2）邊界條件速度邊界條件：上壁面u=1,v=0;其他壁面u=v=0;流函數(shù)的邊界條件：邊界是一條流線，流線是流函數(shù)的等值線渦量的邊界條件