第十一章 反常積分

_-第十一章反常積分一一.一第十一章反常積分教學(xué)要點(diǎn)：反常積分收斂和發(fā)散的概念及斂散性判別法。教學(xué)內(nèi)容：§1反常積分的概念（4學(xué)時(shí)）反常積分的引入，兩類反常積分的定義反常積分的計(jì)算。§2無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別（4學(xué)時(shí)）無(wú)窮積分的性質(zhì)，非負(fù)函數(shù)反常積分的比較判別法，Cauchy判別法，反常積分的Dirichlet判別法與Abel判別法?！?瑕積分的性質(zhì)與收斂判別瑕積分的性質(zhì)，絕對(duì)收斂，條件收斂，比較法則。教學(xué)要求：掌握反常積分?jǐn)可⑿缘亩x，奇點(diǎn)，掌握一些重要的反常積分收斂和發(fā)散的例子，理解并掌握絕對(duì)收斂和條件收斂的概念，并能用反常積分的Cauchy收斂原理、非負(fù)函數(shù)反常積分的比較判別法、Cauchy判別法，以及一般函數(shù)反常積分的Abel.Dirichlet判別法判別基本的反常積分。1.反常積分的收斂性及其收斂性的判別法是本章的重點(diǎn).2.兩類反常積分的性質(zhì)及其收斂性判別法有很多相似之處，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生加以類比?！?反常積分概念教學(xué)目標(biāo)：掌握反常積分的定義與計(jì)算方法.教學(xué)內(nèi)容：無(wú)窮積分；瑕積分.教學(xué)建議：講清反常積分是變限積分的極限.教學(xué)過(guò)程：一、問(wèn)題的提出1、為什么要推廣Riemann積分定積分jbf（x）dx有兩個(gè)明顯的缺陷：其一，積分區(qū)間［a,b］必須是有限區(qū)間；其二，若afeR［a,b］，則3M>0，使得對(duì)于任意的x日a,b］，If（x）l<M（即有界是可積的必要條件）。這兩個(gè)缺陷限制了定積分的應(yīng)用，因?yàn)樵谠S多實(shí)際問(wèn)題和理論問(wèn)題中涉及到積分區(qū)間是無(wú)窮區(qū)間或被積函數(shù)出現(xiàn)無(wú)界的情形。例1（第二宇宙速度問(wèn)題）、在地球表面初值發(fā)射火箭，要是火箭克服地球引力，無(wú)限遠(yuǎn)離地球，問(wèn)初速度至少多大?解：設(shè)地球半徑為世，火箭質(zhì)量為陋，地面重力加速度為g，有萬(wàn)有引力定理，在距地心工處火箭受到的引理為于是火箭上升到距地心廣處需要做到功為當(dāng)F*時(shí)，其極限就是火箭無(wú)限遠(yuǎn)離地球需要作的功在由能量守恒定律，可求得處速度％至少應(yīng)使.2(?/s)例2、從盛滿水開(kāi)始打開(kāi)小孔，問(wèn)需多長(zhǎng)時(shí)間才能把桶里水全部放完?解：由物理學(xué)知識(shí)知道，（在不計(jì)摩擦情況下），桶里水位高度為鉤-兀時(shí)，水從小孔里流出的速度為設(shè)在很短一段時(shí)間&內(nèi)，桶里水面降低的高度為白兀，則有下面關(guān)系:

所以流完一桶水所需的時(shí)間應(yīng)為但是，被積函數(shù)在皿加上是無(wú)界函數(shù)所一我們?nèi)?，，相?duì)于以前學(xué)習(xí)的定積分（正常積分），我們把這里的積分叫做反常積分。2、怎么推廣所以流完一桶水所需的時(shí)間應(yīng)為但是，被積函數(shù)在皿加上是無(wú)界函數(shù)所一我們?nèi)。?，相?duì)于以前學(xué)習(xí)的定積分（正常積分），我們把這里的積分叫做反常積分。通過(guò)極限工具，把常規(guī)積分向兩個(gè)方向推廣：1、無(wú)窮區(qū)間；2、無(wú)界函數(shù)。這兩種情形可統(tǒng)一在下面的定義中。二、反常積分的定義1、無(wú)窮限反常積分的定無(wú)窮限反常積分幾何意義j■rdxVdx例1、⑴討論積分十亍，+/，偵+/的斂散性.例2、討論以下積分的斂散性：■HE'1jdx出jCC-S升血例3、討論積分的斂散性.2、瑕積分的定義：以點(diǎn)&為瑕點(diǎn)給出定義.然后就點(diǎn)*為瑕點(diǎn)、點(diǎn)為瑕點(diǎn)以及有多個(gè)瑕點(diǎn)的情況給出說(shuō)明.

:dx例4、判斷積分的斂散性.；diV-dxJ〉例5、討論瑕積分口于的斂散性，并討論積分。*的斂散性.瑕積分與無(wú)窮積分的關(guān)系：設(shè)函數(shù)了3)連續(xù)，也為瑕點(diǎn).有,把瑕積分化成了無(wú)窮積分;偵切==-jg=jg0I、J3「IUl,把瑕積分化成了無(wú)窮積分;設(shè)a>°,有a，把無(wú)窮積分化成了瑕積分作業(yè)：P-269：1,2.§2無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別法教學(xué)目標(biāo)：掌握無(wú)窮積分的性質(zhì)與收斂判別準(zhǔn)則.教學(xué)內(nèi)容：無(wú)窮積分的收斂；條件收斂；絕對(duì)收斂；比較判別法；柯西判別法；狄利克雷判別法；阿貝爾判別法.基本要求：掌握無(wú)窮積分的定義，會(huì)用柯西判別法判別無(wú)窮積分的斂散性.較高要求：掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.教學(xué)建議：本節(jié)的重點(diǎn)是掌握判別無(wú)窮積分收斂的方法，要求學(xué)生主要學(xué)會(huì)用柯西判別法判別無(wú)窮積分的斂散性.本節(jié)的難點(diǎn)是用狄利克雷判別法或阿貝爾判別法判別無(wú)窮積分的斂散性，對(duì)較好學(xué)生布置這方面的習(xí)題.舉例說(shuō)明：當(dāng)M|f3)1dx收斂時(shí)，不一定有l(wèi)imf(x)=0，由此使學(xué)生對(duì)柯西準(zhǔn)則有ax■+8進(jìn)一步的理解.教學(xué)過(guò)程：一、無(wú)窮積分的性質(zhì)：⑴了3)在區(qū)間［孔+00)上可積，止一Const,則函數(shù)止六X)在區(qū)間［孔+00)上可積，

-hj：'+-QZ-、蚓偵二k:j且近.⑵和在區(qū)間言，+3）上可積，n,3）土目（町在區(qū)間-hj：'+-QZ--hr-f（/±g）=j/±Jg上可積，且田△日.⑶無(wú)窮積分收斂的Cauchy準(zhǔn)則：（翻譯F（M）T'HT如）+*!：■\f(^dx=Vf>。，HA,寸&,/>孔nf(x)dx定理積分』收斂定理⑷絕對(duì)收斂與條件收斂：定義概念.絕對(duì)收斂n絕對(duì)收斂n收斂，（證）但反之不確.絕對(duì)型積分與非絕對(duì)型積分。二、無(wú)窮積分收斂判別法非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分判斂法：對(duì)非負(fù)函數(shù)，有『（』）/.非負(fù)函數(shù)無(wú)窮積分?jǐn)可⑿杂浄?⑴比較判斂法：設(shè)在區(qū)間3，+由）上函數(shù)/⑴和自3）非負(fù)且E，又對(duì)任何M川）和g（#在區(qū)間［孔&上可積.貝犢?hH<+氣na-〈+C0?,+qi>a=+00習(xí),上q.二+oa.（證）Vsin(1+廣J2例1、判斷積分的斂散性.lim—=c比較原則的極限形式：設(shè)在區(qū)間［八+皿）上函數(shù)gAQ」"，~fg.則i>0<z<+oa,1/值習(xí)』與共斂散：ii>仁頊，n上J/匹<+00時(shí)，』<+00；

iii>仁二+oa,+-QZ-+-QZ-H=+00時(shí)，H=+s（證）Cauchy判斂法:iii>仁二+oa,+-QZ-+-QZ-H=+00時(shí)，H=+s（證）Cauchy判斂法:4-TDJ件±（以為比較對(duì)象，即取自3）二廿.以下席〉0）對(duì)任何龍〉*,了（時(shí)已垣±J了且盧>1,習(xí)a<+山；±Jf『3)上仃且盧El,n△=+oa設(shè)/"）是在任何有限區(qū)間［孔光］上可積的正值函數(shù).lim無(wú)勺3）=遂nl且.則化?pnx膩坷n!『〈+皿；;化?P^1,0<<-K0s=>!，=+ooi>ii>例2、討論以下無(wú)窮積分的斂散性:4-K-疽如,(o■:>0),i>⑶ii>其他判斂法：Cauchy判斂法的極限形式Abel判斂法:（證）[1]P324E6若^3）在區(qū)間［以+財(cái)）上可積,g單調(diào)有界，則積分Dirichlet判斂法：設(shè)=在區(qū)間〔口，+s）上有界，目3）在［孔+⑶）「■Hi:，上單調(diào)，且當(dāng)時(shí)，g3）TO.則懶分"川苑⑵阪收斂.V'sitix1V'cosx】—axI——a?:.…例3、討論無(wú)窮積分Ib與4仃3>°）的斂散性.［1］P325E7例4、證明下列無(wú)窮積分收斂，且為條件收斂：]3也fCOS7^d?i[^5in7^d?i,,[1]P326E8sina例5、(乘積不可積的例)設(shè)了⑴右，xe[L+如).由例6的結(jié)果，+-C1：-4-Ci：--hi：-r_?_積分收斂.但積分卻發(fā)散.(參閱例6)作業(yè)：P275：1，2，3，4，5.§3瑕積分的性質(zhì)與收斂判別法教學(xué)目標(biāo)：掌握瑕積分的性質(zhì)與收斂判別準(zhǔn)則.教學(xué)內(nèi)容：瑕積分的收斂；條件收斂；絕對(duì)收斂；比較判別法；柯西判別法；狄利克雷判別法;阿貝爾判別法.基本要求：掌握無(wú)窮積分與瑕積分的定義，會(huì)用柯西判別法判別瑕積分的斂散性.較高要求：掌握狄利克雷判別法和阿貝爾判別法.教學(xué)建議：本節(jié)的重點(diǎn)是掌握判別瑕積分收斂的方法，要求學(xué)生主要學(xué)會(huì)用柯西判別法判別瑕積分的斂散性.本節(jié)的難點(diǎn)是用狄利克雷判別法或阿貝爾判別法判別瑕積分的斂散性，對(duì)較好學(xué)生布置這方面的習(xí)題.教學(xué)過(guò)程：一、瑕積分與無(wú)窮積分的比較瑕積分與無(wú)窮積分有平行的理論和結(jié)果.sm—ax例1、證明瑕積分"芝工當(dāng)玲《2時(shí)收斂.-七====J證："L,該積分當(dāng)^<2時(shí)收斂.二、瑕積分判斂法定理（比較原則）［1］P329Th10-23.推論1（Cauchy判別法）［1］P329推論1.推論2（Cauchy判別法的極限形式）［1］P330推論2.例2、判別下列瑕積分的斂散性：⑴口服（注意被積函數(shù)非正）.⑵.［1］P330E12例3、討論非正常積分口I*'的斂散性.三、C—R積分與R積分的差異?3）卵"］,n在［裁］上=。（1）;但,3）在區(qū)間［孔+⑶）上可積，韋，