第4章解線性方程組直接法課件

第4章解線性代數(shù)方程組的直接方法

§0

引言§1向量和矩陣的范數(shù)§2Gauss消去法§3

高斯主元素消去法§4高斯消去法的變形－三角分解法

§5誤差分析§6本章小結(jié)第4章解線性代數(shù)方程組的直接方法

§0引言§1向§0引言§0引言

解線性方程組的兩類方法：直接法:經(jīng)過有限次運算后可求得方程組精確解的方法(不計舍入誤差)迭代法：從解的某個近似值出發(fā)，通過構(gòu)造一個無窮序列去逼近精確解的方法。（一般有限步內(nèi)得不到精確解）解線性方程組的兩類方法：§1向量和矩陣的范數(shù)4.1向量范數(shù)定義：n維向量，對應(yīng)非負實數(shù)

滿足：

（1）非負性，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，

（2）齊次性

（3）三角不等式§1向量和矩陣的范數(shù)4.1向量范數(shù)定義：n維向量常用的向量范數(shù)，（1）向量的1-范數(shù)（2）向量的2-范數(shù)（3）向量的

-范數(shù)常用的向量范數(shù)，（1）向量的1-范數(shù)（2）向量的2-范數(shù)（34.2矩陣范數(shù)與向量范數(shù)類似，定義n階方陣A的范數(shù)。定義：設(shè)A為n階方陣，對應(yīng)的非負實數(shù)滿足：4.2矩陣范數(shù)與向量范數(shù)類似，定義n階方陣A的范數(shù)。常用的矩陣范數(shù)：（1）方陣A的行范數(shù)（無窮范數(shù)）（2）方陣A的列范數(shù)（1-范數(shù)）常用的矩陣范數(shù)：（1）方陣A的行范數(shù)（無窮范數(shù)）（2）方陣A（3）方陣A的譜范數(shù)（2-范數(shù)）（4）算子范數(shù)（3）方陣A的譜范數(shù)（2-范數(shù)）（4）算子范數(shù)§2Gauss消去法轉(zhuǎn)化為等價（同解）的三角形方程組§2Gauss消去法轉(zhuǎn)化為等價（同解）的三角形方程組2.1Gauss消去法計算過程2.1Gauss消去法計算過程從而得到其等價方程組從而得到其等價方程組第4章解線性方程組直接法課件從而得到其等價方程組從而得到其等價方程組如此計算下去，進行n-1步消元過程后得到的等價方程組如此計算下去，進行n-1步消元過程后得到的等價方程組系數(shù)矩陣與常數(shù)項為：系數(shù)矩陣與常數(shù)項為：2.2消去過程算法2.2消去過程算法2.3回代過程算法2.3回代過程算法第4章解線性方程組直接法課件消去第一列的n-1

個系數(shù)要計算n×(n-1)個乘法。2.4Gauss消去法乘法計算量消去第一列的n-1個系數(shù)要計算n×(n-1)個乘法。4.3三角分解法4.3三角分解法20第4章解線性方程組直接法課件21LU分解次序LU分解次序以三角矩陣為例給出的記憶公式以三角矩陣為例給出的記憶公式231.先解三角形方程組Ly=b,即2，再解三角形方程組Ux=y,即1.先解三角形方程組Ly=b,即2，再解三角形方程組Ux=y第4章解線性方程組直接法課件例5例5第4章解線性方程組直接法課件27Doolittle分解法—把矩陣A分解成單位下三角矩陣與上三角矩陣的乘積，即Doolittle分解法—把矩陣A分解成單位下三角矩陣28方程組方程組29其計算公式為其回代過程公式為其計算公式為其回代過程公式為例6用Doolittle分解求解例5的方程組解對增廣矩陣作統(tǒng)一處理，得即例6用Doolittle分解求解例5的方程組即31使用回代公式求得使用回代公式求得平方根法——設(shè)A為n階對稱正定矩陣，則A可分解為其中平方根法——設(shè)A為n階對稱正定矩陣，則A其中用直接分解法，可得到用直接分解法，可得到34第4章解線性方程組直接法課件35例7解例7解36第4章解線性方程組直接法課件改進的平方根法——為了避免開方運算若A>0,則有唯一的分解式其中改進的平方根法——為了避免開方運算其中有矩陣乘法規(guī)則可得有矩陣乘法規(guī)則可得39求得矩陣L、D的元素后，線性方程組就轉(zhuǎn)化為這是兩個三角形方程組，可以用逐步遞推法求得其解，具體計算公式為求得矩陣L、D的元素后，線性方程組就轉(zhuǎn)化為這是兩個三角形方程解實三對角線方程組的追趕法其中空白部分均為零元素，并且|b1|>|c1|>0解實三對角線方程組的追趕法其中空白部分均為零元素，并且|b1方程組的矩陣形式為利用矩陣的直接三角分解法來推導(dǎo)其計算公式，將A分解為兩個三角陣的乘積其中其中方程組的矩陣形式為利用矩陣的直接三角分解法來推導(dǎo)其計算公式，按照矩陣的乘法規(guī)則有：由此可推出計算公式按照矩陣的乘法規(guī)則有：由此可推出計算公式這樣，求解方程組就轉(zhuǎn)化為求解兩個三角形方程組求解公式為這樣，求解方程組就轉(zhuǎn)化為求解兩個三角形方程組求解公式為44例8解例8解第4章解線性方程組直接法課件46§5

誤差分析由于系數(shù)矩陣A或者右端常數(shù)項b的微小變化引起解的很大變化的方程組，稱為病態(tài)方程組，系數(shù)矩陣稱為病態(tài)矩陣。反之，稱為良態(tài)?！?誤差分析由于系數(shù)矩陣A或者右端常數(shù)項b的微小變化引矩陣A準(zhǔn)確，右端常數(shù)項b有誤差，相應(yīng)解的改變量為，原方程變?yōu)椋喝绻鸼準(zhǔn)確，而A有誤差，相應(yīng)解的誤差為，則有矩陣A準(zhǔn)確，右端常數(shù)項b有誤差，相應(yīng)解的改變量因此，能用來刻畫矩陣“病態(tài)”特性，稱作非奇異矩陣A的條件數(shù)，記作cond(A)，即：因此，能用來刻畫矩陣“§6本章小結(jié)高斯消去法主元高斯消去法三角分解法（LU）誤差分析§6本章小結(jié)高斯消去法第4章解線性代數(shù)方程組的直接方法

§0

引言§1向量和矩陣的范數(shù)§2Gauss消去法§3

高斯主元素消去法§4高斯消去法的變形－三角分解法

§5誤差分析§6本章小結(jié)第4章解線性代數(shù)方程組的直接方法

§0引言§1向§0引言§0引言

解線性方程組的兩類方法：直接法:經(jīng)過有限次運算后可求得方程組精確解的方法(不計舍入誤差)迭代法：從解的某個近似值出發(fā)，通過構(gòu)造一個無窮序列去逼近精確解的方法。（一般有限步內(nèi)得不到精確解）解線性方程組的兩類方法：§1向量和矩陣的范數(shù)4.1向量范數(shù)定義：n維向量，對應(yīng)非負實數(shù)

滿足：

（1）非負性，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時，

（2）齊次性

（3）三角不等式§1向量和矩陣的范數(shù)4.1向量范數(shù)定義：n維向量常用的向量范數(shù)，（1）向量的1-范數(shù)（2）向量的2-范數(shù)（3）向量的

-范數(shù)常用的向量范數(shù)，（1）向量的1-范數(shù)（2）向量的2-范數(shù)（34.2矩陣范數(shù)與向量范數(shù)類似，定義n階方陣A的范數(shù)。定義：設(shè)A為n階方陣，對應(yīng)的非負實數(shù)滿足：4.2矩陣范數(shù)與向量范數(shù)類似，定義n階方陣A的范數(shù)。常用的矩陣范數(shù)：（1）方陣A的行范數(shù)（無窮范數(shù)）（2）方陣A的列范數(shù)（1-范數(shù)）常用的矩陣范數(shù)：（1）方陣A的行范數(shù)（無窮范數(shù)）（2）方陣A（3）方陣A的譜范數(shù)（2-范數(shù)）（4）算子范數(shù)（3）方陣A的譜范數(shù)（2-范數(shù)）（4）算子范數(shù)§2Gauss消去法轉(zhuǎn)化為等價（同解）的三角形方程組§2Gauss消去法轉(zhuǎn)化為等價（同解）的三角形方程組2.1Gauss消去法計算過程2.1Gauss消去法計算過程從而得到其等價方程組從而得到其等價方程組第4章解線性方程組直接法課件從而得到其等價方程組從而得到其等價方程組如此計算下去，進行n-1步消元過程后得到的等價方程組如此計算下去，進行n-1步消元過程后得到的等價方程組系數(shù)矩陣與常數(shù)項為：系數(shù)矩陣與常數(shù)項為：2.2消去過程算法2.2消去過程算法2.3回代過程算法2.3回代過程算法第4章解線性方程組直接法課件消去第一列的n-1

個系數(shù)要計算n×(n-1)個乘法。2.4Gauss消去法乘法計算量消去第一列的n-1個系數(shù)要計算n×(n-1)個乘法。4.3三角分解法4.3三角分解法70第4章解線性方程組直接法課件71LU分解次序LU分解次序以三角矩陣為例給出的記憶公式以三角矩陣為例給出的記憶公式731.先解三角形方程組Ly=b,即2，再解三角形方程組Ux=y,即1.先解三角形方程組Ly=b,即2，再解三角形方程組Ux=y第4章解線性方程組直接法課件例5例5第4章解線性方程組直接法課件77Doolittle分解法—把矩陣A分解成單位下三角矩陣與上三角矩陣的乘積，即Doolittle分解法—把矩陣A分解成單位下三角矩陣78方程組方程組79其計算公式為其回代過程公式為其計算公式為其回代過程公式為例6用Doolittle分解求解例5的方程組解對增廣矩陣作統(tǒng)一處理，得即例6用Doolittle分解求解例5的方程組即81使用回代公式求得使用回代公式求得平方根法——設(shè)A為n階對稱正定矩陣，則A可分解為其中平方根法——設(shè)A為n階對稱正定矩陣，則A其中用直接分解法，可得到用直接分解法，可得到84第4章解線性方程組直接法課件85例7解例7解86第4章解線性方程組直接法課件改進的平方根法——為了避免開方運算若A>0,則有唯一的分解式其中改進的平方根法——為了避免開方運算其中有矩陣乘法規(guī)則可得有矩陣乘法規(guī)則可得89求得矩陣L、D的元素后，線性方程組就轉(zhuǎn)化為這是兩個三角形方程組，可以用逐步遞推法求得其解，具體計算公式為求得矩陣L、D的元素后，線性方程組就轉(zhuǎn)化為這是兩個三角形方程解實三對角線方程組的追趕法其中空白部分均為零元素，并且|b1|>|c1|>0解實三對角線方程組的追趕法其中空白部分均為零元素，并且|b1方程組的矩陣形式為利用矩陣的直接三角分解法來推導(dǎo)其計算公式，將A分解為兩個三角陣的乘積其中其中方程組的矩陣形式為利用矩陣的直接三角分解法來推導(dǎo)其計算公式，按照矩陣的乘法規(guī)則有：由此可推出計算公式按照矩陣的乘法規(guī)則有：由此可推出計算公式這樣，求解方程組就轉(zhuǎn)化為求解兩個三角形方程組求解公式為這樣，求解方程組就轉(zhuǎn)化為求解兩個三角形方程組求解公式為94例8解例8解第4章解線性方程組直接法課件96§5

誤差分析由于系數(shù)矩陣A或者右端常數(shù)項b的微小變化引起解的很大變化的方程組，稱為病態(tài)方程組，系數(shù)矩陣稱為病態(tài)矩陣。反之，稱為良態(tài)?！?誤差分析由于系數(shù)矩陣A或者右端常數(shù)項b的微小變化引矩陣A準(zhǔn)確，右端常數(shù)項b有