期望與方差例題選講(含詳解)

概率統(tǒng)計(jì)（理）典型例題選講(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;等可能事件概率的計(jì)算步驟：計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù);設(shè)所求事件A，并計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù);依公式求值;答，即給問題一個(gè)明確的答復(fù).(2)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);特例：對(duì)立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.(3)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);特例：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率：Pn(k)＝.其中P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二項(xiàng)式[(1-P)+P]n展開的第k+1項(xiàng).(4)解決概率問題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運(yùn)算即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.第三步，運(yùn)用公式求解第四步，答，即給提出的問題有一個(gè)明確的答復(fù).典型例題分析1.有10張卡片，其中8張標(biāo)有數(shù)字2，有2張標(biāo)有數(shù)字5.從中隨機(jī)地抽取3張卡片，設(shè)3張卡片上的數(shù)字和為ξ，求Eξ與Dξ.解：這3張卡片上的數(shù)字和ξ這一隨機(jī)變量的可能取值為6，9，12，且“ξ=6”表示取出的3張卡上都標(biāo)有2，則P（ξ=6)=.“ξ=9”表示取出的3張卡片上兩張為2，一張為5，則P(ξ=9)=.

“ξ=12”表示取出的3張卡片上兩張為5，一張為2，則P(ξ=12)=.

則期望Eξ=6×+9×+12×=7.8,

方差Dξ=(6-7.8)2+(9-7.8)2+(12-7.8)2=3.36.2.（2010江西）某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過一扇智能門．首次到達(dá)此門，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)(即等可能)為你打開一個(gè)通道．若是1號(hào)通道，則需要1小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)、3號(hào)通道，則分別需要2小時(shí)、3小時(shí)返回智能門，再次到達(dá)智能門時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過的通道，直至走出迷宮為止。令ξ表示走出迷宮所需的時(shí)間，

(Ⅰ)求ξ的分布列；

(Ⅱ)求ξ的數(shù)學(xué)期望。解：(Ⅰ)ξ的所有可能取值為：1，3，4，6，

，

(Ⅱ)（小時(shí)）．3．（2009高考(陜西理)）某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用表示,椐統(tǒng)計(jì),隨機(jī)變量的概率分布如下:0123p0.10.32aa(Ⅰ)求a的值和的數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率?【答案】(1)由概率分布的性質(zhì)有0.1+0.3+2a+a=1,解答a=0.2的概率分布為0123P0.10.30.40.2(2)設(shè)事件A表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次”事件表示“兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次,另外一個(gè)月被投訴0次”;事件表示“兩個(gè)月內(nèi)每月均被投訴12次”則由事件的獨(dú)立性得故該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率為0.174．（浙江省溫州市2010屆高三八校聯(lián)考（理））甲乙兩隊(duì)參加某知識(shí)競(jìng)賽,每隊(duì)3人,每人回答一個(gè)問題,答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分,答錯(cuò)得零分?假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為,乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為且各人回答正確與否相互之間沒有影響.用ξ表示乙隊(duì)的總得分.(Ⅰ)求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望; (Ⅱ)用A表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件,用B表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件,求?【答案】:(1);數(shù)學(xué)期望(2)用η表示甲隊(duì)的總得分;;∴5．（浙江省臺(tái)州中學(xué)09-10學(xué)年高二上學(xué)期第二次統(tǒng)練（理））在汶川大地震后對(duì)唐家山堰塞湖的搶險(xiǎn)過程中,武警官兵準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從湖壩上游漂流而下的一個(gè)巨大的汽油罐.已知只有5發(fā)子彈,第一次命中只能使汽油流出,第二次命中才能引爆.每次射擊是相互獨(dú)立的,且命中的概率都是.(Ⅰ)求油罐被引爆的概率;(Ⅱ)如果引爆或子彈打光則停止射擊,設(shè)射擊次數(shù)為.求的分布列及數(shù)學(xué)期望E().(用分?jǐn)?shù)表示)【答案】:6．（北京市崇文區(qū)2009屆高三一模文）某學(xué)校進(jìn)行交通安全教育,設(shè)計(jì)了如下游戲,如圖,一輛車模要直行通過十字路口,此時(shí)前方交通燈為紅燈,且該車模前面已有4輛車模依次在同一車道上排隊(duì)等候(該車道只可以直行或左轉(zhuǎn)行駛).已知每輛車模直行的概率是,左轉(zhuǎn)行駛的概率是,該路口紅綠燈轉(zhuǎn)換間隔時(shí)間均為1分鐘.假設(shè)該車道上一輛直行去東向的車模駛出停車線需要10秒鐘,一輛左轉(zhuǎn)去北向的車模駛出停車線需要20秒鐘,求:(Ⅰ)前4輛車模中恰有2輛車左轉(zhuǎn)行駛的概率;(Ⅱ)該車模在第一次綠燈亮起時(shí)的1分鐘內(nèi)通過該路口的概率(汽車駛出停車線就算通過路口).【答案】(Ⅰ)設(shè)前4輛車模中恰有2輛左轉(zhuǎn)行駛為事件A,則(Ⅱ)設(shè)該車在第一次綠燈亮起時(shí)的1分鐘內(nèi)通過該路口為事件B,其中4輛車模均直行通過路口為事件,3輛直行1輛左轉(zhuǎn)為事件,則事件、互斥.7．（2009高考(湖北理)）一個(gè)盒子里裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)2，3，4，5；另一個(gè)盒子也裝有4張大小形狀完全相同的卡片，分別標(biāo)有數(shù)3，4，5，6?，F(xiàn)從一個(gè)盒子中任取一張卡片，其上面的數(shù)記為x；再?gòu)牧硪缓凶永锶稳∫粡埧ㄆ?，其上面的?shù)記為y，記隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望?！敬鸢浮浚阂李}意，可分別取、6、11取，則有.8．(2012課標(biāo)卷2)某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理．(1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率．①若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差；②若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說明理由．解：(1)當(dāng)日需求量n≥16時(shí)，利潤(rùn)y＝80.當(dāng)日需求量n＜16時(shí)，利潤(rùn)y＝10n－80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10n－80，n＜16，,80，n≥16.))(n∈N)．(4分)(2)①X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7，X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76.(6分)X的方差為D(X)＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.(8分)②答案一：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花．理由如下：若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.Y的方差為D(Y)＝(55－76.4)2×0.1＋(65－76.4)2×0.2＋(75－76.4)2×0.16＋(85－76.4)2×0.54＝112.04.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)＜D(Y)，即購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花時(shí)利潤(rùn)波動(dòng)相對(duì)較?。硗?，雖然E(X)＜E(Y)，但兩者相差不大．故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花．(14分)答案二：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花．理由如下：若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為Y55657585P0.10.20.160.54Y的數(shù)學(xué)期望為E(Y)＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.16＋85×0.54＝76.4.由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(X)＜E(Y)，即購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花時(shí)的平均利潤(rùn)大于購(gòu)進(jìn)16枝時(shí)的平均利潤(rùn)．故花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花．9.(2015·衡水調(diào)研卷)某中學(xué)為豐富教工生活，國(guó)慶節(jié)舉辦教工趣味投籃比賽，有A，B兩個(gè)定點(diǎn)投籃位置，在A點(diǎn)投中一球得2分，在B點(diǎn)投中一球得3分．其規(guī)則是：按先A后B再A的順序投籃．教師甲在A和B點(diǎn)投中的概率分別是eq\f(1,2)和eq\f(1,3)，且在A，B兩點(diǎn)投中與否相互獨(dú)立．(1)若教師甲投籃三次，試求他投籃得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若教師乙與甲在A，B點(diǎn)投中的概率相同，兩人按規(guī)則各投三次，求甲勝乙的概率．答案(1)E(X)＝3(2)eq\f(19,48)解析設(shè)“教師甲在A點(diǎn)投中”的事件為A，“教師甲在B點(diǎn)投中”的事件為B.(1)根據(jù)題意知X的可能取值為0,2,3,4,5,7.P(X＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(A))＝(1－eq\f(1,2))2×(1－eq\f(1,3))＝eq\f(1,6)，P(X＝2)＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(A)＋eq\x\to(A)eq\x\to(B)A)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝P(eq\x\to(A)Beq\x\to(A))＝(1－eq\f(1,2))×eq\f(1,3)×(1－eq\f(1,2))＝eq\f(1,12)，P(X＝4)＝P(Aeq\x\to(B)A)＝eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,3))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6)，P(X＝5)＝P(ABeq\x\to(A)＋eq\x\to(A)BA)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,2)×(1－eq\f(1,2))×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，P(X＝7)＝P(ABA)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).E(X)＝0×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,12)＋4×eq\f(1,6)＋5×eq\f(1,6)＋7×eq\f(1,12)＝3.(2)教師甲勝乙包括：甲得2分，3分，4分，5分，7分五種情形，這五種情形之間彼此互斥，因此所求事件的概率為P＝eq\f(1,3)×eq\f(1,6)＋eq\f(1,12)×(eq\f(1,6)＋eq\f(1,3))＋eq\f(1,6)×(eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,12))＋eq\f(1,6)×(eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,6))＋eq\f(1,12)×(1－eq\f(1,12))＝eq\f(57,144)＝eq\f(19,48).10.(2013課標(biāo)卷2)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n。如果n=3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n=4，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)。假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；（2）已知每件產(chǎn)品檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。【解析】設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件E，根據(jù)題意有E=(AB)∪(CD),且AB與CD互斥，∴P(E)=P(AB)+P(CD)=P(A)P(B|A)+P(C)P(D|C)=+=.…6分（Ⅱ）X的可能取值為400,500,800，并且P(X=400)=1-=，P(X=500)=，P(X=800)==，……10分EX=400×+500×+800×=506.25……12分11.（2011天津高考）學(xué)校游園活動(dòng)有這樣一個(gè)游戲項(xiàng)目：甲箱子里裝有3個(gè)白球、2個(gè)黑球，乙箱子里裝有1個(gè)白球、2個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個(gè)箱子里各隨機(jī)摸出2個(gè)球，若摸出的白球不少于2個(gè)，則獲獎(jiǎng)．（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）

（Ⅰ）求在1次游戲中，

（i）摸出3個(gè)白球的概率；

（ii）獲獎(jiǎng)的概率；

（Ⅱ）求在2次游戲中獲獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）．解：（Ⅰ）（i）設(shè)“在一次游戲中摸出i個(gè)白球”為事件Ai（i=，0，1，2，3），

則P（A3）=，

（ii）設(shè)“在一次游戲中獲獎(jiǎng)”為事件B，則B=A2∪A3，

又P（A2）=，且A2、A3互斥，

所以P（B）=P（A2）+P（A3）=；

（Ⅱ）由題意可知X的所有可能取值為0，1，2．

P（X=0）=（1﹣）2=，P（X=1）=C21（1﹣）=，P（X=2）=（）2=，

所以X的分布列是

X的數(shù)學(xué)期望E（X）=0×．12.（2010四川）某種有獎(jiǎng)銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎(jiǎng)勵(lì)一瓶”或“謝謝購(gòu)買”字樣，購(gòu)買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印