機(jī)電控制原理及應(yīng)用課件

第2章受控機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型

本章討論受控機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。受控機(jī)械可以有各種各樣的結(jié)構(gòu)形式。如果抽象為力學(xué)模型，可以分別表示為質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)多剛體系統(tǒng)2023/1/31TianjinUniversityofTechnology第2章受控機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型本章討2.1質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)

位移機(jī)械系統(tǒng)的基本元件是質(zhì)量、阻尼及彈簧。這些元件的符號(hào)如圖2-1所示。

注意，圖2-1只是機(jī)械元件的數(shù)學(xué)模型，它們不一定是具體物理裝置的精確表示。因此，在應(yīng)用這些定義時(shí)，必須是實(shí)際物理系統(tǒng)的合理抽象。

圖2-l機(jī)械直線位移元件(a)

質(zhì)量；(b)阻尼；(c)彈簧2023/1/32TianjinUniversityofTechnology2.1質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)位移彈簧質(zhì)量(2-1)(2-2)

(2-3)

阻尼

方程(2-1)~(2-3)應(yīng)用了圖示箭頭方向的力和位移。如果其中任何一個(gè)方向相反，則方程中的那一項(xiàng)必須變號(hào)。

2023/1/33TianjinUniversityofTechnology彈簧質(zhì)量(2-1)(2-2)(2-3)阻尼方程(

在這些機(jī)械元件中，阻尼耗散能量但不能儲(chǔ)存能量，而質(zhì)量和彈簧能儲(chǔ)存能量但不消耗能量。當(dāng)我們列寫由這些機(jī)械元件通過內(nèi)部連結(jié)而形成系統(tǒng)的方程時(shí)，通常需要應(yīng)用牛頓定律，即作用于物體上的外力之和等于物體的質(zhì)量與它的加速度之乘積。

在建立由質(zhì)點(diǎn)-彈簧-阻尼器組成的質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般利用牛頓第二定律列寫該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程。具體方法是：

第三，注意彈簧力和阻尼力都是起阻止質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的，應(yīng)按照這一物理原理決定這兩個(gè)作用力的符號(hào)。

首先，系統(tǒng)中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)必須列寫一個(gè)微分方程；

其次，每一個(gè)微分方程的左邊為該質(zhì)點(diǎn)的慣性力(即質(zhì)量與加速度的乘積)，右邊等于與該質(zhì)點(diǎn)相連結(jié)的彈簧力和阻尼力以及外作用力之和；2023/1/34TianjinUniversityofTechnology在這些機(jī)械元件中，阻尼耗散能量例2-1考慮單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)通過剛度為K的彈簧和阻尼系數(shù)為b的阻尼器懸掛在機(jī)殼上，如圖2-2所示。試用牛頓定律建立質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

圖2-2單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)

2023/1/35TianjinUniversityofTechnology例2-1考慮單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)通解

系統(tǒng)的微分方程可列寫如下：

將式(2-5)代入(2-4)，移項(xiàng)合并后，可得

或者表示為(2-4)

(2-5)

(2-6)

(2-7)

2023/1/36TianjinUniversityofTechnology解系統(tǒng)的微分方程可列寫如下：

將式(2-5)代入(2-4

拉氏變換后，可得

因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

式(2-9)表明，只有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的單自由度平移系統(tǒng)是一個(gè)二階系統(tǒng)。實(shí)際上，系統(tǒng)中有一個(gè)具有獨(dú)立位移的質(zhì)點(diǎn)應(yīng)列寫一個(gè)二階微分方程，有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)列寫n個(gè)二階微分方程，因此，由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)應(yīng)是2n階系統(tǒng)。(2-8)

(2-9)

2023/1/37TianjinUniversityofTechnology拉氏變換后，可得因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2.2定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)

線性轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)與線性移動(dòng)系統(tǒng)是類似的，列寫線性移動(dòng)方程的方法同樣可適用于線性轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)。線性轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的三個(gè)元件如圖2-3所示。圖2-3機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)元件(a)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(b)阻尼；(c)彈簧2023/1/38TianjinUniversityofTechnology2.2定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)線性轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)與線性移動(dòng)系扭轉(zhuǎn)彈簧

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(2-10)(2-11)

(2-12)

黏性阻尼器

在方程(2-11)和(2-12)中，假設(shè)了轉(zhuǎn)動(dòng)元件具有零轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2023/1/39TianjinUniversityofTechnology扭轉(zhuǎn)彈簧轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2-10)(2-11)(2-12)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)機(jī)械元件的定義方程(2-10)~(2-12)，利用繞旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩之和必須等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度乘積的原理，可以建立機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。具體建模做法與質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)完全類似，只是將平移系統(tǒng)的質(zhì)量m改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，平移系統(tǒng)的線位移x、線速度及線加速度改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的角位移θ、角速度及角加速度以及平移系統(tǒng)的力f改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的力矩M。2023/1/310TianjinUniversityofTechnology根據(jù)旋轉(zhuǎn)機(jī)械元件的定義方程(2-10)~(2-12)例2-3

考慮打印機(jī)中的步進(jìn)電動(dòng)機(jī)—同步齒形帶驅(qū)動(dòng)裝置。采用圖2-4所示模型。圖中，K、B分別表示同步齒形帶的彈性和阻尼，M(t)為步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩，Jm和JL分別表示步進(jìn)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子和負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θi和θo分別表示輸入軸和輸出軸的轉(zhuǎn)角。

圖2-4步進(jìn)電動(dòng)機(jī)—同步齒形帶驅(qū)動(dòng)裝置2023/1/311TianjinUniversityofTechnology例2-3考慮打印機(jī)中的步進(jìn)電動(dòng)機(jī)—同步齒形帶驅(qū)動(dòng)裝置。采解

本系統(tǒng)有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θi和θo，因此，必須列兩個(gè)轉(zhuǎn)矩平衡方程。

(2-13)(2-14)(2-15)(2-16)

根據(jù)方程(2-15)和方程(2-16)，可畫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖2-5(a)所示。

輸入軸輸出軸取拉氏變換，可得2023/1/312TianjinUniversityofTechnology解本系統(tǒng)有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θi和θo，因此，必須列兩個(gè)轉(zhuǎn)矩圖2-5例2-3驅(qū)動(dòng)裝置的傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化

2023/1/313TianjinUniversityofTechnology圖2-5例2-3驅(qū)動(dòng)裝置的傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化202

進(jìn)一步，通過簡化方塊圖2-5(a)為圖2-5(b)，再為圖2-5(c)，或者聯(lián)立求解方程(2-15)和方程(2-16)，可得

這是一個(gè)低通濾波器特性，對(duì)步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的震動(dòng)具有隔離作用。

(2-17)

方程(2-17)表明，采用同步齒形帶傳動(dòng)，系統(tǒng)增加了一個(gè)自由度，附加了傳遞函數(shù)

2023/1/314TianjinUniversityofTechnology進(jìn)一步，通過簡化方塊圖2-5(a)為圖2-5(b)

機(jī)械傳動(dòng)裝置是許多伺服系統(tǒng)不可缺少的一個(gè)重要機(jī)械部件，通常具有各種形式：2.3機(jī)械傳動(dòng)裝置齒輪系齒輪齒條副絲杠螺母副蝸輪蝸桿副諧波齒輪

2023/1/315TianjinUniversityofTechnology機(jī)械傳動(dòng)裝置是許多伺服系統(tǒng)不可缺少的一個(gè)重要2.3.1旋轉(zhuǎn)/直線變換

在運(yùn)動(dòng)控制問題中，經(jīng)常需要將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為平移運(yùn)動(dòng)。例如，通過絲杠螺母副、小齒輪齒條副以及同步齒形帶，由旋轉(zhuǎn)的主動(dòng)軸控制負(fù)載的直線運(yùn)動(dòng)，如圖2-6所示。圖2-6由旋轉(zhuǎn)到直線運(yùn)動(dòng)的控制2023/1/316TianjinUniversityofTechnology2.3.1旋轉(zhuǎn)/直線變換在運(yùn)動(dòng)控制問題中，負(fù)載質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的等價(jià)轉(zhuǎn)換：（b）小齒輪齒條傳動(dòng)（c）同步齒形帶傳動(dòng)(2-18)(2-19)(2-20)（a）絲杠螺母副

2023/1/317TianjinUniversityofTechnology負(fù)載質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的等價(jià)轉(zhuǎn)換：(2-18)(2-19)(2-2．3．2速比折合

討論齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)。參考圖2-7的一對(duì)齒輪的傳動(dòng)系統(tǒng)，主動(dòng)輪1與從動(dòng)輪2的轉(zhuǎn)角分別為θ1和θ2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，黏性阻尼系數(shù)分別為B1和B2，主動(dòng)軸上的驅(qū)動(dòng)力矩為Mi，從動(dòng)軸上的負(fù)載力矩為Mo。

圖2-7齒輪傳動(dòng)及其簡化(a)原傳動(dòng)系統(tǒng)；(b)向主動(dòng)軸簡化；(c)向從動(dòng)軸簡化

2023/1/318TianjinUniversityofTechnology2．3．2速比折合討論齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)。參考圖(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)(2-26)解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-27)傳動(dòng)系統(tǒng)向主動(dòng)軸簡化可得2023/1/319TianjinUniversityofTechnology(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)傳動(dòng)系統(tǒng)向從動(dòng)軸簡化(2-28)

由從動(dòng)軸2向主動(dòng)軸1折合，從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、阻尼系數(shù)都要乘以由軸1到軸2的傳動(dòng)比的二次方，而轉(zhuǎn)矩只乘以傳動(dòng)比的一次方。反之亦然。

根據(jù)以上推算，可得結(jié)論如下：同理，可得2023/1/320TianjinUniversityofTechnology傳動(dòng)系統(tǒng)向從動(dòng)軸簡化(2-28)由從動(dòng)軸2向主動(dòng)軸12．3．3非剛性傳動(dòng)鏈

考慮轉(zhuǎn)軸為非剛性的情況。如圖2-8所示，z2，z3為一對(duì)嚙合齒輪，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J2，J3，飛輪J1，J4分別通過軸1及軸2與齒輪z2，z3

相連，軸1和軸2的扭轉(zhuǎn)剛度分別為K1，K2，輸入轉(zhuǎn)矩為Mi，齒輪z2，z3傳遞的轉(zhuǎn)矩為M2，M3。

圖2-8帶非剛性軸的齒輪傳動(dòng)2023/1/321TianjinUniversityofTechnology2．3．3非剛性傳動(dòng)鏈考慮轉(zhuǎn)軸為非剛性的情況解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-29)(2-30)(2-31)(2-32)(2-33)2023/1/322TianjinUniversityofTechnology解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-29)(2-30)(2-31)可得該傳動(dòng)系統(tǒng)的等效系統(tǒng)，如圖2-9所示。

圖2-9帶非剛性軸的齒輪傳動(dòng)的簡化圖(2-34)(2-35)(2-36)2023/1/323TianjinUniversityofTechnology可得該傳動(dòng)系統(tǒng)的等效系統(tǒng)，如圖2-9所示。圖2-

將上列各式拉氏變換，整理后，可得：

由此可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下：(2-37)(2-38)(2-39)(2-40)2023/1/324TianjinUniversityofTechnology將上列各式拉氏變換，整理后，可得：由此可綜合以上討論結(jié)果，可得結(jié)論如下：

對(duì)于一個(gè)無功率消耗的傳動(dòng)系統(tǒng)，從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J、黏性阻尼系數(shù)B以及彈性系數(shù)K折合到主動(dòng)軸上，都必須乘以由主動(dòng)軸到從動(dòng)軸的傳動(dòng)比的二次方n2，才能得到等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量n2J、等效的黏性阻尼系數(shù)n2B以及等效的彈性系數(shù)n2K。而從動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角θ和作用在從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)矩M折合到主動(dòng)軸上，則必須分別除以和乘以傳動(dòng)比n。這樣，主動(dòng)軸和等效的從動(dòng)軸可以串接起來，作為單軸的機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)處理。2023/1/325TianjinUniversityofTechnology綜合以上討論結(jié)果，可得結(jié)論如下：202．3．4主諧振頻率

在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，往往最感興趣的是關(guān)于傳動(dòng)裝置的主諧振頻率。因此，將齒輪等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別與主動(dòng)軸和從動(dòng)軸的飛輪慣量合并。從而，圖2-9的等效系統(tǒng)可以進(jìn)一步簡化為圖2-10。

圖2-10齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的近似簡化2023/1/326TianjinUniversityofTechnology2．3．4主諧振頻率在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，往往

根據(jù)圖2-10，可列寫出如下方程：經(jīng)拉氏變換后，可得簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(2-41)2023/1/327TianjinUniversityofTechnology根據(jù)圖2-10，可列寫出如下方程：經(jīng)拉氏變換后，可得簡化系

因此，該齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主諧振頻率近似為(2-42)2023/1/328TianjinUniversityofTechnology因此，該齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主諧振頻率近似為(2-

例2-4考慮圖2-11（a）所示的機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)。它由齒輪、軸、絲杠螺母副及直線運(yùn)動(dòng)工作臺(tái)等組成。圖中，Mi——驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)輸入轉(zhuǎn)矩；x0(t)——工作臺(tái)位移；z1，z2，z3，z4——齒輪齒數(shù)；

J1，J2，J3——I軸、II軸、III軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

K1，K2，K3——I軸、II軸、III軸的扭轉(zhuǎn)剛度；

K4——絲杠螺母副及螺母座部分的軸向剛度系數(shù)；m——工作臺(tái)直線運(yùn)動(dòng)部分的質(zhì)量；

B——工作臺(tái)直線運(yùn)動(dòng)速度阻尼系數(shù)；

L——絲杠導(dǎo)程。2023/1/329TianjinUniversityofTechnology例2-4考慮圖2-11（a）所示的機(jī)床進(jìn)給系

解根據(jù)傳動(dòng)比轉(zhuǎn)換關(guān)系，折合到主動(dòng)軸的等效傳動(dòng)系統(tǒng)如圖2-11（b）所示。并且進(jìn)一步將Ⅱ、Ⅱ軸的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量合并到輸出軸，從而得到簡化系統(tǒng)如圖2-11（c）所示。圖2-11機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)及其簡化2023/1/330TianjinUniversityofTechnology解根據(jù)傳動(dòng)比轉(zhuǎn)換關(guān)系，折合到主動(dòng)軸的等效傳動(dòng)系統(tǒng)如圖圖中，簡化系統(tǒng)的微分方程為2023/1/331TianjinUniversityofTechnology圖中，簡化系統(tǒng)的微分方程為2022/12/1231Tianj拉氏變換以后，可得(2-43)

解此方程組，可得機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的簡化傳遞函數(shù)為(2-44)

圖2-12機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖2023/1/332TianjinUniversityofTechnology拉氏變換以后，可得(2-43)解此方程組，可得機(jī)床進(jìn)

通常，在機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中，阻尼都是比較弱的，因此，上式可以進(jìn)一步近似為

由式(2-45)很容易看出，簡化系統(tǒng)的主諧振頻率為(2-45)2023/1/333TianjinUniversityofTechnology通常，在機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中，阻尼都是比較弱的，因2．4定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)

在分析定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)時(shí)，所依據(jù)的動(dòng)力學(xué)定理主要是歐拉動(dòng)力學(xué)方程。在動(dòng)坐標(biāo)系oxyz中，歐拉動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

(2-46)2023/1/334TianjinUniversityofTechnology2．4定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)在分析定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)機(jī)

下面，我們利用動(dòng)量矩定理，集中研究三軸萬向框架系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。圖2-13(a)是三軸萬向環(huán)架幾何結(jié)構(gòu)示意圖。圖2-13三軸萬向框架系統(tǒng)2023/1/335TianjinUniversityofTechnology下面，我們利用動(dòng)量矩定理，集中研究三軸萬向框

(2-47)(2-48)(2-49)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的萬向環(huán)架的動(dòng)力學(xué)模型

這一動(dòng)態(tài)模型也適用于一般的三軸定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)處于大角度運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)模型是三個(gè)互相交鏈的二階非線性微分方程組。只有當(dāng)系統(tǒng)處于初始位置附近時(shí)，A和P角很小，取sinP＝P，sinA＝A以及cosP＝cosA＝1，并假設(shè)Jix≈Jiy，那么，定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程才可以線性化為2023/1/336TianjinUniversityofTechnology(2-47)(2-48)(2-49)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的萬向環(huán)架的動(dòng)(2-50)

這樣，互相耦合的三根軸完全解耦，分別由互相獨(dú)立的三個(gè)二階線性微分方程建模，即，將定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)分解為三個(gè)定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)處理。在初步分析設(shè)計(jì)時(shí)，這樣做可以使問題得到極大的簡化。但是，在計(jì)算各軸上的伺服電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩時(shí)，則必須使用完整的動(dòng)態(tài)模型，以獲得精確的反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。2023/1/337TianjinUniversityofTechnology(2-50)這樣，互相耦合的三根軸完全解2．5多剛體機(jī)械系統(tǒng)

建立多剛體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型一般采用拉格朗日方程

(2-50)

一個(gè)具有質(zhì)量mq的剛體在三維空間的動(dòng)能是一個(gè)標(biāo)量，它可以由下列關(guān)系式確定：(2-51)

其中，三維向量Vq表示剛體質(zhì)心相對(duì)基座的線速度，三維向量Ωq表示剛體相對(duì)基座的旋轉(zhuǎn)角速度。它們都在坐標(biāo)系q中表示。并且，3×3矩陣Jq表示剛體相對(duì)坐標(biāo)系q(當(dāng)坐標(biāo)系原點(diǎn)移到剛體質(zhì)心時(shí))的慣性矩(或慣性張量)。2023/1/338TianjinUniversityofTechnology2．5多剛體機(jī)械系統(tǒng)建立多剛體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型一般2．5．1球坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人

球坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的前三個(gè)連桿的原理結(jié)構(gòu)如圖2-14(a)所示。選擇廣義坐標(biāo)θ2=θ和θ3=h，如圖2-14(b)所示。

圖2-l4球坐標(biāo)結(jié)構(gòu)工業(yè)機(jī)器人2023/1/339TianjinUniversityofTechnology2．5．1球坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人球坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的系統(tǒng)的動(dòng)能

(2-52)(2-53)(2-54)

因?yàn)橄到y(tǒng)的總動(dòng)能和廣義力(矩)fq(q＝2，3)已經(jīng)確定，所以可以直接利用拉格朗日方程(2-50)來建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型。

廣義力(矩)2023/1/340TianjinUniversityofTechnology系統(tǒng)的動(dòng)能(2-52)(2-53)因?yàn)橄到y(tǒng)的總動(dòng)能q＝2

解聯(lián)立方程組得(2-55)2023/1/341TianjinUniversityofTechnologyq＝2解聯(lián)立方程組得(2-55)2022/12/1241Tq＝3

解聯(lián)立方程組得(2-56)2023/1/342TianjinUniversityofTechnologyq＝3解聯(lián)立方程組得(2-56)2022/12/1242T

對(duì)于實(shí)際的工業(yè)機(jī)器人，其工作速度一般都比較低，加速度的影響很小，通?？梢院雎圆挥?jì)。若考慮原點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)，令cosθ≈1和sinθ≈θ，以及h為小量。那么，在略去二階小量后，方程(2-55)和(2-56)可簡為下列線性模型：(2-57)2023/1/343TianjinUniversityofTechnology對(duì)于實(shí)際的工業(yè)機(jī)器人，其工作速度一般都比較低，加速度2．5．2旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人

具有旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的工業(yè)機(jī)器人的原理結(jié)構(gòu)如圖2-15所示。第l連桿為立柱，第2連桿為大臂，第3連桿為小臂。

圖2-15旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)結(jié)構(gòu)工業(yè)機(jī)器人

2023/1/344TianjinUniversityofTechnology2．5．2旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人具有旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的工業(yè)第3連桿的動(dòng)能為(2-58)(2-59)(2-60)第1連桿的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能為

第2連桿的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能為2023/1/345TianjinUniversityofTechnology(2-58)(2-59)(2-60)第1連桿的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能為第對(duì)于式(2-60)，2023/1/346TianjinUniversityofTechnology對(duì)于式(2-60)，2022/12/1246Tianjin(2-61)2023/1/347TianjinUniversityofTechnology(2-61)2022/12/1247TianjinUniv三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的總動(dòng)能

(2-62)2023/1/348TianjinUniversityofTechnology三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的總動(dòng)能(2-62)2022/12

另外，作用于各個(gè)連桿的廣義力在平衡位置附近可近似地表示為(2-63)

將以上結(jié)果代入拉格朗日方程(2-62)，直接可得三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)模型如下：(2-64)

由以上方程組可看出，在平衡位置附近，當(dāng)機(jī)器人的工作速度比較低時(shí)，三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)模型是三個(gè)二階線性微分方程，其中，第1連桿的運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立的。這種簡化的線性模型可以應(yīng)用于初步分析和設(shè)計(jì)。2023/1/349TianjinUniversityofTechnology另外，作用于各個(gè)連桿的廣義力在平衡位置附近2．6微型機(jī)電系統(tǒng)

微型機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)通常采用微梁或膜片支承的試驗(yàn)質(zhì)量作為敏感元件。為了定量分析和設(shè)計(jì)這類MEMS器件，必須建立它們的動(dòng)力學(xué)模型。本節(jié)基于耦合靜電場的兩端點(diǎn)對(duì)模型和微結(jié)構(gòu)的主振動(dòng)模態(tài)，建立靜電場耦合MEMS傳感器動(dòng)態(tài)模型。2023/1/350TianjinUniversityofTechnology2．6微型機(jī)電系統(tǒng)微型機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)

2．6．1耦合靜電場兩端點(diǎn)對(duì)模型

靜電場耦合微機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)方塊圖如圖2-16所示。

圖2-16靜電場耦合微機(jī)電系統(tǒng)

耦合靜電場的兩個(gè)端點(diǎn)變量對(duì)具有兩個(gè)獨(dú)立變量，另外兩個(gè)變量可以通過靜電場表達(dá)式求取。獨(dú)立變量對(duì)有兩種選取方法。2023/1/351TianjinUniversityofTechnology2．6．1耦合靜電場兩端點(diǎn)對(duì)模型靜電選取獨(dú)立變量對(duì)(q，x)

選取獨(dú)立變量對(duì)(u，x)

(2-65)(2-66)(2-67)(2-68)

以上各式表明，當(dāng)靜電場能量已知為獨(dú)立變量的函數(shù)時(shí)，則所有端點(diǎn)的變量都可確定，并且，由此可以計(jì)算所有端點(diǎn)電路與機(jī)械系統(tǒng)的相互關(guān)系。靜電場儲(chǔ)能We'采用獨(dú)立變量(q，x)，需要尋找函數(shù)u(q，x)；而靜電場同等能量采用獨(dú)立變量(u，x)，則需要尋找函數(shù)q(u，x)。工程上經(jīng)常采用后一種方法，因?yàn)橛?jì)算函數(shù)q(u，x)比較方便。2023/1/352TianjinUniversityofTechnology選取獨(dú)立變量對(duì)(q，x)選取獨(dú)立變量對(duì)(u，x)2．6．2系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型

在力(壓力)和／或加速度作用下，試驗(yàn)質(zhì)量產(chǎn)生的微小位移由其與基片電極或定齒之間形成的差動(dòng)電容電橋檢測，并轉(zhuǎn)換為與位移成比例的電信號(hào)輸出。電的輸出信號(hào)經(jīng)過交流前置放大、同步解調(diào)、校正及直流功率放大等處理后，又加給試驗(yàn)質(zhì)量與基片電極或定齒之間形成的另一組加力電容，組成靜電力反饋回路。平衡時(shí)，反饋的靜電力等于作用于試驗(yàn)質(zhì)量的輸入外力(壓力)，或加速度引起的慣性力。這樣，反饋的靜電力就可以作為被測量的度量。2023/1/353TianjinUniversityofTechnology2．6．2系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型在力(壓力)和／或加

設(shè)試驗(yàn)總質(zhì)量為m，彈性梁的剛度為K，等效黏性阻尼系數(shù)為b，慣性力ma或者其他外作用力fd作為被測量，那么，根據(jù)傳感器的基本作用原理，可以畫出MEMS等價(jià)系統(tǒng)原理圖，如圖2-20所示。圖2-20微機(jī)電傳感器系統(tǒng)原理2023/1/354TianjinUniversityofTechnology設(shè)試驗(yàn)總質(zhì)量為m，彈性梁的剛度為K，等效黏性阻尼系數(shù)電場能量和電場力得解下式聯(lián)立的方程組2023/1/355TianjinUniversityofTechnology電場能量和電場力得解下式聯(lián)立的方程組2022/12/1255

那么，靜電場力可簡化為(2-69)2023/1/356TianjinUniversityofTechnology那么，靜電場力可簡化為(2-69)2022/12/125動(dòng)力學(xué)方程

利用式(2-69)，上式可以改寫成(2-69)(2-70)傳遞函數(shù)

令2023/1/357TianjinUniversityofTechnology動(dòng)力學(xué)方程利用式(2-69)，上式可以改寫成(2-將這些符號(hào)代入式(2-70)，經(jīng)過拉氏變換后，可得(2-71)假設(shè)電的控制器傳遞函數(shù)方程為(2-72)

那么，方程式(2-71)和式(2-72)組成了MEMS傳感器的動(dòng)態(tài)模型。若加速度A(s)為輸入，控制電壓ΔU(s)為輸出，F(xiàn)d(s)表示作用于試驗(yàn)質(zhì)量的外力，則系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖2-21所示。2023/1/358TianjinUniversityofTechnology將這些符號(hào)代入式(2-70)，經(jīng)過拉氏變換后，可得(2-71

圖2-21微機(jī)械加速度計(jì)傳遞函數(shù)方塊圖(2-73)(2-74)2023/1/359TianjinUniversityofTechnology圖2-21微機(jī)械加速度計(jì)傳遞函數(shù)

顯然，開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母二次多項(xiàng)式必須各項(xiàng)系數(shù)都大于零，開環(huán)系統(tǒng)才是穩(wěn)定的。換言之，欲使試驗(yàn)質(zhì)量的平衡位置在開環(huán)狀態(tài)下是穩(wěn)定的，不等式ωn2>(Kse+Ke)/m必須成立。也就是說，機(jī)械彈簧的剛度必須大于靜電的負(fù)剛度，即K＞Kse+Ke

。這是在電容檢測/靜電驅(qū)動(dòng)的MEMS傳感器設(shè)計(jì)中必須注意的一個(gè)基本條件。通常，設(shè)計(jì)控制器KcGc(s)，使得開環(huán)傳遞函數(shù)在低頻段的增益足夠大，閉環(huán)傳遞函數(shù)近似為l。結(jié)果，低頻段的輸出電壓可表示為ΔU＝(1／Kt)(mA十Fd)2023/1/360TianjinUniversityofTechnology顯然，開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母二次多項(xiàng)式必須各項(xiàng)系數(shù)謝謝2023/1/361TianjinUniversityofTechnology謝謝2022/12/1261TianjinUniver第2章受控機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型

本章討論受控機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。受控機(jī)械可以有各種各樣的結(jié)構(gòu)形式。如果抽象為力學(xué)模型，可以分別表示為質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)多剛體系統(tǒng)2023/1/362TianjinUniversityofTechnology第2章受控機(jī)械系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型本章討2.1質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)

位移機(jī)械系統(tǒng)的基本元件是質(zhì)量、阻尼及彈簧。這些元件的符號(hào)如圖2-1所示。

注意，圖2-1只是機(jī)械元件的數(shù)學(xué)模型，它們不一定是具體物理裝置的精確表示。因此，在應(yīng)用這些定義時(shí)，必須是實(shí)際物理系統(tǒng)的合理抽象。

圖2-l機(jī)械直線位移元件(a)

質(zhì)量；(b)阻尼；(c)彈簧2023/1/363TianjinUniversityofTechnology2.1質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)位移彈簧質(zhì)量(2-1)(2-2)

(2-3)

阻尼

方程(2-1)~(2-3)應(yīng)用了圖示箭頭方向的力和位移。如果其中任何一個(gè)方向相反，則方程中的那一項(xiàng)必須變號(hào)。

2023/1/364TianjinUniversityofTechnology彈簧質(zhì)量(2-1)(2-2)(2-3)阻尼方程(

在這些機(jī)械元件中，阻尼耗散能量但不能儲(chǔ)存能量，而質(zhì)量和彈簧能儲(chǔ)存能量但不消耗能量。當(dāng)我們列寫由這些機(jī)械元件通過內(nèi)部連結(jié)而形成系統(tǒng)的方程時(shí)，通常需要應(yīng)用牛頓定律，即作用于物體上的外力之和等于物體的質(zhì)量與它的加速度之乘積。

在建立由質(zhì)點(diǎn)-彈簧-阻尼器組成的質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型時(shí)，一般利用牛頓第二定律列寫該系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程。具體方法是：

第三，注意彈簧力和阻尼力都是起阻止質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的，應(yīng)按照這一物理原理決定這兩個(gè)作用力的符號(hào)。

首先，系統(tǒng)中的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)必須列寫一個(gè)微分方程；

其次，每一個(gè)微分方程的左邊為該質(zhì)點(diǎn)的慣性力(即質(zhì)量與加速度的乘積)，右邊等于與該質(zhì)點(diǎn)相連結(jié)的彈簧力和阻尼力以及外作用力之和；2023/1/365TianjinUniversityofTechnology在這些機(jī)械元件中，阻尼耗散能量例2-1考慮單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)通過剛度為K的彈簧和阻尼系數(shù)為b的阻尼器懸掛在機(jī)殼上，如圖2-2所示。試用牛頓定律建立質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。

圖2-2單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)

2023/1/366TianjinUniversityofTechnology例2-1考慮單自由度質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)通解

系統(tǒng)的微分方程可列寫如下：

將式(2-5)代入(2-4)，移項(xiàng)合并后，可得

或者表示為(2-4)

(2-5)

(2-6)

(2-7)

2023/1/367TianjinUniversityofTechnology解系統(tǒng)的微分方程可列寫如下：

將式(2-5)代入(2-4

拉氏變換后，可得

因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

式(2-9)表明，只有一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的單自由度平移系統(tǒng)是一個(gè)二階系統(tǒng)。實(shí)際上，系統(tǒng)中有一個(gè)具有獨(dú)立位移的質(zhì)點(diǎn)應(yīng)列寫一個(gè)二階微分方程，有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)應(yīng)列寫n個(gè)二階微分方程，因此，由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)應(yīng)是2n階系統(tǒng)。(2-8)

(2-9)

2023/1/368TianjinUniversityofTechnology拉氏變換后，可得因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為2.2定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)

線性轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)與線性移動(dòng)系統(tǒng)是類似的，列寫線性移動(dòng)方程的方法同樣可適用于線性轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)。線性轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)的三個(gè)元件如圖2-3所示。圖2-3機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)元件(a)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；(b)阻尼；(c)彈簧2023/1/369TianjinUniversityofTechnology2.2定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)線性轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)與線性移動(dòng)系扭轉(zhuǎn)彈簧

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(2-10)(2-11)

(2-12)

黏性阻尼器

在方程(2-11)和(2-12)中，假設(shè)了轉(zhuǎn)動(dòng)元件具有零轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

2023/1/370TianjinUniversityofTechnology扭轉(zhuǎn)彈簧轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(2-10)(2-11)(2-12)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)機(jī)械元件的定義方程(2-10)~(2-12)，利用繞旋轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)矩之和必須等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度乘積的原理，可以建立機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。具體建模做法與質(zhì)點(diǎn)平移系統(tǒng)完全類似，只是將平移系統(tǒng)的質(zhì)量m改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，平移系統(tǒng)的線位移x、線速度及線加速度改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的角位移θ、角速度及角加速度以及平移系統(tǒng)的力f改為旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)的力矩M。2023/1/371TianjinUniversityofTechnology根據(jù)旋轉(zhuǎn)機(jī)械元件的定義方程(2-10)~(2-12)例2-3

考慮打印機(jī)中的步進(jìn)電動(dòng)機(jī)—同步齒形帶驅(qū)動(dòng)裝置。采用圖2-4所示模型。圖中，K、B分別表示同步齒形帶的彈性和阻尼，M(t)為步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)矩，Jm和JL分別表示步進(jìn)電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子和負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，θi和θo分別表示輸入軸和輸出軸的轉(zhuǎn)角。

圖2-4步進(jìn)電動(dòng)機(jī)—同步齒形帶驅(qū)動(dòng)裝置2023/1/372TianjinUniversityofTechnology例2-3考慮打印機(jī)中的步進(jìn)電動(dòng)機(jī)—同步齒形帶驅(qū)動(dòng)裝置。采解

本系統(tǒng)有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θi和θo，因此，必須列兩個(gè)轉(zhuǎn)矩平衡方程。

(2-13)(2-14)(2-15)(2-16)

根據(jù)方程(2-15)和方程(2-16)，可畫出系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖如圖2-5(a)所示。

輸入軸輸出軸取拉氏變換，可得2023/1/373TianjinUniversityofTechnology解本系統(tǒng)有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度θi和θo，因此，必須列兩個(gè)轉(zhuǎn)矩圖2-5例2-3驅(qū)動(dòng)裝置的傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化

2023/1/374TianjinUniversityofTechnology圖2-5例2-3驅(qū)動(dòng)裝置的傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化202

進(jìn)一步，通過簡化方塊圖2-5(a)為圖2-5(b)，再為圖2-5(c)，或者聯(lián)立求解方程(2-15)和方程(2-16)，可得

這是一個(gè)低通濾波器特性，對(duì)步進(jìn)電動(dòng)機(jī)的震動(dòng)具有隔離作用。

(2-17)

方程(2-17)表明，采用同步齒形帶傳動(dòng)，系統(tǒng)增加了一個(gè)自由度，附加了傳遞函數(shù)

2023/1/375TianjinUniversityofTechnology進(jìn)一步，通過簡化方塊圖2-5(a)為圖2-5(b)

機(jī)械傳動(dòng)裝置是許多伺服系統(tǒng)不可缺少的一個(gè)重要機(jī)械部件，通常具有各種形式：2.3機(jī)械傳動(dòng)裝置齒輪系齒輪齒條副絲杠螺母副蝸輪蝸桿副諧波齒輪

2023/1/376TianjinUniversityofTechnology機(jī)械傳動(dòng)裝置是許多伺服系統(tǒng)不可缺少的一個(gè)重要2.3.1旋轉(zhuǎn)/直線變換

在運(yùn)動(dòng)控制問題中，經(jīng)常需要將旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)換為平移運(yùn)動(dòng)。例如，通過絲杠螺母副、小齒輪齒條副以及同步齒形帶，由旋轉(zhuǎn)的主動(dòng)軸控制負(fù)載的直線運(yùn)動(dòng)，如圖2-6所示。圖2-6由旋轉(zhuǎn)到直線運(yùn)動(dòng)的控制2023/1/377TianjinUniversityofTechnology2.3.1旋轉(zhuǎn)/直線變換在運(yùn)動(dòng)控制問題中，負(fù)載質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的等價(jià)轉(zhuǎn)換：（b）小齒輪齒條傳動(dòng)（c）同步齒形帶傳動(dòng)(2-18)(2-19)(2-20)（a）絲杠螺母副

2023/1/378TianjinUniversityofTechnology負(fù)載質(zhì)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的等價(jià)轉(zhuǎn)換：(2-18)(2-19)(2-2．3．2速比折合

討論齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)。參考圖2-7的一對(duì)齒輪的傳動(dòng)系統(tǒng)，主動(dòng)輪1與從動(dòng)輪2的轉(zhuǎn)角分別為θ1和θ2，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J1和J2，黏性阻尼系數(shù)分別為B1和B2，主動(dòng)軸上的驅(qū)動(dòng)力矩為Mi，從動(dòng)軸上的負(fù)載力矩為Mo。

圖2-7齒輪傳動(dòng)及其簡化(a)原傳動(dòng)系統(tǒng)；(b)向主動(dòng)軸簡化；(c)向從動(dòng)軸簡化

2023/1/379TianjinUniversityofTechnology2．3．2速比折合討論齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)。參考圖(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)(2-26)解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-27)傳動(dòng)系統(tǒng)向主動(dòng)軸簡化可得2023/1/380TianjinUniversityofTechnology(2-21)(2-22)(2-23)(2-24)(2-25)傳動(dòng)系統(tǒng)向從動(dòng)軸簡化(2-28)

由從動(dòng)軸2向主動(dòng)軸1折合，從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、阻尼系數(shù)都要乘以由軸1到軸2的傳動(dòng)比的二次方，而轉(zhuǎn)矩只乘以傳動(dòng)比的一次方。反之亦然。

根據(jù)以上推算，可得結(jié)論如下：同理，可得2023/1/381TianjinUniversityofTechnology傳動(dòng)系統(tǒng)向從動(dòng)軸簡化(2-28)由從動(dòng)軸2向主動(dòng)軸12．3．3非剛性傳動(dòng)鏈

考慮轉(zhuǎn)軸為非剛性的情況。如圖2-8所示，z2，z3為一對(duì)嚙合齒輪，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J2，J3，飛輪J1，J4分別通過軸1及軸2與齒輪z2，z3

相連，軸1和軸2的扭轉(zhuǎn)剛度分別為K1，K2，輸入轉(zhuǎn)矩為Mi，齒輪z2，z3傳遞的轉(zhuǎn)矩為M2，M3。

圖2-8帶非剛性軸的齒輪傳動(dòng)2023/1/382TianjinUniversityofTechnology2．3．3非剛性傳動(dòng)鏈考慮轉(zhuǎn)軸為非剛性的情況解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-29)(2-30)(2-31)(2-32)(2-33)2023/1/383TianjinUniversityofTechnology解下列各式聯(lián)立的方程組：(2-29)(2-30)(2-31)可得該傳動(dòng)系統(tǒng)的等效系統(tǒng)，如圖2-9所示。

圖2-9帶非剛性軸的齒輪傳動(dòng)的簡化圖(2-34)(2-35)(2-36)2023/1/384TianjinUniversityofTechnology可得該傳動(dòng)系統(tǒng)的等效系統(tǒng)，如圖2-9所示。圖2-

將上列各式拉氏變換，整理后，可得：

由此可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下：(2-37)(2-38)(2-39)(2-40)2023/1/385TianjinUniversityofTechnology將上列各式拉氏變換，整理后，可得：由此可綜合以上討論結(jié)果，可得結(jié)論如下：

對(duì)于一個(gè)無功率消耗的傳動(dòng)系統(tǒng)，從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J、黏性阻尼系數(shù)B以及彈性系數(shù)K折合到主動(dòng)軸上，都必須乘以由主動(dòng)軸到從動(dòng)軸的傳動(dòng)比的二次方n2，才能得到等效的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量n2J、等效的黏性阻尼系數(shù)n2B以及等效的彈性系數(shù)n2K。而從動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角θ和作用在從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)矩M折合到主動(dòng)軸上，則必須分別除以和乘以傳動(dòng)比n。這樣，主動(dòng)軸和等效的從動(dòng)軸可以串接起來，作為單軸的機(jī)械轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)處理。2023/1/386TianjinUniversityofTechnology綜合以上討論結(jié)果，可得結(jié)論如下：202．3．4主諧振頻率

在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，往往最感興趣的是關(guān)于傳動(dòng)裝置的主諧振頻率。因此，將齒輪等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別與主動(dòng)軸和從動(dòng)軸的飛輪慣量合并。從而，圖2-9的等效系統(tǒng)可以進(jìn)一步簡化為圖2-10。

圖2-10齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的近似簡化2023/1/387TianjinUniversityofTechnology2．3．4主諧振頻率在控制系統(tǒng)應(yīng)用中，往往

根據(jù)圖2-10，可列寫出如下方程：經(jīng)拉氏變換后，可得簡化系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：(2-41)2023/1/388TianjinUniversityofTechnology根據(jù)圖2-10，可列寫出如下方程：經(jīng)拉氏變換后，可得簡化系

因此，該齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主諧振頻率近似為(2-42)2023/1/389TianjinUniversityofTechnology因此，該齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的主諧振頻率近似為(2-

例2-4考慮圖2-11（a）所示的機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)。它由齒輪、軸、絲杠螺母副及直線運(yùn)動(dòng)工作臺(tái)等組成。圖中，Mi——驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)輸入轉(zhuǎn)矩；x0(t)——工作臺(tái)位移；z1，z2，z3，z4——齒輪齒數(shù)；

J1，J2，J3——I軸、II軸、III軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

K1，K2，K3——I軸、II軸、III軸的扭轉(zhuǎn)剛度；

K4——絲杠螺母副及螺母座部分的軸向剛度系數(shù)；m——工作臺(tái)直線運(yùn)動(dòng)部分的質(zhì)量；

B——工作臺(tái)直線運(yùn)動(dòng)速度阻尼系數(shù)；

L——絲杠導(dǎo)程。2023/1/390TianjinUniversityofTechnology例2-4考慮圖2-11（a）所示的機(jī)床進(jìn)給系

解根據(jù)傳動(dòng)比轉(zhuǎn)換關(guān)系，折合到主動(dòng)軸的等效傳動(dòng)系統(tǒng)如圖2-11（b）所示。并且進(jìn)一步將Ⅱ、Ⅱ軸的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量合并到輸出軸，從而得到簡化系統(tǒng)如圖2-11（c）所示。圖2-11機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)及其簡化2023/1/391TianjinUniversityofTechnology解根據(jù)傳動(dòng)比轉(zhuǎn)換關(guān)系，折合到主動(dòng)軸的等效傳動(dòng)系統(tǒng)如圖圖中，簡化系統(tǒng)的微分方程為2023/1/392TianjinUniversityofTechnology圖中，簡化系統(tǒng)的微分方程為2022/12/1231Tianj拉氏變換以后，可得(2-43)

解此方程組，可得機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的簡化傳遞函數(shù)為(2-44)

圖2-12機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖2023/1/393TianjinUniversityofTechnology拉氏變換以后，可得(2-43)解此方程組，可得機(jī)床進(jìn)

通常，在機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中，阻尼都是比較弱的，因此，上式可以進(jìn)一步近似為

由式(2-45)很容易看出，簡化系統(tǒng)的主諧振頻率為(2-45)2023/1/394TianjinUniversityofTechnology通常，在機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)中，阻尼都是比較弱的，因2．4定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)

在分析定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)時(shí)，所依據(jù)的動(dòng)力學(xué)定理主要是歐拉動(dòng)力學(xué)方程。在動(dòng)坐標(biāo)系oxyz中，歐拉動(dòng)力學(xué)方程可以表示為

(2-46)2023/1/395TianjinUniversityofTechnology2．4定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)在分析定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)機(jī)

下面，我們利用動(dòng)量矩定理，集中研究三軸萬向框架系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。圖2-13(a)是三軸萬向環(huán)架幾何結(jié)構(gòu)示意圖。圖2-13三軸萬向框架系統(tǒng)2023/1/396TianjinUniversityofTechnology下面，我們利用動(dòng)量矩定理，集中研究三軸萬向框

(2-47)(2-48)(2-49)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的萬向環(huán)架的動(dòng)力學(xué)模型

這一動(dòng)態(tài)模型也適用于一般的三軸定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)處于大角度運(yùn)行狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)模型是三個(gè)互相交鏈的二階非線性微分方程組。只有當(dāng)系統(tǒng)處于初始位置附近時(shí)，A和P角很小，取sinP＝P，sinA＝A以及cosP＝cosA＝1，并假設(shè)Jix≈Jiy，那么，定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程才可以線性化為2023/1/397TianjinUniversityofTechnology(2-47)(2-48)(2-49)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的萬向環(huán)架的動(dòng)(2-50)

這樣，互相耦合的三根軸完全解耦，分別由互相獨(dú)立的三個(gè)二階線性微分方程建模，即，將定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)分解為三個(gè)定軸旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)處理。在初步分析設(shè)計(jì)時(shí)，這樣做可以使問題得到極大的簡化。但是，在計(jì)算各軸上的伺服電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)矩時(shí)，則必須使用完整的動(dòng)態(tài)模型，以獲得精確的反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。2023/1/398TianjinUniversityofTechnology(2-50)這樣，互相耦合的三根軸完全解2．5多剛體機(jī)械系統(tǒng)

建立多剛體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型一般采用拉格朗日方程

(2-50)

一個(gè)具有質(zhì)量mq的剛體在三維空間的動(dòng)能是一個(gè)標(biāo)量，它可以由下列關(guān)系式確定：(2-51)

其中，三維向量Vq表示剛體質(zhì)心相對(duì)基座的線速度，三維向量Ωq表示剛體相對(duì)基座的旋轉(zhuǎn)角速度。它們都在坐標(biāo)系q中表示。并且，3×3矩陣Jq表示剛體相對(duì)坐標(biāo)系q(當(dāng)坐標(biāo)系原點(diǎn)移到剛體質(zhì)心時(shí))的慣性矩(或慣性張量)。2023/1/399TianjinUniversityofTechnology2．5多剛體機(jī)械系統(tǒng)建立多剛體系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型一般2．5．1球坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人

球坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的前三個(gè)連桿的原理結(jié)構(gòu)如圖2-14(a)所示。選擇廣義坐標(biāo)θ2=θ和θ3=h，如圖2-14(b)所示。

圖2-l4球坐標(biāo)結(jié)構(gòu)工業(yè)機(jī)器人2023/1/3100TianjinUniversityofTechnology2．5．1球坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人球坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的系統(tǒng)的動(dòng)能

(2-52)(2-53)(2-54)

因?yàn)橄到y(tǒng)的總動(dòng)能和廣義力(矩)fq(q＝2，3)已經(jīng)確定，所以可以直接利用拉格朗日方程(2-50)來建立系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型。

廣義力(矩)2023/1/3101TianjinUniversityofTechnology系統(tǒng)的動(dòng)能(2-52)(2-53)因?yàn)橄到y(tǒng)的總動(dòng)能q＝2

解聯(lián)立方程組得(2-55)2023/1/3102TianjinUniversityofTechnologyq＝2解聯(lián)立方程組得(2-55)2022/12/1241Tq＝3

解聯(lián)立方程組得(2-56)2023/1/3103TianjinUniversityofTechnologyq＝3解聯(lián)立方程組得(2-56)2022/12/1242T

對(duì)于實(shí)際的工業(yè)機(jī)器人，其工作速度一般都比較低，加速度的影響很小，通?？梢院雎圆挥?jì)。若考慮原點(diǎn)附近的運(yùn)動(dòng)，令cosθ≈1和sinθ≈θ，以及h為小量。那么，在略去二階小量后，方程(2-55)和(2-56)可簡為下列線性模型：(2-57)2023/1/3104TianjinUniversityofTechnology對(duì)于實(shí)際的工業(yè)機(jī)器人，其工作速度一般都比較低，加速度2．5．2旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人

具有旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的工業(yè)機(jī)器人的原理結(jié)構(gòu)如圖2-15所示。第l連桿為立柱，第2連桿為大臂，第3連桿為小臂。

圖2-15旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)結(jié)構(gòu)工業(yè)機(jī)器人

2023/1/3105TianjinUniversityofTechnology2．5．2旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人具有旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)的工業(yè)第3連桿的動(dòng)能為(2-58)(2-59)(2-60)第1連桿的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能為

第2連桿的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能為2023/1/3106TianjinUniversityofTechnology(2-58)(2-59)(2-60)第1連桿的旋轉(zhuǎn)動(dòng)能為第對(duì)于式(2-60)，2023/1/3107TianjinUniversityofTechnology對(duì)于式(2-60)，2022/12/1246Tianjin(2-61)2023/1/3108TianjinUniversityofTechnology(2-61)2022/12/1247TianjinUniv三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的總動(dòng)能

(2-62)2023/1/3109TianjinUniversityofTechnology三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的總動(dòng)能(2-62)2022/12

另外，作用于各個(gè)連桿的廣義力在平衡位置附近可近似地表示為(2-63)

將以上結(jié)果代入拉格朗日方程(2-62)，直接可得三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)模型如下：(2-64)

由以上方程組可看出，在平衡位置附近，當(dāng)機(jī)器人的工作速度比較低時(shí)，三連桿旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)工業(yè)機(jī)器人的動(dòng)態(tài)模型是三個(gè)二階線性微分方程，其中，第1連桿的運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立的。這種簡化的線性模型可以應(yīng)用于初步分析和設(shè)計(jì)。2023/1/3110TianjinUniversityofTechnology另外，作用于各個(gè)連桿的廣義力在平衡位置附近2．6微型機(jī)電系統(tǒng)

微型機(jī)電系統(tǒng)(MEMS)通常采用微梁或膜片支承的試驗(yàn)