高三數(shù)學一輪復習第三章導數(shù)及其應用第三節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值最值課件文

文數(shù)課標版第三節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值與最值文數(shù)第三節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)的極值與導數(shù)(1)函數(shù)的極小值若函數(shù)y=f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值①都小

,f'(a)=0,而且在點x=a附近的左側(cè)②

f'(x)<0

,右側(cè)③

f‘(x)>0

,則點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.教材研讀1.函數(shù)的極值與導數(shù)教材研讀(2)函數(shù)的極大值若函數(shù)y=f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值④都大

,f'(b)=0,而且在點x=b附近的左側(cè)⑤

f'(x)>0

,右側(cè)⑥

f'(x)<0

,則點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值,⑦極大值

和⑧極小值

統(tǒng)稱為極值.2.函數(shù)的最值與導數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a,b]上有最值的條件:一般地,如果在區(qū)間[a,b]上,函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那

么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟:(i)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的⑨極值

;(ii)將函數(shù)y=f(x)的各極值與⑩端點處

的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,其中

最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.(2)函數(shù)的極大值

判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.

(√)(2)對可導函數(shù)f(x),f'(x0)=0是x0點為極值點的充要條件.(×)(3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.

(×)

(4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.

(√)

?(1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.?(√)1.函數(shù)f(x)的定義域為R,導函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)

(

)

A.無極大值點、有四個極小值點B.有三個極大值點、一個極小值點C.有兩個極大值點、兩個極小值點D.有四個極大值點、無極小值點1.函數(shù)f(x)的定義域為R,導函數(shù)f'(x)的圖象如答案

C設(shè)f'(x)的圖象與x軸的4個交點的橫坐標從左至右依次為x1、

x2、x3、x4.當x<x1時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),當x1<x<x2時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù),則x=x1為極大值點,同理,x=x3為極大

值點,x=x2,x=x4為極小值點,故選C.答案

C設(shè)f'(x)的圖象與x軸的4個交點的橫坐標2.函數(shù)y=xex的最小值是

()A.-1

B.-eC.-

D.不存在答案

C∵y=xex,∴y'=ex+xex=(1+x)ex.當x>-1時,y'>0;當x<-1時,y'<0.∴當

x=-1時函數(shù)取得最小值,且ymin=-

.故選C.2.函數(shù)y=xex的最小值是?()3.函數(shù)f(x)=x-alnx(a>0)的極小值為

.答案

a-alna解析∵f(x)=x-alnx(a>0),∴f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=1-

(a>0),由f'(x)=0,解得x=a.當x∈(0,a)時,f'(x)<0;當x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,∴函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-alna.3.函數(shù)f(x)=x-alnx(a>0)的極小值為

考點一運用導數(shù)研究函數(shù)的極值典例1

(2016廣西桂林、崇左聯(lián)考)設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=

x2-(a+1)x+alnx.(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(3,f(3))處切線的斜率;(2)求函數(shù)f(x)的極值.解析(1)f(x)的定義域為(0,+∞).當a=2時,f'(x)=x-3+

,∴曲線y=f(x)在點(3,f(3))處切線的斜率為f'(3)=

.(2)f'(x)=x-(a+1)+

=

=

.由f'(x)=0得x=1或x=a.①若0<a<1,當x∈(0,a)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;考點突破考點一運用導數(shù)研究函數(shù)的極值考點突破當x∈(a,1)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.∴當x=a時,f(x)取極大值f(a)=-

a2-a+alna,當x=1時,f(x)取極小值f(1)=-a-

.②若a>1,當x∈(0,1)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當x∈(1,a)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.∴當x=1時,f(x)取極大值f(1)=-a-

;當x=a時,f(x)取極小值f(a)=-

a2-a+alna.③若a=1,當x>0時,f'(x)≥0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,沒有極值點.當x∈(a,1)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減綜上,當0<a<1時,f(x)的極大值為-

a2-a+alna,極小值為-a-

;當a>1時,f(x)的極大值為-a-

,極小值為-

a2-a+alna;當a=1時,f(x)沒有極值.方法技巧運用導數(shù)求可導函數(shù)y=f(x)極值的步驟:①先求函數(shù)的定義域,再求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x);②求方程f'(x)=0的根;③檢查f'(x)在方程根的左右的值的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個

根處取得極大值,如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值,如果左

右符號相同,則此根處不是極值點.綜上,當0<a<1時,f(x)的極大值為-?a2-a+al1-1若函數(shù)f(x)=x3-2cx2+x有極值點,則實數(shù)c的取值范圍為

()A.

B.

C.

∪

D.

∪

答案

D若函數(shù)f(x)=x3-2cx2+x有極值點,則f'(x)=3x2-4cx+1=0有兩個不

相等的實根,故Δ=(-4c)2-12>0,從而c>

或c<-

.1-1若函數(shù)f(x)=x3-2cx2+x有極值點,則實數(shù)c1-2

(2016黑龍江哈三中期末)已知x=2是函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的極小值點,

那么函數(shù)f(x)的極大值為

()A.15

B.16

C.17

D.18答案

D

x=2是函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的極小值點,即x=2是f'(x)=3x2-3a=0

的根,將x=2代入得a=4,所以函數(shù)解析式為f(x)=x3-12x+2,則由3x2-12=0,得

x=±2,故函數(shù)在(-2,2)上是減函數(shù),在(-∞,-2),(2,+∞)上是增函數(shù),由此可

知當x=-2時函數(shù)f(x)取得極大值f(-2)=18.1-2

(2016黑龍江哈三中期末)已知x=2是函數(shù)f考點二運用導數(shù)研究函數(shù)的最值典例2

(2016甘肅蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.解析(1)f'(x)=(x-k+1)ex.令f'(x)=0,得x=k-1.f(x)與f'(x)的變化情況如下表:x(-∞,k-1)k-1(k-1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘-ek-1↗考點二運用導數(shù)研究函數(shù)的最值x(-∞,k-1)k-1(k-所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+∞).(2)當k-1≤0,即k≤1時,函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k;當0<k-1<1,即1<k<2時,由(1)知f(x)在[0,k-1)上單調(diào)遞減,在(k-1,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,

1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;當k-1≥1,即k≥2時,函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)方法技巧求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟:(1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值.(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b).(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的

一個為最小值.方法技巧2-1函數(shù)f(x)=lnx-x在區(qū)間(0,e]上的最大值為

()A.1-eB.-1

C.-eD.0答案

B因為f'(x)=

-1=

,當x∈(0,1)時,f'(x)>0;當x∈(1,e]時,f'(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,e],所以當x=1時,

f(x)取得最大值ln1-1=-1.2-1函數(shù)f(x)=lnx-x在區(qū)間(0,e]上的最大值2-2

(2015課標全國Ⅱ,21,12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時,求a的取值范圍.解析(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=

-a.若a≤0,則f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.若a>0,則當x∈

時,f'(x)>0;當x∈

時,f'(x)<0,所以f(x)在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減.2-2

(2015課標全國Ⅱ,21,12分)已知函數(shù)f(2)由(1)知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上無最大值;當a>0時,f(x)在x=

處取得最大值,最大值為f

=ln

+a

=-lna+a-1.因此f

>2a-2等價于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(1)=0,于是,當0<a<1時,g(a)<0;當a>1時,g(a)>0.因此,a的取值范圍是(0,1).(2)由(1)知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上無最考點三函數(shù)的極值與最值的綜合問題典例3已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點x=1處的切線為l:3x-y

+1=0,當x=

時,y=f(x)有極值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.由曲線y=f(x)在點x=1處的切線l的斜率為3,可得3×1+2a+b=3,①當x=

時,y=f(x)有極值,則f'

=0,即3×

+2a×

+b=0,②考點三函數(shù)的極值與最值的綜合問題由①②,解得a=2,b=-4.由于切點的橫坐標為1,所以f(1)=4.所以1+a+b+c=4,得c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,

f'(x)=3x2+4x-4.令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=

.f'(x),f(x)的取值及變化情況如下表:x-3(-3,-2)-2

1f'(x)

+0-0+

f(x)8↗13↘

↗4所以y=f(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為

.由①②,解得a=2,b=-4.(2)由(1)可得f(x)=x方法技巧1.當連續(xù)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的極值點只有一個時,相應的極值點必為函數(shù)

的最值點;2.極值有可能是最值,但最值只要不在區(qū)間端點處取得,其必定是極值.方法技巧2.極值有可能是最值,但最值只要不在區(qū)間端點處取得,3-1已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在點x=2處取得極值c-16.(1)求a,b的值;(2)若f(x)有極大值28,求f(x)在[-3,3]上的最小值.解析(1)f(x)=ax3+bx+c,故f'(x)=3ax2+b,由于f(x)在點x=2處取得極值c-16,故有

即

化簡得

解得a=1,b=-12.3-1已知函數(shù)f(x)=ax3+bx+c在點x=2處取得極f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).令f'(x)=0,得x1=-2,x2=2.當x∈(-∞,-2)時,f'(x)>0,故f(x)在(-∞,-2)上為增函數(shù);當x∈(-2,2)時,f'(x)<0,故f(x)在(-2,2)上為減函數(shù);當x∈(2,+∞)時,f'(x)>0,故f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù).由此可知f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=16+c,f(x)在x=2處取得極小值f(2)=c-16.由題設(shè)條件知16+c=28,得c=12.(2)由(1)知f(x)=x3-12x+c,此時f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+c=3,f(2)=-16+c=-4,因此f(x)在[-3,3]上的最小值為f(2)=-4.f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2).(2)由編后語老師上課都有一定的思路，抓住老師的思路就能取得良好的學習效果。在上一小節(jié)中已經(jīng)提及聽課中要跟隨老師的思路，這里再進一步論述聽課時如何抓住老師的思路。①根據(jù)課堂提問抓住老師的思路。老師在講課過程中往往會提出一些問題，有的要求回答，有的則是自問自答。一般來說，老師在課堂上提出的問題都是學習中的關(guān)鍵，若能抓住老師提出的問題深入思考，就可以抓住老師的思路。②根據(jù)自己預習時理解過的邏輯結(jié)構(gòu)抓住老師的思路。老師講課在多數(shù)情況下是根據(jù)教材本身的知識結(jié)構(gòu)展開的，若把自己預習時所理解過的知識邏輯結(jié)構(gòu)與老師的講解過程進行比較，便可以抓住老師的思路。③根據(jù)老師的提示抓住老師的思路。老師在教學中經(jīng)常有一些提示用語，如“請注意”、“我再重復一遍”、“這個問題的關(guān)鍵是····”等等，這些用語往往體現(xiàn)了老師的思路。來自：學習方法網(wǎng)④緊跟老師的推導過程抓住老師的思路。老師在課堂上講解某一結(jié)論時，一般有一個推導過程，如數(shù)學問題的來龍去脈、物理概念的抽象歸納、語文課的分析等。感悟和理解推導過程是一個投入思維、感悟方法的過程，這有助于理解記憶結(jié)論，也有助于提高分析問題和運用知識的能力。⑤擱置問題抓住老師的思路。碰到自己還沒有完全理解老師所講內(nèi)容的時候，最好是做個記號，姑且先把這個問題放在一邊，繼續(xù)聽老師講后面的內(nèi)容，以免顧此失彼。來自：學習方法網(wǎng)⑥利用筆記抓住老師的思路。記筆記不僅有利于理解和記憶，而且有利于抓住老師的思路。2023/1/1最新中小學教學課件25編后語老師上課都有一定的思路，抓住老師的思路就能取得良好的學2023/1/1最新中小學教學課件26謝謝欣賞！2022/12/29最新中小學教學課件26謝謝欣賞！文數(shù)課標版第三節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值與最值文數(shù)第三節(jié)導數(shù)與函數(shù)的極值與最值1.函數(shù)的極值與導數(shù)(1)函數(shù)的極小值若函數(shù)y=f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值①都小

,f'(a)=0,而且在點x=a附近的左側(cè)②

f'(x)<0

,右側(cè)③

f‘(x)>0

,則點a叫做函數(shù)y=f(x)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)y=f(x)的極小值.教材研讀1.函數(shù)的極值與導數(shù)教材研讀(2)函數(shù)的極大值若函數(shù)y=f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值④都大

,f'(b)=0,而且在點x=b附近的左側(cè)⑤

f'(x)>0

,右側(cè)⑥

f'(x)<0

,則點b叫做函數(shù)y=f(x)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)y=f(x)的極大值,⑦極大值

和⑧極小值

統(tǒng)稱為極值.2.函數(shù)的最值與導數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a,b]上有最值的條件:一般地,如果在區(qū)間[a,b]上,函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那

么它必有最大值和最小值.(2)求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟:(i)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的⑨極值

;(ii)將函數(shù)y=f(x)的各極值與⑩端點處

的函數(shù)值f(a)、f(b)比較,其中

最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.(2)函數(shù)的極大值

判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.

(√)(2)對可導函數(shù)f(x),f'(x0)=0是x0點為極值點的充要條件.(×)(3)函數(shù)的極大值一定是函數(shù)的最大值.

(×)

(4)開區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無最值.

(√)

?(1)函數(shù)的極大值不一定比極小值大.?(√)1.函數(shù)f(x)的定義域為R,導函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示,則函數(shù)f(x)

(

)

A.無極大值點、有四個極小值點B.有三個極大值點、一個極小值點C.有兩個極大值點、兩個極小值點D.有四個極大值點、無極小值點1.函數(shù)f(x)的定義域為R,導函數(shù)f'(x)的圖象如答案

C設(shè)f'(x)的圖象與x軸的4個交點的橫坐標從左至右依次為x1、

x2、x3、x4.當x<x1時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù),當x1<x<x2時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù),則x=x1為極大值點,同理,x=x3為極大

值點,x=x2,x=x4為極小值點,故選C.答案

C設(shè)f'(x)的圖象與x軸的4個交點的橫坐標2.函數(shù)y=xex的最小值是

()A.-1

B.-eC.-

D.不存在答案

C∵y=xex,∴y'=ex+xex=(1+x)ex.當x>-1時,y'>0;當x<-1時,y'<0.∴當

x=-1時函數(shù)取得最小值,且ymin=-

.故選C.2.函數(shù)y=xex的最小值是?()3.函數(shù)f(x)=x-alnx(a>0)的極小值為

.答案

a-alna解析∵f(x)=x-alnx(a>0),∴f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=1-

(a>0),由f'(x)=0,解得x=a.當x∈(0,a)時,f'(x)<0;當x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,∴函數(shù)f(x)在x=a處取得極小值,且極小值為f(a)=a-alna.3.函數(shù)f(x)=x-alnx(a>0)的極小值為

考點一運用導數(shù)研究函數(shù)的極值典例1

(2016廣西桂林、崇左聯(lián)考)設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=

x2-(a+1)x+alnx.(1)當a=2時,求曲線y=f(x)在點(3,f(3))處切線的斜率;(2)求函數(shù)f(x)的極值.解析(1)f(x)的定義域為(0,+∞).當a=2時,f'(x)=x-3+

,∴曲線y=f(x)在點(3,f(3))處切線的斜率為f'(3)=

.(2)f'(x)=x-(a+1)+

=

=

.由f'(x)=0得x=1或x=a.①若0<a<1,當x∈(0,a)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;考點突破考點一運用導數(shù)研究函數(shù)的極值考點突破當x∈(a,1)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x∈(1,+∞)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.∴當x=a時,f(x)取極大值f(a)=-

a2-a+alna,當x=1時,f(x)取極小值f(1)=-a-

.②若a>1,當x∈(0,1)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;當x∈(1,a)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;當x∈(a,+∞)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.∴當x=1時,f(x)取極大值f(1)=-a-

;當x=a時,f(x)取極小值f(a)=-

a2-a+alna.③若a=1,當x>0時,f'(x)≥0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增,沒有極值點.當x∈(a,1)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減綜上,當0<a<1時,f(x)的極大值為-

a2-a+alna,極小值為-a-

;當a>1時,f(x)的極大值為-a-

,極小值為-

a2-a+alna;當a=1時,f(x)沒有極值.方法技巧運用導數(shù)求可導函數(shù)y=f(x)極值的步驟:①先求函數(shù)的定義域,再求函數(shù)y=f(x)的導數(shù)f'(x);②求方程f'(x)=0的根;③檢查f'(x)在方程根的左右的值的符號,如果左正右負,那么f(x)在這個

根處取得極大值,如果左負右正,那么f(x)在這個根處取得極小值,如果左

右符號相同,則此根處不是極值點.綜上,當0<a<1時,f(x)的極大值為-?a2-a+al1-1若函數(shù)f(x)=x3-2cx2+x有極值點,則實數(shù)c的取值范圍為

()A.

B.

C.

∪

D.

∪

答案

D若函數(shù)f(x)=x3-2cx2+x有極值點,則f'(x)=3x2-4cx+1=0有兩個不

相等的實根,故Δ=(-4c)2-12>0,從而c>

或c<-

.1-1若函數(shù)f(x)=x3-2cx2+x有極值點,則實數(shù)c1-2

(2016黑龍江哈三中期末)已知x=2是函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的極小值點,

那么函數(shù)f(x)的極大值為

()A.15

B.16

C.17

D.18答案

D

x=2是函數(shù)f(x)=x3-3ax+2的極小值點,即x=2是f'(x)=3x2-3a=0

的根,將x=2代入得a=4,所以函數(shù)解析式為f(x)=x3-12x+2,則由3x2-12=0,得

x=±2,故函數(shù)在(-2,2)上是減函數(shù),在(-∞,-2),(2,+∞)上是增函數(shù),由此可

知當x=-2時函數(shù)f(x)取得極大值f(-2)=18.1-2

(2016黑龍江哈三中期末)已知x=2是函數(shù)f考點二運用導數(shù)研究函數(shù)的最值典例2

(2016甘肅蘭州模擬)已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.解析(1)f'(x)=(x-k+1)ex.令f'(x)=0,得x=k-1.f(x)與f'(x)的變化情況如下表:x(-∞,k-1)k-1(k-1,+∞)f'(x)-0+f(x)↘-ek-1↗考點二運用導數(shù)研究函數(shù)的最值x(-∞,k-1)k-1(k-所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)間是(k-1,+∞).(2)當k-1≤0,即k≤1時,函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)=-k;當0<k-1<1,即1<k<2時,由(1)知f(x)在[0,k-1)上單調(diào)遞減,在(k-1,1]上單調(diào)遞增,所以f(x)在區(qū)間[0,

1]上的最小值為f(k-1)=-ek-1;當k-1≥1,即k≥2時,函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)=(1-k)e.所以,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞,k-1);單調(diào)遞增區(qū)方法技巧求函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步驟:(1)求函數(shù)在(a,b)內(nèi)的極值.(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a),f(b).(3)將函數(shù)f(x)的極值與f(a),f(b)比較,其中最大的一個為最大值,最小的

一個為最小值.方法技巧2-1函數(shù)f(x)=lnx-x在區(qū)間(0,e]上的最大值為

()A.1-eB.-1

C.-eD.0答案

B因為f'(x)=

-1=

,當x∈(0,1)時,f'(x)>0;當x∈(1,e]時,f'(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,e],所以當x=1時,

f(x)取得最大值ln1-1=-1.2-1函數(shù)f(x)=lnx-x在區(qū)間(0,e]上的最大值2-2

(2015課標全國Ⅱ,21,12分)已知函數(shù)f(x)=lnx+a(1-x).(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)當f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時,求a的取值范圍.解析(1)f(x)的定義域為(0,+∞),f'(x)=

-a.若a≤0,則f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.若a>0,則當x∈

時,f'(x)>0;當x∈

時,f'(x)<0,所以f(x)在

上單調(diào)遞增,在

上單調(diào)遞減.2-2

(2015課標全國Ⅱ,21,12分)已知函數(shù)f(2)由(1)知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上無最大值;當a>0時,f(x)在x=

處取得最大值,最大值為f

=ln

+a

=-lna+a-1.因此f

>2a-2等價于lna+a-1<0.令g(a)=lna+a-1,則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(1)=0,于是,當0<a<1時,g(a)<0;當a>1時,g(a)>0.因此,a的取值范圍是(0,1).(2)由(1)知,當a≤0時,f(x)在(0,+∞)上無最考點三函數(shù)的極值與最值的綜合問題典例3已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點x=1處的切線為l:3x-y

+1=0,當x=

時,y=f(x)有極值.(1)求a,b,c的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.解析(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f'(x)=3x2+2ax+b.由曲線y=f(x)在點x=1處的切線l的斜率為3,可得3×1+2a+b=3,①當x=

時,y=f(x)有極值,則f'

=0,即3×

+2a×

+b=0,②考點三函數(shù)的極值與最值的綜合問題由①②,解得a=2,b=-4.由于切點的橫坐標為1,所以f(1)=4.所以1+a+b+c=4,得c=5.(2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,

f'(x)=3x2+4x-4.令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=

.f'(x),f(x)的取值及變化情況如下表:x-3(-3,-2)-2

1f'(x)

+0-0+

f(x)8↗13↘

↗4所以y=f(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為

.由①②,解得a=2,b=-4.(2)由(1)可得f(x)=x方法技巧1