文科第三章導(dǎo)數(shù)2節(jié)應(yīng)用

第三章導(dǎo)2節(jié)導(dǎo)數(shù)的題型37利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值與最1（2013文10）.已知函數(shù)f(x)x(lnxax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 (,

B．0,1

D．(0,2 2分析fx0x1x2x1x2fxx軸有兩個(gè)交點(diǎn)，從而得a的取值范圍.解 fxlnx12ax，依題意lnx12ax0有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根x1,x2x1x2gxlnx12axgxlnx12ax有兩個(gè)零點(diǎn)，顯然當(dāng)a0必有a0gx12agx0x1gx在

2a

上單調(diào)遞減，所以gxx

1 f1ln10,11，所以0a1. 2．(201312）fx的定義域?yàn)镽x0x00是fx的極大值點(diǎn)，以下 A．xR,fx

fx0

x0

fx的極小x0

fx的極小值 D．x0

fx的極小值0分析fxx33xfx3x1x1x10fx的極大值點(diǎn)，但顯然fx0不是最大值，故0解析fxx33x,fx3x1x1x1fx0又fxx33xfx3x1x1，易知

1為fx 因?yàn)閒xfx的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得x0應(yīng)為函數(shù)fx的極小值點(diǎn).D正確. 20）設(shè)函數(shù)fxcx1a2x2，其中a>0，區(qū)間IxfxI的長(zhǎng)度（注：區(qū)間，解17題

1x0x4.（201321）f(x

(1x),ax?

a為常數(shù)且a0,1 1當(dāng)a2ff3 x0ffx0x0fx0x0，x0f(xf(xx1x212 對(duì)于（2）中xx，設(shè)AxffxBx,ffxCa212 △ABC的面積為Sa，求Sa在區(qū)間1,1上的最大值和最小值 32（1）（2）根據(jù)自變量的取值和二階周期點(diǎn)（3）解析（1）當(dāng)a1f12ff1f22122 3

3

3

3

1x,0≤x≤a2 ax,a2x≤（2）ffx112 2xa,ax2

a1 1x,a2a1≤xa1當(dāng)0xa21xx2x0f00x0fxa2xa

1a1

axxx

aa2a

a2,af

1 a2a1

aa2a

a2a

a2ax

a2a

fx的二階周期點(diǎn)當(dāng)axa2a1時(shí)，由 xax解得x1a,a2a1.1

2f1

11

1 2a 1a 2a 2 x

不是fx的二階周期a2a1x≤1

1xxx

a2a

a2a1,1因?yàn)閒

1

a2a11a a2a1 a2a a2a x

a2a

fx的二階周期點(diǎn)因此，函數(shù)fx有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn)x1

a2a

,

a2a

，B a2a1a2a1 a2a1a2a1 Sa1

a212

，Sa1

aa32a22a，2，2

a

a2a因?yàn)閍11a2a所以Sa12

aa32a22aa2a1aa1a121a2 0（gaa32a22a2 a2aga3a24a3a210a210，因?yàn)閍0,1ga ga在區(qū)間11g1502832 28 故對(duì)于任意a11gaa32a22a20 32Sa12

aa32a22aa2a

0 Sa在區(qū)間1,1上單調(diào)遞 32Sa在區(qū)間11S1

1，最大值為S113323（2013

2 2f(x)lnxaxg(x)exax，其中a為實(shí)數(shù)f(x在(1,g(x在(1,上有最小值，求a的取值范g(x)在(1,f(x的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論分析（1）fx0在1上恒成立gx0在1有解求得a的取值范圍（2）gx0在1,上恒成立得出a的取值范圍，然后對(duì)a進(jìn)行討論，研究fx的零點(diǎn).解析（1）fx1a1ax<0fx的定義域?yàn)? a>0x>a1fx在a1上是單調(diào)減函數(shù).fx在0a1上是單調(diào)增函數(shù).由于fx在1上是單調(diào)減增函數(shù)，故1a1，從而a1≤1，a≥1.gxexa0xlnax<lnagx<0x>lnagx>0.gx在1上有最小值.所以lna>1a>e.綜上可知ae,（2）當(dāng)a0時(shí)gx必為單調(diào)增函數(shù)a>0gxexa>0，解得a<exx>lna.gx在1上是單調(diào)增函數(shù)，類似（1）有l(wèi)na≤1，即0a≤e1.結(jié)合上述兩種情況，得a≤e1①當(dāng)a0f10fx1>0fxx②當(dāng)a<0feaaaeaa1ea<0,f1a>0fxea,1上的圖象連續(xù)，所以fx在ea,1上存在零點(diǎn)x>0fx1a>0fx在0fxx③當(dāng)0<a≤e1fx1a0xa1.當(dāng)0x

x<a1fx>0x>a1fx<0xa1fxfa1lna當(dāng)lnaa0ae1fxxe.當(dāng)lna1>0，即0<a<e1fx有兩個(gè)零點(diǎn).實(shí)際上，對(duì)于0<a<e1fe11ae10.fa1>0，且函數(shù)fxe1a1上的圖象連續(xù)fx在e1a1上存在零點(diǎn)x另外，當(dāng)x0a1時(shí)fx1a>0，故fx在0a1上是單調(diào)增函數(shù)，所xfx在0a1上只有一個(gè)零點(diǎn).下面考慮fx在a1上的情況.先f(wàn)ea1aa2ea1<0.為此，我們要證明x>e時(shí)ex

x2hxexx2，則hxex2x，再設(shè)lxhxex2x，則lxex2.x>1lxex2>e2>0，所以lxhx在1上是單調(diào)增函數(shù).x>2hxex2x>h2ex4>0，從而hx在2上是單調(diào)增函x>ehxexx2>heeee2>0x>eex當(dāng)0a<e1，即a1>efea1a1aea1aa2ea1<0

x2fa1>0，且函數(shù)fx在a1,ea1上的圖象連續(xù)，所以fx在a1,ea1上存在又當(dāng)x>a1時(shí)，fx1a<0，故fx在a1上是單調(diào)減函數(shù)x所以fx在a1上只有一個(gè)零點(diǎn).綜合①②③可知，當(dāng)a0或ae1時(shí)，fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)0<a<e1時(shí)，fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.(201321）已知aRfx2x33a1x26ax若a1y

fx在點(diǎn)2，f2處的切線方程a1，求fx在閉區(qū)間0，|2a|上的最小值分析fxfxfx的單調(diào)性，再確定極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值.由于所給區(qū)間中含有絕對(duì)值，因此要分討論解析（1）當(dāng)a1fx6x212x6f26.f24，所以切線方程為y46x2，即6xy80.fx6x26a1x

6x1xa.fx0x1

a a>1x01aa,2af00fx0a23aa23a,a>比較f00faa23a的大小可得a23a,a>a<1x01f0fx0極小值3a28a3ga3a

3a1,a<fx在閉區(qū)間02aga0,1<a a23a,a>7.（201519（1）fxax3x2aRx4處取得極值3確定afx3ax22xfxx4f40 3 ，解得a1．經(jīng)檢驗(yàn)，x4是fx的極大值點(diǎn)21（2）

(x

(a0r0.a400fr在0,內(nèi)的極值分析由（1）可知fx在0內(nèi)的極大值為fr0內(nèi)無(wú)極小值

a100fx解析因?yàn)閞0，由（1）可知fx在0內(nèi)的極大值為fr

a100fx在0內(nèi)無(wú)極小值.fx在0內(nèi)極大值為100，無(wú)極小值 19（1）2解析fx的定義域?yàn)?fxxkx2k,k0 k令fx0，得x kx0,k時(shí)fx0，函數(shù)fx在0,k上單調(diào)遞減x

k時(shí)fx0，函數(shù)fx在

k上單調(diào)遞增k當(dāng)x 時(shí)，函數(shù)fx取得極小值fk

kkk

kklnkk kn21（1）的第nnN*個(gè)極值點(diǎn).證明：數(shù)列fxn是等比數(shù)列；n

f'xaexcosxaexsinx

2aexcosxπ 4 f'x0x…0xπmππxmπ3πmN* 而對(duì)于cosxπ，當(dāng)kZ時(shí) 4 2kππxπ2kππ，即2kπ3πx2kππ，則cosxπ0

4 2kππxπ2kπ3π2kππx2kπ5π，則cosxπ0

4 因此，在區(qū)間m1πmπ3π與mπ3πmππ上，f'x的符號(hào)總相反 4

4 xmπ3πmN*fxxnπ3πnN*4nπ

3π

2nπ2此時(shí)fxn

4cosnπ

4

4fxn022f 2

n1π2 2

eπ是常數(shù)，fxn

nπ 2故數(shù)列f

是首項(xiàng)為fx1

2ae4，公比為eπ的等比數(shù)列2211.（2015221(2)）fx=lnx+a1x.fx有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍.由(1)知當(dāng)a

f1lnaa1f12a2，故lnaa10galnaa1aa aa ga在0，+0a1時(shí)，ga0；當(dāng)a1時(shí)，ga0.因此解析由(1)知，當(dāng)a

0fx在0，上無(wú)最大值；當(dāng)a0fxx1af1ln1a11lnaa1a a a af12a2等價(jià)于lnaa1a galnaa1，則ga在0，+上單調(diào)遞增，又g10于是，當(dāng)0a1ga0a1ga0評(píng)注高對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查，主要體現(xiàn)用導(dǎo)數(shù)的工具性來(lái)解決函數(shù)性質(zhì)問題，函數(shù)的x2x12.（2015山東文20(3)）設(shè)函數(shù)f(x)(xa)lnx，g(x) .已知曲線y

f(xg(x（q}示pq中的較小值，求m(x的最大值.解析由（2）知fxgx在12內(nèi)存在唯一x0，且x0,x0時(shí)x1lnx,x0,x0fx?gx，xx0,時(shí)，fxgx，所以mx ex,xx0,ex0x0時(shí)，若x0,1mx?0x1x，由mxlnx110，可知0mx?mx.mx?mx xx時(shí)，由mxx2x，可得xx2時(shí)mx…0mx單調(diào) 增x2時(shí)mx0mx單調(diào)遞減；故mx

m2

e24mx0m2，所以函數(shù)mx的最大值為e24已知a是函數(shù)f(x)x312x的極小值點(diǎn)，則a（

D.13.D解析

f(x)3x2123(x2)(x2).

fx0得，x2x易知f(x在22上單調(diào)遞減，在2，+f(xf(2)a2.14.（201620）fxxlnxax22a1xaRgxf'x，求gx的單調(diào)區(qū)間fxx1處取得極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析（1）fxlnx2ax2a，可得gxlnx2ax2ax0，gx12a12ax， a?0時(shí)x0時(shí)gx0，函數(shù)gx單調(diào)遞增a0x0,1gx0gxx1 2a gx0，函數(shù)gx單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)gx單調(diào)遞增區(qū)間為0；a0gx單調(diào)遞增區(qū)間為0,1，單調(diào)遞減區(qū)間為1 2a （2）由（1）知f10①當(dāng)a0

fx單調(diào)遞增所以當(dāng)x0,1時(shí)f'x0fx單調(diào)遞減.x1時(shí)fx0fx單調(diào)遞增fxx1處取得極小值，不合題意②當(dāng)0a1時(shí)

1，由（1）fx在0,1 可得當(dāng)x0,1時(shí)fx0x1,1時(shí)fx0 2a 所以fx在0,1內(nèi)單調(diào)遞減，在1,1內(nèi)單調(diào)遞增fxx1處取得 2a ③當(dāng)a1時(shí)，即

1時(shí)f'x在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在1內(nèi)單調(diào)遞 所以當(dāng)x0時(shí)fx?0，fx單調(diào)遞減，不合題意④當(dāng)a1時(shí)，即0

1x1,1fx0fx

x1時(shí)fx0fx單調(diào)遞減，所以fxx1處取得極大值，合題意.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a1215.（2016文20）設(shè)函數(shù)f(x)x3axb，xR，其中a，bRf(xf(xx0f(x1f(x0x1x0x12x00．設(shè)a0g(x|f(x|g(x在區(qū)間[1，11．4解析（1）f(x)x3axbf(x)3x2a①當(dāng)a

0f(x)3x2a…0f(x在R上單調(diào)遞增②當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，解得x 3a或x xf(x)f(x的變化情況如表所示x, 3a 3 3a 3a 3 3a, f00f↗↘↗所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為

3a

3a，單調(diào)遞增區(qū)間為

3a， 3 3 3a, f(x存在極值點(diǎn)，所以由（1）知a0x00由題意得f(x3x2a0，即x2a，所以f(xx3axb2a

b f(2x8x3

b8ax

b2axbf(x，且2xx

由題意及（1）x1f(x1f(x0x1x0x12x0x1+2x0=0g(x)在區(qū)間[1,1上的最大值為M，max{x,y}x，y兩數(shù)的最大值①當(dāng)a…3時(shí)

3a剟1 3a,由1

f(x在區(qū)間1,1上單調(diào)遞減 所以f

在區(qū)間

上的取值范圍為f(1),f

，因此Mmaxf1

f1max1ab,1ab

maxa1b,a1ba1b,ba1b,a1b,bMa1b3

a323a剟1

3a

3a

2， （1）（2）知f(1)…f23af 3a，f(1)?f23af 3a 3 3 3a

3a所以f(x)在區(qū)間[1,1]上的取值范圍為f 3,f 3 3a所以

f3amax b, b 3

3

b

1 34 34 0a3123a

3a

3a23a 由（1）和（2）f(1

f23af

3a

f23af

3a， 3 3 所以f(x在區(qū)間1,1上的取值范圍為f1,f1，因M=maxf1,f1max1ab,1abmax1ab,1ab1ab14綜上所述，當(dāng)a0時(shí)g(x)在區(qū)間1,1上的最大值不小于14 20）已知fxexcosxxy

fx在點(diǎn)0,f0處的切線方求函數(shù)fx在區(qū)間0,π上的最大值和最小值 2

fxexcosxexsinx1,xR（1）f(00f(0)1y（2）fx2exsinx

f(x在點(diǎn)(0,f(0y因?yàn)閤0,，fx2exsinx?0恒成立，所以fx在0,上單調(diào)遞減 2 2f(00fx?f0

，所以f

0

f f01，f

f

2

22 17.（201720）fx1x31ax2aR22 當(dāng)a2y

fx在點(diǎn)3,f3處的切線方程設(shè)函數(shù)gxfxxacosxsinx，討論gx的單調(diào)性并判斷有無(wú)極值，（1）fxx2ax（1）當(dāng)a2f(30fxx22xf33y

fx在點(diǎn)3,f3y3x3，即3xy90（2）因?yàn)間xfxxacosxsinx，所gxfxcosxxasinxcosxxxaxasinxxaxsinxhxxsinx，則hx1cosx…0，所以hxR上單調(diào)遞增因?yàn)閔00，所以當(dāng)x0時(shí)hx0；當(dāng)x0時(shí)hx0①當(dāng)a0時(shí)gxxaxsinx，xa時(shí)xa0gx0gx單調(diào)遞增；xa,0xa0gx0gx單調(diào)遞減；x0xa0gx0gx單調(diào)遞增.所以，當(dāng)xa時(shí)gx取到極大值，極大值是ga1a3sina6x0時(shí)gx取到極小值，極小值是g0a②當(dāng)a0時(shí)gxxxsinxx()時(shí)gx…0gx單調(diào)遞增所以gx在上單調(diào)遞gx無(wú)極大值也無(wú)極小值③當(dāng)a0時(shí)gxxaxsinx.x,0xa0gx0gx單調(diào)遞增；x0axa0gx0gx單調(diào)遞減；xaxa0gx0gx單調(diào)遞增.x0gxg0a；xa時(shí)gx取到極小值，極小值是ga1a3sina6綜上所a0函數(shù)gx在a和0上單調(diào)遞a,0上單調(diào)遞ga1a3sinag0a6a0時(shí)，函數(shù)gx在上單調(diào)遞增，無(wú)極值a0時(shí)，函數(shù)gx在,0和a上單調(diào)遞增，在0a上單調(diào)遞減，函數(shù)既g0aga1a3sina18.（201720）已知函數(shù)fxx

2x1ex 1fx的導(dǎo)函數(shù)fx在區(qū)間1上的取值范圍

218.解析（1）因 x

2x2x11 ，exe2x

1x

2ex 12x 2x所以fx e2x 2x

2x1ex

x （2）由fx

2x12x 2x2x 2x

0x1x52

2x變化時(shí)fxfx的變化情況如下表所示x121 11,5 2525, f00fx1e2↘0↗1e2↘2x121又fx 1e…0，e22x121

e2fx在區(qū)間1 1 11

圍是 e2 19.（201720）fxx3ax2bx1a0bRfx的極值點(diǎn)是fx的零點(diǎn)（極值點(diǎn)是指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值求b關(guān)于ab23a若fx，fx這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于7，求a的取值范圍219.解析（1）fxx3ax2bx1fx3x22axba當(dāng)x 時(shí)，a3

ax有極小值為b a3因?yàn)閒x的極值點(diǎn)是fx的零點(diǎn) a

f3279

10，又a0，故b 2a212b?0fx3x22axb…0fx單調(diào)遞增，所以此時(shí)fx不存在極值，不合題意．

3 1 a3因此4a212b0，即a a 0，所以a3aa2aaa2a a2f(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根x1 x(x1,x2(x2,f+0–0+ff(xx1x2a3. 所以b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式為b ，定義域?yàn)?,9

3

（2）解法一：由（1）知，即證明

a

3a

a23a3a 因?yàn)閍0，所以問題等價(jià)于4a6135a37290不妨設(shè)ta3，則t27gt4t2135t729易知gt在135上單調(diào)遞增，且13527 gtg274272135277290，即4a6135a37290因此b23a：

=2aa baabaa

2t2gt=9

gt=

t2

當(dāng)t36gt0gt在36 a33ba因?yàn)閍3，所以 ，故gaag33 ， >3a33ba因此b23a由（1）fx3x22axb0xx

xxx2

且有

x2x2

4a2．9 xx 1 而fx的情況如下表所x,x1x1,x2x2,fx00fx所以fx的極值點(diǎn)是x1x2fxfxx3ax2bx1x3ax2

x13x2

bx23x2

b1ax2x22bx

2a 3ax1x2 2

20

3 afxfx所有極值之和為ha

ax的極值為b a

1

3，所以ha

1

，a33 3處理方法一：因?yàn)閔a2a

0，于是ha在3上單調(diào)遞7因?yàn)閔6= ，由ha…h(huán)6，故a?672處理方法二：所以ha1a23…7，整理得2a363a54?0（ 零點(diǎn)a62a212a9?0，因此a?6．因此a的取值范圍為36．1：fxaxx2lnxfx5ln2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析

xa2xx

2x2ax x0 xgx2x2ax1，當(dāng)a28?0gx?0恒成立，所以fx單調(diào)遞減，故不存在極值；所以a280gx2x2ax10xx（

xxx10xx

1 gx2x2ax10在0xx a28因此x

2a 0，從而a 2a xx11 fxfxfxaxx2lnxaxx2lnx ax

x

22x

lnx

a2

1 5ln2 1 1因此a216，解得4a4，又a

1 12，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是2242fxx3ax2bx1fx3x22axbfx6x2afx6x2a0xa3a,fa 3

a

a

a

a 因此有fx1fx22f323a3b31

3

3 a 3 227

3b

227

3

a10

2（15-1620）fxx24xalnaRa0fx為函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)若a1y

fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間x1x2x1x2fx1

fx20fx24解析（1）若a1fxx24xlnxfx2x41xf11f(13所以y

fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為xy20（2）

x2x4

2x24x

，x0 ①當(dāng)a…2時(shí)，fx…0恒成立fx的單調(diào)增區(qū)間為04②當(dāng)0a2時(shí)，令fx0，得0x42

或x2 444所以fx的單調(diào)增區(qū)間為0,4

2 44

, 44fx

,2 4 4 4③當(dāng)a0時(shí)，令fx0，得x4244所以fx的單調(diào)增區(qū)間為

．

fx的單調(diào)減區(qū)間為 40,24 （3）xx是方程2x24xa00a2 4則x2 1,2，a4x4

x2

aln

x2

2x2lnx gxx24x4x2x2lnxx gx41xlnx0gx在12上單調(diào)遞減，gxg24fx24．yOx題型38yOx

fx的導(dǎo)函數(shù)yfx的圖像如圖y

fx的圖像可能是 解析yOxyOxyOxyOxyOxyOx

題型39恒成立與存在性問21（1）時(shí)，2（2）若不等式ax

2x2cosx4x0，1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值2圍1.利用構(gòu)造法，分別判斷sinx

2xsinxx2解析（1）證明：記Fxsinx

2x，則Fxcosx 2 x0,π時(shí)Fx0Fx在0,π上是增函數(shù) 4

4 xπ,1時(shí)Fx0Fx在π,1上是減函數(shù)

F00F10，所以當(dāng)x0,1時(shí)Fx0，即sinx

2x2HxH00,即sinxx．綜上，2xsinxxx2

x32x2cosx4a2x

x34x2sin2 2 2≤a2xx2 4x2 xa2x 所以，當(dāng)a2時(shí)，不等式ax

2x2cosx4x0,1恒成立2下面證明，當(dāng)a2時(shí)，不等式ax

2x2cosx4x0,1不恒成立2x0,1ax

x22x2cosx4a2x

x34x2sin2 x ≥a2xx2 4x2 a2xx2 2 ≥a2x3x23xx2a2 x0,1例如xa2和1中的較小值 滿足ax0x0 2x02cosx0402即當(dāng)a1時(shí)，不等式ax

2x2cosx40x0,1不恒成立2綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是,fxax

x 2x24x2fxa2x 2cosx2x2sinx2記Gxfx，則Gx23x4sinx2x2cosxx0,1cosx1，因此G'x23x42xx2222x0 于是fx在0,1上是減函數(shù)，因此，當(dāng)x0,1時(shí)，fxf0a2，故a2時(shí)fx0，從而fx在0,1上是減函數(shù)fxf00，即a2時(shí)，不等式ax

2x2cos4x0,1恒成立2下面證明，當(dāng)a2時(shí)，不等式ax

2x2cosx4x0,1不恒成立2a6sin12cos17f10x0,1fx02因此fx在0,1上是增函數(shù)f1f00當(dāng)2a6sina2cos17fx02f00x00,1fx00，則當(dāng)0xx0fxfx00，所以fx在0x0上是增函數(shù)，所以當(dāng)x0x0時(shí)fxf00所以當(dāng)a2時(shí)，不等式ax

2x2cosx4x0,1不恒成立2綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是,22.（201422）（12分f(xexax（a為常數(shù)）yAyA處的切線斜率為a的值及函數(shù)f(x)x0x2

f(x在0求證：對(duì)任意給定的正數(shù)c，總存在x，使得當(dāng)xx0時(shí)，恒有x03.（2014文21）(本小題滿分14分已知函數(shù)fx1x3x2ax1aR3求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間當(dāng)a0時(shí)，試討論是否存在x0,1 1,1，使得fxf1 2 2 4.（201423）（10分

xsinxx0，設(shè)fnxfn1x的導(dǎo)數(shù)nN*x（1）求2

12 222 （2）求證：對(duì)任意的nN*，等式

2n14

4n4 5.（201421）（12分已知函數(shù)f(x)(xcosx2sinx2

2x1.（1）

0，使f(x0 2 （2）xg(x0，且對(duì)（1）x

x

fxx22ax3a0xR3fx的單調(diào)區(qū)間和極值x12x21fx1fx21，求a的取7.（2014浙江文21）函數(shù)fxx33xaa0，若fx在1,1上的最小值記ga（1）求ga（2）求證：當(dāng)x1,1時(shí)，恒有fx?ga4.8.（201421（14分）設(shè)函數(shù)f(xlnxm，mRxme（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）f(xg(x)f(x)x3若對(duì)任意ba0f(bf(a)1m的取值范圍b9.（2015福建文12）“對(duì)任意x0,π，ksinxcosxx”是“k1”的 2 B．必要而不充分條件 解析當(dāng)k1時(shí)，ksinxcosxksin2xfxksin2xx，x0π 2fxkcos2x10fxx0π 2fx

fππ0，則ksinxcosxx22 22 k1時(shí)，不等式ksinxcosxx1sin2xx2gx1sin2xxgxcos2x102gxx0πg(shù)xgππ0，則sinxcosxx 2 2 綜上所述，“x0πksinxcosxx”是k1”的必要不充分條件. 2 x22（3） ．確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值2x01x1x0fxkx1由（2）知，當(dāng)k1x01滿足題意；當(dāng)k1x1fxx1kx1f(xk(x1x01滿足題意；當(dāng)k1構(gòu)造函數(shù)Gxfxkx1x0，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)Gx的形狀，只要存x01x1x0Gx0即可．由（2）知，當(dāng)k1x01當(dāng)k1x1fxxx01滿足題意

，則fx k1時(shí)，令Gxfxkx1x0 x21kx則有Gx x1k 由Gx0x21kx101k1k1k2

0（舍x2

111k1k2x1x2時(shí)Gx0，故Gx在1,x2上單調(diào)遞增．從而當(dāng)x1x2時(shí)GxG10，即fxkx1.k的取值范圍是,1．n11.（2015湖南文21（2）函數(shù)fxae2cosxx[0)，記xfx的從小到nn的第nnN*個(gè)極值點(diǎn).若對(duì)一切nN*xn

fxn恒成立，求a的取值范圍對(duì)一切nN*恒成立，即nπ3π

nπ 4恒成立，亦

nπ t立（a0，gttt

t0，則g't

ettt

nπ3πg(shù)'t0得t當(dāng)0t1g't0gt在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減；當(dāng)t1g't0gt在區(qū)間1上單調(diào)遞增；xn0,1n…2xn1xnxn1，π 5π π 4

mingx1,gx2ming ,g g e4

4

4

4 因此nN*xf

恒成立，當(dāng)且

42 e42

2πe4π4π 故實(shí)數(shù)a的取值范圍是

e4, 21（2）fx2xlnxx22axa2，其中a0求證：存在a0,1，使得fx…0恒成立，并且f00在區(qū)間1內(nèi)有唯一解解析fx2x1lnxa0，解得ax1lnx令x2lnxx22xx1lnxx1lnx21lnx22xlnx.則110，e22e0，所以存在x01e，使得x00.a0x01lnx0ux0，其中uxx1lnxx…1.由ux11…0，可知函數(shù)ux在區(qū)間1上單調(diào)遞增x故0u1a0ux0uee21，即a00,1aa0fx00fx0x00，再由（1）fx在區(qū)間1上單調(diào)遞增.x1x0fx0fxfx00；xx0fx0fxfx000又當(dāng)x0,1時(shí)fxxa22xlnx0，故x0時(shí)fx…00綜上所述，存在a0,1，使得fx…0恒成立，且fx0在區(qū)間1,內(nèi)有唯一解. 甲文20）已知函數(shù)fxx1lnxax1.當(dāng)a4y

fx在1,f1處的切線方程若當(dāng)x1時(shí)fx0，求a的取值范圍解析（1）當(dāng)a4時(shí)fxx1lnx4x1，因此f10fxlnxx14f12，所以yfx在點(diǎn)1,f1處的切線方程xyf1f1x1y02x1，得2xy20因?yàn)閒10，對(duì)于x1fxf10fxlnxx1af12a…0a?2xa

2時(shí)fxlnxx1af1…0xfx11x10y

fx在1上單調(diào)遞增 所以fxf10，即函數(shù)fx在1上單調(diào)遞增，fxf10，證畢.綜上所述a的取值范圍是2解法二（目標(biāo)前提法若對(duì)于x1fx0f1，顯然不等式恒成立的前條件是，fx1lnxx1a…0對(duì)x1恒成立，得ax

fx…01lnxx1xgxlnxx1x1gx11x10gx在1x單調(diào)遞增gxg12，所以a?再證當(dāng)a2時(shí)，不等式不恒成立.

2fxlnxx1afx11x10fx在1 調(diào)遞增.f12a0fx00，則x1x0，使得fx0，函數(shù)fx1x0上單調(diào)遞減

f10，所以對(duì)于x1x0

fx0與題意中對(duì)于x1fx0不恒成立，故舍去綜上所述a的取值范圍是2本題對(duì)于x1,，fx0f1，則只須對(duì)于x1,，f 0因?yàn)閒xx1lnxax1fxlnxx1afxx10，所以 yfx在1上單調(diào)遞增f12a2a…0a

2，fx0函數(shù)fx在1上單調(diào)遞增，fxf10滿足題意若2a0，即a2，令fx00，則函數(shù)fx在1,x0上單調(diào)遞減，則fx f10，不滿足題意.綜上所述a的取值范圍是214.（ 文21）設(shè)函數(shù)fxax2alnxgx1

aRe2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)討論fx的單調(diào)性x1g(x)0

2ax2解析（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，+

(x)2ax

x0a

0時(shí)fx0fx在0，+內(nèi)單調(diào)遞減1當(dāng)a0時(shí)，由fx0，得x1當(dāng)x0， 時(shí)，fx0，fx單調(diào)遞減 2a 1當(dāng)x 時(shí)，fx0，fx單調(diào)遞1 x1gx01

0x1exex0構(gòu)造輔助函數(shù)Gxexex，x1，Gxexe0，則函數(shù)Gx在區(qū)間1，x1時(shí)，GxG10x1時(shí)，exex1

gx0afx0

0函數(shù)fx在1，上單調(diào)遞減f10則對(duì)于x1gx0x1，則對(duì)于a

0，恒有fxgx，因此a

0不滿足題意Hxfxgxax2alnx1x因?yàn)閷?duì)于x1Hx0恒成立

e，且H1＝0Hx2ax1

1e H12a11e2a1…0，設(shè)a…1 Hx2ax11e…x11e1xx1

11

x32x1x22x10，因此Hx在區(qū)間1，+上單調(diào)遞增 又因?yàn)镠10，所以當(dāng)x1時(shí)Hxfxgx0恒成立fxgx恒綜上所述a的取值范圍為1 121）fxexexaa2x討論fx的單調(diào)性fx…