第3章 第3節(jié) 萬有引力定律的應(yīng)用

第三節(jié)萬有引力定律的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.［科學(xué)態(tài)度與責(zé)任］了解萬有引力定律在天文學(xué)上的重要應(yīng)用。2.［科學(xué)思維］會用萬有引力定律計(jì)算天體質(zhì)量，了解“稱量地球質(zhì)量”的基本思路。3.［科學(xué)思維］掌握解決天體運(yùn)動(dòng)問題的基本思路。泓r自主學(xué)？自主預(yù)習(xí)◎探新知預(yù)習(xí)打感知知思梳理—、預(yù)測未知天體海王星的發(fā)現(xiàn)英國劍橋大學(xué)的學(xué)生亞址和法國年輕的天文學(xué)家勒威耶根據(jù)天王星的觀測資料，利用萬有引力定律計(jì)算出天王星外“新”行星的軌道d846年9月23日柏林天文臺的望遠(yuǎn)鏡對準(zhǔn)他們筆下計(jì)算出來的位置，終于，一顆新的行星——海王星被發(fā)現(xiàn)了。英國天文學(xué)家哈雷根據(jù)萬有引力定律預(yù)言了哈雷彗星的“按時(shí)回歸”，確立了萬有引力定律的地位，顯示了科學(xué)理論對實(shí)踐的巨大指導(dǎo)作用。二、估算天體的質(zhì)量方法一：月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力是由它們之間的提供。即GMm但2r—m月頃）r4n2r3由此可得地球質(zhì)量m地=GT2。方法二：地球表面的物體受到的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的，有mg=G%5，由此可得M=。物。R2地地二基礎(chǔ)宣測P思考判斷（正確的打“"”，錯(cuò)誤的打“X”）（1）利用萬有引力等于向心力，可以求出中心天體的質(zhì)量，也能求出衛(wèi)星的質(zhì)量。（2）利用地球半徑、表面重力加速度和萬有引力常量能求出地球的質(zhì)量。（）（3）知道行星的軌道半徑及運(yùn)行周期，可計(jì)算出中心天體的質(zhì)量。（）（4）海王星、冥王星的發(fā)現(xiàn)表明了萬有引力理論在太陽系內(nèi)的正確性。（）下列說法正確的是（）海王星是人們直接應(yīng)用萬有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的B-天王星是人們依據(jù)萬有引力定律計(jì)算出軌道而發(fā)現(xiàn)的

C.海王星是人們經(jīng)過長期的太空觀測而發(fā)現(xiàn)的D.天王星的運(yùn)行軌道與由萬有引力定律計(jì)算的軌道存在偏差，其原因是天王星受到軌道外的行星的引力作用，由此人們發(fā)現(xiàn)了海王星過去幾千年來，人類對行星的認(rèn)識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51pegb”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕?！?1pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)半徑的20。則該中心恒星與太陽的質(zhì)量的比值約為()B.1C.B.1C.5D.10歐問啊感合作探究。攻重雎學(xué)科林瑪成天體質(zhì)量和密度的計(jì)算天體質(zhì)量和密度的計(jì)算金僧埴引入?助學(xué)助教假設(shè)地球繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如果知道萬有引力常量G、地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑,，可以計(jì)算出地球的質(zhì)量嗎？可以計(jì)算出太陽的質(zhì)量嗎？提示：不可以算出地球的質(zhì)量，可以算出太陽的質(zhì)量。求天體質(zhì)量的思路繞中心天體運(yùn)動(dòng)的其他天體或衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，做圓周運(yùn)動(dòng)的天體(或衛(wèi)星)的向心力等于它與中心天體的萬有引力，利用此關(guān)系建立方程求中心天體的質(zhì)量。計(jì)算天體的質(zhì)量下面以地球質(zhì)量的計(jì)算為例，介紹幾種計(jì)算天體質(zhì)量的方法:(1)若已知地球的半徑R和地球表面的重力加速度g，根據(jù)物體的重力近似等于地球?qū)ξ矬w的引力，得mg=G*解得地球質(zhì)量為心地=號。(2)質(zhì)量為m的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)

2n4n2r3MmSG~r~=m坯)2QM=~gt2，即已知衛(wèi)星的MmSG~r~=求M；V2rv2mPM=G即已知衛(wèi)星的，和°可以求泌r3m2,一一一.Im皿QM=—^~，即已知衛(wèi)星的,和切可以求心。計(jì)算天體的密度若天體的半徑為夫，則天體的密度_MP=4n2r33nr3將M=GT2代入上式得P=GT2R33n特別地，當(dāng)衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運(yùn)動(dòng)時(shí)，其軌道半徑r等于天體半徑R,則p=GT2。【例1】假設(shè)在半徑為R的某天體上發(fā)射一顆該天體的衛(wèi)星。若它貼近該天體的表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T1，已知萬有引力常量為G。則該天體的密度是多少？若這顆衛(wèi)星距該天體表面的高度為龍，測得衛(wèi)星在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T2，則該天體的密度又是多少？思路點(diǎn)撥：(1)衛(wèi)星軌道半徑等于天體半徑，利用GRMr=m4TR及P=~^~求解。3兀火3GMmm4n2(R+h)(2)利用(R+hj2=T2及P的公式求解。，…規(guī)律<方法……—注意區(qū)分R、r>h的意義：一般情況下，R指中心天體的半徑，r指行星或衛(wèi)星的軌道半徑，h指衛(wèi)星距離星球表面的高度，r=R+h。［跟進(jìn)訓(xùn)練］1789年英國物理學(xué)家卡文迪許測出引力常量G，因此卡文迪許被人們稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”。若已知引力常量為G，地球表面處的重力加速度為g，地球半徑為R，地球上一個(gè)晝夜的時(shí)間為孔（地球自轉(zhuǎn)周期），一年的時(shí)間為&（地球公轉(zhuǎn)周期），地球中心到月球中心的距離為R，地球中心到太陽中心的距離為乙2,則下列說法正確的是（）A.地球的質(zhì)量m=GR2地gb.太陽的質(zhì)量m太=GT2*月球的質(zhì)量m=4；，1月G11由題中數(shù)據(jù)可求月球、地球及太陽的密度解決天體運(yùn)動(dòng)的基本思路“長征二號丙”運(yùn)載火箭發(fā)射“實(shí)踐十一號06星”成功；“長征四號丙”運(yùn)載火箭發(fā)射“遙感衛(wèi)星二十號”成功。若兩顆衛(wèi)星均繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，探究下列問題:（1）衛(wèi)星定軌高度越高，速度越大還是越??？⑵如何比較兩顆衛(wèi)星的周期大小和角速度大??？提示：（1）由G*m=m^，得v=式中r=R+h?？梢奾越大，v越小。r2rr'2兀、2,知，h越大，口越小，T越大。兩條基本思路Mmv2G~^2~Mmv2G~^2~=m;=m^2r=m〒r=ma（m圍繞M做勻速圓周運(yùn)動(dòng)）T2=GRMm（g為天體表面處的重力加速度），即GM=gR2，該公式通常被稱為黃金代換式。mgR2mg四個(gè)重要的物理量r越小，v越大。(2)r越小，v越大。(2)角速度mMm曰GM

由Gp=mm2r得口=%~r廠，可見，r越大，口越小;r越小，口越大。Mm02GM_(1)線速度v：由G~r^=m;礙v='p~^，可見，r越大，v越小;Mm2n2r3⑶周期八由Gf=m|^yjr得7=2兀\/麗，可見，r越大，T越大；r越小，T越小。(4)向心加速度a：Mm(4)向心加速度a：MmGM由Gr2=ma得a=r2，可見，r越大，a越小;r越小，a越大。利用上述結(jié)論可以對環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)的線速度0、角速度①、周期T以及向心加速度a進(jìn)行定性分析，也可以進(jìn)行定量計(jì)算?！纠?】天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一顆距地球40光年的“超級地球”，名為“55Cancrie”，該行星繞母星(中心天體)運(yùn)行的周期約為地球繞太陽運(yùn)行周期的&，母星的體積約為太陽的60倍。假設(shè)母星與太陽密度相同，“55Cancrie"與地球均做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則“55Cancrie”與地球的()，…，3,'^60a.軌道半徑之比約為n器480軌道半徑之比約為［禽4802仁向心加速度之比約為360X4802D-向心加速度之比約為360X480思路點(diǎn)撥：本題中涉及兩個(gè)中心天體，可用萬有引力定律結(jié)合向心力公式寫出相應(yīng)的通式，再代入題中的已知條件進(jìn)行求解。［跟進(jìn)訓(xùn)練］訓(xùn)練角度1天體運(yùn)動(dòng)的定性分析金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的向心加速度大小分別為a、a、a，它們沿軌道運(yùn)行的速率分別為v、v、v。已知它們的軌道半徑R＜R金地火金地火金地＜R火，由此可以判定()B.a火＞1地＞】金DB.a火＞1地＞】金D.v火＞v地＞v金C.v地＞v火＞v金訓(xùn)練角度2天體運(yùn)動(dòng)的定量計(jì)算月球與地球質(zhì)量之比約為1：80，有研究者認(rèn)為月球和地球可視為一個(gè)雙星系統(tǒng)，它

們都圍繞地月連線上某點(diǎn)0做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。據(jù)此觀點(diǎn)，可知月球與地球繞0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)線速度大小之比約為（）B.1:80DB.1:80D.6400:1C.80:1務(wù)譚堂小堵，聾的收獲科學(xué)方法：（1）計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法。（2）分析天體運(yùn)動(dòng)的基本思路?？茖W(xué)態(tài)度與責(zé)任：未知天體的分析和預(yù)測。遇生知識耕當(dāng)堂達(dá)標(biāo)“固奴基可基有好除設(shè)土星繞太陽的運(yùn)動(dòng)為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，若測得土星到太陽的距離為R,土星繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期為乙萬有引力常量G已知，根據(jù)這些數(shù)據(jù)，不能求出的量有（）A.土星線速度的大小B.土星加速度的大小土星的質(zhì)量太陽的質(zhì)量嫦娥一號是我國首次發(fā)射的探月衛(wèi)星，它在距月球表面高度為200km的圓形軌道上運(yùn)行，運(yùn)行周期為127min。已知引力常量G=6.67X10-11N-m2/kg2，月球半徑約為1.74X103km。利用以上數(shù)據(jù)估算月球的質(zhì)量約為（）A.8.1XA.8.1X1010kgB.7.4X1013kgC.5.4X1019kgD.7.4X1022kg探測器繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，變軌后在周期較小的軌道上仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則變軌后與變軌前相比（）A.軌道半徑變小B-向心加速度變小C.線速度變小A.軌道半徑變小B-向心加速度變小C.線速度變小D.角速度變小2017年12月8日消息，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)土衛(wèi)六上有大量的碳?xì)浠?/p>