知識講解-空間向量及其線性運算

空間向量及其線性運算【學(xué)習(xí)目標】理解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示方法與字母表示方法；2.掌握空間向量的線性運算(加法、減法和數(shù)乘)及其運算律；3.掌握數(shù)量積的概念及其幾何意義，掌握數(shù)量積的運算律；4.掌握空間向量的共線定理和共面定理，并能用它們分析解決有關(guān)問題.【要點梳理】要點一：空間向量的相關(guān)概念1.空間向量的定義：空間向量：空間中，既有大小又有方向的量；空間向量的表示：一種是用有向線段AB表示，A叫作起點，B叫作終點；一種是用小寫字母a(印刷體)表示，也可以用a(而手寫體)表示.向量的長度(模)：表示空間向量的有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作|AB|或|a.向量的夾角：過空間任意一點O作向量a,b的相等向量OA和OB，則AOB叫作向量a,b的夾角，記作a,b，規(guī)定0a,b?如圖：要點詮釋：空間中點的一個平移就是一個向量；數(shù)學(xué)中討論的向量是自由向量，即與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)?只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移；要確定向量a,b的夾角必須將它們平移到同一起點；當a,b=0或時，向量a,b平行，記作ab；當a,b=時，向量a,b垂直，記作2ab?2.空間向量的有關(guān)概念：零向量：長度為0或者說起點和終點重合的向量，記為0.規(guī)定：0與任意向量平行?單位向量：長度為1的空間向量，即|a|1相等向量：方向相同且模相等的向量.相反向量：方向相反但模相等的向量.共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量?3平行于b記作a〃b，此時.a,b=0或a,b=?共面向量：平行于同一個平面的向量，叫做共面向量.要點詮釋：當我們說向量a、b共線(或a//b)時，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線.向量在空間中是可以平移的.空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面內(nèi)，因此我們說空間(3)對于任意一個非零向量a，(3)對于任意一個非零向量a，我們把a叫作向量a的單位向量，記作a0.a°與a同向.00a0.要點二：空間向量的加減法1.向量加法與減法的定義空間中任意兩個向量都是共面的，它們的加、減法運算類似于平面向量的加減法.(如下圖)2.向量加減法的運算律交換abba;結(jié)合(ab)(ab)ca(bc)要點詮釋：空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則.而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并；向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則.空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：則它們的和為零向量，即:1.向量數(shù)乘的定義:空間向量a與實數(shù)的乘積a仍是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算.滿A1A2A2A3A3A4AnAA因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量;②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，足：同;時，a?則它們的和為零向量，即:1.向量數(shù)乘的定義:空間向量a與實數(shù)的乘積a仍是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算.滿A1A2A2A3A3A4AnAA因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量;②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，足：同;時，a?(2)當＞0時，向相反；當二0時如右圖所示.2.向量數(shù)乘的運算律(1)當＞0時，a與a方向相,a'iaha與a方向相同；當＜0a=0?>0)結(jié)合律：(ua)=(n)a(,R)?要點詮釋：實數(shù)與空間向量a的乘積a(ER)為空間向量的數(shù)乘運算，空間向量的數(shù)乘運算可把向伸長或縮短或改為反方向的向量，當0<<1時，向量縮短；當>1時，向量伸長；當<0時，改為反方向的向量.注意實數(shù)與向量的積的特殊情況，當二0時，a=0；當N0時.若aN0時，有a#0.實數(shù)與向量可以求積，但是不能進行加減運算，比如：+a,一&無意義.要點四：空間向量的數(shù)量積數(shù)量積的定義空間中兩個向量a和b的數(shù)量積是一個數(shù)，等于|a||b|cos〈a,b〉，記作a?b，即a?b=|a||b|cos〈a,b〉.要點詮釋：由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同?兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定.兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學(xué)過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b是非零向量，e是單位向量，則1)aeea|a|cosa,e；abab0；|a|2aa或aaa；cos,；a||b|ab||a||b空間向量的數(shù)量積滿足如下運算律：交換律：a?bb?a；分配律：a?(bc)a?ba?cb+a?c；(a)?b=a?b.要點詮釋：對于三個不為0的實數(shù)a、b、c，若a?ba?c，則bc；對于三個不為0的向量，若abbc不能得出bc，即向量不能約分?kk若a?bk，不能得出ak(或bk)，就是說，向量不能進行除法運算.ba對于三個不為0的實數(shù)，a、b、c有abcabc,對于三個不為0的向量a、b、c,向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律.要點五：共線定理1.共線定理空間任意兩個向量a與b(b#0)共線的充要條件是存在實數(shù)，使ab.要點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：a〃b(b#0)存在唯一實數(shù)，使得a=b；存在唯一實數(shù)，使得a=b(b#0),則a〃b.b#0不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一.當b=0時，對于任意一個向量a,a〃b恒成立?2.共線定理的用途：判定兩條直線平行(進而證線面平行)；證明三點共線.注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法.證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點.要點六：共面定理1.共面向量的定義通常把平行于同一平面的向量，叫做共面向量.注意：空間任兩個向量是共面的，但空間任三個向量就不一定共面了.2.共面向量定理.如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一一—?-的有序‘‘實數(shù)對(x,y)p使ayb推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x,y，使MTLmaTTMb或?qū)臻g任一點O，"有6M"XmA3Mb,T上式叫做平面°｛旃的向量表達式.3.共面向量定理的用途：證明四點共面證明線面平行(進而證面面平行)【典型例題】類型一：空間向量的線性運算例1.已知平行六面體ABCDA'B'C'D',M是AACG：GA，=2：1,設(shè)CD=a,CB=bC,C'=c,試用a、.八的中點'點G在對角線A'C上且b、c表示CA■CA'、CM、CG.的中點'點G在對角線A'C上且思路點撥】要想用a、b、c表示所給出的向量，只需結(jié)合圖形充分利用空間向量的線性運算律即可.解析】如圖所示.CACBBAabCA'CAAA'CACC'aCMCAAMCA'CAAA'CACC'aCMCAAMCBCD11CCabc?22CGCA'(abc)AD【變式1】如圖，在平行六面體ABCDa1b1c1AD【變式1】如圖，在平行六面體ABCDa1b1c1d］中，M為A1C1與b，AA11的交點.若ABa,(C)c則下列向量中與BM相等的向量是（）1(D)2【總結(jié)升華】在用已知向量表示未知向量的時候，要注意尋求兩者之間的關(guān)系，通常可將未知向量進行一系列的轉(zhuǎn)化，將其轉(zhuǎn)化到與已知向量在同一四邊形（更多的是平行四邊形）或三角形中，從而可以建立已知與未知之間的關(guān)系式.另外，在平行六面體中，要注意相等向量之間的代換.例如，在求CA'時，利用了AA'CC'，把AA'轉(zhuǎn)化為CC'.把一個向量用其他向量來表示，其實質(zhì)就是把一個向量進行分解，這也是為學(xué)習(xí)向量共面定理和向量的空間坐標表示奠定基礎(chǔ).舉一反三:解，答案】顯然BMBB1B1M1(ADAB)顯然BMBB1B1M1(ADAB)AA11a1bc22ACc,AD變式2】如圖，設(shè)四面體ABCD三條棱ABQ%△BCD的重心，M為,m為BC的中點，DM1(DBDC)11(bd)(cd)(bcAQADDQ2dDMd3(bc2d)1DM1(DBDC)11(bd)(cd)(bcAQADDQ2dDMd3(bc2d)1(bcd).3CCc，試用向量c來表示向量CA、CA'.答案】CA=ab；CA'abc又因為四邊形ACC'A'為平行四邊形，???CA'CACC'CBCDCC'abc.C?③④D?①④例2.如右圖，在長方體例2.如右圖，在長方體ABCDA1B1C1D］中，下列各式中運算結(jié)果為向量的是().①(A1D1A1A)AB②(BCBB1)D￡；③(ADAB)DD1；④(B1D1A1A)DD1.A?①②B?②③【思路點撥】在進行減法運算時，可將減去一個向量轉(zhuǎn)化為加上這個向量的相反向量，而在進行加法運算時，首先考慮這兩個向量在哪個平面內(nèi)，然后像平面向量求和那樣，運用向量運算定律、平行四邊形法則、三角形法則及多邊形法則來求解.【答案】A【解析】①(ARA1A)ABA1D1AA1BABD1；BB1)D1C1BCBB1C1D1BC1②(BCC1D1BD1；T③(ADBB1)D1C1BCBB1C1D1BC1②(BCC1D1BD1；④(B1D1A1A)DD1B1D1AA1DD1B1D1BB1DD1BD1DD1BD1.因此，①②兩式的運算結(jié)果為向量BD,而③④兩式運算的結(jié)果不為向量BD.故選，?【總結(jié)升華】化簡向量表達式主要是利用平行四邊形法則或三角形法則，1遇到減法時既可轉(zhuǎn)化為加法，也可按減法法則進行運算，加、減之間可以相互轉(zhuǎn)化.表達式中各向量系數(shù)相等時，根據(jù)數(shù)乘分配律，可以把相同的系數(shù)提到括號外面.

舉一反三：【變式1】如圖，已知長方體ABCDA'B'C'D'，化簡下列向量表達式：/VAA'CB舉一反三：【變式1】如圖，已知長方體ABCDA'B'C'D'，化簡下列向量表達式：/VAA'CB?，1AD1AB；1A'A.1/D222【解析】化簡向量時，一般先用平行四邊形得到相等的向量或相反向量，再將它最后利用三角形法則或平行四邊形法則化簡.們轉(zhuǎn)化為具有同一起點的向量，(1)AA'CBAA'1AD12BCAA'ADAD'；；AD'；1111；AADABAA'2222A1AB2(ADABAA')1AC'?變式2】空間向量及其線性運算399109例題1】已知平行六面體ABCDABCD，化簡下列向量表達式，并在圖中標出化簡結(jié)果的向11111)ABADAA1；DD1ABBC；答案】(1)ABADAA1AR；(2)DD1AB1)ABADAA1；1)2)AA1A1B1；11A1B13)A1D1；1111A1B1A1D1；2112AA1)2)AA1A1B1；11A1B13)A1D1；1111A1B1A1D1；2112AA1ABBCCC1C1A1A1A4)_--1，1--1--1---答案】向量的加法利用平行四邊形法則或三角形法則，封閉圖形，首尾連接的向量0.1)2)3)AA1A1B1AB1；111A1B1a1d111A臼111111AD1(ABAD)ACAM；222111111111八八］八［B］八1口］八氣711MT1M；224)的和為ABBCCC1C1A1A1A0例3.若三棱錐OABC中，G是AABC的重心，求性：1(OAOBOC).3思路點撥】先在AOBC中考慮中線OD，然后在AOAD中考慮G為AD的分點，分成的比是2：1，【解析】如圖所示，兩次使用向量的運算性質(zhì)，把相關(guān)向量用OA，OB,°c表示即可.【解析】如圖所示，?「G是AABC的重心,/.AG2GD,D為BC的中點，.?.OGOAAG2ADOA2(ODOA)OA13321[(OBOC)OA]OA32(OAOBOC)3【總結(jié)升華】(1)靈活應(yīng)用向量的運算法則是解此類題目的關(guān)鍵；1⑵此類例題常用到結(jié)論：若OD是AOBC的中線，則有OD2(OBOC)舉一反三：答案】證明如下：平行六面體的六個面均為平行四邊形，所以ACABAD,AB'ABAA',AD'ADAA',2(ABADAA'),所以ACAB'AD'(ABAD)(AB2(ABADAA'),又由于AA'CC',ADBC,所以ABADAA'ABBCCC'ACCC'AC',所以ACAB'AD'2AC'.變式2】如圖’在四邊形ABg,e、f分別為ad、BC的中點，試證：EF&BDC).變式1】在如圖所示的平行六面體中，求證：ACAB'AD'2AC'.答案】證明如下:因為EFABBFEFEDDCCF①+②得TT—t2EF(EAABBF)(EDDCCF)ABDC①+②得TT—t2EF(EAABBF)(EDDCCF)ABDC.EFi(AB所以DC）例4.已知正方體ABCDABCD，點E是上底面ABCD"?—?"兀v、zH'ii'：J11)BDxADyABzAA2)AExADyABzAA'.思路點撥】根據(jù)向量運算法則，用向量AD、AB、AA'表示BD和AE，然后利用向量相等來確定x、y、z的值.【解析】(I)：BD'BDDD'ABABADAA',又?.?BD'xADyABzAA',/.x1,y1,z1.?2)AEAA'A'EAA'A'C'A￥'(A'B'A'D')221111AA'A'B'A'D'ADABAA',2222又"aExADJab亦a',，11.?.x,y,z1.22舉一反三：【變式】已知ABCDA'B'C'D'是平行六面體.12(1)化簡AA'BCAB，并在圖中標出其結(jié)果；2）設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC'B'對角線BC'上的分點，3設(shè)4MNABADAA試求、、的值.【答案】21，14，341）如圖所示，取AA'的中點為E,則iAA'EA2又BCA'D'12.?.AA'BC的一個三等分點，則DF2AB又BCA'D'12.?.AA'BC的一個三等分點，則DF2AB3ABD'C',ABEA'A'D'D'FEF.(表示法不唯一)3BC'i(DAAB)3(BCCC')4241DB(AT1a曠—―|iAB(ADAA')214AD3423AA2)MNMBBN11，，類型二：空間向量T數(shù)量積1,b2,c3,試求:例5.已知向量ab，向量c與a,b的夾角都是60,且a解析】?.?向量a1)(a2bc)2；1,b2,c3,試求:解析】?.?向量a思路點撥】和平面向量一樣，空間向量數(shù)量積運算類似于多項式的乘法.b,向量c與a,b的夾角都是60,且|a|1,|b|2,|c|3,???a2Lb4，c29，ab0，acaccos60321)(a2bc)2=a2(2b)2c22a2b2ac4bc=1+16+9+0-3-12=11；2277(2)(3a2b)(b3c)=3ab3a3c2b2b3c=0——8+18=.22【總結(jié)升華】向量的數(shù)量積運算除不滿足乘法結(jié)合律外，其它都滿足，所以其運算和實數(shù)的運算基本相同.舉一反三：【變式1】設(shè)向量a與b互相垂直，向量c與它們構(gòu)成的角都是60°，且|a|=5,|b|=3,|c|=8,那么a3c3b-2a=；2ab-3c=.【答案】-62；373a3c3b2a=3ab2a29cb6ac3abcos902a9cbcos606accos60622同理可得2ab3c=373變式2】已知：abc0,3,1,4,試計算abbcca.答13案】abc0,)c(ab)c0a2222b22c2a2bb2cc.)c(ab)c0a2222b22c2a2bb2cc.0aa3,b1,c4,abbcca13.例6.如右圖，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都占點E、等于a，6分別是AB、AD、DC的中點，求下列向量的數(shù)量積.F、1)ABAC；(2)ADBD；(3)GFAC；4)EFBC.思路點撥】首先要在空間四邊形中選一組恰當?shù)幕捉馕觥吭诳臻g四邊形ABCD中，1)?.?|AB||AC|a,AB,AC60,12/.ABACaacos60a2.22)?/|AD|a,|BD|a,AD,BD60,...ADBDa22.12cos60a?|GF||AC|a,又GF//AC,.?.21a,GF,AC121212?GFACa2cosa2??|EF|1a,|bC|a,EF//BD,2.?.EF,BCBD,BC60,?EFBC即cos60即24總結(jié)升華】求空間向量數(shù)量積的運算同平面向

利和公式:ababcosa,b即可順利們的模計算.舉一反三高清課空間向量的數(shù)量積399424例題關(guān)鍵在于確定兩個向量之間的夾角以及它變式】已知在長側(cè)面體AA'B'B的中心，心1)BCED'；;DfFFD'A'FD'C'ABCDA'B'C'D'?中，ABAA'2,AD4變式】已知在長側(cè)面體AA'B'B的中心，心1)BCED'；;DfFFD'A'FD'C'答案】⑴BCED'BC(EA'A'D')BCEA'BCA'D'04416⑵EFFC'(EA'A'F)(FD'D'C')EA'FD'EA'D'C'A04400答案】此點稱為四面體的重E、F、G、H、P、Q此點稱為四面體的重E、F、G、H、P、Q分別是所在棱且O為它們的中點.11.?.EG//BC,同理HF//BC,22例7?證明：在四面體中連接對棱中點的三條直線交于一點且互思路點撥】如圖.在四面體ABCD中，【解析】?「E、6分別為AB、AC的中點，Q的中點，要證明EF、GH、PQ相交于一點【解析】?「E、6分別為AB、AC的中點，Q從而四邊形EGFH為平行四邊形，故其對角線EF、GH相交于一點O,且

為要能證明中點量連接0P,、淡可以說明P、O、Q三點共線，且O為PQ的中點.GP//1CD,2事實上，OPOGGP,OQOHHQ,而O為GH的中點―?OGOH0,1QH//GP//1CD,2???GP舟，QHCD「11???OPOQOGOHGPHQ0CDCD0.?.?.?OPOQ????PQ經(jīng)過O點，且O為PQ的中點.即證得EF、GH、。相交于點O,且O為它們的中點，故原命題得證.先從直線上【總結(jié)升華】利用共線向量定理可以判定兩直線平行、證明三點共線.證平行時取有向線段來表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，此為證明平行問題的一種重要方法；證明三點共線問題時，通常不用圖形.直接利用向量的線性運算，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點.先從直線上舉一反三：【變式1】設(shè)e］、％是平面上不共線的向量，已知AB2e1ke2,CBe13e2,CD2e1若,A、B、D三點共線，求k的值.變式3】如圖在平行六面體ABCD證明：設(shè)AB答案】8由共線的向量定理列出關(guān)系式.變式3】如圖在平行六面體ABCD證明：設(shè)AB...BDCDCB(2ee)(e3e)e4e,AB2eke又,:A、B、D三點共線，1212121I4由共線向量定理，得14,.?.k8.2k【變式2】如圖所示，已知空間四邊形ABCD,E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是CB、CD上的點，且CF2CB,CG2CD.求證：四邊形EFGH是梯形.

33【答案】證明過程如?/E、H分別是邊1b、AD的中點，1AEAD，AB，AH11(ADAB)BD111EHAHAEADAB(施CF)13344FG，(CDCB)CGCF222?.?EF//FG且|EH43|FG||FG|，又F不在EH上，EFGH是梯形??四邊形ABCD中，E、F、G分別是AD、DD、DC的中點.111111111求證：平面EFG〃平面AB1C.答案】用共線向量定理證明線線平行，從而證明面面平行.a，ADb，AA1c，則EGED1D1G1(ab)，ACab2EG，.?.EG//AC，?eg〃AC又?.?EFED1D1F1b1c1(bc)，222...BCBCCCbc2EF...EF//BC，ef〃B1C.1111，1又VEG與EF相交，AC與B應(yīng)相交，.平面EFG〃平面AB1C.類型四：共面向量及應(yīng)用例8.已知ABCD，從平面AC外一點O引向量OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，1)求證：四點E,F,G,H共面；2）平面AC//平面EG.解析】（1）V四邊形ABCD是平行四邊形，.?.ACABAD,VE