薄透鏡和薄透鏡組課件

第2章理想光學系統(tǒng)2.1理想光學系統(tǒng)的基點和基面2.2理想光學系統(tǒng)的物像關系2.3節(jié)點和節(jié)平面2.4理想光學系統(tǒng)的組合2.5透鏡1第2章理想光學系統(tǒng)2.1理想光學系統(tǒng)的基點和基面2.1理想光學系統(tǒng)的基本特性、基點和基面

2.1.1理想光學系統(tǒng)的基本特性理想光學系統(tǒng)具有以下基本特性：①點成點像。即物空間的每一點，在像空間必有一個點與之對應，且只有一個點與之對應，這兩個對應點稱為物像空間的共軛點。②線成線像。即物空間的每一條直線在像空間必有一條直線與之對應，且只有一條直線與之對應

這兩條對應直線稱為物像空間的共軛線。

22.1理想光學系統(tǒng)的基本特性、基點和基面2.1.1理想③平面成平面像。即物空間的每一個平面，在像空間必有一個平面與之對應，且只有一個平面與之對應。這兩個對應平面稱為物像空間的共軛面。④對稱軸共軛。即物空間和像空間存在著一對唯一的共軛對稱軸。當物點A繞物空間的對稱軸旋轉一個任意角α時，它的共軛像點A′也繞像空間的對稱軸旋轉同樣的角度α，

這樣的一對共軛軸稱為光軸。

3③平面成平面像。即物空間的每一個平面，在像空間必有由此推廣到：物空間的任一個同心光束必對應于像空間中的一個同心光束；若物空間中的兩點與像空間中的兩點共軛，則物空間兩點的連線與像空間兩點的連線也一定共軛；若物空間任意一點位于一直線上，則該點在像空間的共軛點必位于該直線的共軛線上。上述定義只是理想光學系統(tǒng)的基本假設。在均勻透明介質中，除平面反射鏡具有上述理想光學系統(tǒng)的性質外，任何實際的光學系統(tǒng)都不能絕對完善成像。研究理想光學系統(tǒng)成像規(guī)律的實際意義是用它作為衡量實際光學系統(tǒng)成像質量的標準。通常把理想光學系統(tǒng)計算公式(近軸光學公式)計算出來的像，稱為實際光學系統(tǒng)的理想像。另外，在設計實際光學系統(tǒng)時，用它近似表示實際光學系統(tǒng)所成像的位置和大小，即實際光學系統(tǒng)設計的初始計算。

4由此推廣到：物空間的任一個同心光束必對應于像空間中的2.1.2理想光學系統(tǒng)的基點和基面理想光學系統(tǒng)的基點和基面是指表征理想光學系統(tǒng)特性的焦點、焦平面、主點、主平面。利用這些特殊的點和面來討論光學系統(tǒng)的成像特性，可使討論的問題大為簡化。圖2-1所示為一理想光學系統(tǒng)，O1和Ok是其第一面和最后一面的頂點，F(xiàn)F′為光軸。如果在物空間有一條平行于光軸的光線AE1經(jīng)光組各面折射后，其折射光線GkF′交光軸F′點。另一條物方光線FO1與光軸重合，其折射光線OkF′仍沿光軸方向射出。由于物方兩平行入射線AE1和FO1的交點(于左方無窮遠的光軸上)與像方共軛光線GkF′和OkF′的交點F′共軛，所以F′是物方無窮遠軸上點的像，F(xiàn)′點稱為理想光學系統(tǒng)的像方焦點(或后焦點、第二焦點)。由此，任一條平行于光軸的入射線經(jīng)理想光學系統(tǒng)后，出射線必過F′點。

52.1.2理想光學系統(tǒng)的基點和基面5圖2-1理想光學系統(tǒng)

6圖2-1理想光學系統(tǒng)6同理有一物方焦點F(或前焦點、第一焦點)，它與像方無窮遠軸上點共軛。任一條過F的入射線經(jīng)理想光學系統(tǒng)后，出射線必平行于光軸。通過物方焦點F且垂直于光軸的平面稱為物方焦平面。通過像方焦點F′且垂直于光軸的平面稱為像方焦平面。顯然，物方焦平面的共軛像面在無窮遠處，物方焦平面上任何一點發(fā)出的光束，經(jīng)理想光學系統(tǒng)后必為一平行光束。同樣，像方焦平面的共軛物面也在無窮遠處，任何一束入射的平行光，經(jīng)理想光學系統(tǒng)后必會聚于像方焦平面的某一點。必須指出，焦點和焦平面是理想光學系統(tǒng)的一對特殊的點和面。焦點F和F′彼此之間不共軛，兩焦平面彼此之間也不共軛。

7同理有一物方焦點F(或前焦點、第一焦點)，它與像方無延長入射光線AE1和出射光線GkF′得到交點Q′；同樣延長光線BEk和G1F，可得交點Q。若設光線AE1和BEk入射高度相同，且都在子午面內，則由于光線AE1與GkF′共軛，BEk與G1F共軛，共軛線的交點Q′與Q必共軛。并由此推得，過Q和Q′點作垂直于光軸的平面QH和Q′H′也互相共軛。位于這兩個平面內的共軛線段QH和Q′H′具有同樣的高度h，且位于光軸的同一側，故這兩面的垂軸放大率β=+1，稱這對垂軸放大率為+1的共軛面為主平面。其中，QH稱為物方主平面，Q′H′稱為像方主平面。物方主平面與光軸的交點H稱為物方主點，像方主平面與光軸的交點H′稱為像方主點。主點和主平面也是理想光學系統(tǒng)的一對特殊的點和面。

8延長入射光線AE1和出射光線GkF′得到交點Q′；同根據(jù)主平面的定義可知，當物空間任意一條光線和物方主平面的交點為Q時，則它的共軛光線和像方主平面的交點為Q′，Q點和Q′點距光軸的距離相等。自物方主點H到物方焦點F的距離稱為物方焦距(或前焦距、第一焦距)，以f表示。自像方主點H′到像方焦點F′的距離稱為像方焦距(或后焦距、第二焦距)，以f′表示。焦距的正負是以相應的主點為原點來確定的，如果由主點到相應的焦點的方向與光線傳播方向一致，則焦距為正，反之為負。圖中，f＜0,f′＞0。由三角形Q′H′F′可以得到像方焦距f′的表示式

9根據(jù)主平面的定義可知，當物空間任意一條光線和物方主平同理，

物方焦距的表示式為

(2-2)(2-1)10同理，物方焦距的表示式為(2-2)(2-1)102.2理想光學系統(tǒng)的物像關系

2.2.1圖解法求像當理想光學系統(tǒng)的主點和焦點位置已知時，欲求一垂軸物體AB經(jīng)光學系統(tǒng)的像，只需過B點作兩條入射光線，如圖2-2所示，其中一條光線平行于光軸，出射光線必過像方焦點F′；另一條光線過物方焦點，出射光線必平行于光軸。兩出射光線的交點B′就是物點B的像。因AB垂直于光軸，故過像點B′作垂軸線段A′B′就是物體AB經(jīng)系統(tǒng)后所成的像。

112.2理想光學系統(tǒng)的物像關系2.2.1圖解法求像11圖2-2理想光學系統(tǒng)圖解法求像

12圖2-2理想光學系統(tǒng)圖解法求像12為了作圖方便，有時需要知道任意光線經(jīng)過光學系統(tǒng)后的出射方向。此時，根據(jù)焦平面的性質有兩種常用的方法。一種方法是過物方焦點作一條與任意光線平行的輔助光線，任意光線與輔助光線所構成的斜平行光束經(jīng)光學系統(tǒng)折射后應會聚于像方焦平面上一點，這一點可由輔助光線的出射線平行于光軸而確定，從而求得任意光線的出射線的方向，如圖2-3(a)所示。另一種方法是認為任意光線是由物方焦平面上一點發(fā)出光束中的一條。為此，過任意光線與物方焦平面交點作一條平行于光軸的輔助線，其出射線必過像方焦點。則由于任意光線的出射線平行于輔助光線的出射線，即可求得任意光線的出射線方向。如圖2-3(b)所示。用圖解求像簡單、直觀，便于判斷像的位置和虛實，但精度較低，為了更全面地討論物體經(jīng)光學系統(tǒng)的成像規(guī)律，還常采用解析求像的方法。

13為了作圖方便，有時需要知道任意光線經(jīng)過光學系統(tǒng)后的出圖2-3任意入射線的出射線的作圖

14圖2-3任意入射線的出射線的作圖142.2.2解析法求像1.牛頓公式以焦點為坐標原點計算物距和像距的物像公式，叫牛頓公式。如圖2-4所示，有一垂軸物體AB，其高度為y，經(jīng)理想光學系統(tǒng)后成一倒像A′B′，像高為y′。由相似三角形BAF和FHN，H’M’F’和F’A’B’得

由此可得

這就是牛頓公式。

(2-3)152.2.2解析法求像由此可得這就是牛頓公式。(2-3)圖2-4理想光學系統(tǒng)物像關系導出用圖

16圖2-4理想光學系統(tǒng)物像關系導出用圖16

2.高斯公式以主點為坐標原點計算物距和像距的物像公式，叫高斯公式。l和l′分別表示以物方主點為原點的物距和以像方主點為原點的像距，由圖可知-l=-x-fl′=x′+f′代入牛頓公式，

整理后可得

(2-4)這就是高斯公式。

172.高斯公式(2-4)這就是高斯公式。17

3.焦距間的關系如圖2-5所示，A′B′是物體AB經(jīng)理想光學系統(tǒng)后所成的像，由軸上點A發(fā)出的任意一條成像光線AQ，其共軛光線為Q′A′。AQ和Q′A′的孔徑角分別為u和u′。HQ和H′Q′的高度均為h。由圖得

因

代入上式得

(2-5)183.焦距間的關系因代入上式得(2-5)18圖2-5理想光學系統(tǒng)導出兩焦距關系用圖

19圖2-5理想光學系統(tǒng)導出兩焦距關系用圖19對于理想光學系統(tǒng)，不管u和u′角有多大，上式均能成立。因此，當QA和Q′A′是近軸光時，上式也能成立。將tanu=u,tanu′=u′代入得

和拉亥不變量nuy=n′u′y′相比較，可得表征光學系統(tǒng)物方和像方兩焦距之間關系的重要公式

(2-6)當光學系統(tǒng)處于同一介質中時，即n′=n,則兩焦距絕對值相等，

符號相反：

(2-7)20對于理想光學系統(tǒng)，不管u和u′角有多大，上式均能成立此時，

牛頓公式可以寫成

(2-8)高斯公式可以寫成

(2-9)21此時，牛頓公式可以寫成(2-8)高斯公式可以寫成(24.拉亥不變量將(2-6)式代入(2-5)式得理想光學系統(tǒng)的拉亥不變量公式

(2-10)此式對任何能成完善像的光學系統(tǒng)均成立。

224.拉亥不變量(2-10)此式對任何能成完善像的光學系

5.垂軸放大率理想光學系統(tǒng)的垂軸放大率β定義為像高y′與物高y之比。

由圖2-4得

(2-11)對于以主點為坐標原點的物像距的放大率公式，可由牛頓公式導出。將牛頓公式x′=ff′/x兩邊各加上f′,得

因為l′=x′+f′,l=f+x，故有

235.垂軸放大率(2-11)對于以主點為將兩焦距的關系式(2-6)代入，

得

此式與單個折射球面近軸區(qū)成像的垂軸放大率公式完全相同，表明理想光學系統(tǒng)的成像性質可以在實際光學系統(tǒng)的近軸區(qū)得到實現(xiàn)。如果光學系統(tǒng)處于同一介質中，f′=-f，則垂軸放大率可寫成

(2-12)24將兩焦距的關系式(2-6)代入，得此式與單個折射球面近軸6.軸向放大率理想光學系統(tǒng)的軸向放大率α定義為

(2-13)式中，dx(或dl)為軸上物點A沿光軸移動一微小距離；dx′(或dl′)為像A′相應移動距離。微分牛頓公式或高斯公式，可以求得

(2-14)256.軸向放大率(2-13)式中，dx(或dl)為軸上物點上式右邊乘以和除以ff′，并用垂軸放大率公式，可得

(2-15)如果光學系統(tǒng)處于同一介質中，則α=β2。

26上式右邊乘以和除以ff′，并用垂軸放大率公式，可得(2-17.角放大率理想光學系統(tǒng)的角放大率γ定義為像方孔徑角u′的正切與物方孔徑角u的正切之比，即

由圖2-5，ltanu=h=l′tanu′,故

(2-16)將(2-10)式代入上式得

(2-17)277.角放大率由圖2-5，ltanu=h=l′如果光學系統(tǒng)處于同一介質中，

則

將(2-6)式代入(2-17)式得

(2-18)可見，理想光學系統(tǒng)的角放大率只和物體的位置有關，而與孔徑角無關。在同一對共軛點上，所有像方孔徑角的正切和與之相應的物方孔徑角的正切之比恒為常數(shù)。將(2-15)式和(2-17)式相乘，

得三種放大率之間的關系:(2-19)28如果光學系統(tǒng)處于同一介質中，則將(2-6)式代入(2-1

8.光焦度光焦度是光學系統(tǒng)會聚本領或發(fā)散本領的數(shù)值表示，它與光學系統(tǒng)的焦距有關。利用(2-6)式，將高斯公式寫成如下形式:式中，n′/f′定義為光學系統(tǒng)的光焦度，用字母φ表示:(2-20)298.光焦度式中，n′/f′定義為光學系統(tǒng)的光焦度2.3節(jié)點和節(jié)平面

在理想光學系統(tǒng)中有一對角放大率為+1的共軛點，叫做節(jié)點。在物空間的節(jié)點稱為物方節(jié)點，像空間的稱為像方節(jié)點。分別用字母J和J′表示。過物方節(jié)點并垂直于光軸的平面稱為物方節(jié)平面，過像方節(jié)點并垂直于光軸的平面稱為像方節(jié)平面。節(jié)點和節(jié)平面是理想光學系統(tǒng)的又一對特殊的點和面，與焦點和焦平面、主點和主平面統(tǒng)稱為理想光學系統(tǒng)的基點和基面。

302.3節(jié)點和節(jié)平面在理想光學系統(tǒng)中有一對角放大率按(2-18)式，γ=x/f′=f/x′。當γ=+1時，得這一對共軛點相對于相應焦點的位置由如下坐標決定:(2-21)如果光學系統(tǒng)處于同一介質中，由于f=-f′，因而xJ=xH,xJ′=xH′，即節(jié)點和主點重合。因節(jié)點的γ=+1，故有u=u′。這表示通過節(jié)點的共軛光線方向不變，因而可方便地用于圖解法求像，如圖2-6所示。

31按(2-18)式，γ=x/f′=f/x′。當γ=+1圖2-6理想光學系統(tǒng)過節(jié)點的入射線和出射線彼此平行

32圖2-6理想光學系統(tǒng)過節(jié)點的入射線和出射線彼此平行32圖2-7節(jié)點位置的測定

33圖2-7節(jié)點位置的測定33圖2-8周視照相機過像方節(jié)點軸轉動

34圖2-8周視照相機過像方節(jié)點軸轉動342.4理想光學系統(tǒng)的組合

2.4.1雙光組組合雙光組組合是光組組合中常遇到的組合，也是最基本的組合。如圖2-9所示，有兩個理想光組它們的焦距分別為f1′、f1和f2′、f2，其基點位置如圖中所示，兩光組間的相對位置由第一光組的像方焦點F1′距第二光組的物方焦點F2的距離Δ表示，Δ稱為該系統(tǒng)的光學間隔。Δ以F1′為起點，計算到F2，由左向右為正，反之為負。d為兩光組間的距離，等于H1′H2。

352.4理想光學系統(tǒng)的組合2.4.1雙光組組合35圖2-9雙光組組合

36圖2-9雙光組組合36在物空間作一條平行于光軸的光線QQ1，經(jīng)第一光組折射后過焦點F1′射入第二個光組，交第二個光組的物方主平面之R2點。利用物方焦平面的特性作出經(jīng)第二個光組的出射線R2′F′。R2′F′與光軸交點F′就是合成光組的像方焦點。入射光線QQ1的延長線與其共軛光線R2′F′的交點Q′必位于合成光組的像方主平面上。過Q′作垂直于光軸的平面Q′H′，即為合成光組的像方主平面，它和光軸的交點H′為合成光組的像方主點。線段H′F′為合成光組的像方焦距f′,圖中f′＜0。

同理，在像方空間作一條平行于光軸的光線Q′Q2′，自右向左重復上述步驟即可求出合成光組的物方焦點F和物方主點H，HF為物方焦距f，

圖中f＞0。

37在物空間作一條平行于光軸的光線QQ1，經(jīng)第一光組折射合成光組的像方焦點F′和像方主點H′的位置以第二個光組的像方焦點F2′或像方主點H2′為原點來確定。由圖可見，xF′=F2′F′＞0,xH′=F2′H′＞0,或lF′=H2′F′＞0,lH′=H2′H′＞0。同樣，合成光組的物方焦點F和物方主點H的位置以第一光組的物方焦點F1或物方主點H1為原點來確定。由圖可見，xF=F1F＜0,xH=F1H＜0，或lF=H1F＜0，

lH=H1H＜0。

38合成光組的像方焦點F′和像方主點H′的位置以第二個光

1.焦點位置公式由圖2-9可見，合成光組的像方焦點F′和第一光組的像方焦點F1′對第二光組來說是一對共軛點。F′的位置xF′=F2′F′可用牛頓公式求得。公式中的x=-Δ，x′=xF′，

即

(2-22)同理，合成光組的物方焦點F和第二光組的物方焦點F2對第一光組來說是一對共軛點。

故有

(2-23)391.焦點位置公式(2-22)同理，合成光組的物由于

所以，將(2-22)式和(2-23)式代入可得相對于主點H2′和H1確定的合成光組焦點位置公式

(2-24)40由于所以，將(2-22)式和(2-23)式代入可得相對于主2.焦距公式由圖2-9，△Q′H′F1′與△N2′H2′F2′相似，△Q1′H1′F1′與△F1′F2E2相似，

所以有

因為

,故得

(2-25)412.焦距公式因為,故得(2-25)41同理，△QHF與△F1H1N1相似，△Q2H2F2與相似，

有

上兩式等號右邊部分相等，

故得

(2-26)由于光學間隔Δ=d-f1′+f2,所以代入(2-25)式可得

(2-27)42同理，△QHF與△F1H1N1相似，△Q2H2F2與如果光組處于同一介質中，

則上式可寫為

(2-28)或用光焦度表示為

(2-29)利用(2-25)式和(2-26)式，

可將(2-24)式改寫為

(2-30)43如果光組處于同一介質中，則上式可寫為(2-28)或用光3.主點位置公式由圖2-9可見

(2-31)(2-32)443.主點位置公式(2-31)(2-32)44將有關公式代入，

整理后得

(2-33)(2-34)45將有關公式代入，整理后得(2-33)(2-34)454.合成光組的垂軸放大率由于合成光組仍然是一個理想光組，

因此其垂軸放大率仍為

此時，式中的f和f′是合成光組的焦距；x表示物點A到合成光組前焦點F的距離。由圖2-10可見，x=x1-xF=x1-f1f1′/Δ，與(2-26)式一起代入垂軸放大率公式,得

(2-35)464.合成光組的垂軸放大率此時，式中的f和f′是合成光組的圖2-10合成光組的垂軸放大率

47圖2-10合成光組的垂軸放大率472.4.2多光組組合

1.正切計算法如圖2-11所示，已知三個光組的基點位置及各光組之間的間隔，作任意一條平行于光軸的光線通過三個光組的光路。光線在每個光組上的入射高度分別為h1、h2、h3，出射光線與光軸的夾角為u3′。由圖可知

對于由k個光組組成的系統(tǒng)，

應有

(2-36)482.4.2多光組組合1.正切計算法對于由k個圖2-11正切計算法

49圖2-11正切計算法49式中，hk和uk′可由以下方法求得。將高斯公式兩邊乘以h1得

由于

所以有

50式中，hk和uk′可由以下方法求得。由于所以有50再將過渡公式l2=l1′-d1兩邊乘以tanu1′，得

由于u1′=u2,l2tanu2=h2,l1′tanu1′=h1,所以有

只要給定tanu1和h1，便可將以上tanu1′和h2表示式逐個運用于各光組，最后求出hk和tanuk′。hk和tanuk′的一般表示式為

(2-37)51再將過渡公式l2=l1′-d1兩邊乘以tanu1′，得由2.截距計算法將(2-36)式改寫為

由于

故

當應用高斯公式依次求出每個光組的物距和像距后，便可應用此式求出組合光組的焦距。

(2-38)522.截距計算法由于故當應用高斯公式依次求出每個光組的物2.4.3光組組合形式討論根據(jù)(2-22)式、(2-23)式和(2-25)式、(2-26)式，在給定各分光組參數(shù)的條件下，組合光組的性質將由分光組之間的光學間隔Δ決定。根據(jù)Δ的不同，可將一切光組的組合形式分為有焦系統(tǒng)和無焦系統(tǒng)兩大類。Δ不等于零時，其組合光組為有焦系統(tǒng)，Δ等于零時，其組合光組為無焦系統(tǒng)(或稱望遠鏡系統(tǒng))，這類組合光組的光路如圖2-12所示。將圖中兩分光組分別應用牛頓公式和放大率公式，有

532.4.3光組組合形式討論53圖2-12無焦系統(tǒng)光路

54圖2-12無焦系統(tǒng)光路54由于Δ=0,x2=x1′，代入上式得

這就是望遠鏡系統(tǒng)的物像公式和放大率公式。對上式微分，即可得到望遠鏡系統(tǒng)的軸向放大率公式

55由于Δ=0,x2=x1′，代入上式得這就是望遠鏡系統(tǒng)的物由圖可知，在直角三角形F1H1Q1和中有

由H1Q1=H2′Q2′，可得望遠鏡系統(tǒng)的角放大率

56由圖可知，在直角三角形F1H1Q1和中有由如果望遠鏡系統(tǒng)處于空氣中，有f1′=-f1,f2′=-f2,則放大率公式可表示為

(2-39)57如果望遠鏡系統(tǒng)處于空氣中，有f1′=-f1,f2′由此可見，望遠鏡系統(tǒng)的放大率與物像位置無關，僅取決于兩分光組焦距的大小，當兩分光組確定以后，其放大率為一常數(shù)。當兩個望遠鏡光組組合時，依舊可以得到一個望遠鏡光組；當一個望遠鏡光組和一個有限焦距的光組組合時，可以得到一個有限焦距的光組。當用望遠系統(tǒng)觀察遠處物體時，由于無窮遠射來的平行光線經(jīng)望遠系統(tǒng)后仍為平行光，此時在置于出射光束光路的屏上，我們不能看到任何像。若要獲得像就必須在望遠鏡光組后面放一個有限焦距的光組，如前面所述的復合光組一樣。這里有限焦距光組可以是攝影物鏡，也可以是觀察者的眼睛。

58由此可見，望遠鏡系統(tǒng)的放大率與物像位置無關，僅取2.5透

鏡

2.5.1單個折射球面的基點、基面在近軸區(qū)內，單個折射球面成完善像。在這種情況下，可以把它看成為單獨的理想光組，它也具有基點、基面。對主平面而言，其軸向放大率β=+1，故有

592.5透鏡2.5.1單個折射球面的基點、基面59將單個折射球面的物像位置公式(7-14)兩邊同乘以lHlH′得

因n′lH=nlH′，上式左邊為零，

故有

由于(n′-n)/r≠0，只有在lH=lH′=0時，上式才能成立。因此，對單個折射球面而言，物方主點H，像方主點H′和球面頂點O相重合，而且物方和像方主平面相切于球面頂點O，如圖2-13所示。

60將單個折射球面的物像位置公式(7-14)兩邊同乘以lHlH由于主點已知，焦距由f′=n′r/(n′-n)，f=-nr/(n′-n)確定，焦點和焦平面的位置也就確定了。由節(jié)點的定義和角放大率公式有

即

代入單個折射球面公式(7-14)得

61由于主點已知，焦距由f′=n′r/(n′-n)，f=圖2-13單個折射球面的基點和基面

62圖2-13單個折射球面的基點和基面622.5.2透鏡由兩個折射面包圍一種透明介質形成的光學零件叫做透鏡。單透鏡可以作為一個最簡單的光組。由于加工和檢驗較為簡便的原因，透鏡多以球面為主。透鏡中光焦度為正者稱為正透鏡，因能對光束起會聚作用，故又稱會聚透鏡。相應地有對光束起發(fā)散作用，光焦度為負的負透鏡或發(fā)散透鏡。按形狀不同，正透鏡又分雙凸、平凸和月凸三種類型；負透鏡又分雙凹、平凹和月凹三種類型。正透鏡的中心厚度大于邊緣厚度，

負透鏡的邊緣厚度大于中心厚度。

632.5.2透鏡63當考慮近軸區(qū)成像時，單個透鏡的每一個折射球面可以看成是一個理想光組，因此它就是兩個光組的組合。應用前述光組組合公式，可以確定透鏡的基點和基面。如圖2-14所示的透鏡，兩個折射面的半徑分別為r1(r1＞0)和r2(r2＜0)，厚度為d，透鏡玻璃的折射率為n。設透鏡在空氣中，則有n1=1,n1′=n2=n,n2′=1。由單個折射面的焦距公式可得透鏡兩個折射面的焦距

64當考慮近軸區(qū)成像時，單個透鏡的每一個折射球面可以看成是或

φ1和φ2為第一和第二折射球面的光焦度。透鏡的光學間隔Δ為

于是透鏡的焦距為

(2-40)65或φ1和φ2為第一和第二折射球面的光焦度。透鏡的光學間隔Δ6666設ρ1=1/r1,ρ2=1/r2，把上式寫成光焦度的形式

(2-41)根據(jù)(2-30)式可得決定焦點位置的lF′和lF的公式

(2-42)67設ρ1=1/r1,ρ2=1/r2，把上式寫成光焦度的形式再按(2-34)式可得決定主平面位置的公式

(2-43)將(2-40)式代入上式，

可得主平面位置的另一種表示式

(2-44)68再按(2-34)式可得決定主平面位置的公式(2-43)將6969

1.雙凸透鏡因雙凸透鏡的r1＞0,r2＜0,故有nr1

r2/(n-1)＜0。由(2-40)式可知，其像方焦距與1/［n(r2-r1)+(n-1)d］異號，因此有：當d＜n(r1-r2)/(n-1)時，f′＞0。由(2-43)式可知，當f′＞0、r1＞0、r2＜0時，lH′＜0，lH＞0，即此時兩主平面位于透鏡內部，如圖2-15所示。若使d增大到d＞n(r1-r2)/(n-1)時，則f′＜0，雙凸透鏡成了一發(fā)散透鏡。由于雙凸透鏡的厚度d一般均能滿足d＜n(r1-r2)/(n-1)的條件，故雙凸透鏡一般是正透鏡。

701.雙凸透鏡70

2.雙凹透鏡因雙凹透鏡的r1＜0,r2＞0，所以不管r1、r2、d為何值，恒有f′＜0。由(2-43)式可知，此時lH′＜0，lH＞0，即雙凹透鏡的二主平面均位于透鏡的內部，如圖2-16所示。

712.雙凹透鏡71圖2-16雙凹透鏡

72圖2-16雙凹透鏡72圖2-17平凸透鏡

73圖2-17平凸透鏡733.平凸透鏡對于平凸透鏡，有r1＞0,r2=∞,所以，

其焦距公式為

由(2-43)式可知，此時

即平凸透鏡的像方主平面位于透鏡內部，其物方主平面和球面頂點相切，如圖2-17所示。

743.平凸透鏡由(2-43)式可知，此時即平凸透鏡的像方4.平凹透鏡對于平凹透鏡，有r1＜0，r2=∞，由(2-40)式和(2-43)式得

即平凹透鏡總為負透鏡，其像方主平面位于透鏡內部，物方主平面和球面頂點相切。如圖2-18所示。

754.平凹透鏡即平凹透鏡總為負透鏡，其像方主平面位于透鏡內圖2-18平凹透鏡

76圖2-18平凹透鏡76

5.正彎月形透鏡對正彎月形透鏡，有r1＞0，r2＞0,|r1|＜|r2|；或r1＜0,r2＜0,|r1|＞|r2|。由(2-40)式和(2-43)式得：f′＞0,lH′＜0,lH＜0，即正彎月形透鏡的像方焦距f′恒為正值，物方主平面位于凸面或凹面之前，

像方主平面也位于凹面或凸面之前，

如圖2-19所示。

775.正彎月形透鏡77圖2-19正彎月形透鏡

78圖2-19正彎月形透鏡78

6.負彎月形透鏡對負彎月形透鏡，有r1＞0,r2＞0,|r1|＞|r2|;或r1＜0,r2＜0,|r1|＜|r2|。與雙凸透鏡相似，負彎月形透鏡的焦距也隨厚度不同而可正可負。當d＜n(r1-r2)/(n-1)時(設r1＞0,r2＞0,|r1|＞|r2|)，f′＜0,lH′＞0,lH＞0，即此時的透鏡為一發(fā)散光組，兩主平面均位于各個折射面的球心方向，如圖2-20所示。若增大d到d＞n(r1-r2)/(n-1)時，則f′＞0，即彎月形透鏡變成了一會聚光組。因負彎月形透鏡的厚度一般都比較小，

故負彎月形透鏡的像方焦距總是負值。

796.負彎月形透鏡79圖2-20負彎月形透鏡80圖2-20負彎月形透鏡802.5.3薄透鏡和薄透鏡組透鏡厚度為零的透鏡稱為薄透鏡。若實際光學系統(tǒng)中的透鏡，其厚度與其焦距或球面曲率半徑相比是一個很小的數(shù)值，則這樣的透鏡也可作為薄透鏡看待。當光組為薄透鏡時，則由(2-44)式有l(wèi)H′=lH=0即薄透鏡的主平面和球面頂點重合在一起，而且兩主平面彼此重合。所以，薄透鏡的光學性質僅由焦距或光焦度所決定。

812.5.3薄透鏡和薄透鏡組81由(2-40)式得薄透鏡的焦距為

(2-45)由(2-41)式得薄透鏡的光焦度為

該式表明，薄透鏡的光焦度為兩個折射球面光焦度之和。由兩個或兩個以上的共軸薄透鏡組合而成的光學系統(tǒng)，稱為薄透鏡組。在實際應用中，常把實際的透鏡組看作薄透鏡組，以便近似地研究其成像問題。薄透鏡的組合也可用上節(jié)中的各個公式。

82由(2-40)式得薄透鏡的焦距為(2-45)由(2-41當兩個薄透鏡相接觸時，d=0，此時(2-29)式可寫為φ=φ1+φ2式中，φ1、φ2分別為兩薄透鏡的光焦度。若兩個薄透鏡間有間隔d時，其光焦度為φ=φ1+φ2-dφ1φ2當兩薄透鏡之間的間隔d變化時，由上式可知，其組合光焦度φ可為正(會聚系統(tǒng))，可以等于零(望遠鏡系統(tǒng))，也可以為負(發(fā)散系統(tǒng))。

83當兩個薄透鏡相接觸時，d=0，此時(2-29)式可寫組合薄透鏡系統(tǒng)的主點位置仍由(2-34)式確定

不同薄透鏡組不僅各基點的位置不同，而且其排列次序也大有差別。巧妙地安排基點的位置，會給光學系統(tǒng)帶來很多好處。

現(xiàn)以幾例常見的薄透鏡組予以簡要說明。

84組合薄透鏡系統(tǒng)的主點位置仍由(2-34)式確定不同薄透鏡組1.惠更斯目鏡惠更斯目鏡由兩個平凸透鏡組成，圖2-21是這種目鏡的示意圖。圖中靠近物鏡一方的透鏡L1稱為場鏡，另一透鏡L2接近眼睛，稱為接目鏡。如果各透鏡的焦距為f1′=3a，f2′=a，兩透鏡間隔d=(f1′+f2′)/2=2a。則由上述公式可得到此目鏡的光焦度φ為

851.惠更斯目鏡85圖2-21惠更斯目鏡

86圖2-21惠更斯目鏡86由此得出目鏡的焦距為

主點的位置為

87由此得出目鏡的焦距為主點的位置為87

2.攝遠物鏡攝遠物鏡由一個正的薄透鏡和一個負的薄透鏡組成，如圖2-22所示。兩透鏡的間隔d比正透鏡的焦距小，例如f1′=18.8cm,d=15.0cm,f2′=-6.0cm，則此組合系統(tǒng)的焦距和主平面位置為f′=51.3cm,lH′=-40.9cm。這種物鏡的特點是筒長L=(51.3-40.9)+15=25.4cm，比焦距f′小得多，故稱攝遠物鏡。用它可使儀器的長度在保持較小尺寸的情況下，獲得長焦距的光學系統(tǒng)。在現(xiàn)代大地測量儀器及長焦距照相機中，

常被采用。

882.攝遠物鏡88圖2-22攝遠物鏡

89圖2-22攝遠物鏡89圖2-23反遠距系統(tǒng)

90圖2-23反遠距系統(tǒng)90

3.反遠距系統(tǒng)與攝遠系統(tǒng)相反，把負透鏡放在靠近物的一方，如圖2-23所示，形成反遠距系統(tǒng)，它的特點是能提供較長的后工作距離。一些投影儀物鏡和某些特殊物鏡常采用這種系統(tǒng)。

913.反遠距系統(tǒng)91

4.無焦系統(tǒng)兩個薄透鏡，焦距分別為f1′和f2′，相距為f1′+f2′時，組合系統(tǒng)的焦距為無限大并且主面也在無限遠處，這樣的系統(tǒng)稱為無焦系統(tǒng)(望遠鏡系統(tǒng))。從圖2-24所示的無焦系統(tǒng)可見，出射光束的寬度較入射光束小得多；反過來，若細光束由L2入射，則從L1出射的光束寬度將增大很多。利用這個原理可將激光器發(fā)出的細光束擴展為較寬的激光束，這樣的系統(tǒng)稱為折束系統(tǒng)，它在激光技術中有廣泛應用。

924.無焦系統(tǒng)92圖2-24無焦系統(tǒng)

93圖2-24無焦系統(tǒng)93

5.折反系統(tǒng)由透鏡和反射鏡組成的系統(tǒng)稱為折反系統(tǒng)，它廣泛應用于望遠物鏡和一些導彈頭的光學系統(tǒng)中，圖2-25是一個共心負透鏡和一半徑為R的球面鏡組成的共心折反系統(tǒng)，稱為包沃斯—馬克蘇托夫(Bouwers-Максутов)共心物鏡。

945.折反系統(tǒng)94圖2-25折反系統(tǒng)

95圖2-25折反系統(tǒng)95第2章理想光學系統(tǒng)2.1理想光學系統(tǒng)的基點和基面2.2理想光學系統(tǒng)的物像關系2.3節(jié)點和節(jié)平面2.4理想光學系統(tǒng)的組合2.5透鏡96第2章理想光學系統(tǒng)2.1理想光學系統(tǒng)的基點和基面2.1理想光學系統(tǒng)的基本特性、基點和基面

2.1.1理想光學系統(tǒng)的基本特性理想光學系統(tǒng)具有以下基本特性：①點成點像。即物空間的每一點，在像空間必有一個點與之對應，且只有一個點與之對應，這兩個對應點稱為物像空間的共軛點。②線成線像。即物空間的每一條直線在像空間必有一條直線與之對應，且只有一條直線與之對應

這兩條對應直線稱為物像空間的共軛線。

972.1理想光學系統(tǒng)的基本特性、基點和基面2.1.1理想③平面成平面像。即物空間的每一個平面，在像空間必有一個平面與之對應，且只有一個平面與之對應。這兩個對應平面稱為物像空間的共軛面。④對稱軸共軛。即物空間和像空間存在著一對唯一的共軛對稱軸。當物點A繞物空間的對稱軸旋轉一個任意角α時，它的共軛像點A′也繞像空間的對稱軸旋轉同樣的角度α，

這樣的一對共軛軸稱為光軸。

98③平面成平面像。即物空間的每一個平面，在像空間必有由此推廣到：物空間的任一個同心光束必對應于像空間中的一個同心光束；若物空間中的兩點與像空間中的兩點共軛，則物空間兩點的連線與像空間兩點的連線也一定共軛；若物空間任意一點位于一直線上，則該點在像空間的共軛點必位于該直線的共軛線上。上述定義只是理想光學系統(tǒng)的基本假設。在均勻透明介質中，除平面反射鏡具有上述理想光學系統(tǒng)的性質外，任何實際的光學系統(tǒng)都不能絕對完善成像。研究理想光學系統(tǒng)成像規(guī)律的實際意義是用它作為衡量實際光學系統(tǒng)成像質量的標準。通常把理想光學系統(tǒng)計算公式(近軸光學公式)計算出來的像，稱為實際光學系統(tǒng)的理想像。另外，在設計實際光學系統(tǒng)時，用它近似表示實際光學系統(tǒng)所成像的位置和大小，即實際光學系統(tǒng)設計的初始計算。

99由此推廣到：物空間的任一個同心光束必對應于像空間中的2.1.2理想光學系統(tǒng)的基點和基面理想光學系統(tǒng)的基點和基面是指表征理想光學系統(tǒng)特性的焦點、焦平面、主點、主平面。利用這些特殊的點和面來討論光學系統(tǒng)的成像特性，可使討論的問題大為簡化。圖2-1所示為一理想光學系統(tǒng)，O1和Ok是其第一面和最后一面的頂點，F(xiàn)F′為光軸。如果在物空間有一條平行于光軸的光線AE1經(jīng)光組各面折射后，其折射光線GkF′交光軸F′點。另一條物方光線FO1與光軸重合，其折射光線OkF′仍沿光軸方向射出。由于物方兩平行入射線AE1和FO1的交點(于左方無窮遠的光軸上)與像方共軛光線GkF′和OkF′的交點F′共軛，所以F′是物方無窮遠軸上點的像，F(xiàn)′點稱為理想光學系統(tǒng)的像方焦點(或后焦點、第二焦點)。由此，任一條平行于光軸的入射線經(jīng)理想光學系統(tǒng)后，出射線必過F′點。

1002.1.2理想光學系統(tǒng)的基點和基面5圖2-1理想光學系統(tǒng)

101圖2-1理想光學系統(tǒng)6同理有一物方焦點F(或前焦點、第一焦點)，它與像方無窮遠軸上點共軛。任一條過F的入射線經(jīng)理想光學系統(tǒng)后，出射線必平行于光軸。通過物方焦點F且垂直于光軸的平面稱為物方焦平面。通過像方焦點F′且垂直于光軸的平面稱為像方焦平面。顯然，物方焦平面的共軛像面在無窮遠處，物方焦平面上任何一點發(fā)出的光束，經(jīng)理想光學系統(tǒng)后必為一平行光束。同樣，像方焦平面的共軛物面也在無窮遠處，任何一束入射的平行光，經(jīng)理想光學系統(tǒng)后必會聚于像方焦平面的某一點。必須指出，焦點和焦平面是理想光學系統(tǒng)的一對特殊的點和面。焦點F和F′彼此之間不共軛，兩焦平面彼此之間也不共軛。

102同理有一物方焦點F(或前焦點、第一焦點)，它與像方無延長入射光線AE1和出射光線GkF′得到交點Q′；同樣延長光線BEk和G1F，可得交點Q。若設光線AE1和BEk入射高度相同，且都在子午面內，則由于光線AE1與GkF′共軛，BEk與G1F共軛，共軛線的交點Q′與Q必共軛。并由此推得，過Q和Q′點作垂直于光軸的平面QH和Q′H′也互相共軛。位于這兩個平面內的共軛線段QH和Q′H′具有同樣的高度h，且位于光軸的同一側，故這兩面的垂軸放大率β=+1，稱這對垂軸放大率為+1的共軛面為主平面。其中，QH稱為物方主平面，Q′H′稱為像方主平面。物方主平面與光軸的交點H稱為物方主點，像方主平面與光軸的交點H′稱為像方主點。主點和主平面也是理想光學系統(tǒng)的一對特殊的點和面。

103延長入射光線AE1和出射光線GkF′得到交點Q′；同根據(jù)主平面的定義可知，當物空間任意一條光線和物方主平面的交點為Q時，則它的共軛光線和像方主平面的交點為Q′，Q點和Q′點距光軸的距離相等。自物方主點H到物方焦點F的距離稱為物方焦距(或前焦距、第一焦距)，以f表示。自像方主點H′到像方焦點F′的距離稱為像方焦距(或后焦距、第二焦距)，以f′表示。焦距的正負是以相應的主點為原點來確定的，如果由主點到相應的焦點的方向與光線傳播方向一致，則焦距為正，反之為負。圖中，f＜0,f′＞0。由三角形Q′H′F′可以得到像方焦距f′的表示式

104根據(jù)主平面的定義可知，當物空間任意一條光線和物方主平同理，

物方焦距的表示式為

(2-2)(2-1)105同理，物方焦距的表示式為(2-2)(2-1)102.2理想光學系統(tǒng)的物像關系

2.2.1圖解法求像當理想光學系統(tǒng)的主點和焦點位置已知時，欲求一垂軸物體AB經(jīng)光學系統(tǒng)的像，只需過B點作兩條入射光線，如圖2-2所示，其中一條光線平行于光軸，出射光線必過像方焦點F′；另一條光線過物方焦點，出射光線必平行于光軸。兩出射光線的交點B′就是物點B的像。因AB垂直于光軸，故過像點B′作垂軸線段A′B′就是物體AB經(jīng)系統(tǒng)后所成的像。

1062.2理想光學系統(tǒng)的物像關系2.2.1圖解法求像11圖2-2理想光學系統(tǒng)圖解法求像

107圖2-2理想光學系統(tǒng)圖解法求像12為了作圖方便，有時需要知道任意光線經(jīng)過光學系統(tǒng)后的出射方向。此時，根據(jù)焦平面的性質有兩種常用的方法。一種方法是過物方焦點作一條與任意光線平行的輔助光線，任意光線與輔助光線所構成的斜平行光束經(jīng)光學系統(tǒng)折射后應會聚于像方焦平面上一點，這一點可由輔助光線的出射線平行于光軸而確定，從而求得任意光線的出射線的方向，如圖2-3(a)所示。另一種方法是認為任意光線是由物方焦平面上一點發(fā)出光束中的一條。為此，過任意光線與物方焦平面交點作一條平行于光軸的輔助線，其出射線必過像方焦點。則由于任意光線的出射線平行于輔助光線的出射線，即可求得任意光線的出射線方向。如圖2-3(b)所示。用圖解求像簡單、直觀，便于判斷像的位置和虛實，但精度較低，為了更全面地討論物體經(jīng)光學系統(tǒng)的成像規(guī)律，還常采用解析求像的方法。

108為了作圖方便，有時需要知道任意光線經(jīng)過光學系統(tǒng)后的出圖2-3任意入射線的出射線的作圖

109圖2-3任意入射線的出射線的作圖142.2.2解析法求像1.牛頓公式以焦點為坐標原點計算物距和像距的物像公式，叫牛頓公式。如圖2-4所示，有一垂軸物體AB，其高度為y，經(jīng)理想光學系統(tǒng)后成一倒像A′B′，像高為y′。由相似三角形BAF和FHN，H’M’F’和F’A’B’得

由此可得

這就是牛頓公式。

(2-3)1102.2.2解析法求像由此可得這就是牛頓公式。(2-3)圖2-4理想光學系統(tǒng)物像關系導出用圖

111圖2-4理想光學系統(tǒng)物像關系導出用圖16

2.高斯公式以主點為坐標原點計算物距和像距的物像公式，叫高斯公式。l和l′分別表示以物方主點為原點的物距和以像方主點為原點的像距，由圖可知-l=-x-fl′=x′+f′代入牛頓公式，

整理后可得

(2-4)這就是高斯公式。

1122.高斯公式(2-4)這就是高斯公式。17

3.焦距間的關系如圖2-5所示，A′B′是物體AB經(jīng)理想光學系統(tǒng)后所成的像，由軸上點A發(fā)出的任意一條成像光線AQ，其共軛光線為Q′A′。AQ和Q′A′的孔徑角分別為u和u′。HQ和H′Q′的高度均為h。由圖得

因

代入上式得

(2-5)1133.焦距間的關系因代入上式得(2-5)18圖2-5理想光學系統(tǒng)導出兩焦距關系用圖

114圖2-5理想光學系統(tǒng)導出兩焦距關系用圖19對于理想光學系統(tǒng)，不管u和u′角有多大，上式均能成立。因此，當QA和Q′A′是近軸光時，上式也能成立。將tanu=u,tanu′=u′代入得

和拉亥不變量nuy=n′u′y′相比較，可得表征光學系統(tǒng)物方和像方兩焦距之間關系的重要公式

(2-6)當光學系統(tǒng)處于同一介質中時，即n′=n,則兩焦距絕對值相等，

符號相反：

(2-7)115對于理想光學系統(tǒng)，不管u和u′角有多大，上式均能成立此時，

牛頓公式可以寫成

(2-8)高斯公式可以寫成

(2-9)116此時，牛頓公式可以寫成(2-8)高斯公式可以寫成(24.拉亥不變量將(2-6)式代入(2-5)式得理想光學系統(tǒng)的拉亥不變量公式

(2-10)此式對任何能成完善像的光學系統(tǒng)均成立。

1174.拉亥不變量(2-10)此式對任何能成完善像的光學系

5.垂軸放大率理想光學系統(tǒng)的垂軸放大率β定義為像高y′與物高y之比。

由圖2-4得

(2-11)對于以主點為坐標原點的物像距的放大率公式，可由牛頓公式導出。將牛頓公式x′=ff′/x兩邊各加上f′,得

因為l′=x′+f′,l=f+x，故有

1185.垂軸放大率(2-11)對于以主點為將兩焦距的關系式(2-6)代入，

得

此式與單個折射球面近軸區(qū)成像的垂軸放大率公式完全相同，表明理想光學系統(tǒng)的成像性質可以在實際光學系統(tǒng)的近軸區(qū)得到實現(xiàn)。如果光學系統(tǒng)處于同一介質中，f′=-f，則垂軸放大率可寫成

(2-12)119將兩焦距的關系式(2-6)代入，得此式與單個折射球面近軸6.軸向放大率理想光學系統(tǒng)的軸向放大率α定義為

(2-13)式中，dx(或dl)為軸上物點A沿光軸移動一微小距離；dx′(或dl′)為像A′相應移動距離。微分牛頓公式或高斯公式，可以求得

(2-14)1206.軸向放大率(2-13)式中，dx(或dl)為軸上物點上式右邊乘以和除以ff′，并用垂軸放大率公式，可得

(2-15)如果光學系統(tǒng)處于同一介質中，則α=β2。

121上式右邊乘以和除以ff′，并用垂軸放大率公式，可得(2-17.角放大率理想光學系統(tǒng)的角放大率γ定義為像方孔徑角u′的正切與物方孔徑角u的正切之比，即

由圖2-5，ltanu=h=l′tanu′,故

(2-16)將(2-10)式代入上式得

(2-17)1227.角放大率由圖2-5，ltanu=h=l′如果光學系統(tǒng)處于同一介質中，

則

將(2-6)式代入(2-17)式得

(2-18)可見，理想光學系統(tǒng)的角放大率只和物體的位置有關，而與孔徑角無關。在同一對共軛點上，所有像方孔徑角的正切和與之相應的物方孔徑角的正切之比恒為常數(shù)。將(2-15)式和(2-17)式相乘，

得三種放大率之間的關系:(2-19)123如果光學系統(tǒng)處于同一介質中，則將(2-6)式代入(2-1

8.光焦度光焦度是光學系統(tǒng)會聚本領或發(fā)散本領的數(shù)值表示，它與光學系統(tǒng)的焦距有關。利用(2-6)式，將高斯公式寫成如下形式:式中，n′/f′定義為光學系統(tǒng)的光焦度，用字母φ表示:(2-20)1248.光焦度式中，n′/f′定義為光學系統(tǒng)的光焦度2.3節(jié)點和節(jié)平面

在理想光學系統(tǒng)中有一對角放大率為+1的共軛點，叫做節(jié)點。在物空間的節(jié)點稱為物方節(jié)點，像空間的稱為像方節(jié)點。分別用字母J和J′表示。過物方節(jié)點并垂直于光軸的平面稱為物方節(jié)平面，過像方節(jié)點并垂直于光軸的平面稱為像方節(jié)平面。節(jié)點和節(jié)平面是理想光學系統(tǒng)的又一對特殊的點和面，與焦點和焦平面、主點和主平面統(tǒng)稱為理想光學系統(tǒng)的基點和基面。

1252.3節(jié)點和節(jié)平面在理想光學系統(tǒng)中有一對角放大率按(2-18)式，γ=x/f′=f/x′。當γ=+1時，得這一對共軛點相對于相應焦點的位置由如下坐標決定:(2-21)如果光學系統(tǒng)處于同一介質中，由于f=-f′，因而xJ=xH,xJ′=xH′，即節(jié)點和主點重合。因節(jié)點的γ=+1，故有u=u′。這表示通過節(jié)點的共軛光線方向不變，因而可方便地用于圖解法求像，如圖2-6所示。

126按(2-18)式，γ=x/f′=f/x′。當γ=+1圖2-6理想光學系統(tǒng)過節(jié)點的入射線和出射線彼此平行

127圖2-6理想光學系統(tǒng)過節(jié)點的入射線和出射線彼此平行32圖2-7節(jié)點位置的測定

128圖2-7節(jié)點位置的測定33圖2-8周視照相機過像方節(jié)點軸轉動

129圖2-8周視照相機過像方節(jié)點軸轉動342.4理想光學系統(tǒng)的組合

2.4.1雙光組組合雙光組組合是光組組合中常遇到的組合，也是最基本的組合。如圖2-9所示，有兩個理想光組它們的焦距分別為f1′、f1和f2′、f2，其基點位置如圖中所示，兩光組間的相對位置由第一光組的像方焦點F1′距第二光組的物方焦點F2的距離Δ表示，Δ稱為該系統(tǒng)的光學間隔。Δ以F1′為起點，計算到F2，由左向右為正，反之為負。d為兩光組間的距離，等于H1′H2。

1302.4理想光學系統(tǒng)的組合2.4.1雙光組組合35圖2-9雙光組組合

131圖2-9雙光組組合36在物空間作一條平行于光軸的光線QQ1，經(jīng)第一光組折射后過焦點F1′射入第二個光組，交第二個光組的物方主平面之R2點。利用物方焦平面的特性作出經(jīng)第二個光組的出射線R2′F′。R2′F′與光軸交點F′就是合成光組的像方焦點。入射光線QQ1的延長線與其共軛光線R2′F′的交點Q′必位于合成光組的像方主平面上。過Q′作垂直于光軸的平面Q′H′，即為合成光組的像方主平面，它和光軸的交點H′為合成光組的像方主點。線段H′F′為合成光組的像方焦距f′,圖中f′＜0。

同理，在像方空間作一條平行于光軸的光線Q′Q2′，自右向左重復上述步驟即可求出合成光組的物方焦點F和物方主點H，HF為物方焦距f，

圖中f＞0。

132在物空間作一條平行于光軸的光線QQ1，經(jīng)第一光組折射合成光組的像方焦點F′和像方主點H′的位置以第二個光組的像方焦點F2′或像方主點H2′為原點來確定。由圖可見，xF′=F2′F′＞0,xH′=F2′H′＞0,或lF′=H2′F′＞0,lH′=H2′H′＞0。同樣，合成光組的物方焦點F和物方主點H的位置以第一光組的物方焦點F1或物方主點H1為原點來確定。由圖可見，xF=F1F＜0,xH=F1H＜0，或lF=H1F＜0，

lH=H1H＜0。

133合成光組的像方焦點F′和像方主點H′的位置以第二個光

1.焦點位置公式由圖2-9可見，合成光組的像方焦點F′和第一光組的像方焦點F1′對第二光組來說是一對共軛點。F′的位置xF′=F2′F′可用牛頓公式求得。公式中的x=-Δ，x′=xF′，

即

(2-22)同理，合成光組的物方焦點F和第二光組的物方焦點F2對第一光組來說是一對共軛點。

故有

(2-23)1341.焦點位置公式(2-22)同理，合成光組的物由于

所以，將(2-22)式和(2-23)式代入可得相對于主點H2′和H1確定的合成光組焦點位置公式

(2-24)135由于所以，將(2-22)式和(2-23)式代入可得相對于主2.焦距公式由圖2-9，△Q′H′F1′與△N2′H2′F2′相似，△Q1′H1′F1′與△F1′F2E2相似，

所以有

因為

,故得

(2-25)1362.焦距公式因為,故得(2-25)41同理，△QHF與△F1H1N1相似，△Q2H2F2與相似，

有

上兩式等號右邊部分相等，

故得

(2-26)由于光學間隔Δ=d-f1′+f2,所以代入(2-25)式可得

(2-27)137同理，△QHF與△F1H1N1相似，△Q2H2F2與如果光組處于同一介質中，

則上式可寫為

(2-28)或用光焦度表示為

(2-29)利用(2-25)式和(2-26)式，

可將(2-24)式改寫為

(2-30)138如果光組處于同一介質中，則上式可寫為(2-28)或用光3.主點位置公式由圖2-9可見

(2-31)(2-32)1393.主點位置公式(2-31)(2-32)44將有關公式代入，

整理后得

(2-33)(2-34)140將有關公式代入，整理后得(2-33)(2-34)454.合成光組的垂軸放大率由于合成光組仍然是一個理想光組，

因此其垂軸放大率仍為

此時，式中的f和f′是合成光組的焦距；x表示物點A到合成光組前焦點F的距離。由圖2-10可見，x=x1-xF=x1-f1f1′/Δ，與(2-26)式一起代入垂軸放大率公式,得

(2-35)1414.合成光組的垂軸放大率此時，式中的f和f′是合成光組的圖2-10合成光組的垂軸放大率

142圖2-10合成光組的垂軸放大率472.4.2多光組組合

1.正切計算法如圖2-11所示，已知三個光組的基點位置及各光組之間的間隔，作任意一條平行于光軸的光線通過三個光組的光路。光線在每個光組上的入射高度分別為h1、h2、h3，出射光線與光軸的夾角為u3′。由圖可知

對于由k個光組組成的系統(tǒng)，

應有

(2-36)1432.4.2多光組組合1.正切計算法對于由k個圖2-11正切計算法

144圖2-11正切計算法49式中，hk和uk′可由以下方法求得。將高斯公式兩邊乘以h1得

由于

所以有

145式中，hk和uk′可由以下方法求得。由于所以有50再將過渡公式l2=l1′-d1兩邊乘以tanu1′，得

由于u1′=u2,l2tanu2=h2,l1′tanu1′=h1,所以有

只要給定tanu1和h1，便可將以上tanu1′和h2表示式逐個運用于各光組，最后求出hk和tanuk′。hk和tanuk′的一般表示式為

(2-37)146再將過渡公式l2=l1′-d1兩邊乘以tanu1′，得由2.截距計算法將(2-36)式改寫為

由于

故

當應用高斯公式依次求出每個光組的物距和像距后，便可應用此式求出組合光組的焦距。

(2-38)1472.截距計算法由于故當應用高斯公式依次求出每個光組的物2.4.3光組組合形式討論根據(jù)(2-22)式、(2-23)式和(2-25)式、(2-26)式，在給定各分光組參數(shù)的條件下，組合光組的性質將由分光組之間的光學間隔Δ決定。根據(jù)Δ的不同，可將一切光組的組合形式分為有焦系統(tǒng)和無焦系統(tǒng)兩大類。Δ不等于零時，其組合光組為有焦系統(tǒng)，Δ等于零時，其組合光組為無焦系統(tǒng)(或稱望遠鏡系統(tǒng))，這類組合光組的光路如圖2-12所示。將圖中兩分光組分別應用牛頓公式和放大率公式，有

1482.4.3光組組合形式討論53圖2-12無焦系統(tǒng)光路

149圖2-12無焦系統(tǒng)光路54由于Δ=0,x2=x1′，代入上式得

這就是望遠鏡系統(tǒng)的物像公式和放大率公式。對上式微分，即可得到望遠鏡系統(tǒng)的軸向放大率公式

150由于Δ=0,x2=x1′，代入上式得這就是望遠鏡系統(tǒng)的物由圖可知，在直角三角形F1H1Q1和中有

由H1Q1=H2′Q2′，可得望遠鏡系統(tǒng)的角放大率

151由圖可知，在直角三角形F1H1Q1和中有由如果望遠鏡系統(tǒng)處于空氣中，有f1′=-f1,f2′=-f2,則放大率公式可表示為

(2-39)152如果望遠鏡系統(tǒng)處于空氣中，有f1′=-f1,f2′由此可見，望遠鏡系統(tǒng)的放大率與物像位置無關，僅取決于兩分光組焦距的大小，當兩分光組確定以后，其放大率為一常數(shù)。當兩個望遠鏡光組組合時，依舊可以得到一個望遠鏡光組；當一個望遠鏡光組和一個有限焦距的光組組合時，可以得到一個有限焦距的光組。當用望遠系統(tǒng)觀察遠處物體時，由于無窮遠射來的平行光線經(jīng)望遠系統(tǒng)后仍為平行光，此時在置于出射光束光路的屏上，我們不能看到任何像。若要獲得像就必須在望遠鏡光組后面放一個有限焦距的光組，如前面所述的復合光組一樣。這里有限焦距光組可以是攝影物鏡，也可以是觀察者的眼睛。

153由此可見，望遠鏡系統(tǒng)的放大率與物像位置無關，僅取2.5透

鏡

2.5.1單個折射球面的基點、基面在近軸區(qū)內，單個折射球面成完善像。在這種情況下，可以把它看成為單獨的理想光組，它也具有基點、基面。對主平面而言，其軸向放大率β=+1，故有

1542.5透鏡2.5.1單個折射球面的基點、基面59將單個折射球面的物像位置公式(7-14)兩邊同乘以lHlH′得

因n′lH=nlH′，上式左邊為零，

故有

由于(n′-n)/r≠0，只有在lH=lH′=0時，上式才能成立。因此，對單個折射球面而言，物方主點H，像方主點H′和球面頂點O相重合，而且物方和像方主平面相切于球面頂點O，如圖2-13所示。

155將單個折射球面的物像位置公式(7-14)兩邊同乘以lHlH由于主點已知，焦距由f′=n′r/(n′-n)，f=-nr/(n′-n)確定，焦點和焦平面的位置也就確定了。由節(jié)點的定義和角放大率公式有

即

代入單個折射球面公式(7-14)得

156由于主點已知，焦距由f′=n′r/(n′-n)，f=圖2-13單個折射球面的基點和基面

157圖2-13單個折射球面的基點和基面622.5.2透鏡由兩個折射面包圍一種透明介質形成的光學零件叫做透鏡。單透鏡可以作為一個最簡單的光組。由于加工和檢驗較為簡便的原因，透鏡多以球面為主。透鏡中光焦度為正者稱為正透鏡，因能對光束起會聚作用，故又稱會聚透鏡。相應地有對光束起發(fā)散作用，光焦度為負的負透鏡或發(fā)散透鏡。按形狀不同，正透鏡又分雙凸、平凸和月凸三種類型；負透鏡又分雙凹、平凹和月凹三種類型。正透鏡的中心厚度大于邊緣厚度，

負透鏡的邊緣厚度大于中心厚度。

1582.5.2透鏡63當考慮近軸區(qū)成像時，單個透鏡的每一個折射球面可以看成是一個理想光組，因此它就是兩個光組的組合。應用前述光組組合公式，可以確定透鏡的基點和基面。如圖2-14所示的透鏡，兩個折射面的半徑分別為r1(r1＞0)和r2(r2＜0)，厚度為d，透鏡玻璃的折射率為n。設透鏡在空氣中，則有n1=1,n1′=n2=n,n2′=1。由單個折射面的焦距公式可得透鏡兩個折射面的焦距

159當考慮近軸區(qū)成像時，單個透鏡的每一個折射球面可以看成是或

φ1和φ2為第一和第二折射球面的光焦度。透鏡的光學間隔Δ為

于是透鏡的焦距為

(2-40)160或φ1和φ2為第一和第二折射球面的光焦度。透鏡的光學間隔Δ16166設ρ1=1/r1,ρ2=1/r2，把上式寫成光焦度的形式

(2-41)根據(jù)(2-30)式可得決定焦點位置的lF′和lF的公式

(2-42)162設ρ1=1/r1,ρ2=1/r2，把上式寫成光焦度的形式再按(2-34)式可得決定主平面位置的公式

(2-43)將(2-40)式代入上式，

可得主平面位置的另一種表示式

(2-44)163再按(2-34)式可得決定主平面位置的公式(2-43)將16469

1.雙凸透鏡因雙凸透鏡的r1＞0,r2＜0,故有nr1

r2/(