五年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練 奧數(shù)第九講 數(shù)字游戲 - 全國版 含答案

.*;;第6頁第九講數(shù)學(xué)游戲游戲?qū)Σ邌栴}因常與智力游戲相結(jié)合，因此具有很大的興趣性.又由于解題方法靈敏，技巧性強(qiáng)，所以對(duì)開闊解題思路，進(jìn)步分析問題解決問題的才能是很有好處的。例1在一個(gè)3×3的方格紙中，甲乙兩人輪流〔甲先〕往方格紙中填寫1、3、4、5、6、7、8、9、10九個(gè)數(shù)中的一個(gè)，數(shù)不能重復(fù).最后甲的得分是不計(jì)中間行的上下兩行六個(gè)數(shù)之和，乙的得分是不計(jì)中間列的左右兩列六個(gè)數(shù)之和，得分多者為勝.請(qǐng)你為甲找出一種必勝的策略。分析把題中的九個(gè)格標(biāo)上字母：a、b、c、d、e、f、g、h、i。甲的得分為：a＋b＋c＋g＋h+i=〔a＋c＋g+i〕+〔b+h〕；乙的得分為：a＋d＋g＋c＋f＋i=〔a＋c＋g＋i〕+〔d＋f〕要想使甲的得分高于乙的得分，必須且只需使b＋h＞d+f.要想使b＋h＞d＋f，甲有兩種策略：一是增強(qiáng)自己的實(shí)力——使b、h格內(nèi)填的數(shù)盡可能地大；二是削弱對(duì)方的實(shí)力——使d、f格內(nèi)填的數(shù)盡可能地小.下面分兩種情況進(jìn)展討論：取勝的總策略是“增強(qiáng)自己，削弱對(duì)方〞兩者兼顧。為了使表達(dá)方便起見，我們分別用〔甲2〕和〔a5〕分別表示“甲第二輪〞和“在a處填數(shù)字5〞，其余如〔乙1〕，〔甲1，b10〕等含義類同。一、甲首先使b、h處填的數(shù)盡可能大.譬如，〔甲1，b10〕。1.乙為了不輸，〔乙1〕必須在h處填數(shù).〔否那么，即如〔乙1〕不在h處填數(shù)，〔甲2〕在h處填余下來的最大數(shù)后，無論〔乙2〕怎么填，最后總有b＋h≥10＋8=18＞16＝9＋7≥d+f，甲勝〕.這樣，必須〔乙1，h1〕.〔乙當(dāng)然在h處填最小數(shù)〕2.〔甲2〕不能在d處或f處填數(shù).〔否那么，如〔甲2，dx〕，x為任一數(shù)，那么〔乙2〕在f處填余下來的最大數(shù)后，即有d+f≥3＋9＝12＞11＝10＋1＝b+h，乙勝〕.當(dāng)然〔甲2〕填9，譬如〔甲2，eg〕.〔以后，只要甲不填錯(cuò)，即只要把余下數(shù)中的最小者填入d或f，就不會(huì)輸了〕3.顯然，〔乙2，d8〕，乙就不會(huì)輸了.因此不分勝負(fù)〔此時(shí)〔甲3〕必須〔f3〕〕。同樣，假設(shè)〔甲1，h10〕，只要乙應(yīng)對(duì)正確，乙就不會(huì)輸。因此，只有二、甲首先使d、f處填的數(shù)盡可能小〔才有可能必勝〕.譬如，〔甲1，d1〕。1.假設(shè)〔乙1〕不在f處填數(shù)時(shí)，〔甲2〕在f處填余下來的最小數(shù)，那么最后必有b＋h≥3＋5＝8＞5=1＋4≥d＋f，甲勝。2.假設(shè)〔乙1，f10〕〔乙當(dāng)然在f處填最大數(shù)〕，那么〔甲2，b9〕，最后必有b＋h≥9＋3＝12＞11=1＋10=d+f，甲勝.因此，只要〔甲1，d1〕，且以后甲每次應(yīng)對(duì)正確，那么甲必勝。解：甲第一輪采用削弱對(duì)方策略，把1填入d格〔或f格〕內(nèi)，以后無論乙怎樣填，甲第二輪“隨機(jī)應(yīng)變〞，只要把盡可能大的數(shù)填入b或h格內(nèi)，或者把盡可能小的數(shù)填入f格〔或d格〕內(nèi)〔在乙沒有在f或d格內(nèi)填數(shù)的情況下〕，甲都能獲勝。例2在4×4的方格紙上有一粒石子，它放在左下角的方格里.甲乙二人玩游戲，由甲開場(chǎng)，二人交替地挪動(dòng)這粒石子，每次只能向上、向右或向右上方挪動(dòng)一格，誰把石子移到右上角誰勝.問甲能取勝嗎？假如要取勝，應(yīng)采取什么方法？分析見右圖，采用倒推法.甲要取勝，就必須使乙在挪動(dòng)最后一次石子后，石子落在再挪動(dòng)一次就能移到右上角的那些方格中，即eq\o\ac〔○,一〕1~eq\o\ac〔○,一〕3.而挪動(dòng)一次石子，石子必定落在這三個(gè)方格之一的方格只有eq\o\ac〔○,+〕1和eq\o\ac〔○,+〕2,即eq\o\ac〔○,+〕1和eq\o\ac〔○,+〕2必須由甲來占領(lǐng)。這樣，如一開場(chǎng)分析的那樣，就必須使乙在某一次挪動(dòng)石子后，石子落在再挪動(dòng)一次就能移到eq\o\ac〔○,+〕1或eq\o\ac〔○,+〕2的那些方格中，即eq\o\ac〔○,一〕4~eq\o\ac〔○,一〕9.而從哪些方格〔除了eq\o\ac〔○,+〕1和eq\o\ac〔○,+〕2外〕中挪動(dòng)一次石子，石子必定落在eq\o\ac〔○,一〕1~eq\o\ac〔○,一〕9之一中呢？只有用eq\o\ac〔○,+〕3.因此甲第一次挪動(dòng)石子就必須把石子從左下角移到eq\o\ac〔○,+〕3.中。這樣，所有的格子被分成“勝位〞〔eq\o\ac〔○,+〕1~eq\o\ac〔○,+〕3〕和“負(fù)位〞〔eq\o\ac〔○,一〕1~eq\o\ac〔○,一〕9〕.自然，上圖中的eq\o\ac〔○,一〕10和eq\o\ac〔○,一〕11也是負(fù)位.即，誰占據(jù)勝位，誰將獲勝〔假設(shè)此后他不失誤〕；誰占負(fù)位，誰將失敗〔假設(shè)此后對(duì)方不失誤〕。解：由以上的分析和上圖知，甲要取勝，必須向右上走一格.然后，乙假如向上走，甲也向上走；乙向右走，甲也向右走；乙向右上走，甲也向右上走.總之，甲走完第一步以后，乙朝哪個(gè)方向走，甲就朝哪個(gè)方向走，這樣甲就能取勝。假如是5×5的方格，甲要取勝，應(yīng)采取怎樣的策略呢？根據(jù)例2的分析，我們?nèi)杂胑q\o\ac〔○,+〕表示勝位，eq\o\ac〔○,一〕表示負(fù)位，如下圖.因此，先挪動(dòng)石子者必輸——第一次他只能把石子挪動(dòng)到負(fù)位。例3甲乙兩人玩下面的游戲：有兩堆玻璃球，一堆8個(gè)，另一堆9個(gè)，甲乙兩人輪流從中拿取，每次只能從同一堆中拿，個(gè)數(shù)〔＞0〕不限.規(guī)定拿到最后一個(gè)球的人為輸.問假如甲先拿，他有無必勝的策略？分析解這類題的一個(gè)常用的方法是從簡(jiǎn)單的情形討論起，逐漸找出規(guī)律或找出解來。為了便于表達(dá)，我們用〔m，n〕表示兩堆球，其中一堆有m個(gè)，另一堆有n個(gè)。我們從最簡(jiǎn)單的情況〔1，0〕開場(chǎng)討論。顯然，誰拿過球后兩堆球成為〔1，0〕的狀況，那么對(duì)方必?cái)。驗(yàn)榇藭r(shí)對(duì)方只有唯一的一種選擇——拿走最后一個(gè)球.因此〔1，0〕是勝位，即誰造成這個(gè)場(chǎng)面誰必勝.把這種情形簡(jiǎn)記為①〔1，0〕，勝位。②〔a〕〔n，0〕，負(fù)位，其中n＞1；〔對(duì)方只需在n個(gè)球的那堆中拿走n—1個(gè)，對(duì)方就造出〔1，0〕場(chǎng)面，因此對(duì)方勝〕。顯然，〔b〕〔1，1〕，負(fù)位；〔c〕〔n，1〕，負(fù)位，其中n＞1?！矊?duì)方只需在n個(gè)球的那堆中的球全拿走，就造出〔1，0〕場(chǎng)面.〕此外，③〔2，2〕，勝位.〔對(duì)方拿走1個(gè)變〔2，1〕，即②〔c〕中的情形；拿走2個(gè)變〔2，0〕，即②〔a〕中的情形.對(duì)方均負(fù)〕.因此④〔n，2〕，負(fù)位，其中n＞2?！矊?duì)方只需在n個(gè)球的那堆中拿走n—2個(gè)，對(duì)方就占據(jù)了勝位〔2，2〕.〕與③類似，有⑤〔3，3〕，勝位.〔對(duì)方一次拿走任意多個(gè)后必變?yōu)棰凇瞐〕，②〔c〕，④三種負(fù)位之一.〕因此⑥〔n，3〕，負(fù)位，其中n＞3?！矊?duì)方只需在n個(gè)球的那堆中拿走n—3個(gè)，對(duì)方就占據(jù)了勝位〔3，3〕.〕還有⑦〔4，4〕，勝位.〔對(duì)方一次拿走任意多個(gè)后必變?yōu)棰凇瞐〕，②〔c〕，④，⑥四種負(fù)位之一.〕因此⑧〔n，4〕，負(fù)位，其中n＞4。〔對(duì)方只需在n個(gè)球的那堆中拿走n—4個(gè)，對(duì)方就占據(jù)了勝位〔4，4〕.〕如此等等，因此，當(dāng)兩堆球的個(gè)數(shù)相等但不等于1，或只有一堆球，其中只有一個(gè)球時(shí)，先拿的必輸；當(dāng)個(gè)數(shù)不相等但不是〔1，0〕，或兩堆各有1個(gè)球時(shí)，先拿的必勝〔當(dāng)為〔n，0〕時(shí)，拿走n-1個(gè)球；當(dāng)為〔n，1〕時(shí)，拿走n個(gè)球；否那么，從多的一堆中拿走一些，使兩堆個(gè)數(shù)相等〕。解：假如甲先拿，甲有必勝的策略.甲的詳細(xì)做法是：從9個(gè)球的那一堆中拿1個(gè)，使兩堆球數(shù)相等，都是8個(gè)。此后，乙從一堆中拿球，甲就從另一堆中拿.假如乙把一堆中的球全拿走，那么甲就比乙少拿一個(gè)即可〔即就剩下一個(gè)球〕；假如乙使得一堆球就剩下一個(gè)球，那么甲就把另一堆球都拿走；否那么，當(dāng)乙拿幾個(gè)時(shí)，甲也拿同樣多的個(gè)數(shù).在前兩種情形，因?yàn)橹皇Ｏ乱欢亚?，而且這堆中只有一個(gè)球，因此乙必輸；在后一種情形兩堆球的個(gè)數(shù)一樣，只是比原來少了。這樣，假如每次都是后一種情形，那么甲總能使得乙面臨兩堆各有2個(gè)球的場(chǎng)面.這時(shí)，乙只有兩種選擇：拿2個(gè)或拿1個(gè)，然后，甲拿1個(gè)或拿2個(gè)，乙也必輸。說明：我們也可用例2的分析中的考慮方法來解這道題。先如右圖畫一表格.其中有“*〞的格子表示兩堆球的個(gè)數(shù)分別為3和5.這個(gè)方格記為〔3，5〕〔第四行第六列〕.顯然.〔5，3〕〔第六行第四列〕的含義與〔3，5〕一樣〔行、列分別為從下到上、從左到右編序〕.我們的問題轉(zhuǎn)化為：在〔8，9〕格中有一石子〔即“有兩堆玻璃球，一堆8個(gè)，另一堆9個(gè)〞〕，甲乙兩個(gè)輪流挪動(dòng)石子〔即“甲乙兩人輪流從中拿球〞〕，每次只能向下或向左挪動(dòng)〔即“每次只能從一堆中拿〞〕，格數(shù)不限〔即“個(gè)數(shù)不限〞〕.規(guī)定把石子移到〔0，0〕格〔即左下角〕的人為輸〔即“規(guī)定拿到最后一個(gè)球的人為輸〞〕.問假如甲先移〔即“甲先拿〞〕，他有無必勝的策略？按照例2分析中的思路，我們把解答填在右面的表格里，其中的“+〞、“-〞分別表示該格為“勝位〞和“負(fù)位〞.如，〔1，0〕格中的“+〞表示誰把石子挪動(dòng)到這一格即會(huì)勝.在表格中除了〔1，0〕，〔0，1〕是勝位外，其余所有的勝位為〔n，n〕，n＝2，3，4，….而〔8，9〕格是負(fù)位.因此，開場(chǎng)時(shí)石子在〔8，9〕格中時(shí)，如甲先移，甲有必勝的策略，即甲必勝——把石子移到一個(gè)標(biāo)有“+〞的格子，即移到〔8，8〕格中.此時(shí)，無論乙怎樣挪動(dòng)石子〔只要按規(guī)定移〕，他必把石子移到負(fù)位.接著，甲又能把石子移到勝位，….最后，甲必能把石子移到〔1，0〕格或〔0，l〕格.因此甲必勝。請(qǐng)同學(xué)們自己推導(dǎo)一下上述填“+〞、“-〞的過程，并把“移石子〞的必勝策略“翻譯〞成“取玻璃球〞的策略.

習(xí)題九1.假如把例1中的九個(gè)數(shù)改為1、2、3、4、5、6、7、8、10〔注意缺少9〕，得分少者為勝，甲先填，請(qǐng)你為甲找出一種必勝的策略。2.甲乙兩人玩