高等數(shù)學(xué)第11章無窮級(jí)數(shù)課件

Ch11無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)—表示函數(shù)的一種新方法，是研究函數(shù)性質(zhì)與工程計(jì)算的重要工具.無窮級(jí)數(shù)的概念，我們?cè)谥袑W(xué)就已經(jīng)涉及過§1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及性質(zhì)級(jí)數(shù)的概念基本性質(zhì)級(jí)數(shù)收斂的必要條件一、級(jí)數(shù)的概念1.級(jí)數(shù)的定義一般項(xiàng)或通項(xiàng)2.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散定義例1解注例2解例3解例4解練習(xí)注二、基本性質(zhì)性質(zhì)1注證明性質(zhì)2注兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.性質(zhì)3注性質(zhì)4注例5解2項(xiàng)2項(xiàng)4項(xiàng)8項(xiàng)

項(xiàng)三、級(jí)數(shù)收斂的必要條件定理證明注小結(jié)1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念；2.基本審斂法.§2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法絕對(duì)收斂與條件收斂一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件定理證明必要性充分性注3.比較審斂法證明推論例1解注推論例2解練習(xí)4.比較審斂法的極限形式證明例3解例4解練習(xí)5.比值審斂法

(達(dá)朗貝爾判別法)證明注例5解解解例6解6.根值審斂法

(柯西判別法)注例7解解解解二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義萊布尼茨定理證明注例8解例9解三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義定理證明注任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)定義例10解例11解例12解例13證明例14解思考題解小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法§3冪級(jí)數(shù)接下來我們要來研究函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)問題.對(duì)一般的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，僅介紹一些基本概念，不作詳細(xì)討論.我們只討論一類特殊的最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)—冪級(jí)數(shù).主要研究?jī)缂?jí)數(shù)的收斂問題

(§3)以及如何將一個(gè)函數(shù)用冪級(jí)數(shù)表示

(§4).前兩節(jié)我們介紹了常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念及審斂法.§3冪級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念冪級(jí)數(shù)及其收斂性冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念1.定義2.收斂點(diǎn)與收斂域3.和函數(shù)注例1解二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義2.收斂性定理1(Abel定理)證明收斂區(qū)域發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域推論定義規(guī)定問題定理2證明例2解解解例3解缺少偶次冪的項(xiàng)解注三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算2.分析運(yùn)算???重要結(jié)論注例4解例5解例6解§4函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)問題的提出泰勒級(jí)數(shù)函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)一、問題的提出問題:二、泰勒級(jí)數(shù)1.泰勒公式2.泰勒級(jí)數(shù)?3.函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件定理證明4.展開式的唯一性重要結(jié)論三、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1.直接展開法例1解例2解例3解注2.間接展開法例4解例5解例6解例7解例8解§6傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)問題的提出三角級(jí)數(shù)函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)一、問題的提出

從本節(jié)開始，我們討論由三角函數(shù)組成的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)—三角級(jí)數(shù).著重研究如何用三角級(jí)數(shù)表示函數(shù).為什么要研究三角級(jí)數(shù)呢？

在物理學(xué)和工程技術(shù)中，常常會(huì)遇到各種周期現(xiàn)象.對(duì)于一些簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)，如單擺的擺動(dòng)、彈簧的振動(dòng)等，可用正弦函數(shù)表示.物理學(xué)中稱這種簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng).

但是有些復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)，如電子技術(shù)中常用矩形波反映電壓隨時(shí)間的周期變化，就不能用正弦函數(shù)來表示.對(duì)于這一類問題的研究通常是加以簡(jiǎn)化，即把復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看成是若干不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，即1二、三角級(jí)數(shù)1.三角級(jí)數(shù)定義2.三角函數(shù)系的正交性三、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)1.f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)結(jié)論2.f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件?問題:狄利克雷充分條件(收斂定理)注例1解xyo例2解xyo例3解xyo§6傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)一、奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)

一般來說，一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)既含有正弦項(xiàng)，又含有余弦項(xiàng).但是也有一些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦項(xiàng)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng).定理證明奇函數(shù)偶函數(shù)定義例1解例2解二、函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)奇延拓:偶延拓:例3解小結(jié)1.基本內(nèi)容(1)奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)；(2)奇延拓和偶延拓.2.以下三種說法錯(cuò)誤：§7周期為2L的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)以

2l為周期的傅里葉級(jí)數(shù)問題的提出一、問題的提出二、以

2l為周期的傅里葉級(jí)數(shù)定理例1解例2解例3解小結(jié)1.周期為2l的周期