理論力學(xué)-第十一章動量定理

動力學(xué)動量定理動量定理§11-1動量與沖量§11-2動量定理和沖量定理§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理第十一章(上)動量定理動力學(xué)目錄§11-1動量與沖量§11-1動量與沖量動量沖量§11-1動量與沖量

質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m

與速度v

的乘積

mv稱為該質(zhì)點(diǎn)的動量。p=∑mivipx

=∑mivix，py

=

∑miviy

，pz

=

∑miviz以px，py

和pz

分別表示質(zhì)點(diǎn)系的動量在固定直角坐標(biāo)軸x，y

和z

上的投影。則有1.動量的定義（1）質(zhì)點(diǎn)的動量質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動量的矢量和稱為該質(zhì)點(diǎn)系的動量主矢，簡稱為質(zhì)點(diǎn)系的動量。并用p

表示，即有（2）質(zhì)點(diǎn)系的動量（3）質(zhì)點(diǎn)系動量的投影式一、動量質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心C的矢徑表達(dá)式可寫為∑miri

=mrC當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動時，它的質(zhì)心一般也是運(yùn)動的，將上式兩端對時間求導(dǎo)數(shù)，即得p

=∑mivi=mvC2.質(zhì)點(diǎn)系動量的簡捷求法質(zhì)點(diǎn)系動量§11-1動量與沖量px

=∑mivix=mvCxpy

=

∑miviy

=mvCypz

=

∑miviz=mvCz投影到各坐標(biāo)軸上有可見，質(zhì)點(diǎn)系的動量,等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。例題11-1

畫橢圓的機(jī)構(gòu)由勻質(zhì)的曲柄OA，規(guī)尺BD以及滑塊B和D組成(圖a)，曲柄與規(guī)尺的中點(diǎn)A鉸接。已知規(guī)尺長2l，質(zhì)量是2m1；兩滑塊的質(zhì)量都是m2；曲柄長l，質(zhì)量是m1，并以角速度ω繞定軸O轉(zhuǎn)動。試求當(dāng)曲柄OA與水平成角φ時整個機(jī)構(gòu)的動量。xyOADφωB(a)§11-1動量與沖量例題11-1整個機(jī)構(gòu)的動量等于曲柄OA、規(guī)尺BD、滑塊B和D的動量的矢量和，即解法一:p=pOA+pBD+pB+pD例題11-1

xyOAD

φωBvDvAvBvEE§11-1動量與沖量系統(tǒng)的動量在坐標(biāo)軸x，y上的投影分別為：已知：曲柄OA長l，質(zhì)量是m1，并以角速度ω繞定軸O轉(zhuǎn)動。規(guī)尺BD長2l，質(zhì)量是2m1，兩滑塊的質(zhì)量都是m2。C§11-1動量與沖量系統(tǒng)的動量在y軸上的投影為：

所以，系統(tǒng)的動量大小為方向余弦為為xyOAD

φωBvDvAvBvEEC例題11-1

解法二:整個機(jī)構(gòu)的動量等于曲柄OA、規(guī)尺BD、滑塊B和D的動量的矢量和，即p=pOA+pBD+pB+pD其中曲柄OA的動量pOA=m1vE

,大小是pOA=m1vE=m1lω/2其方向與vE一致，即垂直于OA并順著ω的轉(zhuǎn)向(圖b)xyOADφωBvDvAvBvEExyOADφωB(b)pBD+pB+pDpOA§11-1動量與沖量例題11-1

因?yàn)橐?guī)尺和兩個滑塊的公共質(zhì)心在點(diǎn)

A，它們的動量表示成p′=

pBD+pB+pD=2(m1+m2)vA由于動量

KOA

的方向也是與

vA

的方向一致，所以整個橢圓機(jī)構(gòu)的動量方向與

vA

相同，而大小等于§11-1動量與沖量xyOADφωBvDvAvBvEExyOADφωB(b)pBD+pB+pDpOA例題11-1

E§11-1動量與沖量常力與作用時間t

的乘積

F·t稱為常力的沖量。并用I

表示，即有I=F·t1.常力的沖量2.變力的沖量沖量是矢量，方向與力相同。若力F是變力，可將力的作用時間t

分成無數(shù)的微小時間段dt，在每個dt內(nèi)，力F可視為不變。元沖量——力F在微小時間段dt內(nèi)的沖量稱為力F的元沖量。變力F在t時間間隔內(nèi)的沖量為：二、沖量§11-1動量與沖量上式為一矢量積分，具體計(jì)算時，可投影于固定坐標(biāo)系上所以，變力F的沖量又可表示為：2.變力的沖量§11-2動量定理和沖量定理

動量定理動量守恒定理沖量定理§11-2動量定理和沖量定理因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)系的動量為一、動量定理一、動量定理

p=∑mivi,對該式兩端求時間的導(dǎo)數(shù)，有分析右端，把作用于每個質(zhì)點(diǎn)的力F分為內(nèi)力F（i

)和外力F(e

)，則得因?yàn)閮?nèi)力之和則有§11-2動量定理和沖量定理

一、動量定理即，質(zhì)點(diǎn)系動量對時間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于它上所有外力的矢量和，這就是質(zhì)點(diǎn)系動量定理的微分形式。常稱為動量定理。在具體計(jì)算時，往往寫成投影形式，即即，質(zhì)點(diǎn)系的動量在固定軸上的投影對時間的導(dǎo)數(shù),等于該質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在同一軸上的投影的代數(shù)和。動量定理

§11-2動量定理和沖量定理設(shè)在t1

到

t2過程中，質(zhì)點(diǎn)系的動量由p1變?yōu)?/p>

p2，則對上式積分，可得二、沖量定理二、沖量定理

可見，質(zhì)點(diǎn)系的動量在一段時間內(nèi)的變化量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在同一段時間內(nèi)的沖量的矢量和。這就是質(zhì)點(diǎn)系動量定理的積分形式，也稱為質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理。一、動量定理動量定理

即，質(zhì)點(diǎn)系動量在某固定軸上投影的變化量,等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力在對應(yīng)時間間隔內(nèi)的沖量在同一軸上的投影的代數(shù)和。具體計(jì)算時，將上式投影到固定直角坐標(biāo)軸系上動量定理

二、沖量定理§11-2動量定理和沖量定理§11-2動量定理和沖量定理1.如果在上式中∑Fi（e)≡0，則有p=p0

=

常矢量其中：p0

為質(zhì)點(diǎn)系初始瞬時的動量。有結(jié)論在運(yùn)動過程中,如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和始終等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動量保持不變。這就是質(zhì)點(diǎn)系的動量守恒定理。動量定理

三、動量守恒定理§11-2動量定理和沖量定理2.如果在上式中∑Fix（e)≡0，則有p

x

=p0x=

常量其中：p0x為質(zhì)點(diǎn)系初始瞬時的動量在x軸上的投影。有結(jié)論：在運(yùn)動過程中,如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某一軸上的投影的代數(shù)和始終等于零，則質(zhì)點(diǎn)系的動量在該軸上的投影保持不變。二、動量守恒定理一、動量定理動量定理

內(nèi)力不改變整個質(zhì)點(diǎn)系的動量，但是質(zhì)點(diǎn)系每一部分的動量可能會改變。工程實(shí)例

實(shí)例分析：

炮車反座§11-2動量定理和沖量定理臺式風(fēng)扇放置在光滑的臺面上的臺式風(fēng)扇工作時，會發(fā)生什么現(xiàn)象

例題11-2

火炮（包括炮車與炮筒）的質(zhì)量是m1，炮彈的質(zhì)量是m2，炮彈相對炮車的發(fā)射速度是vr，炮筒對水平面的仰角是（圖a）。設(shè)火炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車相固連，試求火炮的后坐速度和炮彈的發(fā)射速度。(a)ABFAFBm1gm2guxyvrα例題11-2§11-2動量定理和沖量定理

取火炮和炮彈（包括炸藥）這個系統(tǒng)作為研究對象。解:

設(shè)火炮的反座速度是u，炮彈的發(fā)射速度是v，對水平面的仰角是

（圖b）。

炸藥（其質(zhì)量略去不計(jì)）的爆炸力是內(nèi)力，作用在系統(tǒng)上的外力在水平軸x的投影都是零，即有Fix=0。

可見，系統(tǒng)的動量在軸

x上的投影守恒，考慮到初始瞬時系統(tǒng)處于靜止，即有

p0x

=0，于是有px=m2vcosm1u=0(b)vvevr例題11-2

§11-2動量定理和沖量定理(a)ABFAFBm1gm2guxyvrα另一方面，對于炮彈應(yīng)用速度合成定理，可得v=ve+vr考慮到

ve

=u，并將上式投影到軸x和y上，就得到vcos=vrcos

u

vsin=vrsin聯(lián)立求解上列三個方程，即得px=m2vcosm

1u=0(b)vvevr例題11-2

§11-2動量定理和沖量定理(a)ABFAFBm1gm2guxyvrα由上式可見，v與vr方向不同，θ＞α。當(dāng)m1

>>m2

時，θ≈α。但在軍艦或車上時，應(yīng)該考慮修正量m2/m1。

討論(b)vvevr例題11-2

§11-2動量定理和沖量定理(a)ABFAFBm1gm2guxyvrα

例題11-3

鍛錘

A

的質(zhì)量

m

=

3000kg，從高度

h

=

1.45m處自由下落到鍛件

B

上。假設(shè)鍛錘由接觸鍛件到最大變形的時間t

=

0.01s，求鍛錘作用在鍛件上的平均碰撞力。Bmgv0=0vhA例題11-3§11-2動量定理和沖量定理取鍛錘作為研究對象。它從高度

h

自由下落到鍛件產(chǎn)生最大變形的過程，可分成兩個階段。解：（1）碰撞前的自由下落階段。從而求得碰撞前鍛錘速度的大小鍛錘只受重力作用而自由落體Bmgv0=0vvmgFBAOyhA例題11-3

§11-2動量定理和沖量定理寫出沖量定理在鉛直軸

y

上的投影式，并注意鍛件變形最大時鍛錘速度為零，有（2）鍛錘由開始接觸鍛件到最大變形階段。0

mv=mgt

FBt從而求得代入求出的速度

v

和已知數(shù)據(jù)，即得FB=16.3

102kN該階段鍛錘受重力mg和鍛件對鍛錘的碰撞力（設(shè)其平均值為

FB）的作用。vmgFBAOy例題11-3

§11-2動量定理和沖量定理解法二:從下落開始到碰撞結(jié)束全過程應(yīng)用動量定理§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動守恒定理質(zhì)點(diǎn)系動量定理的表達(dá)式引入質(zhì)心的加速度aC

=dvc

/dt，則上式可改寫成MaC=∑Fi（e）即，質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積,等于作用在該質(zhì)點(diǎn)系上所有外力的矢量和（主矢）,這就是質(zhì)心運(yùn)動定理。一、質(zhì)心運(yùn)動定理一、質(zhì)心運(yùn)動定理把質(zhì)點(diǎn)系動量的表達(dá)式p

=∑mivi=MvC代入上式，可得1.定理表達(dá)式§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理具體計(jì)算時,常把質(zhì)心運(yùn)動定理表達(dá)式投影到固定直角坐標(biāo)軸系上得假設(shè)n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系由N個部分構(gòu)成，則由式p

=∑mivi=mvC，可把質(zhì)心運(yùn)動定理表達(dá)式的左端表示成§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動定理3.投影表達(dá)式Mac=∑Fi（e）質(zhì)心運(yùn)動定理2.定理的轉(zhuǎn)化式即，如作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力的矢量和（主矢）始終等于零，則質(zhì)心運(yùn)動守恒，即質(zhì)心作慣性運(yùn)動；如果在初瞬時質(zhì)心處于靜止，則它將停留在原處。1.如果∑Fi（e）

≡0，則由上式可知aC=0，從而有vc

=常矢量MaC=∑Fi（e）質(zhì)心運(yùn)動定理二、質(zhì)心運(yùn)動守恒定理§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理2.如果∑Fix

≡0，則由上式可知d2xC/dt2

=aCx

=0，從而dxC/dt=vCx=常量即，如果作用于質(zhì)點(diǎn)系的所有外力在某固定軸上投影的代數(shù)和始終等于零,則質(zhì)心在該軸方向的運(yùn)動守恒。質(zhì)心運(yùn)動守恒質(zhì)心運(yùn)動定理投影表達(dá)式另外，如果初瞬時質(zhì)心的速度在該軸上的投影也等于零（即vCx=0),則質(zhì)心沿該軸的位置坐標(biāo)不變。即xC=xC0

=常量§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動守恒

實(shí)例分析：太空拔河mAvA+mBvB=(mA+mB)vC=0宇航員在太空拔河，開始靜止。若A的力氣大于B的力氣，誰勝誰負(fù)?動量守恒§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理質(zhì)心運(yùn)動守恒

實(shí)例分析：定向爆破例題11-4

如圖所示，在靜止的小船上，一人自船頭走到船尾，設(shè)人質(zhì)量為m2，船的質(zhì)量為m1，船長l，水的阻力不計(jì)。求船的位移。Olsabxxym1gm2gm1gm2g§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理例題3-4

解：取人與船組成質(zhì)點(diǎn)系。人走到船尾時，船移動的距離為s，則質(zhì)心的坐標(biāo)為取坐標(biāo)軸如圖所示。在人走動前，系統(tǒng)的質(zhì)心坐標(biāo)為因不計(jì)水的阻力，故外力在水平軸上的投影之和等于零，即∑Fix

≡0。則有§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理又因系統(tǒng)初瞬時靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。即有Olsabxxym1gm2gm1gm2g例題11-4§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理可以求得小船移動的位移上式代入1.質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力（鞋底與船間摩擦力）雖不能改變系統(tǒng)質(zhì)心的運(yùn)動，但能改變系統(tǒng)中各部分的（人與船）的運(yùn)動；2.靠碼頭的小船會因人上岸而離岸后退，為防止，應(yīng)在岸上將船栓住。

討論Olsabxxym1gm2gm1gm2g例題11-4

§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理

均質(zhì)曲柄AB長r，質(zhì)量為m1，假設(shè)受力偶作用以不變得角速度ω轉(zhuǎn)動，并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞D，如圖所示?；?、連桿、活塞總質(zhì)量為m2，質(zhì)心在點(diǎn)C。在活塞上作用一恒力F?；瑝KB質(zhì)量為m，不計(jì)摩擦，求作用在曲柄軸A處的水平反力Fx。φωBCbDFFxxyA例題11-5

例題3-5§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理φωBCbDFFxxyA選取整個機(jī)構(gòu)為研究的質(zhì)點(diǎn)系。解：Em1gm2gFyFNmgaEaBaC即由質(zhì)心運(yùn)動定理求得作用在曲柄軸A處的水平反力

例題11-5

得FN2§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理φωBCbDFFxxyA選取桿AB和滑塊B為研究的質(zhì)點(diǎn)系。解：E即由質(zhì)心運(yùn)動定理求得作用在曲柄軸A處的豎直反力

例題11-5

得如何求作用在曲柄軸A處的豎直反力？

F1m1gFymgφωFxAEaEaBB

討論§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理

例題11-6

電動機(jī)的外殼用螺栓固定在水平基礎(chǔ)上，定子的質(zhì)量是m1，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是m2，轉(zhuǎn)子的軸線通過定子的質(zhì)心O1。制造和安裝的誤差，使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2對它的軸線有一個很小的偏心距e（圖中有意夸張）。求轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動時，電動機(jī)所受的總水平反力和鉛直反力。

例題11-6

例題11-6

取整個電動機(jī)（包括定子和轉(zhuǎn)子）作為研究對象。解：§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理eO1O2ωxyωtm1gm2gFxFya2由質(zhì)心運(yùn)動定理有由此求得電動機(jī)所受的總水平反力和鉛直反力Fx=

m2eω2cosωtFy=(m1+m2)g

m2eω2sinωt

例題11-6

例題3-7

若上例中電動機(jī)沒有用螺栓固定，各處摩擦不計(jì)，初始時電動機(jī)靜止。試求：（1）轉(zhuǎn)子以勻角速

轉(zhuǎn)動時電動機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動方程；（2）電動機(jī)跳起的最小角速度?！?1-3質(zhì)心運(yùn)動定理eωtm1gm2gO1O2ωxyOas例題11-7

例題11-7

1.電動機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動方程§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理設(shè)電動機(jī)的水平位移為s。由于電動機(jī)不固定，且不計(jì)摩擦，故外力在水平軸上的投影之和等于零，即∑Fix

≡0。則有又因系統(tǒng)初瞬時靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。即有xC0=a，已知

例題11-7

eωtm1gm2gO1O2ωxyOasFy由xC

=xC0

解得電動機(jī)外殼在水平方向的運(yùn)動方程：由此可見，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏心的電動機(jī)未用螺栓固定時，將在水平面上作往復(fù)運(yùn)動?！?1-3質(zhì)心運(yùn)動定理已知xC0=a，

例題11-7eωtm1gm2gO1O2ωxyOasFy2.求電動機(jī)起跳條件電動機(jī)起跳的條件為：Fy

=0

因此求得機(jī)座的鉛直反力：由此求得電動機(jī)起跳的最小角速度eωtm1gm2gO1O2ωxyFyOan§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理由質(zhì)心運(yùn)動定理有即而機(jī)座鉛直反力的最小值：電動機(jī)是否會起跳？起跳的條件是什么？

思考題

例題11-7

例題11-8

復(fù)擺是一個在重力作用下可繞水平軸O擺動的剛體。它的質(zhì)量是m，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量是JO，質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸O的距離OC=

b。設(shè)擺動開始時OC對鉛直線的偏角是0，角速度是。試求擺動中軸承O對復(fù)擺的反力?！?1-3質(zhì)心運(yùn)動定理OCφ0b(a)

例題11-8

例題11-8

復(fù)擺在任意位置時，所受的外力有重力mg和軸承O的反力，為便于計(jì)算，把軸承反力沿質(zhì)心軌跡的切線和法線方向分解成兩個分力F1和F2。寫出質(zhì)心運(yùn)動定理在質(zhì)心軌跡的自然軸系上的投影式，可得解:質(zhì)心C的加速度在這兩個方向的投影為§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理(b)OCφ0bF1F2mgatcanc

例題11-8

應(yīng)用動能定理:T2

T1

=∑W，有從而求得將上式兩端對時間求導(dǎo)，得即§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理(b)OCφ0bF1F2mgacτacn

例題11-8

分別代入經(jīng)整理后即可求出§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理(b)OCφ0bF1F2mgacτacn

例題11-8

51例題11-9

圖示單擺B的支點(diǎn)固定在一可沿光滑的水平直線軌道平移的滑塊A上，設(shè)A，B的質(zhì)量分別為mA，mB運(yùn)動開始時，x=x0，,，。試求單擺B的軌跡方程。ABxmBgφmAgyxO§11-3質(zhì)心運(yùn)動定理

例題11-9

例題11-952解：以系統(tǒng)為對象，其運(yùn)動可用滑塊A的坐標(biāo)x和單擺擺動的角度φ兩個廣義坐標(biāo)確定。解出單擺B的坐標(biāo)為則由于沿x方向無外力作用，且初始靜止，系統(tǒng)沿x軸的動量守恒，質(zhì)心坐標(biāo)xC應(yīng)保持常值xC0?！?1-3質(zhì)心運(yùn)動定理ABxmBgφmAgyxO

例題11-9

53消去φ，即的到單擺B設(shè)軌跡方程：是以x=xC0,y