理論力學-第十一章動量定理

動力學動量定理動量定理§11-1動量與沖量§11-2動量定理和沖量定理§11-3質(zhì)心運動定理第十一章(上)動量定理動力學目錄§11-1動量與沖量§11-1動量與沖量動量沖量§11-1動量與沖量

質(zhì)點的質(zhì)量m

與速度v

的乘積

mv稱為該質(zhì)點的動量。p=∑mivipx

=∑mivix，py

=

∑miviy

，pz

=

∑miviz以px，py

和pz

分別表示質(zhì)點系的動量在固定直角坐標軸x，y

和z

上的投影。則有1.動量的定義（1）質(zhì)點的動量質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的動量的矢量和稱為該質(zhì)點系的動量主矢，簡稱為質(zhì)點系的動量。并用p

表示，即有（2）質(zhì)點系的動量（3）質(zhì)點系動量的投影式一、動量質(zhì)點系的質(zhì)心C的矢徑表達式可寫為∑miri

=mrC當質(zhì)點系運動時，它的質(zhì)心一般也是運動的，將上式兩端對時間求導數(shù)，即得p

=∑mivi=mvC2.質(zhì)點系動量的簡捷求法質(zhì)點系動量§11-1動量與沖量px

=∑mivix=mvCxpy

=

∑miviy

=mvCypz

=

∑miviz=mvCz投影到各坐標軸上有可見，質(zhì)點系的動量,等于質(zhì)點系的總質(zhì)量與質(zhì)心速度的乘積。例題11-1

畫橢圓的機構(gòu)由勻質(zhì)的曲柄OA，規(guī)尺BD以及滑塊B和D組成(圖a)，曲柄與規(guī)尺的中點A鉸接。已知規(guī)尺長2l，質(zhì)量是2m1；兩滑塊的質(zhì)量都是m2；曲柄長l，質(zhì)量是m1，并以角速度ω繞定軸O轉(zhuǎn)動。試求當曲柄OA與水平成角φ時整個機構(gòu)的動量。xyOADφωB(a)§11-1動量與沖量例題11-1整個機構(gòu)的動量等于曲柄OA、規(guī)尺BD、滑塊B和D的動量的矢量和，即解法一:p=pOA+pBD+pB+pD例題11-1

xyOAD

φωBvDvAvBvEE§11-1動量與沖量系統(tǒng)的動量在坐標軸x，y上的投影分別為：已知：曲柄OA長l，質(zhì)量是m1，并以角速度ω繞定軸O轉(zhuǎn)動。規(guī)尺BD長2l，質(zhì)量是2m1，兩滑塊的質(zhì)量都是m2。C§11-1動量與沖量系統(tǒng)的動量在y軸上的投影為：

所以，系統(tǒng)的動量大小為方向余弦為為xyOAD

φωBvDvAvBvEEC例題11-1

解法二:整個機構(gòu)的動量等于曲柄OA、規(guī)尺BD、滑塊B和D的動量的矢量和，即p=pOA+pBD+pB+pD其中曲柄OA的動量pOA=m1vE

,大小是pOA=m1vE=m1lω/2其方向與vE一致，即垂直于OA并順著ω的轉(zhuǎn)向(圖b)xyOADφωBvDvAvBvEExyOADφωB(b)pBD+pB+pDpOA§11-1動量與沖量例題11-1

因為規(guī)尺和兩個滑塊的公共質(zhì)心在點

A，它們的動量表示成p′=

pBD+pB+pD=2(m1+m2)vA由于動量

KOA

的方向也是與

vA

的方向一致，所以整個橢圓機構(gòu)的動量方向與

vA

相同，而大小等于§11-1動量與沖量xyOADφωBvDvAvBvEExyOADφωB(b)pBD+pB+pDpOA例題11-1

E§11-1動量與沖量常力與作用時間t

的乘積

F·t稱為常力的沖量。并用I

表示，即有I=F·t1.常力的沖量2.變力的沖量沖量是矢量，方向與力相同。若力F是變力，可將力的作用時間t

分成無數(shù)的微小時間段dt，在每個dt內(nèi)，力F可視為不變。元沖量——力F在微小時間段dt內(nèi)的沖量稱為力F的元沖量。變力F在t時間間隔內(nèi)的沖量為：二、沖量§11-1動量與沖量上式為一矢量積分，具體計算時，可投影于固定坐標系上所以，變力F的沖量又可表示為：2.變力的沖量§11-2動量定理和沖量定理

動量定理動量守恒定理沖量定理§11-2動量定理和沖量定理因為質(zhì)點系的動量為一、動量定理一、動量定理

p=∑mivi,對該式兩端求時間的導數(shù)，有分析右端，把作用于每個質(zhì)點的力F分為內(nèi)力F（i

)和外力F(e

)，則得因為內(nèi)力之和則有§11-2動量定理和沖量定理

一、動量定理即，質(zhì)點系動量對時間的導數(shù)，等于作用于它上所有外力的矢量和，這就是質(zhì)點系動量定理的微分形式。常稱為動量定理。在具體計算時，往往寫成投影形式，即即，質(zhì)點系的動量在固定軸上的投影對時間的導數(shù),等于該質(zhì)點系的所有外力在同一軸上的投影的代數(shù)和。動量定理

§11-2動量定理和沖量定理設在t1

到

t2過程中，質(zhì)點系的動量由p1變?yōu)?/p>

p2，則對上式積分，可得二、沖量定理二、沖量定理

可見，質(zhì)點系的動量在一段時間內(nèi)的變化量，等于作用于質(zhì)點系的外力在同一段時間內(nèi)的沖量的矢量和。這就是質(zhì)點系動量定理的積分形式，也稱為質(zhì)點系的沖量定理。一、動量定理動量定理

即，質(zhì)點系動量在某固定軸上投影的變化量,等于作用于質(zhì)點系的外力在對應時間間隔內(nèi)的沖量在同一軸上的投影的代數(shù)和。具體計算時，將上式投影到固定直角坐標軸系上動量定理

二、沖量定理§11-2動量定理和沖量定理§11-2動量定理和沖量定理1.如果在上式中∑Fi（e)≡0，則有p=p0

=

常矢量其中：p0

為質(zhì)點系初始瞬時的動量。有結(jié)論在運動過程中,如作用于質(zhì)點系的所有外力的矢量和始終等于零，則質(zhì)點系的動量保持不變。這就是質(zhì)點系的動量守恒定理。動量定理

三、動量守恒定理§11-2動量定理和沖量定理2.如果在上式中∑Fix（e)≡0，則有p

x

=p0x=

常量其中：p0x為質(zhì)點系初始瞬時的動量在x軸上的投影。有結(jié)論：在運動過程中,如作用于質(zhì)點系的所有外力在某一軸上的投影的代數(shù)和始終等于零，則質(zhì)點系的動量在該軸上的投影保持不變。二、動量守恒定理一、動量定理動量定理

內(nèi)力不改變整個質(zhì)點系的動量，但是質(zhì)點系每一部分的動量可能會改變。工程實例

實例分析：

炮車反座§11-2動量定理和沖量定理臺式風扇放置在光滑的臺面上的臺式風扇工作時，會發(fā)生什么現(xiàn)象

例題11-2

火炮（包括炮車與炮筒）的質(zhì)量是m1，炮彈的質(zhì)量是m2，炮彈相對炮車的發(fā)射速度是vr，炮筒對水平面的仰角是（圖a）。設火炮放在光滑水平面上，且炮筒與炮車相固連，試求火炮的后坐速度和炮彈的發(fā)射速度。(a)ABFAFBm1gm2guxyvrα例題11-2§11-2動量定理和沖量定理

取火炮和炮彈（包括炸藥）這個系統(tǒng)作為研究對象。解:

設火炮的反座速度是u，炮彈的發(fā)射速度是v，對水平面的仰角是

（圖b）。

炸藥（其質(zhì)量略去不計）的爆炸力是內(nèi)力，作用在系統(tǒng)上的外力在水平軸x的投影都是零，即有Fix=0。

可見，系統(tǒng)的動量在軸

x上的投影守恒，考慮到初始瞬時系統(tǒng)處于靜止，即有

p0x

=0，于是有px=m2vcosm1u=0(b)vvevr例題11-2

§11-2動量定理和沖量定理(a)ABFAFBm1gm2guxyvrα另一方面，對于炮彈應用速度合成定理，可得v=ve+vr考慮到

ve

=u，并將上式投影到軸x和y上，就得到vcos=vrcos

u

vsin=vrsin聯(lián)立求解上列三個方程，即得px=m2vcosm

1u=0(b)vvevr例題11-2

§11-2動量定理和沖量定理(a)ABFAFBm1gm2guxyvrα由上式可見，v與vr方向不同，θ＞α。當m1

>>m2

時，θ≈α。但在軍艦或車上時，應該考慮修正量m2/m1。

討論(b)vvevr例題11-2

§11-2動量定理和沖量定理(a)ABFAFBm1gm2guxyvrα

例題11-3

鍛錘

A

的質(zhì)量

m

=

3000kg，從高度

h

=

1.45m處自由下落到鍛件

B

上。假設鍛錘由接觸鍛件到最大變形的時間t

=

0.01s，求鍛錘作用在鍛件上的平均碰撞力。Bmgv0=0vhA例題11-3§11-2動量定理和沖量定理取鍛錘作為研究對象。它從高度

h

自由下落到鍛件產(chǎn)生最大變形的過程，可分成兩個階段。解：（1）碰撞前的自由下落階段。從而求得碰撞前鍛錘速度的大小鍛錘只受重力作用而自由落體Bmgv0=0vvmgFBAOyhA例題11-3

§11-2動量定理和沖量定理寫出沖量定理在鉛直軸

y

上的投影式，并注意鍛件變形最大時鍛錘速度為零，有（2）鍛錘由開始接觸鍛件到最大變形階段。0

mv=mgt

FBt從而求得代入求出的速度

v

和已知數(shù)據(jù)，即得FB=16.3

102kN該階段鍛錘受重力mg和鍛件對鍛錘的碰撞力（設其平均值為

FB）的作用。vmgFBAOy例題11-3

§11-2動量定理和沖量定理解法二:從下落開始到碰撞結(jié)束全過程應用動量定理§11-3質(zhì)心運動定理§11-3質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動守恒定理質(zhì)點系動量定理的表達式引入質(zhì)心的加速度aC

=dvc

/dt，則上式可改寫成MaC=∑Fi（e）即，質(zhì)點系的總質(zhì)量與其質(zhì)心加速度的乘積,等于作用在該質(zhì)點系上所有外力的矢量和（主矢）,這就是質(zhì)心運動定理。一、質(zhì)心運動定理一、質(zhì)心運動定理把質(zhì)點系動量的表達式p

=∑mivi=MvC代入上式，可得1.定理表達式§11-3質(zhì)心運動定理具體計算時,常把質(zhì)心運動定理表達式投影到固定直角坐標軸系上得假設n個質(zhì)點組成的質(zhì)點系由N個部分構(gòu)成，則由式p

=∑mivi=mvC，可把質(zhì)心運動定理表達式的左端表示成§11-3質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理3.投影表達式Mac=∑Fi（e）質(zhì)心運動定理2.定理的轉(zhuǎn)化式即，如作用于質(zhì)點系的所有外力的矢量和（主矢）始終等于零，則質(zhì)心運動守恒，即質(zhì)心作慣性運動；如果在初瞬時質(zhì)心處于靜止，則它將停留在原處。1.如果∑Fi（e）

≡0，則由上式可知aC=0，從而有vc

=常矢量MaC=∑Fi（e）質(zhì)心運動定理二、質(zhì)心運動守恒定理§11-3質(zhì)心運動定理2.如果∑Fix

≡0，則由上式可知d2xC/dt2

=aCx

=0，從而dxC/dt=vCx=常量即，如果作用于質(zhì)點系的所有外力在某固定軸上投影的代數(shù)和始終等于零,則質(zhì)心在該軸方向的運動守恒。質(zhì)心運動守恒質(zhì)心運動定理投影表達式另外，如果初瞬時質(zhì)心的速度在該軸上的投影也等于零（即vCx=0),則質(zhì)心沿該軸的位置坐標不變。即xC=xC0

=常量§11-3質(zhì)心運動定理§11-3質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動守恒

實例分析：太空拔河mAvA+mBvB=(mA+mB)vC=0宇航員在太空拔河，開始靜止。若A的力氣大于B的力氣，誰勝誰負?動量守恒§11-3質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動守恒

實例分析：定向爆破例題11-4

如圖所示，在靜止的小船上，一人自船頭走到船尾，設人質(zhì)量為m2，船的質(zhì)量為m1，船長l，水的阻力不計。求船的位移。Olsabxxym1gm2gm1gm2g§11-3質(zhì)心運動定理例題3-4

解：取人與船組成質(zhì)點系。人走到船尾時，船移動的距離為s，則質(zhì)心的坐標為取坐標軸如圖所示。在人走動前，系統(tǒng)的質(zhì)心坐標為因不計水的阻力，故外力在水平軸上的投影之和等于零，即∑Fix

≡0。則有§11-3質(zhì)心運動定理又因系統(tǒng)初瞬時靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。即有Olsabxxym1gm2gm1gm2g例題11-4§11-3質(zhì)心運動定理可以求得小船移動的位移上式代入1.質(zhì)點系的內(nèi)力（鞋底與船間摩擦力）雖不能改變系統(tǒng)質(zhì)心的運動，但能改變系統(tǒng)中各部分的（人與船）的運動；2.靠碼頭的小船會因人上岸而離岸后退，為防止，應在岸上將船栓住。

討論Olsabxxym1gm2gm1gm2g例題11-4

§11-3質(zhì)心運動定理

均質(zhì)曲柄AB長r，質(zhì)量為m1，假設受力偶作用以不變得角速度ω轉(zhuǎn)動，并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞D，如圖所示?；邸⑦B桿、活塞總質(zhì)量為m2，質(zhì)心在點C。在活塞上作用一恒力F?；瑝KB質(zhì)量為m，不計摩擦，求作用在曲柄軸A處的水平反力Fx。φωBCbDFFxxyA例題11-5

例題3-5§11-3質(zhì)心運動定理φωBCbDFFxxyA選取整個機構(gòu)為研究的質(zhì)點系。解：Em1gm2gFyFNmgaEaBaC即由質(zhì)心運動定理求得作用在曲柄軸A處的水平反力

例題11-5

得FN2§11-3質(zhì)心運動定理φωBCbDFFxxyA選取桿AB和滑塊B為研究的質(zhì)點系。解：E即由質(zhì)心運動定理求得作用在曲柄軸A處的豎直反力

例題11-5

得如何求作用在曲柄軸A處的豎直反力？

F1m1gFymgφωFxAEaEaBB

討論§11-3質(zhì)心運動定理

例題11-6

電動機的外殼用螺栓固定在水平基礎上，定子的質(zhì)量是m1，轉(zhuǎn)子的質(zhì)量是m2，轉(zhuǎn)子的軸線通過定子的質(zhì)心O1。制造和安裝的誤差，使轉(zhuǎn)子的質(zhì)心O2對它的軸線有一個很小的偏心距e（圖中有意夸張）。求轉(zhuǎn)子以勻角速度轉(zhuǎn)動時，電動機所受的總水平反力和鉛直反力。

例題11-6

例題11-6

取整個電動機（包括定子和轉(zhuǎn)子）作為研究對象。解：§11-3質(zhì)心運動定理eO1O2ωxyωtm1gm2gFxFya2由質(zhì)心運動定理有由此求得電動機所受的總水平反力和鉛直反力Fx=

m2eω2cosωtFy=(m1+m2)g

m2eω2sinωt

例題11-6

例題3-7

若上例中電動機沒有用螺栓固定，各處摩擦不計，初始時電動機靜止。試求：（1）轉(zhuǎn)子以勻角速

轉(zhuǎn)動時電動機外殼在水平方向的運動方程；（2）電動機跳起的最小角速度。§11-3質(zhì)心運動定理eωtm1gm2gO1O2ωxyOas例題11-7

例題11-7

1.電動機外殼在水平方向的運動方程§11-3質(zhì)心運動定理設電動機的水平位移為s。由于電動機不固定，且不計摩擦，故外力在水平軸上的投影之和等于零，即∑Fix

≡0。則有又因系統(tǒng)初瞬時靜止，因此質(zhì)心在水平軸上保持不變。即有xC0=a，已知

例題11-7

eωtm1gm2gO1O2ωxyOasFy由xC

=xC0

解得電動機外殼在水平方向的運動方程：由此可見，當轉(zhuǎn)子偏心的電動機未用螺栓固定時，將在水平面上作往復運動?！?1-3質(zhì)心運動定理已知xC0=a，

例題11-7eωtm1gm2gO1O2ωxyOasFy2.求電動機起跳條件電動機起跳的條件為：Fy

=0

因此求得機座的鉛直反力：由此求得電動機起跳的最小角速度eωtm1gm2gO1O2ωxyFyOan§11-3質(zhì)心運動定理由質(zhì)心運動定理有即而機座鉛直反力的最小值：電動機是否會起跳？起跳的條件是什么？

思考題

例題11-7

例題11-8

復擺是一個在重力作用下可繞水平軸O擺動的剛體。它的質(zhì)量是m，對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量是JO，質(zhì)心C到轉(zhuǎn)軸O的距離OC=

b。設擺動開始時OC對鉛直線的偏角是0，角速度是。試求擺動中軸承O對復擺的反力?！?1-3質(zhì)心運動定理OCφ0b(a)

例題11-8

例題11-8

復擺在任意位置時，所受的外力有重力mg和軸承O的反力，為便于計算，把軸承反力沿質(zhì)心軌跡的切線和法線方向分解成兩個分力F1和F2。寫出質(zhì)心運動定理在質(zhì)心軌跡的自然軸系上的投影式，可得解:質(zhì)心C的加速度在這兩個方向的投影為§11-3質(zhì)心運動定理(b)OCφ0bF1F2mgatcanc

例題11-8

應用動能定理:T2

T1

=∑W，有從而求得將上式兩端對時間求導，得即§11-3質(zhì)心運動定理(b)OCφ0bF1F2mgacτacn

例題11-8

分別代入經(jīng)整理后即可求出§11-3質(zhì)心運動定理(b)OCφ0bF1F2mgacτacn

例題11-8

51例題11-9

圖示單擺B的支點固定在一可沿光滑的水平直線軌道平移的滑塊A上，設A，B的質(zhì)量分別為mA，mB運動開始時，x=x0，,，。試求單擺B的軌跡方程。ABxmBgφmAgyxO§11-3質(zhì)心運動定理

例題11-9

例題11-952解：以系統(tǒng)為對象，其運動可用滑塊A的坐標x和單擺擺動的角度φ兩個廣義坐標確定。解出單擺B的坐標為則由于沿x方向無外力作用，且初始靜止，系統(tǒng)沿x軸的動量守恒，質(zhì)心坐標xC應保持常值xC0?！?1-3質(zhì)心運動定理ABxmBgφmAgyxO

例題11-9

53消去φ，即的到單擺B設軌跡方程：是以x=xC0,y