初中常見動點問題解題方法課件

初中常見動點問題解題方法

唐江紅旗學(xué)校張遠強初中常見動點問題解題方法1引言

以運動的觀點探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，稱之為動態(tài)幾何問題.動態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點是圖形中的某些元素（點、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運動變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素數(shù)量和關(guān)系在運動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋.

引言以運動的觀點探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，2常見的動點問題一、求最值問題二、動點構(gòu)成特殊圖形問題常見的動點問題3一、求最值問題

初中利用軸對稱性質(zhì)實現(xiàn)“搬點移線”求幾何圖形中一些線段和最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短。

求線段和最小值問題可以歸結(jié)為：一個動點的最值問題，兩個動點的最值問題。一、求最值問題初中利用軸對稱性質(zhì)實現(xiàn)“搬點移線4一、求最值問題

例、如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線AC上有一動點P，使PD+PE的值最小，則其最小值是______

一個動點特點：已知兩個定點位于一條直線的同一側(cè)，在直線上確定一動點的位置，使動點與兩定點線段和最小，求出最小值。思路：解決這類題目的方法是找出其中一定點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。

考題中，經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上。p一、求最值問題例、如圖，正方形ABCD的面積為12，5練習(xí)1、如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15°B.22.5°C.30°D.45°

2、如圖，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，當PA+PD取得最小值時，△APD中AP邊上的高為_________

3、如圖，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=60°，P是OB上的一動點，則PA+PC的最小值是________練習(xí)6

兩個動點（一）特點：已知一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最小。思路：這類問題通過做這一定點關(guān)于兩條線的對稱點，實現(xiàn)“搬點移線”，把線段“移”到同一直線上來解決。例、如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值是__________

。兩個動點（一）特點：已知一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間，7BAEF例、如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值是__________

。解析：連接與OB，OA的交點即為R、Q過OB作P的對稱點連接O，O過OA作P的對稱點90°∴△PQR周長的最小值==O=OOP=由對稱性知：PR+PQ+RQ=∠O==10｛BAEF例、如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一解析：連8

練習(xí)1.如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP=2，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于2，則α=（）A．30°B.45°C.60°D.90°2.如圖，∠AOB=30°，內(nèi)有一點P且OP=2，若M、N為邊OA、OB上兩動點，那么△PMN的周長最小為（）A．2√6B.6C.√6/2D.√6

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兩個動點（二）特點：兩動點在兩條直線上，定點和其中一個動點共線，求不共線動點分別到定點和另一動點的距離和最小值。思路：（1）利用軸對稱變換，使不共線動點在另一動點的對稱點與定點的連線段上（兩點之間線段最短）

例

、如圖，在銳角△ABC中AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD、AB上的動點，則BM+MN的最小值是________（2）這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。兩個動點（二）特點：兩動點在兩條直線上，定點和其中一個動點10初中常見動點問題解題方法課件11練習(xí)1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是____________2.在銳角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°，∠BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動點，則BM+MN的最小值是_________．初中常見動點問題解題方法課件12小結(jié)

以“搬點移線”為主要方法，利用軸對稱性質(zhì)求解決幾何圖形中一些線段和最小值問題。如何實現(xiàn)“搬點移線”（1）確定被“搬”的點（2）確定被“移”的線小結(jié)以“搬點移線”為主要方法，利用軸對稱性質(zhì)求解決幾13二、動點構(gòu)成特殊圖形

問題背景是特殊圖形,考查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系;分析過程中,特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置).分析圖形變化過程中變量和其他量之間的關(guān)系，或是找到變化中的不變量，建立方程或函數(shù)關(guān)系解決。二、動點構(gòu)成特殊圖形14ABCD

如圖：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，點P從點A出發(fā)，沿著AD的方向向終點D以每秒一個單位的速度運動，當點P在AD上運動時，設(shè)運動時間為t，求當t為何值時，四邊形APCB為平行四邊形.P問題導(dǎo)入ABCDP解析6t∵四邊形APCB為平行四邊形∴AP=6t=6ABCD如圖：梯形ABCD中，AD//BC，P問題導(dǎo)15動點構(gòu)成特殊圖形解題方法

4、根據(jù)所求,利用特殊圖形的性質(zhì)或相互關(guān)系，找出等量關(guān)系列出方程來解決動點問題2、先確定特定圖形中動點的位置,畫出符合題意的圖形———化動為靜3、根據(jù)已知條件，將動點的移動距離以及解決問題時所需要的條件用含t的代數(shù)式表示出來1、把握運動變化的形式及過程;思考運動初始狀態(tài)時幾何元素的關(guān)系，以及可求出的量動點構(gòu)成特殊圖形解題方法

2、先確定特定圖形中動點的位置,16

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t＞0）.過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.例題講解如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=517（1）求證：AE=DF解析：

At2ttCB又∵AE=t，∴AE=DF。在△DFC中，∵∠DFC=90o，∠C=30o，DC=2t,∴DF=t30o1單位/s2單位/s530oAt2ttCB又∵AE=t，∴AE=DF。在△DFC中，3018（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.At2ttCB解析：能，理由如下，∵AB⊥BC，DF⊥BC，∴四邊形AEFD為平行四邊形。由（1）知AE=DF∴AEDF在Rt△ABC中，設(shè)AB=x,則AC=2x,∵解得x=5,即AB=5

,AC=10.

∴若使平行四邊形AEFD為菱形，則須AD=AE，即t=10-2t,t=即當t=時，四邊形AEFD為菱形。30o1單位/s2單位/s530o10-2t∴（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；19（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.At2tCB?若∠EDF=90o時，則四邊形EBFD為矩形30o10-2t解析在Rt△AED中，∵∠ADE=∠C=30o,∴AD=2AE即10-2t=2t,t=30o①當∠EDF=90o時1單位/s2單位/s530o（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.At220即10-2t=t（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.At2tCB②當∠DEF=90o時解析：由（2）知EF∥AD∴∠ADE=∠DEF=90o∵∠A=90o-∠C=60o∴AD=AE則t=410-2t30o60o1單位/s2單位/s530o即10-2t=t（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形21（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.③當∠EFD=90o時,此種情況不存在。解析：1單位/s2單位/s530o綜上所述，當t=或t=4時△DEF為直角三角形ACB30o（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.③當∠22初中常見動點問題解題方法

唐江紅旗學(xué)校張遠強初中常見動點問題解題方法23引言

以運動的觀點探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，稱之為動態(tài)幾何問題.動態(tài)幾何問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的“變”與“不變”的和諧統(tǒng)一，其特點是圖形中的某些元素（點、線段、角等）或某部分幾何圖形按一定的規(guī)律運動變化，從而又引起了其它一些元素的數(shù)量、位置關(guān)系、圖形重疊部分的面積或某部分圖形等發(fā)生變化，但是圖形的一些元素數(shù)量和關(guān)系在運動變化的過程中卻互相依存，具有一定的規(guī)律可尋.

引言以運動的觀點探究幾何圖形部分規(guī)律的問題，24常見的動點問題一、求最值問題二、動點構(gòu)成特殊圖形問題常見的動點問題25一、求最值問題

初中利用軸對稱性質(zhì)實現(xiàn)“搬點移線”求幾何圖形中一些線段和最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個：（1）兩點之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短。

求線段和最小值問題可以歸結(jié)為：一個動點的最值問題，兩個動點的最值問題。一、求最值問題初中利用軸對稱性質(zhì)實現(xiàn)“搬點移線26一、求最值問題

例、如圖，正方形ABCD的面積為12，△ABE是等邊三角形，點E在正方形內(nèi)，在對角線AC上有一動點P，使PD+PE的值最小，則其最小值是______

一個動點特點：已知兩個定點位于一條直線的同一側(cè)，在直線上確定一動點的位置，使動點與兩定點線段和最小，求出最小值。思路：解決這類題目的方法是找出其中一定點關(guān)于直線的對稱點，連結(jié)這個對稱點與另一定點，交直線于一點，交點即為動點滿足最值的位置。

考題中，經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個定點的對稱點就在這個圖形上。p一、求最值問題例、如圖，正方形ABCD的面積為12，27練習(xí)1、如圖，等邊△ABC的邊長為4，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD邊上的動點，E是AC邊上一點，若AE=2，當EF+CF取得最小值時，則∠ECF的度數(shù)為（）A．15°B.22.5°C.30°D.45°

2、如圖，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，當PA+PD取得最小值時，△APD中AP邊上的高為_________

3、如圖，⊙O的半徑為2，點A、B、C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=60°，P是OB上的一動點，則PA+PC的最小值是________練習(xí)28

兩個動點（一）特點：已知一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個動點使線段和最小。思路：這類問題通過做這一定點關(guān)于兩條線的對稱點，實現(xiàn)“搬點移線”，把線段“移”到同一直線上來解決。例、如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值是__________

。兩個動點（一）特點：已知一個定點位于平面內(nèi)兩相交直線之間，29BAEF例、如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10，Q、R分別是OA、OB上的動點，求△PQR周長的最小值是__________

。解析：連接與OB，OA的交點即為R、Q過OB作P的對稱點連接O，O過OA作P的對稱點90°∴△PQR周長的最小值==O=OOP=由對稱性知：PR+PQ+RQ=∠O==10｛BAEF例、如圖，∠AOB=45°，P是∠AOB內(nèi)一解析：連30

練習(xí)1.如圖，已知∠AOB的大小為α，P是∠AOB內(nèi)部的一個定點，且OP=2，點E、F分別是OA、OB上的動點，若△PEF周長的最小值等于2，則α=（）A．30°B.45°C.60°D.90°2.如圖，∠AOB=30°，內(nèi)有一點P且OP=2，若M、N為邊OA、OB上兩動點，那么△PMN的周長最小為（）A．2√6B.6C.√6/2D.√6

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兩個動點（二）特點：兩動點在兩條直線上，定點和其中一個動點共線，求不共線動點分別到定點和另一動點的距離和最小值。思路：（1）利用軸對稱變換，使不共線動點在另一動點的對稱點與定點的連線段上（兩點之間線段最短）

例

、如圖，在銳角△ABC中AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點D,M、N分別是AD、AB上的動點，則BM+MN的最小值是________（2）這條線段垂直于另一動點的對稱點所在直線時，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。兩個動點（二）特點：兩動點在兩條直線上，定點和其中一個動點32初中常見動點問題解題方法課件33練習(xí)1.如圖，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分線交BC于點D，若點P、Q分別是AC和AD上的動點，則CQ+PQ的最小值是____________2.在銳角三角形ABC中，AB=4，∠BAC=60°，∠BAC的平分線BC于D，M、N分別是AD與AB上動點，則BM+MN的最小值是_________．初中常見動點問題解題方法課件34小結(jié)

以“搬點移線”為主要方法，利用軸對稱性質(zhì)求解決幾何圖形中一些線段和最小值問題。如何實現(xiàn)“搬點移線”（1）確定被“搬”的點（2）確定被“移”的線小結(jié)以“搬點移線”為主要方法，利用軸對稱性質(zhì)求解決幾35二、動點構(gòu)成特殊圖形

問題背景是特殊圖形,考查問題也是特殊圖形,所以要把握好一般與特殊的關(guān)系;分析過程中,特別要關(guān)注圖形的特性(特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置).分析圖形變化過程中變量和其他量之間的關(guān)系，或是找到變化中的不變量，建立方程或函數(shù)關(guān)系解決。二、動點構(gòu)成特殊圖形36ABCD

如圖：梯形ABCD中，AD//BC，AD=9cm,BC=6cm，點P從點A出發(fā)，沿著AD的方向向終點D以每秒一個單位的速度運動，當點P在AD上運動時，設(shè)運動時間為t，求當t為何值時，四邊形APCB為平行四邊形.P問題導(dǎo)入ABCDP解析6t∵四邊形APCB為平行四邊形∴AP=6t=6ABCD如圖：梯形ABCD中，AD//BC，P問題導(dǎo)37動點構(gòu)成特殊圖形解題方法

4、根據(jù)所求,利用特殊圖形的性質(zhì)或相互關(guān)系，找出等量關(guān)系列出方程來解決動點問題2、先確定特定圖形中動點的位置,畫出符合題意的圖形———化動為靜3、根據(jù)已知條件，將動點的移動距離以及解決問題時所需要的條件用含t的代數(shù)式表示出來1、把握運動變化的形式及過程;思考運動初始狀態(tài)時幾何元素的關(guān)系，以及可求出的量動點構(gòu)成特殊圖形解題方法

2、先確定特定圖形中動點的位置,38

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動.設(shè)點D、E運動的時間是t秒（t＞0）.過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF.（1）求證：AE=DF；（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；如果不能，說明理由.（3）當t為何值時，△DEF為直角三角形？請說明理由.例題講解如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=539（1）求證：AE=DF解析：

At2ttCB又∵AE=t，∴AE=DF。在△DFC中，∵∠DFC=90o，∠C=30o，DC=2t,∴DF=t30o1單位/s2單位/s530