鄭州市2023學年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷(含答案解析)_第1頁
鄭州市2023學年高三3月份第一次模擬考試數(shù)學試卷(含答案解析)_第2頁
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2023高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,則集合真子集的個數(shù)為()A.3 B.4 C.7 D.82.已知等差數(shù)列{an},則“a2>a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.某校為提高新入聘教師的教學水平,實行“老帶新”的師徒結對指導形式,要求每位老教師都有徒弟,每位新教師都有一位老教師指導,現(xiàn)選出3位老教師負責指導5位新入聘教師,則不同的師徒結對方式共有()種.A.360 B.240 C.150 D.1204.中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動;“書”,指各種歷史文化知識;“數(shù)”,數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動,每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()種.A.408 B.120 C.156 D.2405.運行如圖程序,則輸出的S的值為()A.0 B.1 C.2018 D.20176.某三棱錐的三視圖如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為,則該三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.7.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度8.若復數(shù)()在復平面內(nèi)的對應點在直線上,則等于()A. B. C. D.9.函數(shù)的部分圖象大致為()A. B.C. D.10.閱讀下面的程序框圖,運行相應的程序,程序運行輸出的結果是()A.1.1 B.1 C.2.9 D.2.811.我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)(即質(zhì)數(shù))的和”,如,.在不超過20的素數(shù)中,隨機選取兩個不同的數(shù),其和等于20的概率是()A. B. C. D.以上都不對12.已知焦點為的拋物線的準線與軸交于點,點在拋物線上,則當取得最大值時,直線的方程為()A.或 B.或 C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知的展開式中項的系數(shù)與項的系數(shù)分別為135與,則展開式所有項系數(shù)之和為______.14.如圖,在梯形中,∥,分別是的中點,若,則的值為___________.15.(5分)某膳食營養(yǎng)科研機構為研究牛蛙體內(nèi)的維生素E和鋅、硒等微量元素(這些元素可以延緩衰老,還能起到抗癌的效果)對人體的作用,現(xiàn)從只雌蛙和只雄蛙中任選只牛蛙進行抽樣試驗,則選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.16.已知,,分別為內(nèi)角,,的對邊,,,,則的面積為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知點、分別在軸、軸上運動,,.(1)求點的軌跡的方程;(2)過點且斜率存在的直線與曲線交于、兩點,,求的取值范圍.18.(12分)已知,函數(shù)的最小值為1.(1)證明:.(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.19.(12分)已知橢圓的左、右焦點分別為,離心率為,為橢圓上一動點(異于左右頂點),面積的最大值為.(1)求橢圓的方程;(2)若直線與橢圓相交于點兩點,問軸上是否存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形?若存在,求點的坐標;若不存在,請說明理由.20.(12分)某公園有一塊邊長為3百米的正三角形空地,擬將它分割成面積相等的三個區(qū)域,用來種植三種花卉.方案是:先建造一條直道將分成面積之比為的兩部分(點D,E分別在邊,上);再取的中點M,建造直道(如圖).設,,(單位:百米).(1)分別求,關于x的函數(shù)關系式;(2)試確定點D的位置,使兩條直道的長度之和最小,并求出最小值.21.(12分)已知函數(shù)的最大值為,其中.(1)求實數(shù)的值;(2)若求證:.22.(10分)已知都是大于零的實數(shù).(1)證明;(2)若,證明.

2023學年模擬測試卷參考答案(含詳細解析)一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【答案解析】

解出集合,再由含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個可得答案.【題目詳解】解:由,得所以集合的真子集個數(shù)為個.故選:C【答案點睛】此題考查利用集合子集個數(shù)判斷集合元素個數(shù)的應用,含有個元素的集合,其真子集的個數(shù)為個,屬于基礎題.2.C【答案解析】試題分析:根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.解:在等差數(shù)列{an}中,若a2>a1,則d>0,即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則a2>a1,成立,即“a2>a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件,故選C.考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷.3.C【答案解析】

可分成兩類,一類是3個新教師與一個老教師結對,其他一新一老結對,第二類兩個老教師各帶兩個新教師,一個老教師帶一個新教師,分別計算后相加即可.【題目詳解】分成兩類,一類是3個新教師與同一個老教師結對,有種結對結對方式,第二類兩個老教師各帶兩個新教師,有.∴共有結對方式60+90=150種.故選:C.【答案點睛】本題考查排列組合的綜合應用.解題關鍵確定怎樣完成新老教師結對這個事情,是先分類還是先分步,確定方法后再計數(shù).本題中有一個平均分組問題.計數(shù)時容易出錯.兩組中每組中人數(shù)都是2,因此方法數(shù)為.4.A【答案解析】

利用間接法求解,首先對6門課程全排列,減去“樂”排在第一節(jié)的情況,再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況,最后還需加上“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況;【題目詳解】解:根據(jù)題意,首先不做任何考慮直接全排列則有(種),當“樂”排在第一節(jié)有(種),當“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),當“樂”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門課程相鄰時有(種),則滿足“樂”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有(種),故選:.【答案點睛】本題考查排列、組合的應用,注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響,屬于中檔題.5.D【答案解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得第一次:,不滿足條件;第二次:,不滿足條件;第三次:,不滿足條件;第四次:,不滿足條件;第五次:,不滿足條件;第六次:,滿足條件,退出循環(huán).輸出1.選D.6.C【答案解析】

作出三棱錐的實物圖,然后補成直四棱錐,且底面為矩形,可得知三棱錐的外接球和直四棱錐的外接球為同一個球,然后計算出矩形的外接圓直徑,利用公式可計算出外接球的直徑,再利用球體的表面積公式即可得出該三棱錐的外接球的表面積.【題目詳解】三棱錐的實物圖如下圖所示:將其補成直四棱錐,底面,可知四邊形為矩形,且,.矩形的外接圓直徑,且.所以,三棱錐外接球的直徑為,因此,該三棱錐的外接球的表面積為.故選:C.【答案點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積,解題時要結合三視圖作出三棱錐的實物圖,并分析三棱錐的結構,選擇合適的模型進行計算,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.7.D【答案解析】

先將化為,根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則,即可得出結果.【題目詳解】因為,所以只需將的圖象向右平移個單位.【答案點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移,熟記函數(shù)平移原則即可,屬于基礎題型.8.C【答案解析】

由題意得,可求得,再根據(jù)共軛復數(shù)的定義可得選項.【題目詳解】由題意得,解得,所以,所以,故選:C.【答案點睛】本題考查復數(shù)的幾何表示和共軛復數(shù)的定義,屬于基礎題.9.B【答案解析】

圖像分析采用排除法,利用奇偶性判斷函數(shù)為奇函數(shù),再利用特值確定函數(shù)的正負情況。【題目詳解】,故奇函數(shù),四個圖像均符合。當時,,,排除C、D當時,,,排除A。故選B?!敬鸢更c睛】圖像分析采用排除法,一般可供判斷的主要有:奇偶性、周期性、單調(diào)性、及特殊值。10.C【答案解析】

根據(jù)程序框圖的模擬過程,寫出每執(zhí)行一次的運行結果,屬于基礎題.【題目詳解】初始值,第一次循環(huán):,;第二次循環(huán):,;第三次循環(huán):,;第四次循環(huán):,;第五次循環(huán):,;第六次循環(huán):,;第七次循環(huán):,;第九次循環(huán):,;第十次循環(huán):,;所以輸出.故選:C【答案點睛】本題考查了循環(huán)結構的程序框圖的讀取以及運行結果,屬于基礎題.11.A【答案解析】

首先確定不超過的素數(shù)的個數(shù),根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結果.【題目詳解】不超過的素數(shù)有,,,,,,,,共個,從這個素數(shù)中任選個,有種可能;其中選取的兩個數(shù),其和等于的有,,共種情況,故隨機選出兩個不同的數(shù),其和等于的概率.故選:.【答案點睛】本題考查古典概型概率問題的求解,屬于基礎題.12.A【答案解析】

過作與準線垂直,垂足為,利用拋物線的定義可得,要使最大,則應最大,此時與拋物線相切,再用判別式或?qū)?shù)計算即可.【題目詳解】過作與準線垂直,垂足為,,則當取得最大值時,最大,此時與拋物線相切,易知此時直線的斜率存在,設切線方程為,則.則,則直線的方程為.故選:A.【答案點睛】本題考查直線與拋物線的位置關系,涉及到拋物線的定義,考查學生轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.64【答案解析】

由題意先求得的值,再令求出展開式中所有項的系數(shù)和.【題目詳解】的展開式中項的系數(shù)與項的系數(shù)分別為135與,,,由兩式可組成方程組,解得或,令,求得展開式中所有的系數(shù)之和為.故答案為:64【答案點睛】本題考查了二項式定理,考查了賦值法求多項式展開式的系數(shù)和,屬于基礎題.14.【答案解析】

建系,設設,由可得,進一步得到的坐標,再利用數(shù)量積的坐標運算即可得到答案.【題目詳解】以A為坐標原點,AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系,設,則,所以,,由,得,即,又,所以,故,,所以.故答案為:2【答案點睛】本題考查利用坐標法求向量的數(shù)量積,考查學生的運算求解能力,是一道中檔題.15.【答案解析】

記只雌蛙分別為,只雄蛙分別為,從中任選只牛蛙進行抽樣試驗,其基本事件為,共15個,選出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件為,共9個,故選出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.16.【答案解析】

根據(jù)題意,利用余弦定理求得,再運用三角形的面積公式即可求得結果.【題目詳解】解:由于,,,∵,∴,,由余弦定理得,解得,∴的面積.故答案為:.【答案點睛】本題考查余弦定理的應用和三角形的面積公式,考查計算能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【答案解析】

(1)設坐標后根據(jù)向量的坐標運算即可得到軌跡方程.(2)聯(lián)立直線和橢圓方程,用坐標表示出,得到,所以,代入韋達定理即可求解.【題目詳解】(1)設,,則,設,由得.又由于,化簡得的軌跡的方程為.(2)設直線的方程為,與的方程聯(lián)立,消去得,,設,,則,,由已知,,則,故直線.,令,則,由于,,.所以,的取值范圍為.【答案點睛】此題考查軌跡問題,橢圓和直線相交,注意坐標表示向量進行轉(zhuǎn)化的處理技巧,屬于較難題目.18.(1)2;(2)【答案解析】分析:(1)將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),求函數(shù)的最小值(2)分離參數(shù),利用基本不等式證明即可.詳解:(Ⅰ)證明:,顯然在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,即.(Ⅱ)因為恒成立,所以恒成立,當且僅當時,取得最小值,所以,即實數(shù)的最大值為.點睛:本題主要考查含兩個絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應用,第二問恒成立問題分離參數(shù),利用基本不等式求解很關鍵,屬于中檔題.19.(1);(2)見解析【答案解析】

(1)由面積最大值可得,又,以及,解得,即可得到橢圓的方程,(2)假設軸上存在點,是以為直角頂點的等腰直角三角形,設,,線段的中點為,根據(jù)韋達定理求出點的坐標,再根據(jù),,即可求出的值,可得點的坐標.【題目詳解】(1)面積的最大值為,則:又,,解得:,橢圓的方程為:(2)假設軸上存在點,是以為直角頂點的等腰直角三角形設,,線段的中點為由,消去可得:,解得:∴,,依題意有,由可得:,可得:由可得:,代入上式化簡可得:則:,解得:當時,點滿足題意;當時,點滿足題意故軸上存在點,使得是以為直角頂點的等腰直角三角形【答案點睛】本題考查了橢圓的方程,直線和橢圓的位置關系,斜率公式,考查了運算能力和轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.20.(1),.,.(2)當百米時,兩條直道的長度之和取得最小值百米.【答案解析】

(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得關于x的函數(shù)關系式;在和中,利用余弦定理,可得關于x的函數(shù)關系式.方法二:在中,可得,則有,化簡整理即得;同理,化簡整理即得.(2)由(1)和基本不等式,計算即得.【題目詳解】解:(1),是邊

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