MathStudio使用方法入門3-應用解題解課件

由MathStudio

foriPad使用方法入門（3）

應用解題2013年12月31日由MathStudio

foriPad1

從日常生活里找問題

在日常生活里，數(shù)學問題比比皆是，不細想，隨手而過；細想想，有時興趣盎然。我們舉些例子看看怎么用iPad的MathStudio給我們當助手。面對問題，首先要理清思路：要解決什么問題？達到什么目的？用什么方法？采取什么步驟？其次，為了能用好MathStudio這個數(shù)學工具，需要按自己的需要熟記一些常用函數(shù)的用法；還要學會迅速查閱需用的、不熟悉的函數(shù)用法。再次，要能熟練應用軟鍵盤，以順利輸入語句，也就是說要練就“手指頭上的功夫”。

后面列入的例題是：1.計算電視機的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機的大?。?/p>

練習使用MathStudio的數(shù)值計算功能。2.計算任意兩地間的距離。

練習使用MathStudio的數(shù)值計算功能，用到三角函數(shù)和反三角函數(shù)。3.空當接龍的獲勝率為什么上升慢下降快？練習使用MathStudio的數(shù)值計算和符號運算功能。4.遠看高建筑物，為什么越遠越能凸顯它的高度？練習使用MathStudio的數(shù)值計算、符號運算、微分、繪圖等功能。

好了，請你茶余飯后休閑時慢慢品味吧。

從日常生活里找問題21.計算電視機的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機的大小？

現(xiàn)在電視機的大小都是以它的對角線長度“吋”來度量的；電視機的寬、高是以“公分”（cm）來度量的；寬、高對我們更有具體的感覺。

知道了對角線多少吋，怎么算出它的寬、高呢？

通常電視機的寬高比是16:9或4:3,以16:9為例：

設對角線長度是n吋寬度是16a（cm），高度是9a（cm）n*2.54=a*sqrt(16^2+9^2)=a*sqrt(337)a=n*2.54/sqrt(337)w=16*ah=9*a

如果我們要以自己的房間大小來估算合適的電視機尺寸，比如說，人與電視機的距離是d(m),人的視角寬度約為30°（此數(shù)請自選），那么：w1=2*100*d*tan(0.2618)（注30°/2=15°=15*3.14/180=0.2618弧度）h1=9*w1/16n1=sqrt(w1^2+h1^2)/2.54當然，這個計算結果只能作為參考因素之一，視角寬度請自斟選擇。

1.計算電視機的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機的大?。?左圖47″電視機寬高比16:9計算結果寬104cm高58cm觀看距離3m時，合適的電視機可選72″的（可能沒有這種規(guī)格，選接近尺寸的）同類問題建立一個文件，存盤；以后計算同類問題就簡便了。左圖4如果電視機的寬高比是4:3，則計算公式如下：設對角線長度是n吋寬度是4a（cm），高度是3a（cm）n*2.54=a*sqrt(4^2+3^2)=a*sqrt(25)a=n*2.54/sqrt(25)w=4*ah=3*a估算合適的電視機尺寸，人與電視機的距離是d(m),人的視角寬度為30°那么：w1=2*100*d*tan(0.2618)（注30°/2=15°=15*3.14/180=0.2618弧度）h1=3*w1/4n1=sqrt(w1^2+h1^2)/2.54

如果電視機的寬高比是4:3，則計算公式如下：5左圖調出計算寬高比16:9的文件另存為……重命名修改計算w、h的數(shù)據47″電視機寬高比4:3計算結果寬95cm高72cm觀看距離3m時，合適的電視機可選79″的（太大了，可能買不到，減小視角寬度重算吧）左圖62.球面上兩點距離計算公式

交通發(fā)達，擴大了人的活動范圍，各種交通工具，提供了不同速度的運輸設備，“天涯咫尺”不再是形容詞，乘上飛機，即使相隔遼遠，也不至于像古代那樣“路漫漫其修遠兮”。

現(xiàn)在一家人都長年生活在一起的很少了，即使在一個城市里，也可能散居在城市的不同角落里，遇上公交車擁堵和換乘等車，“咫尺天涯”的感覺也還存在。

距離、速度、時間三要素，似乎時間更重要些，可是時間是隨距離和速度而定的。通常距離是穩(wěn)定不變的數(shù)據。

要計算兩地的距離，網上很容易找到下面的公式D=R*acos[cos(wa)*cos(wb)*cos(ja-jb)+sin(wa)*sin(wb)]

其中D兩點間距離kmR地球半徑約6371kmwa、jaA地的緯度、經度wb、jbB地的緯度、經度南緯、西經取負值

如果已知wa、ja、wb、jb，就能算出兩地間的直線距離。

怎么知道經緯度？iPad上安裝個GPS軟件，有Wifi就能測到本地的經緯度。也可以用GoogleEarth查到。

用計算器來算，很繁瑣，容易錯，頭昏腦脹。

還是試試用MathStudio吧

2.球面上兩點距離計算公式7

計算沈陽機場至澳門機場的距離左圖是iPad上用MathStudio計算的清單沈陽桃仙機場123.496°E41.638°N澳門國際機場113.577°E22.158°N如果Option菜單里角度單位選的是Radians式中經緯度數(shù)據要乘以3.14/180化為弧度單位為輸入方便，且便于糾錯，把計算公式分解了輸入完成后，點按上面工具欄右2圖標，

EvaluateAll,得2354.66km

單擊工具欄左3圖標，存盤，命名，以備調用當然，實際航程要大于這個數(shù)，但不至于差太遠吧航班A316飛機航行時間約3.5小時，那么我們就可以得知飛機的平均速度約為672.76km/h可以用eval()調出中間運算結果，校核是否正確計算沈陽機場至澳門機場的距離8計算澳門、香港客運碼頭兩地的距離調出計算兩地距離的文件，輸入兩地碼頭數(shù)據澳門客運碼頭113.559°E22.198°N香港客運碼頭114.152°E22.288°N計算得到兩地碼頭直線距離約為61.82km如果單程航行時間約為50分鐘，則航速約為74.18km/h存盤，如果要保留上次計算結果，就不能按左3圖標了，需要進入Menu-File-SaveAS另存為……重新命名。首次建立計算兩地距離的程序清單稍麻煩些，建立后要變更兩地數(shù)據就方便了，改4個數(shù)據就行。計算澳門、香港客運碼頭兩地的距離9

3.空當接龍獲勝率的增率/減率分析、比較

空當接龍是廣受歡迎的經典游戲之一，玩過的人都知道，稍一不慎輸了，獲勝率就會大幅度下降，反之，想要獲勝率再升上來，就很不容易了，需多次連續(xù)贏，才能緩慢上升。這個感覺是否準確？是否始終如此？

我們玩空當接龍總是有限次的，不可能經歷過所有獲勝率來驗證，讓我們運用數(shù)學工具分析一下吧。

順便說一下，Windows7里玩空當接龍，走錯了可以不限次地回退重玩，我們可以當上100%的“常勝將軍”。WindowsXP以前，可沒有這樣輕松，稍一不慎，“你投降吧”！3.空當接龍獲勝率的增率/減率分析、比較10起始獲勝率為90%的狀態(tài)

讓MathStudio幫我們實際演算一下連贏5次后獲勝率是90.48%

與90%相比較，增率是0.53%連輸5次后獲勝率是85.71%與90%相比較，減率是4.76%計算結果與我們的感覺相符，即：贏的上升幅度小，輸?shù)南陆捣却笃鹗极@勝率為90%的狀態(tài)11起始獲勝率為45%的狀態(tài)

現(xiàn)實生活里未必能出現(xiàn)45%獲勝率，哪能輸?shù)眠@么慘？！讓我們換一組數(shù)據算一下吧連贏5次后獲勝率是47.62%

與45%相比較，增率是5.82%連輸5次后獲勝率是42.86%與45%相比較，減率是4.76%計算結果與我們原來的感覺不相符了，即：贏的上升幅度大，輸?shù)南陆捣刃×恕Ｓ纱丝梢姡褐庇^感覺的結論在一定條件下可能是對的，在另外條件下就可能錯了。數(shù)學推理能幫助我們糾正錯誤

MathStudio能助我們一臂之力起始獲勝率為45%的狀態(tài)12MathStudio具有符號運算能力，試用一下e=b/a起始獲勝率e1=(b+n)/(a+n)……連贏n次后的獲勝率x1=(e1-e)/e………e1的增率左圖演算結果繼續(xù)化簡x1=n(a-b)/b(a+n)e2=(b/(a+n)………連輸n次后的獲勝率x2=(e2-e)/e………e2的減率運算結果繼續(xù)化簡x2=-bn/b(a+n)比較x1、x2的大小，x1/x2=(n(a-b)/b(a+n))/(-bn/b(a+n))=n(a-b)/-bn=-(a-b)/b因為減率始終為負值，在比較數(shù)值大小時與正負號無關，即

x1/|x2|=(a-b)/b當a<2b時x1<|x2|,即起始獲勝率>50%時，增率上升慢，減率下降快當a>2b時x1>|x2|,即起始獲勝率<50%時，增率上升快，減率下降慢當a=2b時x1=x2=n/(a+n),即起始獲勝率=50%時，增率減率相等MathStudio具有符號運算能力，試用一下134.遠看高建筑物，為什么越遠越能凸顯它的高度？

每當漫步在沈撫新城渾河畔時，遇到晴朗天氣就能清晰看到沈陽世博園里的百合塔高大挺拔秀麗的身影，這里距離百合塔約有4000m左右。距離似乎沒有減弱對它高大的感覺。

人對物體高度的感覺取決于看這個物體的仰角，和它與鄰近物體高低對比關系，仰角大小是由高度和距離決定的：A=atan（h/d）

A仰角（°）h—物體高度（m）d—觀察者與物體間的直線距離（m）

我們可以從兩個方面來分析：

假定高度不變，仰角隨距離變化的規(guī)律；——對同一物體，觀察者改變位置。

假定距離不變，仰角隨高度變化的規(guī)律；——觀察者位置一定，對不同高度物體觀察。

4.遠看高建筑物，為什么越遠越能凸顯它的高度？14高度不變，觀察仰角與距離的關系以百合塔高120m為例，距離從高度的1/4、1/2、1倍至2、4、8、16、32、64倍，看仰角的變化。設距離/高度=x，仰角=y=atan(1/x)左圖計算結果列表如下x0.250.51248163264y766345261473.61.80.9y/900.840.70.50.290.160.080.040.020.01從上述結果可看出：距離≤高度時，距離增大，仰角迅速減小距離＞高度時，距離增大，仰角減小的變率趨緩仰角變化率以45°為拐點距離越遠仰角減小越緩

高度不變，觀察仰角與距離的關系15改變高度，觀察仰角與距離的關系以物體高60m（百合塔高度的一半）為例，距離從高度的1/4、1/2、1倍至2、4、8、16、32、64倍，看仰角的變化。x0.51248163264Y6345261473.61.80.9y/900.70.50.290.160.080.040.020.01變化規(guī)律與前述同。我們再列個表：在不同距離位置上觀察不同高度物體的仰角：d6012024048096019203840h12063.44526.6147.13.61.8604526.6147.13.61.80.9從上述數(shù)據看，當距離d＜480時，y1/y2＜h1/h2

當距離d＞480時，y1/y2≈h1/h2對比3840/120=32數(shù)據

距離增大32倍，視角只縮小45/1.8=25倍這就是說：近距離看不同高度物體，它們的高度差被“縮水”了，高度差不大明顯；遠距離看不同高度物體時，視角比與高度比趨近一致，視角減小倍數(shù)＜距離增大倍數(shù)。改變高度，觀察仰角與距離的關系16我們試用一下MathStudio的繪圖功能，幫我們分析問題，距離-仰角曲線左圖4條曲線，分別代表4種高度物體在不同距離觀察的仰角曲線，高度比為1:2:3:4。Y軸—仰角（弧度）最大值π/2(90°)X軸—距離/最低物體高度的倍數(shù)當x→0時，4條曲線的y≈π/2(90°)當0<x<0.25時，除曲線①顯著下降外，其他3條曲線較接近。當x>1后，4條曲線拉開距離，即在相同位置上觀察，高度較小的物體仰角下降快。雙擊曲線圖，得到放大圖形，可分段觀察。曲線圖說明，我們前述推斷是正確的。我們試用一下MathStudio的繪圖功能，幫我們分析問題，17左圖0<x<3部分放大圖右圖10<x<13部分放大圖

曲線間的距離不等曲線間的距離趨于相等

x=13時相當于最高物體高度的3.25倍

左圖0<x<3部分放大圖18在不同距離上，看不同高度物體的仰角變化率左面上圖高度比為1:2:3:4的物體，在不同距離觀察時，其仰角變化率的一組曲線；下圖4個物體各自仰角變化率的表達式。這組曲線很有趣，很好玩：當1＜x＜4時，看起來曲線有些“亂”，即曲線之間有交錯狀態(tài)，似乎不合“常理”；其實，正是它告訴我們，在這段距離里，我們觀察物體高度可能會產生錯覺(即我們看靠近的高建筑物，感覺會比實際高度更高些)。為什么會這樣？因為在這段范圍里它們先后經過各自的拐點！再看x＜1時，高度越小，仰角變化率越大；高度越大，曲線越平緩，仰角變化率越小

在不同距離上，19這是上頁曲線族的放大圖

x=1x=2x=3x=4

y1=-0.5y2=-0.25y3=-0.167y4=-0.125

上頁表達式計算結果：-1/2-1/4-1/6-1/8相符合

當曲線移到右面x>16時，4條曲線“擠在”約為0.3的“帶寬”內

這是上頁曲線20綜上所述，可以歸納為：近距離看高大建筑群時，仰角的最大值都趨近90°；逐漸增大距離則仰角迅速減小，不同高度物體有顯著不同的仰角變化率，高度越小，仰角變化率越大；不會發(fā)生高低建筑物排序上的錯誤，但會感覺“縮小”了高度之差，尤其是在建筑群的“拐點”區(qū)域內時。遠距離看建筑群時，距離越大仰角變化率越趨緩，仰角之比接近于實際高度之比；當高大建筑清晰可見時，低矮建筑可能已消失在視線之內了。這就是近距離看高建筑物不顯其高，遠距離看則凸顯其高的原因吧。至此，介紹MathStudio使用方法就要告一段落了，繼續(xù)挖掘其潛能的路還很長，有待朋友們共同努力。再次重復：疏漏謬誤之處敬請指正！

探索提高之途歡迎合作！

綜上所述，可以歸納為：21制作LNFSCSS參考資料網絡百度文庫等背景音樂江南絲竹春綠江南2014年1月8日制作LNFSCSS22由MathStudio

foriPad使用方法入門（3）

應用解題2013年12月31日由MathStudio

foriPad23

從日常生活里找問題

在日常生活里，數(shù)學問題比比皆是，不細想，隨手而過；細想想，有時興趣盎然。我們舉些例子看看怎么用iPad的MathStudio給我們當助手。面對問題，首先要理清思路：要解決什么問題？達到什么目的？用什么方法？采取什么步驟？其次，為了能用好MathStudio這個數(shù)學工具，需要按自己的需要熟記一些常用函數(shù)的用法；還要學會迅速查閱需用的、不熟悉的函數(shù)用法。再次，要能熟練應用軟鍵盤，以順利輸入語句，也就是說要練就“手指頭上的功夫”。

后面列入的例題是：1.計算電視機的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機的大??？

練習使用MathStudio的數(shù)值計算功能。2.計算任意兩地間的距離。

練習使用MathStudio的數(shù)值計算功能，用到三角函數(shù)和反三角函數(shù)。3.空當接龍的獲勝率為什么上升慢下降快？練習使用MathStudio的數(shù)值計算和符號運算功能。4.遠看高建筑物，為什么越遠越能凸顯它的高度？練習使用MathStudio的數(shù)值計算、符號運算、微分、繪圖等功能。

好了，請你茶余飯后休閑時慢慢品味吧。

從日常生活里找問題241.計算電視機的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機的大??？

現(xiàn)在電視機的大小都是以它的對角線長度“吋”來度量的；電視機的寬、高是以“公分”（cm）來度量的；寬、高對我們更有具體的感覺。

知道了對角線多少吋，怎么算出它的寬、高呢？

通常電視機的寬高比是16:9或4:3,以16:9為例：

設對角線長度是n吋寬度是16a（cm），高度是9a（cm）n*2.54=a*sqrt(16^2+9^2)=a*sqrt(337)a=n*2.54/sqrt(337)w=16*ah=9*a

如果我們要以自己的房間大小來估算合適的電視機尺寸，比如說，人與電視機的距離是d(m),人的視角寬度約為30°（此數(shù)請自選），那么：w1=2*100*d*tan(0.2618)（注30°/2=15°=15*3.14/180=0.2618弧度）h1=9*w1/16n1=sqrt(w1^2+h1^2)/2.54當然，這個計算結果只能作為參考因素之一，視角寬度請自斟選擇。

1.計算電視機的寬度和高度，如何按觀看距離選擇電視機的大小？25左圖47″電視機寬高比16:9計算結果寬104cm高58cm觀看距離3m時，合適的電視機可選72″的（可能沒有這種規(guī)格，選接近尺寸的）同類問題建立一個文件，存盤；以后計算同類問題就簡便了。左圖26如果電視機的寬高比是4:3，則計算公式如下：設對角線長度是n吋寬度是4a（cm），高度是3a（cm）n*2.54=a*sqrt(4^2+3^2)=a*sqrt(25)a=n*2.54/sqrt(25)w=4*ah=3*a估算合適的電視機尺寸，人與電視機的距離是d(m),人的視角寬度為30°那么：w1=2*100*d*tan(0.2618)（注30°/2=15°=15*3.14/180=0.2618弧度）h1=3*w1/4n1=sqrt(w1^2+h1^2)/2.54

如果電視機的寬高比是4:3，則計算公式如下：27左圖調出計算寬高比16:9的文件另存為……重命名修改計算w、h的數(shù)據47″電視機寬高比4:3計算結果寬95cm高72cm觀看距離3m時，合適的電視機可選79″的（太大了，可能買不到，減小視角寬度重算吧）左圖282.球面上兩點距離計算公式

交通發(fā)達，擴大了人的活動范圍，各種交通工具，提供了不同速度的運輸設備，“天涯咫尺”不再是形容詞，乘上飛機，即使相隔遼遠，也不至于像古代那樣“路漫漫其修遠兮”。

現(xiàn)在一家人都長年生活在一起的很少了，即使在一個城市里，也可能散居在城市的不同角落里，遇上公交車擁堵和換乘等車，“咫尺天涯”的感覺也還存在。

距離、速度、時間三要素，似乎時間更重要些，可是時間是隨距離和速度而定的。通常距離是穩(wěn)定不變的數(shù)據。

要計算兩地的距離，網上很容易找到下面的公式D=R*acos[cos(wa)*cos(wb)*cos(ja-jb)+sin(wa)*sin(wb)]

其中D兩點間距離kmR地球半徑約6371kmwa、jaA地的緯度、經度wb、jbB地的緯度、經度南緯、西經取負值

如果已知wa、ja、wb、jb，就能算出兩地間的直線距離。

怎么知道經緯度？iPad上安裝個GPS軟件，有Wifi就能測到本地的經緯度。也可以用GoogleEarth查到。

用計算器來算，很繁瑣，容易錯，頭昏腦脹。

還是試試用MathStudio吧

2.球面上兩點距離計算公式29

計算沈陽機場至澳門機場的距離左圖是iPad上用MathStudio計算的清單沈陽桃仙機場123.496°E41.638°N澳門國際機場113.577°E22.158°N如果Option菜單里角度單位選的是Radians式中經緯度數(shù)據要乘以3.14/180化為弧度單位為輸入方便，且便于糾錯，把計算公式分解了輸入完成后，點按上面工具欄右2圖標，

EvaluateAll,得2354.66km

單擊工具欄左3圖標，存盤，命名，以備調用當然，實際航程要大于這個數(shù)，但不至于差太遠吧航班A316飛機航行時間約3.5小時，那么我們就可以得知飛機的平均速度約為672.76km/h可以用eval()調出中間運算結果，校核是否正確計算沈陽機場至澳門機場的距離30計算澳門、香港客運碼頭兩地的距離調出計算兩地距離的文件，輸入兩地碼頭數(shù)據澳門客運碼頭113.559°E22.198°N香港客運碼頭114.152°E22.288°N計算得到兩地碼頭直線距離約為61.82km如果單程航行時間約為50分鐘，則航速約為74.18km/h存盤，如果要保留上次計算結果，就不能按左3圖標了，需要進入Menu-File-SaveAS另存為……重新命名。首次建立計算兩地距離的程序清單稍麻煩些，建立后要變更兩地數(shù)據就方便了，改4個數(shù)據就行。計算澳門、香港客運碼頭兩地的距離31

3.空當接龍獲勝率的增率/減率分析、比較

空當接龍是廣受歡迎的經典游戲之一，玩過的人都知道，稍一不慎輸了，獲勝率就會大幅度下降，反之，想要獲勝率再升上來，就很不容易了，需多次連續(xù)贏，才能緩慢上升。這個感覺是否準確？是否始終如此？

我們玩空當接龍總是有限次的，不可能經歷過所有獲勝率來驗證，讓我們運用數(shù)學工具分析一下吧。

順便說一下，Windows7里玩空當接龍，走錯了可以不限次地回退重玩，我們可以當上100%的“常勝將軍”。WindowsXP以前，可沒有這樣輕松，稍一不慎，“你投降吧”！3.空當接龍獲勝率的增率/減率分析、比較32起始獲勝率為90%的狀態(tài)

讓MathStudio幫我們實際演算一下連贏5次后獲勝率是90.48%

與90%相比較，增率是0.53%連輸5次后獲勝率是85.71%與90%相比較，減率是4.76%計算結果與我們的感覺相符，即：贏的上升幅度小，輸?shù)南陆捣却笃鹗极@勝率為90%的狀態(tài)33起始獲勝率為45%的狀態(tài)

現(xiàn)實生活里未必能出現(xiàn)45%獲勝率，哪能輸?shù)眠@么慘？！讓我們換一組數(shù)據算一下吧連贏5次后獲勝率是47.62%

與45%相比較，增率是5.82%連輸5次后獲勝率是42.86%與45%相比較，減率是4.76%計算結果與我們原來的感覺不相符了，即：贏的上升幅度大，輸?shù)南陆捣刃×?。由此可見：直觀感覺的結論在一定條件下可能是對的，在另外條件下就可能錯了。數(shù)學推理能幫助我們糾正錯誤

MathStudio能助我們一臂之力起始獲勝率為45%的狀態(tài)34MathStudio具有符號運算能力，試用一下e=b/a起始獲勝率e1=(b+n)/(a+n)……連贏n次后的獲勝率x1=(e1-e)/e………e1的增率左圖演算結果繼續(xù)化簡x1=n(a-b)/b(a+n)e2=(b/(a+n)………連輸n次后的獲勝率x2=(e2-e)/e………e2的減率運算結果繼續(xù)化簡x2=-bn/b(a+n)比較x1、x2的大小，x1/x2=(n(a-b)/b(a+n))/(-bn/b(a+n))=n(a-b)/-bn=-(a-b)/b因為減率始終為負值，在比較數(shù)值大小時與正負號無關，即

x1/|x2|=(a-b)/b當a<2b時x1<|x2|,即起始獲勝率>50%時，增率上升慢，減率下降快當a>2b時x1>|x2|,即起始獲勝率<50%時，增率上升快，減率下降慢當a=2b時x1=x2=n/(a+n),即起始獲勝率=50%時，增率減率相等MathStudio具有符號運算能力，試用一下354.遠看高建筑物，為什么越遠越能凸顯它的高度？

每當漫步在沈撫新城渾河畔時，遇到晴朗天氣就能清晰看到沈陽世博園里的百合塔高大挺拔秀麗的身影，這里距離百合塔約有4000m左右。距離似乎沒有減弱對它高大的感覺。

人對物體高度的感覺取決于看這個物體的仰角，和它與鄰近物體高低對比關系，仰角大小是由高度和距離決定的：A=atan（h/d）

A仰角（°）h—物體高度（m）d—觀察者與物體間的直線距離（m）

我們可以從兩個方面來分析：

假定高度不變，仰角隨距離變化的規(guī)律；——對同一物體，觀察者改變位置。

假定距離不變，仰角隨高度變化的規(guī)律；——觀察者位置一定，對不同高度物體觀察。

4.遠看高建筑物，為什么越遠越能凸顯它的高度？36高度不變，觀察仰角與距離的關系以百合塔高120m為例，距離從高度的1/4、1/2、1倍至2、4、8、16、32、64倍，看仰角的變化。設距離/高度=x，仰角=y=atan(1/x)左圖計算結果列表如下x0.250.51248163264y766345261473.61.80.9y/900.840.70.50.290.160.080.040.020.01從上述結果可看出：距離≤高度時，距離增大，仰角迅速減小距離＞高度時，距離增大，仰角減小的變率趨緩仰角變化率以45°為拐點距離越遠仰角減小越緩

高度不變，觀察仰角與距離的關系37改變高度，觀察仰角與距離的關系以物體高60m（百合塔高度的一半）為例，距離從高度的1/4、1/2、1倍至2、4、8、16、32、64倍，看仰角的變化。x0.51248163264Y6345261473.61.80.9y/900.70.50.290.160.080.040.020.01變化規(guī)律與前述同。我們再列個表：在不同距離位置上觀察不同高度物體的仰角：d6012024048096019203840h12063.44526.6147.13.61.8604526.6147.13.61.80.9從上述數(shù)據看，當距離d＜480時，y1/y2＜h1/h2

當距離d＞480時，y1/y2≈h1/h2對比3840/120=32數(shù)據

距離增大32倍，視角只縮小45/1.8=25倍這就是說：近距離看不同高度物體，它們的高度差被“縮水”了，高度差不大明顯；遠距離看不同高度物體時，視角比與高度比趨近一致，視角減小倍數(shù)＜距離增大倍數(shù)。改變高度，觀察仰角與距離的關系38我們試用一下MathStudio的繪圖功能，幫我們分析問題，距離-仰角曲線左圖4條曲線，分別代表4種高度物體在不同距離觀察的仰角曲線，高度比為1:2:3:4。Y軸—仰角（弧度）最大值π/2(90°)X軸—距離/最低物體高度的倍數(shù)當x→0時，4條曲線的y≈π/2(90°)當0<x<0.2