三年 (2020-2022 ) 高考真題匯編 專題13不等式、推理與證明

專題13不等式、推理與證明【2022年全國乙卷】1．若x，y滿足約束條件則的最大值是（

）A． B．4 C．8 D．12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，數(shù)形結合即可得解.【詳解】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，轉化目標函數(shù)為，上下平移直線，可得當直線過點時，直線截距最小，z最大，所以.故選：C.【2021年乙卷文科】2．若滿足約束條件則的最小值為（

）A．18 B．10 C．6 D．4【答案】C【解析】【分析】由題意作出可行域，變換目標函數(shù)為，數(shù)形結合即可得解.【詳解】由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點,轉換目標函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結合可得當直線過點時,取最小值，此時.故選：C.【2021年乙卷文科】3．下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質可判斷選項不符合題意，再根據(jù)基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合題意，符合題意．【詳解】對于A，，當且僅當時取等號，所以其最小值為，A不符合題意；對于B，因為，，當且僅當時取等號，等號取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對于C，因為函數(shù)定義域為，而，，當且僅當，即時取等號，所以其最小值為，C符合題意；對于D，，函數(shù)定義域為，而且，如當，，D不符合題意．故選：C．【點睛】本題解題關鍵是理解基本不等式的使用條件，明確“一正二定三相等”的意義，再結合有關函數(shù)的性質即可解出．【2020年新課標3卷文科】4．已知函數(shù)f(x)=sinx+，則（）A．f(x)的最小值為2 B．f(x)的圖象關于y軸對稱C．f(x)的圖象關于直線對稱 D．f(x)的圖象關于直線對稱【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本不等式使用條件可判斷A;根據(jù)奇偶性可判斷B;根據(jù)對稱性判斷C,D.【詳解】可以為負，所以A錯；關于原點對稱；故B錯；關于直線對稱，故C錯，D對故選：D【點睛】本題考查函數(shù)定義域與最值、奇偶性、對稱性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.【2022年新高考2卷】5．若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式或者取特值即可判斷各選項的真假．【詳解】因為（R），由可變形為，，解得，當且僅當時，，當且僅當時，，所以A錯誤，B正確；由可變形為，解得，當且僅當時取等號，所以C正確；因為變形可得，設，所以，因此，所以當時滿足等式，但是不成立，所以D錯誤．故選：BC．【2020年新高考1卷（山東卷）】6．已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，結合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.【詳解】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點睛】本題主要考查不等式的性質，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調性，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).【2020年新課標1卷理科】7．若x，y滿足約束條件則z=x+7y的最大值為______________.【答案】1【解析】【分析】首先畫出可行域，然后結合目標函數(shù)的幾何意義即可求得其最大值.【詳解】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標函數(shù)即：，其中z取得最大值時，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據(jù)此結合目標函數(shù)的幾何意義可知目標函數(shù)在點A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點A的坐標為：，據(jù)此可知目標函數(shù)的最大值為：.故答案為：1．【點睛】求線性目標函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當b＞0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當b＜0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大.【2020年新課標2卷文科】8．若x，y滿足約束條件則的最大值是__________．【答案】【解析】【分析】在平面直角坐標系內畫出不等式組表示的平面區(qū)域，然后平移直線，在平面區(qū)域內找到一點使得直線在縱軸上的截距最大，求出點的坐標代入目標函數(shù)中即可.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域為下圖所示：平移直線，當直線經過點時，直線在縱軸上的截距最大，此時點的坐標是方程組的解，解得：，因此的最大值為：.故答案為：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃的應用，考查了數(shù)形結合思想，考查數(shù)學運算能力.【2020年新課標3卷理科】9．若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為_________．【答案】7【解析】【分析】作出可行域，利用截距的幾何意義解決.【詳解】不等式組所表示的可行域如圖因為，所以，易知截距越大，則越大，平移直線，當經過A點時截距最大，此時z最大，由，得，，所以.故答案為：7.【點晴】本題主要考查簡單線性規(guī)劃的應用，涉及到求線性目標函數(shù)的最大值，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道容易題.【2020年新課標3卷理科】10．關于函數(shù)f（x）=有如下四個命題：①f（x）的圖象關于y軸對稱．②f（x）的圖象關于原點對稱．③f（x）的圖象關于直線x=對稱．④f（x）的最小值為2．其中所有真命題的序號是__________．【答案】②③【解析】【分析】利用特殊值法可判斷命題①的正誤；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷命題②的正誤；利用對稱性的定義可判斷命題③的正誤；取可判斷命題④的正誤.綜合可得出結論.【詳解】對于命題①，，，則，所以，函數(shù)的圖象不關于軸對稱，命題①錯誤；對于命題②，函數(shù)的定義域為，定義域關于原點對稱，，所以，函