某大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院課件

廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院杜妮關(guān)于線性方程組的12/29/20221廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院杜妮關(guān)于線性方程組的與線性方程組相關(guān)的數(shù)學(xué)史線性方程組是貫穿線性代數(shù)的主線關(guān)于“線性方程組”的教學(xué)體會(huì)12/29/20222與線性方程組相關(guān)的數(shù)學(xué)史線性方程組是貫穿線性代數(shù)的主線關(guān)于“線性代數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立的分支在20世紀(jì)才形成，然而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。最古老的線性問題是線性方程組的解法。

中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·方程》中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法，即高斯消元法。

12/29/20223線性代數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立的分支在20世紀(jì)才形成，然而它的歷史卻非在西方，線性方程組的研究是在

17

世紀(jì)后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研究含兩個(gè)未知量的三個(gè)線性方程組組成的方程組。

隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在18～19世紀(jì)期間先后產(chǎn)生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展。

12/29/20224在西方，線性方程組的研究是在

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世紀(jì)后期由萊布尼茨開創(chuàng)的大量的科學(xué)技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時(shí)，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進(jìn)展。現(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重要地位。

12/29/20225大量的科學(xué)技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方線性方程組為主線如何判斷方程組是否有解有解時(shí)如何求解解的結(jié)構(gòu)12/29/20226線性方程組為主線如何判斷方程組是否有解有解時(shí)如何求解解的結(jié)構(gòu)（行列式）（矩陣、初等變換）12/29/20227（行列式）判斷解的存在性和

唯一性定義

Ax=b的系數(shù)矩陣:A;增廣矩陣:解的判定12/29/20228判斷解的存在性和

唯一性定義12/28/20228多解時(shí)，解與解之間的關(guān)系？〔向量、線性相關(guān)性、根底解系〕解的構(gòu)造_特解+導(dǎo)出組通解 12/29/20229多解時(shí)，解與解之間的關(guān)系？〔向量、線性相關(guān)性、根底解系〕12對(duì)“線性方程組”教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)體會(huì)1、討論一個(gè)向量能否由一組向量線性表示的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組解的存在性及唯一性問題。線性方程組有解12/29/202210對(duì)“線性方程組”教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)體會(huì)1、討論一個(gè)向量能12/29/20221112/28/2022112、對(duì)非齊次線性方程組解的構(gòu)造的進(jìn)一步分析齊次線性方程組的解向量集合構(gòu)成子空間，但非齊次線性方程組的解向量集合則不然。下例給出了非齊次線性方程組的解向量組成的向量組的極大無關(guān)組。12/29/2022122、對(duì)非齊次線性方程組解的構(gòu)造的進(jìn)一步分析齊次線性方程組的解12/29/20221312/28/202213

注：對(duì)非齊次線性方程組，有時(shí)也把如題中所給的個(gè)解稱為其基礎(chǔ)解系，所不同的是它的線性組合只有當(dāng)線性組合系數(shù)之和為1時(shí)，才是方程組的解．12/29/202214注：對(duì)非齊次線性方程組，有時(shí)也把如題中所給12/28/23、方程組Ax=0的解全是Bx=0的解的充要條件是B的行向量可由A的行向量線性表示.

方程組Ax=0的解與Bx=0同解的充要條件是A的行向量組與B的行向量組等價(jià).

12/29/2022153、方程組Ax=0的解全是Bx=0的解的充要條件是B的行向量例對(duì)實(shí)矩陣Am×n,證明12/29/202216例對(duì)實(shí)矩陣Am×n,證明12/28/2022164、線性映射的核例設(shè).定義線性映射A: 則KerA即為Ax=0的解空間.注：由同構(gòu)的思想，求線性映射的核空間的問題可轉(zhuǎn)化為求上述KerA的問題.12/29/2022174、線性映射的核例設(shè).定義例是V的一組基,是U的一組基, 求12/29/202218例是V的一組基12/29/20221912/28/202219例：設(shè)V是四維行向量空間,內(nèi)積為標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積,

求V中與矩陣

的每個(gè)行向量都正交的全體向量所構(gòu)成的子空間的維數(shù)。5、齊次線性方程組Ax=0的解空間即為與A的每個(gè)行向量都正交的全體向量所構(gòu)成的子空間.12/29/202220例：設(shè)V是四維行向量空間,內(nèi)積為標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積,求V中與矩陣

謝謝！12/29/202221謝謝！12/28/202221

廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院杜妮關(guān)于線性方程組的12/29/202222廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院杜妮關(guān)于線性方程組的與線性方程組相關(guān)的數(shù)學(xué)史線性方程組是貫穿線性代數(shù)的主線關(guān)于“線性方程組”的教學(xué)體會(huì)12/29/202223與線性方程組相關(guān)的數(shù)學(xué)史線性方程組是貫穿線性代數(shù)的主線關(guān)于“線性代數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立的分支在20世紀(jì)才形成，然而它的歷史卻非常久遠(yuǎn)。最古老的線性問題是線性方程組的解法。

中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)·方程》中，已經(jīng)作了比較完整的敘述，其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣的行施行初等變換，消去未知量的方法，即高斯消元法。

12/29/202224線性代數(shù)作為一個(gè)獨(dú)立的分支在20世紀(jì)才形成，然而它的歷史卻非在西方，線性方程組的研究是在

17

世紀(jì)后期由萊布尼茨開創(chuàng)的。他曾研究含兩個(gè)未知量的三個(gè)線性方程組組成的方程組。

隨著研究線性方程組和變量的線性變換問題的深入，行列式和矩陣在18～19世紀(jì)期間先后產(chǎn)生，為處理線性問題提供了有力的工具，從而推動(dòng)了線性代數(shù)的發(fā)展。

12/29/202225在西方，線性方程組的研究是在

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世紀(jì)后期由萊布尼茨開創(chuàng)的大量的科學(xué)技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時(shí)，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進(jìn)展?，F(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重要地位。

12/29/202226大量的科學(xué)技術(shù)問題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方線性方程組為主線如何判斷方程組是否有解有解時(shí)如何求解解的結(jié)構(gòu)12/29/202227線性方程組為主線如何判斷方程組是否有解有解時(shí)如何求解解的結(jié)構(gòu)（行列式）（矩陣、初等變換）12/29/202228（行列式）判斷解的存在性和

唯一性定義

Ax=b的系數(shù)矩陣:A;增廣矩陣:解的判定12/29/202229判斷解的存在性和

唯一性定義12/28/20228多解時(shí)，解與解之間的關(guān)系？〔向量、線性相關(guān)性、根底解系〕解的構(gòu)造_特解+導(dǎo)出組通解 12/29/202230多解時(shí)，解與解之間的關(guān)系？〔向量、線性相關(guān)性、根底解系〕12對(duì)“線性方程組”教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)體會(huì)1、討論一個(gè)向量能否由一組向量線性表示的問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化為非齊次線性方程組解的存在性及唯一性問題。線性方程組有解12/29/202231對(duì)“線性方程組”教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)體會(huì)1、討論一個(gè)向量能12/29/20223212/28/2022112、對(duì)非齊次線性方程組解的構(gòu)造的進(jìn)一步分析齊次線性方程組的解向量集合構(gòu)成子空間，但非齊次線性方程組的解向量集合則不然。下例給出了非齊次線性方程組的解向量組成的向量組的極大無關(guān)組。12/29/2022332、對(duì)非齊次線性方程組解的構(gòu)造的進(jìn)一步分析齊次線性方程組的解12/29/20223412/28/202213

注：對(duì)非齊次線性方程組，有時(shí)也把如題中所給的個(gè)解稱為其基礎(chǔ)解系，所不同的是它的線性組合只有當(dāng)線性組合系數(shù)之和為1時(shí)，才是方程組的解．12/29/202235注：對(duì)非齊次線性方程組，有時(shí)也把如題中所給12/28/23、方程組Ax=0的解全是Bx=0的解的充要條件是B的行向量可由A的行向量線性表示.

方程組Ax=0的解與Bx=0同解的充要條件是A的行向量組與B的行向量組等價(jià).

12/29/2022363、方程組Ax=0的解全是Bx=0的解的充要條件是B的行向量例對(duì)實(shí)矩陣Am×n,證明12/29/202237例對(duì)實(shí)矩陣Am×n,證明12/28/2022164、線性映射的核例設(shè).定義線性映射A: 則KerA即為Ax=0的解空間.注：由同構(gòu)的思想，求線性映射的核空間的問題可轉(zhuǎn)化為求上述KerA的問題.12/29/2022384、線性映射的核例設(shè).定義例是V的一組基,是U的一組基, 求12/29/202239例是V的一組基