2023學(xué)年數(shù)學(xué)人教A版本講整合

本講整合答案①判定

②性質(zhì)

③射影專題一專題二專題三專題一:平行線分線段成比例定理及其應(yīng)用

1.平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段也相等.推論1:經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊.推論2:經(jīng)過梯形一腰的中點,且與底邊平行的直線平分另一腰.2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例.推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例.專題一專題二專題三例1如圖,在四邊形ABCD中,AC,BD交于點O,過點O作AB的平行線,與AD,BC分別交于點E,F,與CD的延長線交于點K,則解析延長CK,BA,設(shè)它們交于點H,專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題二:相似三角形的判定與性質(zhì)1.相似三角形的定義對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比(或相似系數(shù)).2.相似三角形的判定(1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(2)兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.(3)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似.(4)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似.專題一專題二專題三3.直角三角形相似的判定(1)如果兩個直角三角形有一個銳角對應(yīng)相等,那么它們相似.(2)如果兩個直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例,那么它們相似.(3)如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個直角三角形相似.4.相似三角形的性質(zhì)(1)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.(2)相似三角形周長的比等于相似比.(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方.(4)相似三角形外接圓的直徑比、周長比等于相似比,外接圓的面積比等于相似比的平方.專題一專題二專題三例2如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,點E,F分別是AB,BC的中點,EF與BD相交于點M.(1)求證:△EDM∽△FBM;(2)若DB=9,求BM的長.分析對于(1),可通過證明CB∥DE并結(jié)合相似三角形的判定定理證明;(2)可由(1)結(jié)合相似三角形的性質(zhì)求解.專題一專題二專題三(1)證明∵點E是AB的中點,∴AB=2BE.又AB=2CD,∴CD=EB.∵AB∥CD,∴四邊形CBED是平行四邊形.∴CB∥DE,∴∠DEM=∠BFM,∠EDM=∠FBM,∴△EDM∽△FBM.專題一專題二專題三專題一專題二專題三變式訓(xùn)練2

如圖,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,過點D作AC的平行線DE,交BA的延長線于點E.求證:

(1)△ABC≌△DCB;(2)DE·DC=AE·BD.證明(1)∵四邊形ABCD是等腰梯形,∴AC=DB,AB=DC.又BC=CB,∴△ABC≌△DCB.(2)由(1)知,△ABC≌△DCB,∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB.∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC.又ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC.∴∠EDA=∠DBC,∠EAD=∠DCB.∴△ADE∽△CBD,∴DE∶BD=AE∶CD.∴DE·DC=AE·BD.專題一專題二專題三專題三:直角三角形的射影定理及其應(yīng)用直角三角形的射影定理:直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項;兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項.專題一專題二專題三例3如圖所示,在Rt△ABC中有正方形DEFG,點D,G分別在AB,AC上,點E,F在斜邊BC上,求證:EF2=BE·FC.

證明如圖所示,過點A作AH⊥BC于點H,則DE∥AH∥GF.專題一專題二專題三專題一專題二專題三專題一專題二專題三變式訓(xùn)練3

如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,DE⊥AC于點E,EF⊥AB于點F,若BD·DF=4,則CE=

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考點1考點2考點1:相似三角形的判定與性質(zhì)1.(2013·陜西高考)如圖,弦AB與CD相交于☉O內(nèi)一點E,過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P,已知PD=2DA=2,則PE=

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考點1考點22.(2014·陜西高考)如圖,△ABC中,BC=6,以BC為直徑的半圓分別交AB,AC于點E,F,若AC=2AE,則EF=

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解析由已知得四邊形BCFE為圓的內(nèi)接四邊形,因此∠AEF=∠ACB,∠AFE=∠ABC,所以△AEF∽△ACB,于是有,而AC=2AE,BC=6,所以EF=3.答案3考點1考點2考點1考點24.(2016·江蘇高考)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D為垂足,E是BC的中點.求證:∠EDC=∠ABD.證明在△ADB與△ABC中,因為∠ABC=90°,BD⊥AC,∠A為公共角,所以△ADB∽△ABC,于是∠ABD=∠C.在Rt△BDC中,因為E是BC的中點,所以ED=EC,從而∠