一次指數(shù)平滑法課件

第13章SPSS的時間序列分析13.1時間序列分析概述13.2指數(shù)平滑13.3建立自回歸序列的新變量13.4自回歸13.5季節(jié)分解法13.6案例分析一13.7案例分析二13.8案例分析三第13章SPSS的時間序列分析13.1時間序列分析概述1時間序列分析（TimeSeriesAnalysis）是研究事物發(fā)展變化規(guī)律的一種量化分析方法，隸屬于統(tǒng)計學(xué)但又有不同于其他統(tǒng)計分析方法的特殊特點。近年來，時間序列分析的理論和應(yīng)用研究一直是人們關(guān)注的熱點，也取得了很大的進步。對于時間序列一詞可以有不同層次的理解。一般情況下，那些依時間先后順序排列起來的一系列有相同內(nèi)涵的數(shù)據(jù)都可以稱為時間序列。在這個意義上來看，時間序列在日常生活中時無處不在的。從國家社會等宏觀角度看，我們常常聽到的GDP、物價指數(shù)、股票指數(shù)等可以構(gòu)成時間序列；從微觀角度看，一個13.1時間序列分析概述時間序列分析（TimeSeriesAnal2家庭每天的開支、一個工人的每天的工作量、一個學(xué)生每天的伙食費，等等，也可以構(gòu)成時間序列。事實上，萬事萬物的變化發(fā)展所表現(xiàn)出來的各種特征，只要能夠被持續(xù)的觀察和度量，同時被記錄，就能夠得到所謂的時間序列。時間序列與一般的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的不同之處在于：這是一些有嚴(yán)格先后順序的數(shù)據(jù)。不同時間點或時間段對應(yīng)的數(shù)據(jù)之間可能是沒有關(guān)聯(lián)互相獨立的，但大多數(shù)情況下它們之間往往存在著某種前后相承的關(guān)系，而非互相獨立。因此，對這類數(shù)據(jù)的分析和研究需要一些特殊的方法。時間序列分析就是包含了針對這種獨特數(shù)據(jù)特點而形成和發(fā)展起來的一系列統(tǒng)計分析方法的一個完整的體系。家庭每天的開支、一個工人的每天的工作量、一個學(xué)生每天的伙食費313.1.1時間序列的相關(guān)概念通常，將時間序列描述成一個有序的數(shù)列：，其中下標(biāo)表示時間序號。對上述數(shù)列可以有以下幾種理解：第一,為一個有先后順序且時間間隔均勻的數(shù)列。第二，為隨機變量族或隨機過程的一個“實現(xiàn)”。即在每一個固定的時間點t上，將現(xiàn)象看做是一個具有多種可能事實的隨機變量。每一個只是隨機變量由于種種原因而表現(xiàn)出來的一個結(jié)果，而在所有被關(guān)注時間點上，就是一系列隨機變量所表現(xiàn)出來的一個結(jié)果，通常稱做一個實現(xiàn)或一個現(xiàn)實，也可以稱做一個軌道。13.1.1時間序列的相關(guān)概念4●指標(biāo)集T指標(biāo)集T可直觀理解為時間t的取值范圍。對一般的隨機過程來說它是一個連續(xù)的變化范圍，如可取，此時上述隨機過程可相應(yīng)地記為。時間序列分析一般只涉及離散的時間點，如t可取，此時的隨機過程記為，又由于0點的相對性，一般的t可取?！癫蓸娱g隔采樣間隔可直觀理解為時間序列中相鄰兩個數(shù)的時間間隔。在實際研究中。在整個數(shù)據(jù)期間一般都取一致的時間間隔，這樣會使分析結(jié)果更具直觀意義，更易使人信服。如在實際當(dāng)中T為時，若取個時間點，則采樣間隔為?！裰笜?biāo)集T●采樣間隔5●平穩(wěn)隨機過程和平穩(wěn)時間序列在一些時間序列分析方法當(dāng)中要求時間序列具有平穩(wěn)性，即要求時間序列對應(yīng)的隨機過程是一個平穩(wěn)的隨機過程。平穩(wěn)隨機過程定義如下：如果對和任意整數(shù)n，都使與同分布，則概率空間(W,F,P)上的隨機過程稱為平穩(wěn)過程。從這個定義可以看出平穩(wěn)性實質(zhì)上是要求隨機過程包含的任意有限維隨機變量族的統(tǒng)計特性具有時間上的平移不變性。這是一種非常嚴(yán)格的平穩(wěn)性要求，而要刻畫和度量這種平穩(wěn)性，需要掌握個隨機變量或隨機變量族的分布或聯(lián)合分布，這在實踐當(dāng)中是非常困難甚至是不可能的。因此這種平穩(wěn)性一般被稱為“嚴(yán)平穩(wěn)”或者“完全平穩(wěn)”。●平穩(wěn)隨機過程和平穩(wěn)時間序列6●白噪聲序列白噪聲序列是一種特殊的平穩(wěn)序列。它定義為：若隨機序列{yt}由互不相關(guān)的隨機變量構(gòu)成，即對所有,則稱其為白噪聲序列?？梢钥闯觯自肼曅蛄惺且环N平穩(wěn)序列，在不同時點上的隨機變量的協(xié)方差為0。該特性通常被稱為“無記憶性”，意味著人們無法根據(jù)其過去的特點推測其未來的走向，其變化沒有規(guī)律可循。雖然有這個特點，但白噪聲序列卻是其他時間序列得以產(chǎn)生的基石，這在時間序列的ARIMA模型分析中體現(xiàn)得相當(dāng)明顯。另外，時間序列分析當(dāng)中，當(dāng)模型的殘差序列成為白噪聲序列時，可認(rèn)為模型達到了較好的效果，剩余殘差中已經(jīng)沒有可以識別的信息。因此，白噪聲數(shù)列對模型檢驗也是很有用處的。●白噪聲序列7●時點序列和時期序列實際當(dāng)中，人們研究的時間序列是前面提到的隨機過程的一個“實現(xiàn)”，也就是那些按時間先后順序排列的一系列數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)往往由兩部分組成：一是觀測值；二是觀察值對應(yīng)的時間點或時間段。一般情況下，時期數(shù)據(jù)和時點數(shù)據(jù)之間可以通過將時期數(shù)據(jù)累加、或者將時點數(shù)據(jù)后項減前項或后項比前項的處理方式互相轉(zhuǎn)換。不過隨著這種轉(zhuǎn)換，序列包含的實際意義也會有所變化，相應(yīng)變量的統(tǒng)計性質(zhì)也會有很大的變化，對應(yīng)的分析處理方法也會有很大的不同?！駮r點序列和時期序列813.1.2時間序列分析的一般步驟時間序列分析一般需經(jīng)過數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備、數(shù)據(jù)的觀察及檢驗、數(shù)據(jù)的預(yù)處理、數(shù)據(jù)的分析和建模、模型的評價、模型的實施應(yīng)用等幾個階段?！駭?shù)據(jù)的準(zhǔn)備階段●數(shù)據(jù)的觀察及檢驗階段●數(shù)據(jù)的預(yù)處理階段●數(shù)據(jù)的分析和建模階段●模型的評價階段●模型的實施應(yīng)用階段13.1.2時間序列分析的一般步驟913.1.3SPSS時間序列分析的特點SPSS的時間序列分析沒有自成一體的單獨模塊，而是分散在Data、Transform、Analyze、Graph四個功能菜單當(dāng)中。在Data和Transform中實現(xiàn)對時間序列數(shù)據(jù)的定義和必要處理，以適應(yīng)各種分析方法的要求；在Analyze和TimeSeries中主要提供了四種時間序列分析方法，包括指數(shù)平滑法、自回歸法、ARIMA模型和季節(jié)調(diào)整方法；在Graph中提供了時間序列分析的圖形工具，包括序列圖（Sequence）、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖等。另外，也可利用SPSS的譜分析圖等模塊進行簡單的譜分析。13.1.3SPSS時間序列分析的特點1013.2數(shù)據(jù)準(zhǔn)備數(shù)據(jù)準(zhǔn)備是利用SPSS進行時間序列分析的一個首要任務(wù)，它對以后的分析起著舉足輕重的作用，是數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)。通過前面的討論可知，時間序列最顯著的特點就是數(shù)據(jù)有著嚴(yán)格的先后順序，并且與一定時間點或時間段相對應(yīng)。因此，要把一系列SPSS變量數(shù)據(jù)當(dāng)做時間序列數(shù)據(jù)來分析，就必須首先指明每個數(shù)據(jù)對應(yīng)的時間點或時間段，以及整個數(shù)據(jù)所對應(yīng)的期間。SPSS的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備正是用來完成這些任務(wù)的。數(shù)據(jù)期間的選取也是時間序列分析中經(jīng)常遇到的問題。所謂數(shù)據(jù)期間的選取是指，如果分析過程中只希望選取全部樣本期中的部分時段數(shù)據(jù)進行分析，則應(yīng)首先指定該時間段的起止時間。對此可通過SPSS的樣本選?。⊿electCases）功能實現(xiàn)。13.2數(shù)據(jù)準(zhǔn)備1113.3指數(shù)平滑法13.3.1指數(shù)平滑法的基本思想為掌握指數(shù)平滑法的基本思想應(yīng)首先了解移動平均的思想。研究時間序列的一個重要目的是預(yù)測?，F(xiàn)實當(dāng)中事物的發(fā)展都是有連續(xù)性的，事物過去的表現(xiàn)與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，現(xiàn)在的狀態(tài)又與將來的可能表現(xiàn)有一定的聯(lián)系。因此，可以從現(xiàn)有數(shù)據(jù)入手通過構(gòu)造某種計算方法實現(xiàn)對未來的預(yù)測?；谶@種思想可以構(gòu)造出豐富多彩的預(yù)測模型。移動平均法正是這樣一種利用已知值的某種平均值進行預(yù)測的方法。移動平均包括簡單移動平均法和加權(quán)移動平均法。13.3指數(shù)平滑法13.3.1指數(shù)平滑法的基本思想12簡單移動平均法是利用一定時間跨度t下數(shù)據(jù)的簡單平均實現(xiàn)對下一期值的預(yù)測，即

可見，簡單移動平均認(rèn)為，時間跨度內(nèi)的所有數(shù)據(jù)對未來的預(yù)測貢獻全部相同。然而，眾所周知，事物的當(dāng)前狀態(tài)與其在過去時間所有點上的表現(xiàn)之間聯(lián)系的緊密程度并不完全一致，因此這樣的預(yù)測有時可能出現(xiàn)很大的偏差。通常，序列數(shù)據(jù)在近期的表現(xiàn)比遠期的表現(xiàn)與現(xiàn)實狀態(tài)的聯(lián)系更加緊密。因此，預(yù)測時對過去的數(shù)據(jù)應(yīng)給予不同的重視程度。簡單移動平均法是利用一定時間跨度t下數(shù)據(jù)的簡單平均實現(xiàn)對下一13加權(quán)移動平均法是對簡單移動平均法的改進，通過不同的權(quán)數(shù)體現(xiàn)對過去狀態(tài)的不同重視程度。重視程度越高、與現(xiàn)實聯(lián)系密切的時間點對應(yīng)較大的權(quán)數(shù)，而重視程度低、與現(xiàn)實聯(lián)系松散的時間點則對應(yīng)較小的權(quán)數(shù)。即不同事物的發(fā)展規(guī)律是不同的，同一種事物隨時間的推移其變化規(guī)律也會發(fā)生變化。所以，權(quán)數(shù)應(yīng)隨不同的問題、不同的時間變換而變化。通常，權(quán)數(shù)確定沒有一定之規(guī)，一般可參照幾種典型的具有代表性的方法來設(shè)計權(quán)數(shù)。加權(quán)移動平均法是對簡單移動平均法的改進，通過1413.3.2指數(shù)平滑法的模型指數(shù)平滑法因權(quán)數(shù)選擇和平滑方法的不同而分成多種模型形式。雖然他們都基于上述基本思想，但在具體實現(xiàn)上還有所差別，也有不同的適用場合。下面介紹常用的幾種模型。一次指數(shù)平滑法（簡單指數(shù)平滑法）一次指數(shù)平滑法是簡單移動平均法的變形，模型為其中，是t時刻的一次指數(shù)平滑值，n為移動步長，整理后得：。13.3.2指數(shù)平滑法的模型其中，是t時刻的一次指數(shù)15如果令，則。其中為一次平滑模型中的平滑常數(shù)，且顯然。由則可見，指數(shù)平滑法是以前t+1期的平滑值作為當(dāng)期的預(yù)測值。如果令，則16二次指數(shù)平滑法（線性指數(shù)平滑法）二次指數(shù)平滑也稱雙重指數(shù)平滑，是對一次指數(shù)平滑值再進行一次平滑。一次指數(shù)平滑法是直接利用平滑值作為預(yù)測值，而二次指數(shù)平滑則是利用平滑值對時間序列的線性趨勢進行修正，進而建立線性平滑模型進行預(yù)測。二次指數(shù)平滑法包括布朗（Brown）單一參數(shù)線性指數(shù)平滑、霍特（Holt）雙參數(shù)指數(shù)平滑等。布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑的一次平滑公式為

一次指數(shù)平滑法課件17布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑的二次平滑公式為式中，為一次指數(shù)平滑值,為二次指數(shù)平滑值。由兩個平滑值計算線性平滑模型的兩個參數(shù)：，，從而得到線性指數(shù)平滑模型

式中，m為超前期數(shù)。當(dāng)t=1時，由于和是平滑初始值，需事先給定。布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑適用于有線性趨勢的時間序列。布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑的二次平滑公式為由兩個平滑值計算線性18三次指數(shù)平滑法三次指數(shù)平滑法也稱三重指數(shù)平滑，與二次指數(shù)平滑類似，也不直接將平滑值作為預(yù)測值，而是服務(wù)于模型建立。三次指數(shù)平滑包括布朗三次指數(shù)平滑、溫特（Winter）線性和季節(jié)性指數(shù)平滑。布朗三次指數(shù)平滑布朗三次指數(shù)平滑是對二次指數(shù)平滑值再進行一次平滑，并用以估計二次多項式參數(shù)。其一般模型為由上式可知，布朗三次指數(shù)模型并非一個線性模型，而是類似于二次多項式的曲線模型，可表現(xiàn)時間序列的曲線變化趨勢。其中

三次指數(shù)平滑法由上式可知，布朗三次指數(shù)模型并非一個線性模型，19各次平滑形式分別為布朗三次指數(shù)平滑模型適用于有非線性趨勢存在的序列。各次平滑形式分別為布朗三次指數(shù)平滑模型適用于有非線性趨勢存在20溫特線性和季節(jié)指數(shù)平滑溫特線性和季節(jié)指數(shù)平滑模型的一般形式為上式中包含三種成分，它們分別是平穩(wěn)性、趨勢性和季節(jié)性。為季節(jié)周期長度，為季節(jié)調(diào)整因子，分別為模型的三個初始參數(shù)。其中

溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型適用于同時具有趨勢性和季節(jié)性的時間序列，且只適用于短期預(yù)測。溫特線性和季節(jié)指數(shù)平滑溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型適用于同時2113.4自回歸法13.4.1自回歸法的基本思想和模型利用簡單回歸分析法進行時間序列分析時，模型要求各期的隨機誤差項之間是不相關(guān)的。在前文的平穩(wěn)隨機過程的定義中也介紹過，只有誤差項中不存在任何可利用的信息時，才能夠認(rèn)為模型已經(jīng)達到了最優(yōu)。而當(dāng)誤差項之間存在相關(guān)性時，一方面常用的估計方法不再具有優(yōu)良性，普通的簡單回歸模型存在著較大的缺陷；另一方面也說明模型對序列中的信息沒有充分地提取。自回歸模型，簡寫為AR模型，正是針對模型誤差項存在相關(guān)性的情況而設(shè)計的一種改進的方法。由于自回歸模型只考慮了誤差項中的一階相關(guān)性，因此也稱為一階自回歸AR（1）模型，其一般形式為13.4自回歸法13.4.1自回歸法的基本思想和模型22其中，?？梢钥闯?，模型的主體部分與一般的回歸模型完全相同，但是其殘差序列不滿足一般回歸模型要求的殘差項之間不存在相關(guān)性的Gauss-Markov假設(shè)，而是存在著系數(shù)為的一階自相關(guān)。對于存在一階自相關(guān)的序列，當(dāng)然不能按普通回歸模型進行分析，而應(yīng)想辦法消除殘差項中的自相關(guān)性。一般的處理方法是對其進行差分。如何實施一階差分是很重要的，不恰當(dāng)?shù)牟罘植坏荒芟韵嚓P(guān)性，甚至還可能帶來相反方向的相關(guān)性。適當(dāng)?shù)牟罘址椒ㄊ瞧渲校?3上式表示的是一種加系數(shù)的差分處理方法，也就是前面提到過的廣義差分?？梢钥闯?，只有廣義差分的系數(shù)恰好等于殘差項的一階自相關(guān)系數(shù)時，廣義差分才能真正消除誤差項的一階自相關(guān)性。因此，進行廣義差分需要對誤差項的一階自相關(guān)系數(shù)進行估計。估計的方法較多，一般可通過對原模型的殘差序列與其自身滯后一期序列的常數(shù)項為0的線性回歸分析，將得到的回歸系數(shù)作為系數(shù)的估計值。另外，還可以按下式進行估算，即上式表示的是一種加系數(shù)的差分處理方法，也就是前面提到24其中，DW是Durbin-Watson統(tǒng)計量，是對小樣本隨機誤差項的一階自相關(guān)性進行檢驗的統(tǒng)計量，這在回歸分析中已經(jīng)講過。SPSS中系數(shù)的最終確定通過不斷迭代以實現(xiàn)模型擬合優(yōu)度最高為原則確定。對式（13.21）中的差分形式稍做變換得到上式所示的模型正是本節(jié)所講的一階自回歸模型，可以看出它與一般回歸模型十分相似，但其中的解釋變量不只是影響被解釋變量的外界因素等，還包括了被解釋變量自身的一階滯后序列，正是因為這個特點才稱該模型為“自回歸”模型。而這個特點也清楚地顯示了自回歸分析方法的局限性：它只能處理誤差項存在一階自相關(guān)的情況，對于可能存在的高階自相關(guān)情況則沒有考慮。其中，DW是Durbin-Watson統(tǒng)計量，是對小樣本隨機2513.5ARIMA模型分析ARIMA模型是隨機性時間序列分析中的一大類分析方法的綜合，這些方法以序列不同時期間的相關(guān)性度量為基礎(chǔ)，可以進行精度較高的短期預(yù)測。13.5.1ARIMA分析的基本思想和模型ARIMA是自回歸移動平均結(jié)合（AutoRegressiveIntegratedMovingAverage）模型之前，應(yīng)首先了解ARMA模型。ARMA模型也稱B-J方法，是一種時間序列預(yù)測方法。從字面上可以知道，ARMA模型是自回歸模型（AR）和移動平均模型（MA）有效組合和搭配的結(jié)果，稱為自回歸移動平均模型。對ARMA的理解可分別從自回歸模型AR和移動平均模型MA開始。13.5ARIMA模型分析ARIMA模型是隨機性時間序列分26自回歸模型認(rèn)為，時間序列的自回歸模型與一般線性回歸模型形式相同，差別僅在于模型中的解釋變量是被解釋變量的1,2，，p階的滯后變量。意味著一個時間序列的變化受到自身以往狀態(tài)的影響，影響變化的主要因素是時間序列在不同時期的取值。于是AR(p)模型即為：從AR(p)的定義可知，在去除間接的相關(guān)性之后，與它間隔超過p期的序列值將不再相關(guān)，因而AR(p)的偏自相關(guān)圖在p階函數(shù)值之后將呈現(xiàn)截尾性。對AR(p)模型有平穩(wěn)性的要求，這通過體現(xiàn)，深刻的論述參見時間序列方面的專著。自回歸模型認(rèn)為，時間序列的自回歸模型與一般線性回歸模型形式相27移動平均模型認(rèn)為，時間序列模型可根據(jù)平均前期預(yù)測誤差的原則建立，在前一期預(yù)測值之上加上預(yù)測誤差便可得到現(xiàn)在的預(yù)測值。于是，經(jīng)過遞推MA(q)模型即為：MA(q)的定義可知，移動平均模型是白噪聲序列的q+1個近期值的線性組合，因此，只會影響q+1期的序列值。因而使得相隔時間超過q+1的兩個之間不存在相關(guān)性，從而使MA(q)的自相關(guān)圖在q階函數(shù)值之后將呈現(xiàn)截尾。對MA(q)模型有可逆性的要求，這通過來體現(xiàn)，同樣請參見相關(guān)專著。移動平均模型認(rèn)為，時間序列模型可根據(jù)平均前期預(yù)測誤差的原則建28ARMA(p，q)模型是建立在AR(p)和MA(q)模型基礎(chǔ)上的。對于平穩(wěn)可逆的模型來說，它事實上是無限階的AR模型或MA模型的等價形式，因此有效的ARMA模型可以彌補單純用AR模型或MA模型導(dǎo)致的參數(shù)過多的問題，從理論上來講能夠較大地提高估計的精度并且節(jié)省計算量。ARMA其一般形式為：其中，等式的左邊是模型的自回歸部分，非負整數(shù)p稱為自回歸階數(shù)，稱為自回歸系數(shù)；等式右邊是模型的移動平均部分，非負整數(shù)q稱為移動平均階數(shù)，稱為移動平均系數(shù)。分別是偏自相關(guān)函數(shù)值和自相關(guān)函數(shù)值顯著不為零的最高階數(shù)?？梢钥闯鯝RMA(p，q)模型是建立在AR(p)和MA(q)模型基礎(chǔ)29當(dāng)時，模型是純移動平均模型，記為ARMA(0,q)；當(dāng)時，模型是純自回歸模型，記為ARMA(p,0)。ARMA(p,q)模型可用較少的參數(shù)對序列進行較好地擬合，其自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)均呈現(xiàn)拖尾性。下表是上述模型的相關(guān)圖特征列表。通過觀察相關(guān)圖并結(jié)合該表可以大致識別出模型的階數(shù)。當(dāng)時，模型是純移動平均模型，記為ARMA(30ARMA模型只適合于對平穩(wěn)序列的分析。實際應(yīng)用中的時間序列并非平穩(wěn)序列，不能直接采用ARMA模型。但通常這些序列可通關(guān)變換處理后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。對它們的分析一般應(yīng)采用自回歸移動平均結(jié)合ARIMA模型。ARIMA模型又分為ARIMA(p,d,q)模型和模型。ARIMA(p,d,q)模型當(dāng)序列中存在趨勢性時，可通過某些階數(shù)的差分處理使序列平穩(wěn)化。這樣的序列被稱為是一種準(zhǔn)平穩(wěn)的序列，而相應(yīng)地分析模型被概括為ARIMA(p,d,q),其中，d表示平穩(wěn)化過程中差分的階數(shù)。ARMA模型只適合于對平穩(wěn)序列的分析。實際應(yīng)用中的時間序列并31模型當(dāng)序列中同時存在趨勢性和季節(jié)性的周期和趨勢時，序列中存在著以季節(jié)周期的整數(shù)倍為長度的相關(guān)性，需經(jīng)過某些階數(shù)的逐期差分和季節(jié)差分才能使序列平穩(wěn)化。對這樣的準(zhǔn)平穩(wěn)序列的分析模型概括為模型，其中P,Q為季節(jié)性的自回歸和移動平均階數(shù)，D為季節(jié)差分的階數(shù)，s為季節(jié)周期。本節(jié)討論了模型的基本原理及在SPSS中的實現(xiàn)過程。模型是自回歸模型的擴充形式，是隨機性時間序列分析的代表性方法。這種模型有科學(xué)嚴(yán)密的理論體系，對波動性較強的時間序列能給出比較準(zhǔn)確的模型，因而是當(dāng)前比較常用的時間序列分析方法之一。

3213.6季節(jié)調(diào)整法本節(jié)所討論的季節(jié)調(diào)整方法的本質(zhì)就是要對時間序列的周期性進行識別和分解。一般的時間序列分析的論述中將這種方法局限在那些與年、季、月等相關(guān)的周期性的分析上，把這樣的周期性變動稱為季節(jié)性變動（seasonalfluctuation），而將其他的周期性變動統(tǒng)稱周期性（periodicity）。不過一般認(rèn)為季節(jié)調(diào)整方法完全可用于序列中各種周期性成分的識別和提取。13.6季節(jié)調(diào)整法本節(jié)所討論的季節(jié)調(diào)整方法的本質(zhì)就是要對時3313.6.1季節(jié)調(diào)整法的基本思想和模型季節(jié)調(diào)整法認(rèn)為，時間序列是由四種成分構(gòu)成的，它們分別是：趨勢性T（Trend）、季節(jié)性S（SeasonalFluctuation）、周期性P（Periodicity）和不規(guī)則波動性I（IrregularVariations）。這些成分通過不同的組合方式影響時間時間序列的發(fā)展變化。時間序列分析的季節(jié)調(diào)整法從這個角度出發(fā)理解時間序列的構(gòu)成因素，并將其轉(zhuǎn)化成可量化的季節(jié)模型。通過季節(jié)模型能夠反映出時間序列在一個周期內(nèi)所呈現(xiàn)的典型狀態(tài)，而這種狀態(tài)在不同周期以基本相同的形態(tài)出現(xiàn)。季節(jié)調(diào)整模型通常分為加法模型和乘法模型。13.6.1季節(jié)調(diào)整法的基本思想和模型341、加法模型加法模型認(rèn)為時間序列是由趨勢性、季節(jié)性、周期性和不規(guī)則波動性疊加形成的。一般來說，加法模型適用于那些隨著時間的推移，波動幅度沒有明顯變化的序列。加法模型的一般形式為2、乘法模型乘法模型認(rèn)為時間序列是由趨勢性、季節(jié)性、周期性和不規(guī)則波動性交乘形成的。一般來說，乘法模型適用于那些隨時間的推移，波動幅度隨之增大或減小的序列。乘法模型的一般形式為1、加法模型2、乘法模型35實際分析當(dāng)中還會遇到其他的模型形式，但往往都是由以上兩種模型變化而來的。他們或者因為某種成分無需考慮而將其舍去，或者是兩種模型的某種組合等。另外，在一些書的討論中往往將趨勢僅僅局限于線性，實際上只要能明確識別出趨勢的類型，非線性的趨勢也可以引入到季節(jié)調(diào)整模型中，這樣可大大拓寬季節(jié)調(diào)整方法的應(yīng)用范圍。季節(jié)模型通常都是由季節(jié)指數(shù)構(gòu)成的，他們能夠刻畫出現(xiàn)象在一個周期內(nèi)各時段的典型數(shù)量特征。若分析的數(shù)據(jù)是月度數(shù)據(jù)，而周期為一年，季節(jié)模型就由12個指數(shù)構(gòu)成；若分析的數(shù)據(jù)是季度數(shù)據(jù)，季節(jié)模型就由4各指數(shù)構(gòu)成；各個指數(shù)是以全年月或季的平均數(shù)為基礎(chǔ)計算出來的。實際分析當(dāng)中還會遇到其他的模型形式，但往往都36下面以一般的月（季）形式的季節(jié)周期來說明計算過程。分析季節(jié)變動的方法較多，常見的有按月（季）平均法和趨勢剔除法等。按月（季）平均法是根據(jù)原時間序列通過平均計算季節(jié)指數(shù)的方法。其基本思想是，為消除隨機性的影響，計算各年同月（或季）的平均數(shù)作為該月（或季）的代表值；然后計算出總月（或季）的平均數(shù)作為全年的代表值；最后將同月（或季）平均數(shù)與總月（或季）的平均數(shù)對比，結(jié)果即為季節(jié)指數(shù)。趨勢剔除法的基本思想與按月（或季）類似，它首先將時間序列中的長期趨勢消除，然后再利用按月（季）平均法計算季節(jié)指數(shù)。序列中的趨勢值可采用移動平均法或最小二乘法求得，分別稱為移動平均趨勢剔除法和趨勢剔除法。在乘法模型中，各因素的消除可通過除法實現(xiàn)。下面以一般的月（季）形式的季節(jié)周期來說明計算3713.7案例分析一

看一個時間序列的數(shù)據(jù)例子。這是某企業(yè)從1998年1月到2010年12月的銷售數(shù)據(jù)（單位：百萬元）。該數(shù)據(jù)有按照時間順序的按月記錄，共156個觀測值。數(shù)據(jù)表13-1(tssale.sav)。13.7案例分析一看一個時間序列的數(shù)據(jù)例子。這是某企業(yè)從38從該表格中的眾多數(shù)據(jù)只能看出一個大概，即總的趨勢是增長的，但有起伏。利用散點圖則可以得到對該數(shù)據(jù)更加直接的印象。在SPSS中通過選用【分析】【預(yù)測】【序列圖】，我們可以得到時間序列圖13.1。從這個點圖可以看出，總的趨勢是增長的，但增長并不是單調(diào)上升的；有漲有落。大體上看，這種升降不是雜亂無章的，和季節(jié)或月份的周期有關(guān)。當(dāng)然，除了增長趨勢和季節(jié)影響之外，還有些無規(guī)律的的隨機因素的影響。從該表格中的眾多數(shù)據(jù)只能看出一個大概，即總的趨勢是增長的，但39從上面的例子不難看出時間序列可以有三部分組成：趨勢季節(jié)、季節(jié)成分和無法用趨勢和季節(jié)模式解釋的隨機干擾。如果要想對一個時間序列本身進行較深入的研究，把序列的這些成分分解出來、或者把它們過濾掉則會有很大的幫助。對案例中的時間序列通過SPSS軟件進行分解，則可以輕而易舉地得到該序列的趨勢、季節(jié)和誤差成分。下面的圖13.2表示了去掉季節(jié)成分，只有趨勢和誤差成分的序列的一條曲線。圖13.3用曲線描繪了純季節(jié)成分。圖13.4用曲線描繪了純趨勢成分。圖13.5描繪了純誤差成分。從上面的例子不難看出時間序列可以有三部分組成：趨勢季節(jié)、季節(jié)40一次指數(shù)平滑法課件41一次指數(shù)平滑法課件4213.7案例分析二本案例中，我們?nèi)允褂冒咐恢械臄?shù)據(jù)。下面就如何使用SPSS19.0做指數(shù)平滑分析進行說明。演示步驟如下：1)啟動SPSS軟件，打開【數(shù)據(jù)編輯器】對話框，輸入銷售數(shù)據(jù)；2)選中工具菜單欄中【分析】、子菜單【預(yù)測】、【創(chuàng)建模型】，如圖13.6所示；13.7案例分析二本案例中，我們?nèi)允褂冒咐恢械臄?shù)據(jù)。下面就43一次指數(shù)平滑法課件443)選中“創(chuàng)建模型”后，能得到如圖13.7所示的時間序列建模器；3)選中“創(chuàng)建模型”后，能得到如圖13.7所示的時間序列建模454)選入相應(yīng)的因變量，并在方法欄中選用指數(shù)平滑法，便可得到如圖13.8所示的指數(shù)平滑曲線。4)選入相應(yīng)的因變量，并在方法欄中選用指數(shù)平滑法，便可得到如4613.8案例分析三這是一個銷售時間序列（數(shù)據(jù)見圖13.9）。它以每周七天為一個季節(jié)周期；除了銷售額序列sales之外，它還有一個廣告花費的獨立變量adds。先不理睬這個獨立變量，把該序列當(dāng)成純粹的時間序列來用ARIMA模型擬合。該序列的點圖在圖13.10中。然后再首先出其acf和pacf條形圖（圖13.11）.13.8案例分析三這是一個銷售時間序列（數(shù)據(jù)見圖13.947一次指數(shù)平滑法課件48一次指數(shù)平滑法課件49從圖13.11可以看出，銷售數(shù)據(jù)的acf圖顯然不是拖尾模式，因此，必須進行差分以消除季節(jié)影響。試驗多次之后，看上去的結(jié)果還可以接受。擬合之后，殘差的pacf和acf條形圖展示在圖13.12中。從圖13.11可以看出，銷售數(shù)據(jù)的acf圖顯然不是拖尾模式，50繼續(xù)改進我們的模型，再把獨立變量廣告支出加入模型，最后得到的帶有獨立變量adds的模型。擬合后殘差的acf和pacf圖在圖13.13中。繼續(xù)改進我們的模型，再把獨立變量廣告支出加入模型，最后得到的51從各種角度來看擬合帶獨立變量平方的模型給出更好的結(jié)果。雖然從上面的acf和pacf圖看不出獨立變量對序列的自相關(guān)性的影響，但是根據(jù)另外的一些判別準(zhǔn)則，獨立變量的影響是顯著地；而且加入獨立變量是的模型更加有效。要注意，一些獨立變量的效果也可能是滿足某些時間序列模型的，也可能會和季節(jié)、趨勢等效應(yīng)混雜起來不易分辨。這時，模型選擇可能就比較困難。也可能不同模型會有類似的效果。一個時間序列在各種相關(guān)的因素下的模型選擇并不是一件簡單明了的事情。實際上沒有任何統(tǒng)計模型是絕對正確的，它們的區(qū)別在于，在某種意義上，一些模型的某些性質(zhì)可能要優(yōu)于另外一些。從各種角度來看擬合帶獨立變量平方的模型給出更好52第13章SPSS的時間序列分析13.1時間序列分析概述13.2指數(shù)平滑13.3建立自回歸序列的新變量13.4自回歸13.5季節(jié)分解法13.6案例分析一13.7案例分析二13.8案例分析三第13章SPSS的時間序列分析13.1時間序列分析概述53時間序列分析（TimeSeriesAnalysis）是研究事物發(fā)展變化規(guī)律的一種量化分析方法，隸屬于統(tǒng)計學(xué)但又有不同于其他統(tǒng)計分析方法的特殊特點。近年來，時間序列分析的理論和應(yīng)用研究一直是人們關(guān)注的熱點，也取得了很大的進步。對于時間序列一詞可以有不同層次的理解。一般情況下，那些依時間先后順序排列起來的一系列有相同內(nèi)涵的數(shù)據(jù)都可以稱為時間序列。在這個意義上來看，時間序列在日常生活中時無處不在的。從國家社會等宏觀角度看，我們常常聽到的GDP、物價指數(shù)、股票指數(shù)等可以構(gòu)成時間序列；從微觀角度看，一個13.1時間序列分析概述時間序列分析（TimeSeriesAnal54家庭每天的開支、一個工人的每天的工作量、一個學(xué)生每天的伙食費，等等，也可以構(gòu)成時間序列。事實上，萬事萬物的變化發(fā)展所表現(xiàn)出來的各種特征，只要能夠被持續(xù)的觀察和度量，同時被記錄，就能夠得到所謂的時間序列。時間序列與一般的統(tǒng)計數(shù)據(jù)的不同之處在于：這是一些有嚴(yán)格先后順序的數(shù)據(jù)。不同時間點或時間段對應(yīng)的數(shù)據(jù)之間可能是沒有關(guān)聯(lián)互相獨立的，但大多數(shù)情況下它們之間往往存在著某種前后相承的關(guān)系，而非互相獨立。因此，對這類數(shù)據(jù)的分析和研究需要一些特殊的方法。時間序列分析就是包含了針對這種獨特數(shù)據(jù)特點而形成和發(fā)展起來的一系列統(tǒng)計分析方法的一個完整的體系。家庭每天的開支、一個工人的每天的工作量、一個學(xué)生每天的伙食費5513.1.1時間序列的相關(guān)概念通常，將時間序列描述成一個有序的數(shù)列：，其中下標(biāo)表示時間序號。對上述數(shù)列可以有以下幾種理解：第一,為一個有先后順序且時間間隔均勻的數(shù)列。第二，為隨機變量族或隨機過程的一個“實現(xiàn)”。即在每一個固定的時間點t上，將現(xiàn)象看做是一個具有多種可能事實的隨機變量。每一個只是隨機變量由于種種原因而表現(xiàn)出來的一個結(jié)果，而在所有被關(guān)注時間點上，就是一系列隨機變量所表現(xiàn)出來的一個結(jié)果，通常稱做一個實現(xiàn)或一個現(xiàn)實，也可以稱做一個軌道。13.1.1時間序列的相關(guān)概念56●指標(biāo)集T指標(biāo)集T可直觀理解為時間t的取值范圍。對一般的隨機過程來說它是一個連續(xù)的變化范圍，如可取，此時上述隨機過程可相應(yīng)地記為。時間序列分析一般只涉及離散的時間點，如t可取，此時的隨機過程記為，又由于0點的相對性，一般的t可取?！癫蓸娱g隔采樣間隔可直觀理解為時間序列中相鄰兩個數(shù)的時間間隔。在實際研究中。在整個數(shù)據(jù)期間一般都取一致的時間間隔，這樣會使分析結(jié)果更具直觀意義，更易使人信服。如在實際當(dāng)中T為時，若取個時間點，則采樣間隔為?！裰笜?biāo)集T●采樣間隔57●平穩(wěn)隨機過程和平穩(wěn)時間序列在一些時間序列分析方法當(dāng)中要求時間序列具有平穩(wěn)性，即要求時間序列對應(yīng)的隨機過程是一個平穩(wěn)的隨機過程。平穩(wěn)隨機過程定義如下：如果對和任意整數(shù)n，都使與同分布，則概率空間(W,F,P)上的隨機過程稱為平穩(wěn)過程。從這個定義可以看出平穩(wěn)性實質(zhì)上是要求隨機過程包含的任意有限維隨機變量族的統(tǒng)計特性具有時間上的平移不變性。這是一種非常嚴(yán)格的平穩(wěn)性要求，而要刻畫和度量這種平穩(wěn)性，需要掌握個隨機變量或隨機變量族的分布或聯(lián)合分布，這在實踐當(dāng)中是非常困難甚至是不可能的。因此這種平穩(wěn)性一般被稱為“嚴(yán)平穩(wěn)”或者“完全平穩(wěn)”?！衿椒€(wěn)隨機過程和平穩(wěn)時間序列58●白噪聲序列白噪聲序列是一種特殊的平穩(wěn)序列。它定義為：若隨機序列{yt}由互不相關(guān)的隨機變量構(gòu)成，即對所有,則稱其為白噪聲序列?？梢钥闯?，白噪聲序列是一種平穩(wěn)序列，在不同時點上的隨機變量的協(xié)方差為0。該特性通常被稱為“無記憶性”，意味著人們無法根據(jù)其過去的特點推測其未來的走向，其變化沒有規(guī)律可循。雖然有這個特點，但白噪聲序列卻是其他時間序列得以產(chǎn)生的基石，這在時間序列的ARIMA模型分析中體現(xiàn)得相當(dāng)明顯。另外，時間序列分析當(dāng)中，當(dāng)模型的殘差序列成為白噪聲序列時，可認(rèn)為模型達到了較好的效果，剩余殘差中已經(jīng)沒有可以識別的信息。因此，白噪聲數(shù)列對模型檢驗也是很有用處的?！癜自肼曅蛄?9●時點序列和時期序列實際當(dāng)中，人們研究的時間序列是前面提到的隨機過程的一個“實現(xiàn)”，也就是那些按時間先后順序排列的一系列數(shù)據(jù)。這些數(shù)據(jù)往往由兩部分組成：一是觀測值；二是觀察值對應(yīng)的時間點或時間段。一般情況下，時期數(shù)據(jù)和時點數(shù)據(jù)之間可以通過將時期數(shù)據(jù)累加、或者將時點數(shù)據(jù)后項減前項或后項比前項的處理方式互相轉(zhuǎn)換。不過隨著這種轉(zhuǎn)換，序列包含的實際意義也會有所變化，相應(yīng)變量的統(tǒng)計性質(zhì)也會有很大的變化，對應(yīng)的分析處理方法也會有很大的不同?！駮r點序列和時期序列6013.1.2時間序列分析的一般步驟時間序列分析一般需經(jīng)過數(shù)據(jù)的準(zhǔn)備、數(shù)據(jù)的觀察及檢驗、數(shù)據(jù)的預(yù)處理、數(shù)據(jù)的分析和建模、模型的評價、模型的實施應(yīng)用等幾個階段?！駭?shù)據(jù)的準(zhǔn)備階段●數(shù)據(jù)的觀察及檢驗階段●數(shù)據(jù)的預(yù)處理階段●數(shù)據(jù)的分析和建模階段●模型的評價階段●模型的實施應(yīng)用階段13.1.2時間序列分析的一般步驟6113.1.3SPSS時間序列分析的特點SPSS的時間序列分析沒有自成一體的單獨模塊，而是分散在Data、Transform、Analyze、Graph四個功能菜單當(dāng)中。在Data和Transform中實現(xiàn)對時間序列數(shù)據(jù)的定義和必要處理，以適應(yīng)各種分析方法的要求；在Analyze和TimeSeries中主要提供了四種時間序列分析方法，包括指數(shù)平滑法、自回歸法、ARIMA模型和季節(jié)調(diào)整方法；在Graph中提供了時間序列分析的圖形工具，包括序列圖（Sequence）、自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)圖等。另外，也可利用SPSS的譜分析圖等模塊進行簡單的譜分析。13.1.3SPSS時間序列分析的特點6213.2數(shù)據(jù)準(zhǔn)備數(shù)據(jù)準(zhǔn)備是利用SPSS進行時間序列分析的一個首要任務(wù)，它對以后的分析起著舉足輕重的作用，是數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)。通過前面的討論可知，時間序列最顯著的特點就是數(shù)據(jù)有著嚴(yán)格的先后順序，并且與一定時間點或時間段相對應(yīng)。因此，要把一系列SPSS變量數(shù)據(jù)當(dāng)做時間序列數(shù)據(jù)來分析，就必須首先指明每個數(shù)據(jù)對應(yīng)的時間點或時間段，以及整個數(shù)據(jù)所對應(yīng)的期間。SPSS的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備正是用來完成這些任務(wù)的。數(shù)據(jù)期間的選取也是時間序列分析中經(jīng)常遇到的問題。所謂數(shù)據(jù)期間的選取是指，如果分析過程中只希望選取全部樣本期中的部分時段數(shù)據(jù)進行分析，則應(yīng)首先指定該時間段的起止時間。對此可通過SPSS的樣本選取（SelectCases）功能實現(xiàn)。13.2數(shù)據(jù)準(zhǔn)備6313.3指數(shù)平滑法13.3.1指數(shù)平滑法的基本思想為掌握指數(shù)平滑法的基本思想應(yīng)首先了解移動平均的思想。研究時間序列的一個重要目的是預(yù)測?，F(xiàn)實當(dāng)中事物的發(fā)展都是有連續(xù)性的，事物過去的表現(xiàn)與現(xiàn)在的狀態(tài)有關(guān)，現(xiàn)在的狀態(tài)又與將來的可能表現(xiàn)有一定的聯(lián)系。因此，可以從現(xiàn)有數(shù)據(jù)入手通過構(gòu)造某種計算方法實現(xiàn)對未來的預(yù)測?；谶@種思想可以構(gòu)造出豐富多彩的預(yù)測模型。移動平均法正是這樣一種利用已知值的某種平均值進行預(yù)測的方法。移動平均包括簡單移動平均法和加權(quán)移動平均法。13.3指數(shù)平滑法13.3.1指數(shù)平滑法的基本思想64簡單移動平均法是利用一定時間跨度t下數(shù)據(jù)的簡單平均實現(xiàn)對下一期值的預(yù)測，即

可見，簡單移動平均認(rèn)為，時間跨度內(nèi)的所有數(shù)據(jù)對未來的預(yù)測貢獻全部相同。然而，眾所周知，事物的當(dāng)前狀態(tài)與其在過去時間所有點上的表現(xiàn)之間聯(lián)系的緊密程度并不完全一致，因此這樣的預(yù)測有時可能出現(xiàn)很大的偏差。通常，序列數(shù)據(jù)在近期的表現(xiàn)比遠期的表現(xiàn)與現(xiàn)實狀態(tài)的聯(lián)系更加緊密。因此，預(yù)測時對過去的數(shù)據(jù)應(yīng)給予不同的重視程度。簡單移動平均法是利用一定時間跨度t下數(shù)據(jù)的簡單平均實現(xiàn)對下一65加權(quán)移動平均法是對簡單移動平均法的改進，通過不同的權(quán)數(shù)體現(xiàn)對過去狀態(tài)的不同重視程度。重視程度越高、與現(xiàn)實聯(lián)系密切的時間點對應(yīng)較大的權(quán)數(shù)，而重視程度低、與現(xiàn)實聯(lián)系松散的時間點則對應(yīng)較小的權(quán)數(shù)。即不同事物的發(fā)展規(guī)律是不同的，同一種事物隨時間的推移其變化規(guī)律也會發(fā)生變化。所以，權(quán)數(shù)應(yīng)隨不同的問題、不同的時間變換而變化。通常，權(quán)數(shù)確定沒有一定之規(guī)，一般可參照幾種典型的具有代表性的方法來設(shè)計權(quán)數(shù)。加權(quán)移動平均法是對簡單移動平均法的改進，通過6613.3.2指數(shù)平滑法的模型指數(shù)平滑法因權(quán)數(shù)選擇和平滑方法的不同而分成多種模型形式。雖然他們都基于上述基本思想，但在具體實現(xiàn)上還有所差別，也有不同的適用場合。下面介紹常用的幾種模型。一次指數(shù)平滑法（簡單指數(shù)平滑法）一次指數(shù)平滑法是簡單移動平均法的變形，模型為其中，是t時刻的一次指數(shù)平滑值，n為移動步長，整理后得：。13.3.2指數(shù)平滑法的模型其中，是t時刻的一次指數(shù)67如果令，則。其中為一次平滑模型中的平滑常數(shù)，且顯然。由則可見，指數(shù)平滑法是以前t+1期的平滑值作為當(dāng)期的預(yù)測值。如果令，則68二次指數(shù)平滑法（線性指數(shù)平滑法）二次指數(shù)平滑也稱雙重指數(shù)平滑，是對一次指數(shù)平滑值再進行一次平滑。一次指數(shù)平滑法是直接利用平滑值作為預(yù)測值，而二次指數(shù)平滑則是利用平滑值對時間序列的線性趨勢進行修正，進而建立線性平滑模型進行預(yù)測。二次指數(shù)平滑法包括布朗（Brown）單一參數(shù)線性指數(shù)平滑、霍特（Holt）雙參數(shù)指數(shù)平滑等。布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑的一次平滑公式為

一次指數(shù)平滑法課件69布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑的二次平滑公式為式中，為一次指數(shù)平滑值,為二次指數(shù)平滑值。由兩個平滑值計算線性平滑模型的兩個參數(shù)：，，從而得到線性指數(shù)平滑模型

式中，m為超前期數(shù)。當(dāng)t=1時，由于和是平滑初始值，需事先給定。布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑適用于有線性趨勢的時間序列。布朗單一參數(shù)線性指數(shù)平滑的二次平滑公式為由兩個平滑值計算線性70三次指數(shù)平滑法三次指數(shù)平滑法也稱三重指數(shù)平滑，與二次指數(shù)平滑類似，也不直接將平滑值作為預(yù)測值，而是服務(wù)于模型建立。三次指數(shù)平滑包括布朗三次指數(shù)平滑、溫特（Winter）線性和季節(jié)性指數(shù)平滑。布朗三次指數(shù)平滑布朗三次指數(shù)平滑是對二次指數(shù)平滑值再進行一次平滑，并用以估計二次多項式參數(shù)。其一般模型為由上式可知，布朗三次指數(shù)模型并非一個線性模型，而是類似于二次多項式的曲線模型，可表現(xiàn)時間序列的曲線變化趨勢。其中

三次指數(shù)平滑法由上式可知，布朗三次指數(shù)模型并非一個線性模型，71各次平滑形式分別為布朗三次指數(shù)平滑模型適用于有非線性趨勢存在的序列。各次平滑形式分別為布朗三次指數(shù)平滑模型適用于有非線性趨勢存在72溫特線性和季節(jié)指數(shù)平滑溫特線性和季節(jié)指數(shù)平滑模型的一般形式為上式中包含三種成分，它們分別是平穩(wěn)性、趨勢性和季節(jié)性。為季節(jié)周期長度，為季節(jié)調(diào)整因子，分別為模型的三個初始參數(shù)。其中

溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型適用于同時具有趨勢性和季節(jié)性的時間序列，且只適用于短期預(yù)測。溫特線性和季節(jié)指數(shù)平滑溫特線性和季節(jié)性指數(shù)平滑模型適用于同時7313.4自回歸法13.4.1自回歸法的基本思想和模型利用簡單回歸分析法進行時間序列分析時，模型要求各期的隨機誤差項之間是不相關(guān)的。在前文的平穩(wěn)隨機過程的定義中也介紹過，只有誤差項中不存在任何可利用的信息時，才能夠認(rèn)為模型已經(jīng)達到了最優(yōu)。而當(dāng)誤差項之間存在相關(guān)性時，一方面常用的估計方法不再具有優(yōu)良性，普通的簡單回歸模型存在著較大的缺陷；另一方面也說明模型對序列中的信息沒有充分地提取。自回歸模型，簡寫為AR模型，正是針對模型誤差項存在相關(guān)性的情況而設(shè)計的一種改進的方法。由于自回歸模型只考慮了誤差項中的一階相關(guān)性，因此也稱為一階自回歸AR（1）模型，其一般形式為13.4自回歸法13.4.1自回歸法的基本思想和模型74其中，?？梢钥闯觯Ｐ偷闹黧w部分與一般的回歸模型完全相同，但是其殘差序列不滿足一般回歸模型要求的殘差項之間不存在相關(guān)性的Gauss-Markov假設(shè)，而是存在著系數(shù)為的一階自相關(guān)。對于存在一階自相關(guān)的序列，當(dāng)然不能按普通回歸模型進行分析，而應(yīng)想辦法消除殘差項中的自相關(guān)性。一般的處理方法是對其進行差分。如何實施一階差分是很重要的，不恰當(dāng)?shù)牟罘植坏荒芟韵嚓P(guān)性，甚至還可能帶來相反方向的相關(guān)性。適當(dāng)?shù)牟罘址椒ㄊ瞧渲?，?5上式表示的是一種加系數(shù)的差分處理方法，也就是前面提到過的廣義差分。可以看出，只有廣義差分的系數(shù)恰好等于殘差項的一階自相關(guān)系數(shù)時，廣義差分才能真正消除誤差項的一階自相關(guān)性。因此，進行廣義差分需要對誤差項的一階自相關(guān)系數(shù)進行估計。估計的方法較多，一般可通過對原模型的殘差序列與其自身滯后一期序列的常數(shù)項為0的線性回歸分析，將得到的回歸系數(shù)作為系數(shù)的估計值。另外，還可以按下式進行估算，即上式表示的是一種加系數(shù)的差分處理方法，也就是前面提到76其中，DW是Durbin-Watson統(tǒng)計量，是對小樣本隨機誤差項的一階自相關(guān)性進行檢驗的統(tǒng)計量，這在回歸分析中已經(jīng)講過。SPSS中系數(shù)的最終確定通過不斷迭代以實現(xiàn)模型擬合優(yōu)度最高為原則確定。對式（13.21）中的差分形式稍做變換得到上式所示的模型正是本節(jié)所講的一階自回歸模型，可以看出它與一般回歸模型十分相似，但其中的解釋變量不只是影響被解釋變量的外界因素等，還包括了被解釋變量自身的一階滯后序列，正是因為這個特點才稱該模型為“自回歸”模型。而這個特點也清楚地顯示了自回歸分析方法的局限性：它只能處理誤差項存在一階自相關(guān)的情況，對于可能存在的高階自相關(guān)情況則沒有考慮。其中，DW是Durbin-Watson統(tǒng)計量，是對小樣本隨機7713.5ARIMA模型分析ARIMA模型是隨機性時間序列分析中的一大類分析方法的綜合，這些方法以序列不同時期間的相關(guān)性度量為基礎(chǔ)，可以進行精度較高的短期預(yù)測。13.5.1ARIMA分析的基本思想和模型ARIMA是自回歸移動平均結(jié)合（AutoRegressiveIntegratedMovingAverage）模型之前，應(yīng)首先了解ARMA模型。ARMA模型也稱B-J方法，是一種時間序列預(yù)測方法。從字面上可以知道，ARMA模型是自回歸模型（AR）和移動平均模型（MA）有效組合和搭配的結(jié)果，稱為自回歸移動平均模型。對ARMA的理解可分別從自回歸模型AR和移動平均模型MA開始。13.5ARIMA模型分析ARIMA模型是隨機性時間序列分78自回歸模型認(rèn)為，時間序列的自回歸模型與一般線性回歸模型形式相同，差別僅在于模型中的解釋變量是被解釋變量的1,2，，p階的滯后變量。意味著一個時間序列的變化受到自身以往狀態(tài)的影響，影響變化的主要因素是時間序列在不同時期的取值。于是AR(p)模型即為：從AR(p)的定義可知，在去除間接的相關(guān)性之后，與它間隔超過p期的序列值將不再相關(guān)，因而AR(p)的偏自相關(guān)圖在p階函數(shù)值之后將呈現(xiàn)截尾性。對AR(p)模型有平穩(wěn)性的要求，這通過體現(xiàn)，深刻的論述參見時間序列方面的專著。自回歸模型認(rèn)為，時間序列的自回歸模型與一般線性回歸模型形式相79移動平均模型認(rèn)為，時間序列模型可根據(jù)平均前期預(yù)測誤差的原則建立，在前一期預(yù)測值之上加上預(yù)測誤差便可得到現(xiàn)在的預(yù)測值。于是，經(jīng)過遞推MA(q)模型即為：MA(q)的定義可知，移動平均模型是白噪聲序列的q+1個近期值的線性組合，因此，只會影響q+1期的序列值。因而使得相隔時間超過q+1的兩個之間不存在相關(guān)性，從而使MA(q)的自相關(guān)圖在q階函數(shù)值之后將呈現(xiàn)截尾。對MA(q)模型有可逆性的要求，這通過來體現(xiàn)，同樣請參見相關(guān)專著。移動平均模型認(rèn)為，時間序列模型可根據(jù)平均前期預(yù)測誤差的原則建80ARMA(p，q)模型是建立在AR(p)和MA(q)模型基礎(chǔ)上的。對于平穩(wěn)可逆的模型來說，它事實上是無限階的AR模型或MA模型的等價形式，因此有效的ARMA模型可以彌補單純用AR模型或MA模型導(dǎo)致的參數(shù)過多的問題，從理論上來講能夠較大地提高估計的精度并且節(jié)省計算量。ARMA其一般形式為：其中，等式的左邊是模型的自回歸部分，非負整數(shù)p稱為自回歸階數(shù)，稱為自回歸系數(shù)；等式右邊是模型的移動平均部分，非負整數(shù)q稱為移動平均階數(shù)，稱為移動平均系數(shù)。分別是偏自相關(guān)函數(shù)值和自相關(guān)函數(shù)值顯著不為零的最高階數(shù)?？梢钥闯鯝RMA(p，q)模型是建立在AR(p)和MA(q)模型基礎(chǔ)81當(dāng)時，模型是純移動平均模型，記為ARMA(0,q)；當(dāng)時，模型是純自回歸模型，記為ARMA(p,0)。ARMA(p,q)模型可用較少的參數(shù)對序列進行較好地擬合，其自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)均呈現(xiàn)拖尾性。下表是上述模型的相關(guān)圖特征列表。通過觀察相關(guān)圖并結(jié)合該表可以大致識別出模型的階數(shù)。當(dāng)時，模型是純移動平均模型，記為ARMA(82ARMA模型只適合于對平穩(wěn)序列的分析。實際應(yīng)用中的時間序列并非平穩(wěn)序列，不能直接采用ARMA模型。但通常這些序列可通關(guān)變換處理后變?yōu)槠椒€(wěn)序列。對它們的分析一般應(yīng)采用自回歸移動平均結(jié)合ARIMA模型。ARIMA模型又分為ARIMA(p,d,q)模型和模型。ARIMA(p,d,q)模型當(dāng)序列中存在趨勢性時，可通過某些階數(shù)的差分處理使序列平穩(wěn)化。這樣的序列被稱為是一種準(zhǔn)平穩(wěn)的序列，而相應(yīng)地分析模型被概括為ARIMA(p,d,q),其中，d表示平穩(wěn)化過程中差分的階數(shù)。ARMA模型只適合于對平穩(wěn)序列的分析。實際應(yīng)用中的時間序列并83模型當(dāng)序列中同時存在趨勢性和季節(jié)性的周期和趨勢時，序列中存在著以季節(jié)周期的整數(shù)倍為長度的相關(guān)性，需經(jīng)過某些階數(shù)的逐期差分和季節(jié)差分才能使序列平穩(wěn)化。對這樣的準(zhǔn)平穩(wěn)序列的分析模型概括為模型，其中P,Q為季節(jié)性的自回歸和移動平均階數(shù)，D為季節(jié)差分的階數(shù)，s為季節(jié)周期。本節(jié)討論了模型的基本原理及在SPSS中的實現(xiàn)過程。模型是自回歸模型的擴充形式，是隨機性時間序列分析的代表性方法。這種模型有科學(xué)嚴(yán)密的理論體系，對波動性較強的時間序列能給出比較準(zhǔn)確的模型，因而是當(dāng)前比較常用的時間序列分析方法之一。

8413.6季節(jié)調(diào)整法本節(jié)所討論的季節(jié)調(diào)整方法的本質(zhì)就是要對時間序列的周期性進行識別和分解。一般的時間序列分析的論述中將這種方法局限在那些與年、季、月等相關(guān)的周期性的分析上，把這樣的周期性變動稱為季節(jié)性變動（seasonalfluctuation），而將其他的周期性變動統(tǒng)稱周期性（periodicity）。不過一般認(rèn)為季節(jié)調(diào)整方法完全可用于序列中各種周期性成分的識別和提取。13.6季節(jié)調(diào)整法本節(jié)所討論的季節(jié)調(diào)整方法的本質(zhì)就是要對時8513.6.1季節(jié)調(diào)整法的基本思想和模型季節(jié)調(diào)整法認(rèn)為，時間序列是由四種成分構(gòu)成的，它們分別是：趨勢性T（Trend）、季節(jié)性S（SeasonalFluctuation）、周期性P（Periodicity）和不規(guī)則波動性I（IrregularVariations）。這些成分通過不同的組合方式影響時間時間序列的發(fā)展變化。時間序列分析的季節(jié)調(diào)整法從這個角度出發(fā)理解時間序列的構(gòu)成因素，并將其轉(zhuǎn)化成可量化的季節(jié)模型。通過季節(jié)模型能夠反映出時間序列在一個周期內(nèi)所呈現(xiàn)的典型狀態(tài)，而這種狀態(tài)在不同周期以基本相同的形態(tài)出現(xiàn)。季節(jié)調(diào)整模型通常分為加法模型和乘法模型。13.6.1季節(jié)調(diào)整法的基本思想和模型861、加法模型加法模型認(rèn)為時間序列是由趨勢性、季節(jié)性、周期性和不規(guī)則波動性疊加形成的。一般來說，加法模型適用于那些隨著時間的推移，波動幅度沒有明顯變化的序列。加法模型的一般形式為2、乘法模型乘法模型認(rèn)為時間序列是由趨勢性、季節(jié)性、周期性和不規(guī)則波動性交乘形成的。一般來說，乘法模型適用于那些隨時間的推移，波動幅度隨之增大或減小的序列。乘法模型的一般形式為1、加法模型2、乘法模型87實際分析當(dāng)中還會遇到其他的模型形式，但往往都是由以上兩種模型變化而來的。他們或者因為某種成分無需考慮而將其舍去，或者是兩種模型的某種組合等。另外，在一些書的討論中往往將趨勢僅僅局限于線性，實際上只要能明確識別出趨勢的類型，非線性的趨勢也可以引入到季節(jié)