傳熱與流體流動的數(shù)值計算(4-5章)課件

傳熱與流體流動的數(shù)值計算[美]S.V.帕坦卡著同濟大學(xué)機械工程學(xué)院朱彤傳熱與流體流動的數(shù)值計算[美]S.V.帕坦卡著第四章熱傳導(dǎo)4-1本章的對象著手構(gòu)建一個求解通用微分方程的數(shù)值方法構(gòu)成一個求解通用微分方程的數(shù)值方法，略去對流項。其他一些物理過程也由非常類似于熱傳導(dǎo)方程的數(shù)學(xué)方程所控制。本章完成了隨后幾章所需要的若干預(yù)備性的工作，提出代數(shù)方程的求解方法。第四章熱傳導(dǎo)4-1本章的對象基本方程穩(wěn)態(tài)一維問題的控制微分方程：推導(dǎo)出離散化方程4-2一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)PWExweDx(dx)w(dx)e基本方程4-2一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)PWExweDx(dx)w(-網(wǎng)格間距網(wǎng)格點距離(δx)e與(δx)w沒有必要相等。雖然只有在網(wǎng)格相當細時才可能得到精確的解，但是在因變量隨x變化相當慢的區(qū)域沒有必要采用細的網(wǎng)格；在T~x變化較陡的區(qū)域則需要細的網(wǎng)格。誤區(qū)：不均勻網(wǎng)格的準確度比均勻網(wǎng)格差。設(shè)計一個合適的非均勻網(wǎng)格：從解的定性預(yù)計得到指導(dǎo)。用初步粗網(wǎng)格的解求得T~x變化形式；然后構(gòu)成合適的非均勻網(wǎng)格。先進行預(yù)備性的實驗或探索性試驗，然后應(yīng)用得到的數(shù)據(jù)資料確定在最終的實驗中所應(yīng)安裝的探頭位置和數(shù)目。-網(wǎng)格間距網(wǎng)格點距離(δx)e與(δx)w沒有必要相等。-界面導(dǎo)熱系數(shù)ke最直截了當?shù)姆椒ㄊ羌僭O(shè)k在P點和E值間呈線性變化：

其中插入因子在某些情況下這種簡單化會導(dǎo)致相當不準確的結(jié)果；而且這樣做不可能精確處理組合材料中可能遇到的導(dǎo)熱系數(shù)的突然變化。一種替代方法：得到一個通過下式描述的界面熱流密度qe的良好表達式：PExwe(dx)e(dx)e+(dx)e-(4.5)(4.6)(4.7)-界面導(dǎo)熱系數(shù)ke最直截了當?shù)姆椒ㄊ羌僭O(shè)k在P點和E值間呈線討論這樣一種情況：圍繞著網(wǎng)格點P的控制容積由具有均勻?qū)嵯禂?shù)kP的材料填滿，圍繞著E點的控制容積由導(dǎo)熱系數(shù)kE的材料填滿，對于P點和E點之間的組合板，根據(jù)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源一維導(dǎo)熱的分析，有：合并得：當界面l位于P和E之間的中點時，有fe=0.5，有：上式說明ke是kP和kE的調(diào)和平均值，而非給出的平均值。(4.8)(4.9)(4.10)討論這樣一種情況：圍繞著網(wǎng)格點P的控制容積由具有均勻?qū)嵯禂?shù)應(yīng)用于系數(shù)的定義式，得到aE：其效能可由兩種極限情況看出：令kE0，則有ke0（4.12），即一個絕熱層表面上的熱流密度為0。令kP>>kE，那么ke＝kE/fe

（4.13）。表明界面的導(dǎo)熱系數(shù)ke完全與kP無關(guān)；ke不等于kE

，而是它的1/fe

。目的是通過（4.7）得到一個正確的qe，應(yīng)用(4.13)，得：當kP>>kE時，溫度Tp將一直擴展到界面e，而溫降Tp-TE將實際上發(fā)生在距離(x)e+內(nèi)。兩個極限情況討論表明這個公式可以適用于導(dǎo)熱系數(shù)突然變化的情況，而無需在發(fā)生突變的鄰近區(qū)域采用極細的網(wǎng)格。(4.11)(4.14)應(yīng)用于系數(shù)的定義式，得到aE：其效能可由兩種極限情況看出：(-非線性即便是在熱傳導(dǎo)問題中我們也經(jīng)常遇到非線性的情況。如離散化方程中的系數(shù)本身與T有關(guān)。我們用迭代的方法來處理。過程包括：一開始在所有各個網(wǎng)格點上，猜測或估計一個T值。由這些估計的T值，計算出離散化方程中的系數(shù)的試探值。解名義上的線性化方程組，得到一組新的T值。以這些T值作為較好的估計值，返回到第二步并重復(fù)整個過程，直到這種進一步的重復(fù)計算（迭代）不再引起T值任何有意義的變化為止。這種最終不變的狀態(tài)叫做迭代的收斂。與之相反，迭代永遠也不會收斂到一個解的狀態(tài)稱為發(fā)散。-非線性即便是在熱傳導(dǎo)問題中我們也經(jīng)常遇到非線性的情況。如離-源項的線性化當源項S與T有關(guān)時，用方程（4.4）給出的線性形式表達。當S是T的一個非線性函數(shù)時，必須把它線性化，即規(guī)定SC和SP的值。有很多方法可以把給定的S表達式分解成SC和SP。如：已知S=4-5T3。某些可能的線性化：1.SC=4-5Tp*3，Sp=0。這種做法不能很好利用已知S~T關(guān)系的有利條件。2.SC=4，Sp=-Tp*3。看起來像準確的線性化，但已知的曲線比這一關(guān)系所反映的曲線要陡。3.推薦的方法：在點Tp*，所選擇的直線與S~T曲線相切。-源項的線性化當源項S與T有關(guān)時，用方程（4.4）給出的線性4.SC=4+20Tp*3，Sp=-25Tp*2。這一線性化比已知的S~T曲線陡，使收斂速度降低。四種可能的線性化與實際曲線比較如圖：4.SC=4+20Tp*3，Sp=-25Tp*2。這一-邊界條件討論圖中所示網(wǎng)格點組。在兩個邊界上各有一個網(wǎng)格點。其余網(wǎng)格點稱為內(nèi)點。圍繞每個內(nèi)點有一個控制容積。對每一個控制容積可以寫一個像方程（4.2）那樣的離散化方程，如果看作是關(guān)于Tp的方程，那么就有了對所有內(nèi)網(wǎng)格點上未知溫度所必要的方程。其中有兩個方程包含著邊界網(wǎng)格點上的溫度。通過處理這些邊界溫度，就把已知的邊界條件引入到數(shù)值解法中。熱傳導(dǎo)問題中有三類典型邊界條件，對于每一種有：1.已知邊界溫度。此時不需要外加任何方程。2.已知邊界熱流密度。得到：PWEIBi(4.16)IBDx(dx)iiqBqiS-邊界條件討論圖中所示網(wǎng)格點組。PWEIBi(4.16)IBBoundaryconditionsPWEIBiIBDx(dx)iiqBqiSBoundaryconditionsPWEIBiIBDx(

如果邊界上的熱流密度qB已知，則要求的對TB的方程變成：3.通過放熱系數(shù)和周圍流體的溫度來規(guī)定邊界的熱流密度。如果熱流密度qB是放熱系數(shù)h以及環(huán)境流體溫度Tt規(guī)定，那么，方程TB方程變?yōu)椋哼@樣就構(gòu)成了對所有未知溫度的足夠數(shù)量的方程。如果邊界上的熱流密度qB已知，則要求的對TB的方程變-線性代數(shù)方程的解一維離散化方程的解可以用標準的高斯消去法得到。當寫這些方程的系數(shù)矩陣時，所有的非零系數(shù)均排列在矩陣的三角對角線上，這種算法稱為TDMA（三對角矩陣算法）。設(shè)網(wǎng)格點標號為1，2，3，…，N，其中1和N代表邊界點。有：邊界溫度已知時，對邊界點的方程只剩下一個無意義的形式。(如c1=0,bN=0)T2可以用T3的一個關(guān)系式表示，….，TN

可以由TN+1表示，回代就是TDMA的要點。(4.22)-線性代數(shù)方程的解一維離散化方程的解可以用標準的高斯消去法得TDMAPWE1i-1ii+1Nwhathappenswhenaboundarytemperatureisgiven?TDMAPWE1i-1ii+1NwhathappenswTDMAPWE1i-1ii+1NTDMAPWE1i-1ii+1NTDMAPWE1i-1ii+1NTDMAPWE1i-1ii+1NTDMA算法計算：

P1=b1/a1

and

Q1=d1/a1

使用迭代關(guān)系式，獲得

Pi

和

Qi，i=2,3…N.設(shè)

TN=QN使用迭代關(guān)系式，得到

Ti=PiTi+1+Qi，

i=N-1,N-2…3,2,1

從而依次得到

TN-1,TN-2,…T3,T2,T1.TDMA算法計算：

P1=b1/a1andQ1=d1/通用的離散化方程時間是一個單向坐標，由一已知的初始溫度分布開始，沿著時間坐標逐步向前求解：已知t時刻T在網(wǎng)格點上的值，求得t+Δt時刻值。對整個控制容積積分方程：得到：4-3非穩(wěn)態(tài)一維熱傳導(dǎo)假設(shè)在網(wǎng)格點上的T值代表整個控制容積上的值，最后得到：通用的離散化方程4-3非穩(wěn)態(tài)一維熱傳導(dǎo)假設(shè)在網(wǎng)格點上的T假設(shè)用下式歸納一般化有關(guān)TP、TE和TW如何隨時間由t到t+Δt而變化的關(guān)系：其中f是在0和1之間變化的加權(quán)因子。于是：改寫后得：假設(shè)用下式歸納一般化有關(guān)TP、TE和TW如何隨時間由t到t+-顯式，克蘭克-尼科爾森模式，以及全隱式模式對于某個特定的加權(quán)因子f的值，離散化方程可簡化為適用于拋物線型微分方程的我們所熟悉的模式之一。f=0導(dǎo)致顯式模式；f=0.5導(dǎo)致克蘭克-尼科爾森模式；f=1導(dǎo)致全隱式模式。不同f值可以由圖中所示關(guān)系來說明：顯式模式假設(shè)老的值代表除了時刻

t+Δt以外整個時間間隔上的Tp值；全隱式模式假設(shè)在時刻t，Tp的值突然降了，而后整個時間步上保持為降后的值，于是整個時間步期間溫度為新值所確定?？颂m克-尼科爾森模式假設(shè)Tp呈線性變化。如果我們要求方程（4.36）中系數(shù)務(wù)必永不為負，只有f=1。即全隱式模式能夠滿足我們簡單而物理上又滿意的要求。tTTpoldtTpnewt+Dtf=0f=0.5f=1-顯式，克蘭克-尼科爾森模式，以及全隱式模式對于某個特定的加顯式格式Explicitschemefor:inordertogiverealisticsolutions顯式格式Explicitschemefor:inordeCrank-Nicolson格式cangiveunrealisticsolutionsCrank-Nicolson格式cangiveunrea隱式格式Implicitschemealwaysgivesrealisticsolutions隱式格式Implicitschemealwaysgive-全隱式離散化方程線性化源項結(jié)果：Δt趨近于無窮大時，這個方程簡化為穩(wěn)態(tài)的離散化方程。全隱式模式主要原則：Tp的新值代表整個時間步上的值。因此如果導(dǎo)熱系數(shù)kp與溫度有關(guān)，就應(yīng)當反復(fù)由它迭代算得新值。穩(wěn)態(tài)程序的其他環(huán)節(jié)，如邊界條件、源項線性化處理以及TDMA也都完全適用于不穩(wěn)態(tài)問題。-全隱式離散化方程線性化源項結(jié)果：4.4Unsteady2-Dheatconductionxyz=1PWEweDxNSnsDy4.4Unsteady2-DheatconductioDiscretizedunsteady2-DheatconductionequationDiscretizedunsteady2-DheatUnsteady3-DheatconductionequationUnsteady3-DheatconductioneDiscretizedunsteady3-DheatconductionequationDiscretizedunsteady3-Dheat-三維問題的離散化方程加入兩個z方向的相鄰點T和B（項和底）構(gòu)成三維的網(wǎng)格圖形。相鄰系數(shù)aE、aW、aN…、aB代表P點與相鄰點之間的熱導(dǎo)；a0PT0P是t時刻控制容積內(nèi)部所包含的內(nèi)能（除以Δt）常數(shù)b由這一內(nèi)能項與由Sc所造成的在控制容積內(nèi)的發(fā)熱率組成。中心點系數(shù)ap是所有相鄰點系數(shù)之和，并包括一項由線性的源項所作的貢獻。-三維問題的離散化方程加入兩個z方向的相鄰點T和B（項和底）-代數(shù)方程的解迭代法高斯-賽德爾逐點計算法按一定的順序逐個訪問每一個網(wǎng)格點，以計算那里的變量值。在計算機內(nèi)值需要存儲一組T值。開始，這些值代表最初的估計值或上一次迭代得到的值，在訪問每一個網(wǎng)格結(jié)點時，在計算機存儲中相應(yīng)的T值交替改變。這種方法不是總可以得到收斂解的。斯卡巴勒準則：高斯-賽德爾法收斂的充分條件是：中，這種方法的主要缺點是收斂速度太慢，特別是網(wǎng)格點數(shù)很大時。-代數(shù)方程的解迭代法逐行法把TDMA和高斯-賽德爾法結(jié)合起來。選擇一條網(wǎng)格行（設(shè)在y方向選取這樣的網(wǎng)格行），假定沿相鄰的行上的T值批最新值構(gòu)成。用TDMA法求得所選行上的T值。將在同一方向的所有行進行這種計算。如果想做的話，再按相同的方法在其他方向重復(fù)上述程序。以二維為例，如圖所示的情況需要注意：

其它一些迭代方法ADI（方向交替的隱式）的逐行求解法；解多維離散化方程的強隱式法（SIP）逐行法其它一些迭代方法依前后二次迭代之間因變量的變化究竟是被加速還是被減慢的過程稱為超松弛或欠松弛。超松弛常用于和高斯-賽德爾法相結(jié)合，叫做持續(xù)超松弛（SOR）；欠松弛在強烈非線性方程組的迭代求解中用來避免發(fā)散。取T*p作為前一次迭代所得Tp值。引進松弛因子，得到：可以根據(jù)經(jīng)驗以及對所給定的問題所作的試探性計算求得一個合適的值。4-5超松弛和欠松弛(overrelaxationandunderrelaxation)依前后二次迭代之間因變量的變化究竟是被加速還是被減慢的過程稱通用慣量進行松弛。用下面公式代替離散化方程：式中i是所謂的慣量。對于正的i值，方程具有欠松弛作用；對于負的i則產(chǎn)生超松弛。通用慣量進行松弛。用下面公式代替離散化方程：控制容積面的位置討論控制容積面構(gòu)成的兩種不同的替代形式，并討論它們各自有關(guān)的優(yōu)點。為方便起見，描述針對二維問題。方法A：控制容積面放在兩個網(wǎng)格之間的中點。4-6某些幾何上的考慮結(jié)果是：一個典型的網(wǎng)格P并不落在包圍該點得控制容積的幾何中心上?？刂迫莘e面的位置4-6某些幾何上的考慮結(jié)果是：一個典型的方法B：網(wǎng)格點放在控制容積的中心：克服了A的缺點。具有方便性。方法B：我們所提出的這種方法不只限于直角坐標系，還可以用于任意一種正交坐標系。以二維極坐標問題為例，與方程對應(yīng)的r形式是：其中的網(wǎng)格與控制容積如圖示：設(shè)控制容積在z方向厚度為1，方程兩邊乘以r，并在整個控制容積范圍內(nèi)對r和進行積分，得到下面的離散化方程：4-6其它坐標系我們所提出的這種方法不只限于直角坐標系，還可以用于任意一種正由一個新的坐標系引入的補充特征主要是幾何上的特征。由一個新的坐標系引入的補充特征主要是幾何上的特征。5-1任務(wù)在通用微分方程中將對流項考慮進去，只要對流項的加入不改變離散化的形式，同樣的處理方法仍然適用。本章任務(wù)是：在已知的流場（即速度分量和密度）的情況下，求得對φ的解。已知流場必須滿足連續(xù)性方程：第五章對流與擴散通用微分方程也可以改寫為：對于已知的、uj、以及S的分布，任何解φ及其變體（φ

加一常量）將同時滿足方程，關(guān)于系數(shù)和的基本原則仍然適用。5-1任務(wù)第五章對流與擴散通用微分方程對于已知的討論只有對流與擴散這兩項存在的情況下的一維穩(wěn)態(tài)問題?？刂莆⒎址匠蹋簯?yīng)用圖示三網(wǎng)點群：5-2一維穩(wěn)態(tài)對流與擴散PWExweDx(dx)w(dx)e討論只有對流與擴散這兩項存在的情況下的一維穩(wěn)態(tài)問題。5-2-

預(yù)備性的推導(dǎo)在整個控制容積內(nèi)對方程（5.4）積分：由對φ的一個分段線性分布表示項Γdφ/dx。結(jié)果是：因子1/2出自界面位于中點的假設(shè)；對不同的界面位置要采用其它內(nèi)插因子。則方程（5.6）寫成：FxPWEweFpFwFE-預(yù)備性的推導(dǎo)在整個控制容積內(nèi)對方程（5.4）積分：Fx定義兩個新的符號：兩者具有相同因次，

F表示對流或流動的強度；D是擴散傳導(dǎo)性。（注意，D永遠為正，而F不同）離散化方程變?yōu)?定義兩個新的符號：討論由于連續(xù)性Fe=Fw，得到ap=aE+aW上述離散化方程隱含著φ分段線性分布——中心差分假定De=Dw=1及Fe=Fw＝4，則 若φE＝200及φW＝100，φP＝50

若φE＝100及φW＝200，φP＝250方程（5.11)表明系數(shù)可能出現(xiàn)負值。當|F|小于2D時，系數(shù)才可能始終為正，即中心差分只能限于低Reynold數(shù)流動。若擴散項為零，則中心差分格式導(dǎo)致ap=0，無法使用逐點法求解討論由于連續(xù)性Fe=Fw，得到ap=aE+aW-

上風(fēng)方案亦稱為上風(fēng)差分格式、迎風(fēng)格式、上游差分格式以及供體（施主）室法等。方案認為預(yù)備性公式的弱點在于假設(shè)：界面上的對流性質(zhì)φe

是φE和φP的平均值。提出：保留擴散項的公式不變，而對流項則按下列假設(shè)計算：界面上φ的值等于界面上風(fēng)側(cè)網(wǎng)格點上的φ值。于是類似方法可確定φw值。定義代表A，B中大者。則上風(fēng)方案意味：離散化方程可寫為：-上風(fēng)方案亦稱為上風(fēng)差分格式、迎風(fēng)格式、上游差分格式以及不會產(chǎn)生負的系數(shù)；可以把這個方案說成是建立在“槽與管”的模型基礎(chǔ)上，管內(nèi)的流體不會“知道”將要流入那個槽內(nèi)的任何情況，但它卻攜帶了它所來自那個槽內(nèi)的全部信息。這就是上風(fēng)方案的本質(zhì)。不會產(chǎn)生負的系數(shù)；精確解(Exactsolution)如果Γ取作常數(shù)，且邊界條件為：則其中為貝克列數(shù)（PecletNumber），是對流與擴散強度之比。精確解(Exactsolution)不同的貝克列數(shù)時的φ~x變化如圖

P為0的極限條件下，問題成了純擴散（或熱傳導(dǎo)）問題。除非lPllPl值非常小，曲線均偏離線性很遠。當lPl值很大時，符合上風(fēng)方案假設(shè)，但上風(fēng)方案假設(shè)用于所有l(wèi)Pl。當lPl值很大時，x=L/2處d/dx幾乎為0，擴散幾乎不存在。上風(fēng)方案總是由一線性的～x分布計算擴散項，從而在大的lPl值條件下過高估計了擴散項。xFFLFoLP<<-1P=1P=0P>>1P=-1不同的貝克列數(shù)時的φ~x變化如圖P為0的極限條件下，問題成-

指數(shù)方案由對流流量密度和擴散流量密度所組成的總流量密度由dJ/dx=0，在整個控制容積內(nèi)積分，得到：可推得Je表達式：同理得到Jw表達式代入，寫成標準形式：

在應(yīng)用于一維穩(wěn)態(tài)問題時，該指數(shù)方案保證得到精確解。但：費時；對于二維、三維及源項不為零時，不準確。-指數(shù)方案由對流流量密度和擴散流量密度所組成的總流量密度-

混合方案由可以看到aE/De準確變化的某些特殊性質(zhì)：代表這些極限情況的三條直線如圖中所示，它們構(gòu)成準確曲線的一根包絡(luò)，并代表著這一準確曲線的合理近似?；旌戏桨笇嶋H就是有著三條直線組成。-混合方案代表這些極限情況的三條直線如圖中所示，它們構(gòu)成用特殊符號代表其中包含的所有量的最大值。于是

在貝克列數(shù)為-2≤Pe≤2時，混合方案同中心差分格式一致；在該范圍之外，混合方案簡化為上風(fēng)方案。可把混合方案的對流-擴散離散化方程寫成：用特殊符號代表其中包含的所有量的最-

冪函數(shù)方案在Pe=±2時，混合方案偏離準確曲線相當大，一個更好的近似由冪函數(shù)方案給定。aE的冪函數(shù)表達式可以寫成：緊湊形式可以寫作：冪函數(shù)與準確的指數(shù)方案之間的差異非常小。-冪函數(shù)方案在Pe=±2時，混合方案偏離準確曲線相當大，-

一個通用化的公式討論圖中所示由距離δ分開的網(wǎng)格點i和i+1。有：建議：α、β是與P有關(guān)的無因次乘數(shù)，這樣，就有：其中A、B是無因次系數(shù)。它們是貝克列數(shù)的函數(shù)。-一個通用化的公式討論圖中所示由距離δ分開的網(wǎng)格點i和i如果φi和φi+1相等，擴散流為0，就有B=A+P。如果將坐標軸方向反轉(zhuǎn)，有A(-P)=B(P)或B(-P)=A(P)。A和B隨貝克列數(shù)P的準確變化如圖所示。如果φi和φi+1相等，擴散流為0，就有B=A+P。應(yīng)用流量關(guān)系式（5.37）于界面e和w，并利用方程得到通用的對流擴散公式：于是可以把前面所推得的各種方案看成是選擇不同的函數(shù)A(lPl)而已。如圖、表所示：應(yīng)用流量關(guān)系式（5.37）于界面e和w，并利用方程于是可以把傳熱與流體流動的數(shù)值計算(4-5章)課件-

各種方案（格式）的結(jié)果在結(jié)束一維問題的討論之前，檢查一下對于φE和φW由各個方案所計算出來的φP值。令φE=1，φW=0，(δx)e與(δx)w相等，于是φP將是P的函數(shù)。如圖所示：-各種方案（格式）的結(jié)果在結(jié)束一維問題的討論之前，檢查一討論圖中的控制容積。5-3二維問題的離散化方程

推導(dǎo)的細節(jié)方程（5.2）的二維形式：其中在控制容積內(nèi)對方程（5.48）積分，得到：討論圖中的控制容積。5-3二維問題的離散化方程推導(dǎo)的細類似積分連續(xù)性方程得到：后面四項示通過控制容積面的質(zhì)量流量。以φP乘以方程（5.51）并從方程（5.50）中減去所乘結(jié)果，得：在控制容積面上均勻性的假設(shè)使我們可以利用一維做法解決二維問題，有：類似積分連續(xù)性方程得到：在控制容積面上均勻性的假設(shè)使我們可以-

最終的離散化方程二維的離散化方程寫成：相應(yīng)的傳導(dǎo)性定義為：貝克列數(shù)定義為：冪函數(shù)方案是推薦的，有：-最終的離散化方程二維的離散化方程寫成：相應(yīng)的傳導(dǎo)性定義5-4三維問題的離散化方程5-4三維問題的離散化方程流量與傳導(dǎo)性定義為：貝克列數(shù)取為F/D，于是Pe=Fe/De，依此類推。冪函數(shù)公式為：流量與傳導(dǎo)性定義為：貝克列數(shù)取為F/D，于是Pe=Fe/De5-5單向空間坐標

使空間坐標成為單向坐標的條件當貝克列數(shù)大時，下游相鄰點的系數(shù)變小，當貝克列數(shù)超過10時，冪函數(shù)方案將取下游相鄰點系數(shù)為0。這樣，由于在任何點上的φ值將不受x方向下游值的影響，x就成為一個單向的坐標。即便一個空間坐標就整個計算域而言并不是單向的，但在實際處理邊界條件時，往往應(yīng)用其局部的單向特性。出流邊界條件

在流動出口的邊界上，不需要有關(guān)邊界條件的任何信息。如果貝克列數(shù)足夠大，系數(shù)aE將為0，因而系數(shù)乘邊界值為0。即在出流邊界附近的區(qū)域，對大的貝克列數(shù)而言，呈現(xiàn)局部的單向狀態(tài)。5-5單向空間坐標使空間坐標成為單向坐標的條件5-6假擴散

關(guān)于假擴散的一般觀點中心差分格式具有二階的精度，而上風(fēng)方案只具有一階的精度；上風(fēng)方案引起嚴重的假擴散由于在對流-擴散問題中所產(chǎn)生的φ~x變化是指數(shù)的，除了極小的Δx值外，任何情況下泰勒級數(shù)不再是一個好的表達式。較大Δx值時，泰勒級數(shù)的分析給人誤解；此時上風(fēng)方案給出比中心差分格式更為合理的結(jié)果。把中心差分格式同上風(fēng)方案的系數(shù)比較可以看到，上風(fēng)方案似乎把真正的擴散系數(shù)擴大了一個虛擬的擴散系數(shù)ρuδx/2。但需要注意的是，爭辯的麻煩建立在把中心差分格式假設(shè)為精確而又標準的基礎(chǔ)上，并且用這個參考來觀察上風(fēng)方案。按這種做法，就會發(fā)現(xiàn)本身就是精確解的指數(shù)方案也有某種假擴散。實際上所謂的假擴散系數(shù)是在大的貝克列數(shù)條件下的一種理想補充。5-6假擴散關(guān)于假擴散的一般觀點

有關(guān)假擴散的正確看法假擴散是一種多維的現(xiàn)象，在穩(wěn)態(tài)的一維問題中絕對不會有相應(yīng)形式的假擴散。為了具體化，討論圖中所示狀態(tài)。兩股速度相等而溫度不同的平行流相遇。如果擴散系數(shù)不等于0，就形成一溫度逐漸由高溫到低溫變化的混合層；如果擴散系數(shù)不為0，就不會形成混合層，并且在流線方向?qū)⒕S持溫度得不連續(xù)性。如果對Γ=0情況的數(shù)值解產(chǎn)生一個逐漸變化的溫度分布，我們可以得出結(jié)論：該數(shù)值解方案引起假擴散。有關(guān)假擴散的正確看法為了具體化，討論圖中所示狀態(tài)。兩股速度對兩種不同網(wǎng)格方向用上風(fēng)方案求解5.13b中的問題。在x方向的均勻流動。Φp=φW，結(jié)果，每一條水平線上上游的已知值將構(gòu)成在該線上所有點上的值。沒有假擴散現(xiàn)象發(fā)生。在與網(wǎng)格線成45。角的方向上的均勻流動。有設(shè)左邊界溫度為100，底邊界溫度為0來表示不連續(xù)。在內(nèi)點上所得的解寫在每個網(wǎng)格點的旁邊。所得到的實際值卻代表著一個逐漸變化的溫度分布。對兩種不同網(wǎng)格方向用上風(fēng)方案求解5.13b中的問題。設(shè)左邊界

要點流場方向與網(wǎng)格點線成一傾斜角，并在與流動方向相垂直的方向上存在有非零的因變量梯度時，就會有假擴散出現(xiàn)。對二維情況的假擴散系數(shù)的一個近似表達式由公式給定：其中，Γ假是假擴散系數(shù)，U是合速度，θ是速度向量與x方向間夾角?？梢钥闯觯汉狭鲃臃较蚺c其中一組網(wǎng)格線相重時，不存在假擴散；流動方向與網(wǎng)格線間夾角45。時，假擴散最嚴重。減少Δx和Δy可以減少假擴散大小，只要可能，應(yīng)當把網(wǎng)格線布置在接近于流動的方向。應(yīng)使假擴散與實際值相比足夠小。采用中心差分格式不是解決假擴散的靈丹妙藥。產(chǎn)生假擴散的基本原因是由于把流過每一控制容積面的流動處理成局部一維流動這樣的一種做法。那些可能給出較小假擴散的方案應(yīng)當考慮流動的多維性質(zhì)。要點其中，Γ假是假擴散系數(shù)，U是合速度，θ是速度向量與x方傳熱與流體流動的數(shù)值計算[美]S.V.帕坦卡著同濟大學(xué)機械工程學(xué)院朱彤傳熱與流體流動的數(shù)值計算[美]S.V.帕坦卡著第四章熱傳導(dǎo)4-1本章的對象著手構(gòu)建一個求解通用微分方程的數(shù)值方法構(gòu)成一個求解通用微分方程的數(shù)值方法，略去對流項。其他一些物理過程也由非常類似于熱傳導(dǎo)方程的數(shù)學(xué)方程所控制。本章完成了隨后幾章所需要的若干預(yù)備性的工作，提出代數(shù)方程的求解方法。第四章熱傳導(dǎo)4-1本章的對象基本方程穩(wěn)態(tài)一維問題的控制微分方程：推導(dǎo)出離散化方程4-2一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)PWExweDx(dx)w(dx)e基本方程4-2一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)PWExweDx(dx)w(-網(wǎng)格間距網(wǎng)格點距離(δx)e與(δx)w沒有必要相等。雖然只有在網(wǎng)格相當細時才可能得到精確的解，但是在因變量隨x變化相當慢的區(qū)域沒有必要采用細的網(wǎng)格；在T~x變化較陡的區(qū)域則需要細的網(wǎng)格。誤區(qū)：不均勻網(wǎng)格的準確度比均勻網(wǎng)格差。設(shè)計一個合適的非均勻網(wǎng)格：從解的定性預(yù)計得到指導(dǎo)。用初步粗網(wǎng)格的解求得T~x變化形式；然后構(gòu)成合適的非均勻網(wǎng)格。先進行預(yù)備性的實驗或探索性試驗，然后應(yīng)用得到的數(shù)據(jù)資料確定在最終的實驗中所應(yīng)安裝的探頭位置和數(shù)目。-網(wǎng)格間距網(wǎng)格點距離(δx)e與(δx)w沒有必要相等。-界面導(dǎo)熱系數(shù)ke最直截了當?shù)姆椒ㄊ羌僭O(shè)k在P點和E值間呈線性變化：

其中插入因子在某些情況下這種簡單化會導(dǎo)致相當不準確的結(jié)果；而且這樣做不可能精確處理組合材料中可能遇到的導(dǎo)熱系數(shù)的突然變化。一種替代方法：得到一個通過下式描述的界面熱流密度qe的良好表達式：PExwe(dx)e(dx)e+(dx)e-(4.5)(4.6)(4.7)-界面導(dǎo)熱系數(shù)ke最直截了當?shù)姆椒ㄊ羌僭O(shè)k在P點和E值間呈線討論這樣一種情況：圍繞著網(wǎng)格點P的控制容積由具有均勻?qū)嵯禂?shù)kP的材料填滿，圍繞著E點的控制容積由導(dǎo)熱系數(shù)kE的材料填滿，對于P點和E點之間的組合板，根據(jù)穩(wěn)態(tài)無內(nèi)熱源一維導(dǎo)熱的分析，有：合并得：當界面l位于P和E之間的中點時，有fe=0.5，有：上式說明ke是kP和kE的調(diào)和平均值，而非給出的平均值。(4.8)(4.9)(4.10)討論這樣一種情況：圍繞著網(wǎng)格點P的控制容積由具有均勻?qū)嵯禂?shù)應(yīng)用于系數(shù)的定義式，得到aE：其效能可由兩種極限情況看出：令kE0，則有ke0（4.12），即一個絕熱層表面上的熱流密度為0。令kP>>kE，那么ke＝kE/fe

（4.13）。表明界面的導(dǎo)熱系數(shù)ke完全與kP無關(guān)；ke不等于kE

，而是它的1/fe

。目的是通過（4.7）得到一個正確的qe，應(yīng)用(4.13)，得：當kP>>kE時，溫度Tp將一直擴展到界面e，而溫降Tp-TE將實際上發(fā)生在距離(x)e+內(nèi)。兩個極限情況討論表明這個公式可以適用于導(dǎo)熱系數(shù)突然變化的情況，而無需在發(fā)生突變的鄰近區(qū)域采用極細的網(wǎng)格。(4.11)(4.14)應(yīng)用于系數(shù)的定義式，得到aE：其效能可由兩種極限情況看出：(-非線性即便是在熱傳導(dǎo)問題中我們也經(jīng)常遇到非線性的情況。如離散化方程中的系數(shù)本身與T有關(guān)。我們用迭代的方法來處理。過程包括：一開始在所有各個網(wǎng)格點上，猜測或估計一個T值。由這些估計的T值，計算出離散化方程中的系數(shù)的試探值。解名義上的線性化方程組，得到一組新的T值。以這些T值作為較好的估計值，返回到第二步并重復(fù)整個過程，直到這種進一步的重復(fù)計算（迭代）不再引起T值任何有意義的變化為止。這種最終不變的狀態(tài)叫做迭代的收斂。與之相反，迭代永遠也不會收斂到一個解的狀態(tài)稱為發(fā)散。-非線性即便是在熱傳導(dǎo)問題中我們也經(jīng)常遇到非線性的情況。如離-源項的線性化當源項S與T有關(guān)時，用方程（4.4）給出的線性形式表達。當S是T的一個非線性函數(shù)時，必須把它線性化，即規(guī)定SC和SP的值。有很多方法可以把給定的S表達式分解成SC和SP。如：已知S=4-5T3。某些可能的線性化：1.SC=4-5Tp*3，Sp=0。這種做法不能很好利用已知S~T關(guān)系的有利條件。2.SC=4，Sp=-Tp*3?？雌饋硐駵蚀_的線性化，但已知的曲線比這一關(guān)系所反映的曲線要陡。3.推薦的方法：在點Tp*，所選擇的直線與S~T曲線相切。-源項的線性化當源項S與T有關(guān)時，用方程（4.4）給出的線性4.SC=4+20Tp*3，Sp=-25Tp*2。這一線性化比已知的S~T曲線陡，使收斂速度降低。四種可能的線性化與實際曲線比較如圖：4.SC=4+20Tp*3，Sp=-25Tp*2。這一-邊界條件討論圖中所示網(wǎng)格點組。在兩個邊界上各有一個網(wǎng)格點。其余網(wǎng)格點稱為內(nèi)點。圍繞每個內(nèi)點有一個控制容積。對每一個控制容積可以寫一個像方程（4.2）那樣的離散化方程，如果看作是關(guān)于Tp的方程，那么就有了對所有內(nèi)網(wǎng)格點上未知溫度所必要的方程。其中有兩個方程包含著邊界網(wǎng)格點上的溫度。通過處理這些邊界溫度，就把已知的邊界條件引入到數(shù)值解法中。熱傳導(dǎo)問題中有三類典型邊界條件，對于每一種有：1.已知邊界溫度。此時不需要外加任何方程。2.已知邊界熱流密度。得到：PWEIBi(4.16)IBDx(dx)iiqBqiS-邊界條件討論圖中所示網(wǎng)格點組。PWEIBi(4.16)IBBoundaryconditionsPWEIBiIBDx(dx)iiqBqiSBoundaryconditionsPWEIBiIBDx(

如果邊界上的熱流密度qB已知，則要求的對TB的方程變成：3.通過放熱系數(shù)和周圍流體的溫度來規(guī)定邊界的熱流密度。如果熱流密度qB是放熱系數(shù)h以及環(huán)境流體溫度Tt規(guī)定，那么，方程TB方程變?yōu)椋哼@樣就構(gòu)成了對所有未知溫度的足夠數(shù)量的方程。如果邊界上的熱流密度qB已知，則要求的對TB的方程變-線性代數(shù)方程的解一維離散化方程的解可以用標準的高斯消去法得到。當寫這些方程的系數(shù)矩陣時，所有的非零系數(shù)均排列在矩陣的三角對角線上，這種算法稱為TDMA（三對角矩陣算法）。設(shè)網(wǎng)格點標號為1，2，3，…，N，其中1和N代表邊界點。有：邊界溫度已知時，對邊界點的方程只剩下一個無意義的形式。(如c1=0,bN=0)T2可以用T3的一個關(guān)系式表示，….，TN

可以由TN+1表示，回代就是TDMA的要點。(4.22)-線性代數(shù)方程的解一維離散化方程的解可以用標準的高斯消去法得TDMAPWE1i-1ii+1Nwhathappenswhenaboundarytemperatureisgiven?TDMAPWE1i-1ii+1NwhathappenswTDMAPWE1i-1ii+1NTDMAPWE1i-1ii+1NTDMAPWE1i-1ii+1NTDMAPWE1i-1ii+1NTDMA算法計算：

P1=b1/a1

and

Q1=d1/a1

使用迭代關(guān)系式，獲得

Pi

和

Qi，i=2,3…N.設(shè)

TN=QN使用迭代關(guān)系式，得到

Ti=PiTi+1+Qi，

i=N-1,N-2…3,2,1

從而依次得到

TN-1,TN-2,…T3,T2,T1.TDMA算法計算：

P1=b1/a1andQ1=d1/通用的離散化方程時間是一個單向坐標，由一已知的初始溫度分布開始，沿著時間坐標逐步向前求解：已知t時刻T在網(wǎng)格點上的值，求得t+Δt時刻值。對整個控制容積積分方程：得到：4-3非穩(wěn)態(tài)一維熱傳導(dǎo)假設(shè)在網(wǎng)格點上的T值代表整個控制容積上的值，最后得到：通用的離散化方程4-3非穩(wěn)態(tài)一維熱傳導(dǎo)假設(shè)在網(wǎng)格點上的T假設(shè)用下式歸納一般化有關(guān)TP、TE和TW如何隨時間由t到t+Δt而變化的關(guān)系：其中f是在0和1之間變化的加權(quán)因子。于是：改寫后得：假設(shè)用下式歸納一般化有關(guān)TP、TE和TW如何隨時間由t到t+-顯式，克蘭克-尼科爾森模式，以及全隱式模式對于某個特定的加權(quán)因子f的值，離散化方程可簡化為適用于拋物線型微分方程的我們所熟悉的模式之一。f=0導(dǎo)致顯式模式；f=0.5導(dǎo)致克蘭克-尼科爾森模式；f=1導(dǎo)致全隱式模式。不同f值可以由圖中所示關(guān)系來說明：顯式模式假設(shè)老的值代表除了時刻

t+Δt以外整個時間間隔上的Tp值；全隱式模式假設(shè)在時刻t，Tp的值突然降了，而后整個時間步上保持為降后的值，于是整個時間步期間溫度為新值所確定。克蘭克-尼科爾森模式假設(shè)Tp呈線性變化。如果我們要求方程（4.36）中系數(shù)務(wù)必永不為負，只有f=1。即全隱式模式能夠滿足我們簡單而物理上又滿意的要求。tTTpoldtTpnewt+Dtf=0f=0.5f=1-顯式，克蘭克-尼科爾森模式，以及全隱式模式對于某個特定的加顯式格式Explicitschemefor:inordertogiverealisticsolutions顯式格式Explicitschemefor:inordeCrank-Nicolson格式cangiveunrealisticsolutionsCrank-Nicolson格式cangiveunrea隱式格式Implicitschemealwaysgivesrealisticsolutions隱式格式Implicitschemealwaysgive-全隱式離散化方程線性化源項結(jié)果：Δt趨近于無窮大時，這個方程簡化為穩(wěn)態(tài)的離散化方程。全隱式模式主要原則：Tp的新值代表整個時間步上的值。因此如果導(dǎo)熱系數(shù)kp與溫度有關(guān)，就應(yīng)當反復(fù)由它迭代算得新值。穩(wěn)態(tài)程序的其他環(huán)節(jié)，如邊界條件、源項線性化處理以及TDMA也都完全適用于不穩(wěn)態(tài)問題。-全隱式離散化方程線性化源項結(jié)果：4.4Unsteady2-Dheatconductionxyz=1PWEweDxNSnsDy4.4Unsteady2-DheatconductioDiscretizedunsteady2-DheatconductionequationDiscretizedunsteady2-DheatUnsteady3-DheatconductionequationUnsteady3-DheatconductioneDiscretizedunsteady3-DheatconductionequationDiscretizedunsteady3-Dheat-三維問題的離散化方程加入兩個z方向的相鄰點T和B（項和底）構(gòu)成三維的網(wǎng)格圖形。相鄰系數(shù)aE、aW、aN…、aB代表P點與相鄰點之間的熱導(dǎo)；a0PT0P是t時刻控制容積內(nèi)部所包含的內(nèi)能（除以Δt）常數(shù)b由這一內(nèi)能項與由Sc所造成的在控制容積內(nèi)的發(fā)熱率組成。中心點系數(shù)ap是所有相鄰點系數(shù)之和，并包括一項由線性的源項所作的貢獻。-三維問題的離散化方程加入兩個z方向的相鄰點T和B（項和底）-代數(shù)方程的解迭代法高斯-賽德爾逐點計算法按一定的順序逐個訪問每一個網(wǎng)格點，以計算那里的變量值。在計算機內(nèi)值需要存儲一組T值。開始，這些值代表最初的估計值或上一次迭代得到的值，在訪問每一個網(wǎng)格結(jié)點時，在計算機存儲中相應(yīng)的T值交替改變。這種方法不是總可以得到收斂解的。斯卡巴勒準則：高斯-賽德爾法收斂的充分條件是：中，這種方法的主要缺點是收斂速度太慢，特別是網(wǎng)格點數(shù)很大時。-代數(shù)方程的解迭代法逐行法把TDMA和高斯-賽德爾法結(jié)合起來。選擇一條網(wǎng)格行（設(shè)在y方向選取這樣的網(wǎng)格行），假定沿相鄰的行上的T值批最新值構(gòu)成。用TDMA法求得所選行上的T值。將在同一方向的所有行進行這種計算。如果想做的話，再按相同的方法在其他方向重復(fù)上述程序。以二維為例，如圖所示的情況需要注意：

其它一些迭代方法ADI（方向交替的隱式）的逐行求解法；解多維離散化方程的強隱式法（SIP）逐行法其它一些迭代方法依前后二次迭代之間因變量的變化究竟是被加速還是被減慢的過程稱為超松弛或欠松弛。超松弛常用于和高斯-賽德爾法相結(jié)合，叫做持續(xù)超松弛（SOR）；欠松弛在強烈非線性方程組的迭代求解中用來避免發(fā)散。取T*p作為前一次迭代所得Tp值。引進松弛因子，得到：可以根據(jù)經(jīng)驗以及對所給定的問題所作的試探性計算求得一個合適的值。4-5超松弛和欠松弛(overrelaxationandunderrelaxation)依前后二次迭代之間因變量的變化究竟是被加速還是被減慢的過程稱通用慣量進行松弛。用下面公式代替離散化方程：式中i是所謂的慣量。對于正的i值，方程具有欠松弛作用；對于負的i則產(chǎn)生超松弛。通用慣量進行松弛。用下面公式代替離散化方程：控制容積面的位置討論控制容積面構(gòu)成的兩種不同的替代形式，并討論它們各自有關(guān)的優(yōu)點。為方便起見，描述針對二維問題。方法A：控制容積面放在兩個網(wǎng)格之間的中點。4-6某些幾何上的考慮結(jié)果是：一個典型的網(wǎng)格P并不落在包圍該點得控制容積的幾何中心上?？刂迫莘e面的位置4-6某些幾何上的考慮結(jié)果是：一個典型的方法B：網(wǎng)格點放在控制容積的中心：克服了A的缺點。具有方便性。方法B：我們所提出的這種方法不只限于直角坐標系，還可以用于任意一種正交坐標系。以二維極坐標問題為例，與方程對應(yīng)的r形式是：其中的網(wǎng)格與控制容積如圖示：設(shè)控制容積在z方向厚度為1，方程兩邊乘以r，并在整個控制容積范圍內(nèi)對r和進行積分，得到下面的離散化方程：4-6其它坐標系我們所提出的這種方法不只限于直角坐標系，還可以用于任意一種正由一個新的坐標系引入的補充特征主要是幾何上的特征。由一個新的坐標系引入的補充特征主要是幾何上的特征。5-1任務(wù)在通用微分方程中將對流項考慮進去，只要對流項的加入不改變離散化的形式，同樣的處理方法仍然適用。本章任務(wù)是：在已知的流場（即速度分量和密度）的情況下，求得對φ的解。已知流場必須滿足連續(xù)性方程：第五章對流與擴散通用微分方程也可以改寫為：對于已知的、uj、以及S的分布，任何解φ及其變體（φ

加一常量）將同時滿足方程，關(guān)于系數(shù)和的基本原則仍然適用。5-1任務(wù)第五章對流與擴散通用微分方程對于已知的討論只有對流與擴散這兩項存在的情況下的一維穩(wěn)態(tài)問題。控制微分方程：應(yīng)用圖示三網(wǎng)點群：5-2一維穩(wěn)態(tài)對流與擴散PWExweDx(dx)w(dx)e討論只有對流與擴散這兩項存在的情況下的一維穩(wěn)態(tài)問題。5-2-

預(yù)備性的推導(dǎo)在整個控制容積內(nèi)對方程（5.4）積分：由對φ的一個分段線性分布表示項Γdφ/dx。結(jié)果是：因子1/2出自界面位于中點的假設(shè)；對不同的界面位置要采用其它內(nèi)插因子。則方程（5.6）寫成：FxPWEweFpFwFE-預(yù)備性的推導(dǎo)在整個控制容積內(nèi)對方程（5.4）積分：Fx定義兩個新的符號：兩者具有相同因次，

F表示對流或流動的強度；D是擴散傳導(dǎo)性。（注意，D永遠為正，而F不同）離散化方程變?yōu)?定義兩個新的符號：討論由于連續(xù)性Fe=Fw，得到ap=aE+aW上述離散化方程隱含著φ分段線性分布——中心差分假定De=Dw=1及Fe=Fw＝4，則 若φE＝200及φW＝100，φP＝50

若φE＝100及φW＝200，φP＝250方程（5.11)表明系數(shù)可能出現(xiàn)負值。當|F|小于2D時，系數(shù)才可能始終為正，即中心差分只能限于低Reynold數(shù)流動。若擴散項為零，則中心差分格式導(dǎo)致ap=0，無法使用逐點法求解討論由于連續(xù)性Fe=Fw，得到ap=aE+aW-

上風(fēng)方案亦稱為上風(fēng)差分格式、迎風(fēng)格式、上游差分格式以及供體（施主）室法等。方案認為預(yù)備性公式的弱點在于假設(shè)：界面上的對流性質(zhì)φe

是φE和φP的平均值。提出：保留擴散項的公式不變，而對流項則按下列假設(shè)計算：界面上φ的值等于界面上風(fēng)側(cè)網(wǎng)格點上的φ值。于是類似方法可確定φw值。定義代表A，B中大者。則上風(fēng)方案意味：離散化方程可寫為：-上風(fēng)方案亦稱為上風(fēng)差分格式、迎風(fēng)格式、上游差分格式以及不會產(chǎn)生負的系數(shù)；可以把這個方案說成是建立在“槽與管”的模型基礎(chǔ)上，管內(nèi)的流體不會“知道”將要流入那個槽內(nèi)的任何情況，但它卻攜帶了它所來自那個槽內(nèi)的全部信息。這就是上風(fēng)方案的本質(zhì)。不會產(chǎn)生負的系數(shù)；精確解(Exactsolution)如果Γ取作常數(shù)，且邊界條件為：則其中為貝克列數(shù)（PecletNumber），是對流與擴散強度之比。精確解(Exactsolution)不同的貝克列數(shù)時的φ~x變化如圖

P為0的極限條件下，問題成了純擴散（或熱傳導(dǎo)）問題。除非lPllPl值非常小，曲線均偏離線性很遠。當lPl值很大時，符合上風(fēng)方案假設(shè)，但上風(fēng)方案假設(shè)用于所有l(wèi)Pl。當lPl值很大時，x=L/2處d/dx幾乎為0，擴散幾乎不存在。上風(fēng)方案總是由一線性的～x分布計算擴散項，從而在大的lPl值條件下過高估計了擴散項。xFFLFoLP<<-1P=1P=0P>>1P=-1不同的貝克列數(shù)時的φ~x變化如圖P為0的極限條件下，問題成-

指數(shù)方案由對流流量密度和擴散流量密度所組成的總流量密度由dJ/dx=0，在整個控制容積內(nèi)積分，得到：可推得Je表達式：同理得到Jw表達式代入，寫成標準形式：

在應(yīng)用于一維穩(wěn)態(tài)問題時，該指數(shù)方案保證得到精確解。但：費時；對于二維、三維及源項不為零時，不準確。-指數(shù)方案由對流流量密度和擴散流量密度所組成的總流量密度-

混合方案由可以看到aE/De準確變化的某些特殊性質(zhì)：代表這些極限情況的三條直線如圖中所示，它們構(gòu)成準確曲線的一根包絡(luò)，并代表著這一準確曲線的合理近似?；旌戏桨笇嶋H就是有著三條直線組成。-混合方案代表這些極限情況的三條直線如圖中所示，它們構(gòu)成用特殊符號代表其中包含的所有量的最大值。于是

在貝克列數(shù)為-2≤Pe≤2時，混合方案同中心差分格式一致；在該范圍之外，混合方案簡化為上風(fēng)方案?？砂鸦旌戏桨傅膶α?擴散離散化方程寫成：用特殊符號代表其中包含的所有量的最-

冪函數(shù)方案在Pe=±2時，混合方案偏離準確曲線相當大，一個更好的近似由冪函數(shù)方案給定。aE的冪函數(shù)表達式可以寫成：緊湊形式可以寫作：冪函數(shù)與準確的指數(shù)方案之間的差異非常小。-冪函數(shù)方案在Pe=±2時，混合方案偏離準確曲線相當大，-

一個通用化的公式討論圖中所示由距離δ分開的網(wǎng)格點i和i+1。有：建議：α、β是與P有關(guān)的無因次乘數(shù)，這樣，就有：其中A、B是無因次系數(shù)。它們是貝克列數(shù)的函數(shù)。-一個通用化的公式討論圖中所示由距離δ分開的網(wǎng)格點i和i如果φi和φi+1相等，擴散流為0，就有B=A+P。如果將坐標軸方向反轉(zhuǎn)，有A(-P)=B(P)或B(-P)=A(P)。A和B隨貝