平面向量的基本定理

關(guān)于平面向量的基本定理第一頁，共十五頁，2022年，8月28日學(xué)習(xí)目標(biāo)：重點(diǎn)：平面向量基本定理的應(yīng)用.難點(diǎn)：平面向量基本定理的理解.1．了解平面向量基本定理的證明．2.掌握平面向量基本定理及其應(yīng)用.

第二頁，共十五頁，2022年，8月28日

請同學(xué)們回顧向量的加法、減法和實(shí)數(shù)與向量的積，以及向量共線定理.1.三角形法則：2.平行四邊形法則：CBAABCD一.向量的加法：首尾相接同一起點(diǎn)，連對角。二.向量的減法：BAD同起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減向量。第三頁，共十五頁，2022年，8月28日1.當(dāng)時：2.當(dāng)時：3.當(dāng)時：與方向相同。方向：長度：與方向相反。二、向量共線定理:

向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實(shí)數(shù)，使得：

第四頁，共十五頁，2022年，8月28日今天我們繼續(xù)來學(xué)習(xí)有關(guān)向量的知識：設(shè)、是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，是這一平面內(nèi)的向量，我們研究與、之間的關(guān)系？首先，請大家在用平行四邊形法則作出、、第五頁，共十五頁，2022年，8月28日BOAMNC我們一起來作圖（平行四邊形法則：起點(diǎn)相同）㈠在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作㈡過點(diǎn)C作平行于直線OB的直線，與直線OA相交于M；過點(diǎn)C作平行于直線OA的直線，與直線OB相交于N；你們得到了什么？現(xiàn)在要找與，與的關(guān)系，它們有什么樣的關(guān)系呢？

原來與共線；與共線。思考：我們能否用，把表示出來呢？所以有且只有一個實(shí)數(shù),使得：

有且只有一個實(shí)數(shù),使得：即第六頁，共十五頁，2022年，8月28日思考2：是否這一平面內(nèi)的任一向量都可以用，來表示呢？

這樣，以與為基礎(chǔ)，我們可以表示這一平面內(nèi)的所有向量，我們就把這兩個向量叫做：表示這一平面內(nèi)所有向量的基底.(2)對你給的這兩個向量有什么要求？思考3：(1)

這一平面內(nèi)所有向量的基底是否唯一呢？大家作圖驗(yàn)證是否可以由其它兩個向量來表示？我們得到：(1)基底不唯一；

(2)要求這兩個向量不共線；

(3)如果基底選定，則，唯一確定,可以為零.(3)如果基底選定，，能唯一確定嗎？能為零嗎?我們得到：這一平面內(nèi)的任一向量都可以表示成：第七頁，共十五頁，2022年，8月28日

既然這兩個向量這么特別，我們一般用，表示.通過我們的努力，得到了：平面向量基本定理

如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，，使

我們把不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.特別的：時,時,，與共線.時,，與共線.第八頁，共十五頁，2022年，8月28日例1已知向量、，求作向量.作法:(1)任取一點(diǎn)O,作(2)作平行四邊形OACBBOAC于是就是.例2

如右圖示，平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點(diǎn)M，且，用，表示、、和.分析:因?yàn)锳BCD為平行四邊形可知M為AC與BD的中點(diǎn).所以第九頁，共十五頁，2022年，8月28日解:在平行四邊形ABCD中又說明:我們在做有關(guān)向量的題型時,要先找清楚未知向量和已知向量間的關(guān)系,認(rèn)真分析未知與已知之間的相關(guān)聯(lián)系,從而使問題簡化.第十頁，共十五頁，2022年，8月28日例3

如右圖,、不共線，

,用、表示.分析：求，由圖可知而解：說明：同上題一樣，我們要找到與未知相關(guān)連的量，來解決問題，避免做無用功！第十一頁，共十五頁，2022年，8月28日課堂練習(xí)：一、下列說法中，正確的有：（）

1）一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可以作為表示該平面所有向量的基底；

2）一個平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可以作為表示該平面所有向量的基底；

3）零向量不可以為基底中的向量.2、3二、已知ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，試用，表示.解：第十二頁，共十五頁，2022年，8月28日

三、如圖，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2DC,M、N分別是DC、AB的中點(diǎn).

請大家動手,從圖中的線段AD、AB、BC、DC、MN對應(yīng)的向量中確定一組基底，將其它向量用這組基底表示出來.ANMCDB第十三頁，共十五頁，2022年，8月28日

三、如圖，已知梯形ABCD，AB//CD，且AB=2D