《近世代數(shù)》模擬試題2與答案

近世代數(shù)模擬試題一、單項(xiàng)選擇題(每題5分，共25分)1、在整數(shù)加群（Z，＋）中，下列那個(gè)是單位元（A0B1C－1D1/n，n是整數(shù)2、下列說(shuō)法不正確的是（AG只包含一個(gè)元，乘法是gg＝g。G對(duì)這個(gè)乘法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群BG是全體整數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群CG是全體有理數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群DG是全體自然數(shù)的集合，G對(duì)普通加法來(lái)說(shuō)作成一個(gè)群3、下列敘述正確的是（A群G是指一個(gè)集合B環(huán)R是指一個(gè)集合C群G是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在D環(huán)R是指一個(gè)非空集合和一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，滿足結(jié)合律，并且單位元，逆元存在4、如果集合M的一個(gè)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系，則不一定具備的是()。A反身性B對(duì)稱性C傳遞性D封閉性5、下列哪個(gè)不是3的共軛類()。A（1）B（12313223）C（123132）D（1223）二、計(jì)算題(每題10分，共30分)1.求＝{（1213）}在三次對(duì)稱群3的正規(guī)化子和中心化子。近世代數(shù)試題第1頁(yè)共7頁(yè)2.設(shè)G＝{1，－1，i，－i}，關(guān)于數(shù)的普通乘法作成一個(gè)群，求各個(gè)元素的階。3.設(shè)R是由一切形如x,y（x，y是有理數(shù)）方陣作成的環(huán)，求出其右零因子。近世代數(shù)試題第2頁(yè)共7頁(yè)三、證明題(每小題15分，共45分)1、設(shè)R是由一切形如x,0y,0（x，y是有理數(shù)）方陣作成的環(huán)，證明是其零因子。2、設(shè)Z是整數(shù)集，規(guī)定·b＝＋b－3。證明：Z對(duì)此代數(shù)運(yùn)算作成一個(gè)群，并指出其單位元。近世代數(shù)試題第3頁(yè)共7頁(yè)3Z和普通加法構(gòu)成的（近世代數(shù)試題第4頁(yè)共7頁(yè)近世代數(shù)模擬試題答案一、單項(xiàng)選擇題(每題5分，共25分)．A．D．C．D．B二、計(jì)算題(每題10分，共30分)．解：正規(guī)化子N（）＝{（1）}6分）中心化子C（S）＝{（）}4分）．解：群G中的單位元是2分）1的階是，－1的階是，i和－i的階是×2分）．解：設(shè)其右零因子為a,b2分）所以x,ya,b＝xb＝3分）因?yàn)閤任意，所以＝＝3分）因此右零因子為2分）三、證明題(每小題15分共45分)．證明：設(shè)其右零因子為a,0b,02分）近世代數(shù)試題第5頁(yè)共7頁(yè)所以y,0a,0＝＝05分）因?yàn)閤，y任意，所以＝＝08分）同理設(shè)其右零因子為a,0b,010分）所以b,0y,0＝＝012分）因?yàn)閤，y任意，所以＝＝014分）因此零因子為15分）．明：首先該代數(shù)運(yùn)算封閉。3分）a·bc＝（a＋b－3c＝（a＋b－3）＋c－3＝ab＋c－3）－3）＝a·（b·c立6分）令e＝3，驗(yàn)證a·e＝a＋e－3＝a，有單位元7分）對(duì)任意元素，－a是其逆元，因?yàn)椤ぃǎ?8分）因此，Z對(duì)該運(yùn)算作成一個(gè)群。顯然，單位元是＝310分）．證明：首先證明（，＋）是群，滿足結(jié)合律，對(duì)任意的xZ，x00xx，0是運(yùn)算的單位元又由于：xxxx01x所以x,從而（，＋）為群。2分）由于滿足交換律，所以（，＋）是交換群4分）（，＋）的單位元為0，15分）對(duì)于1Z，由于1+（-1）=0，所以11于是對(duì)任意kZ，近世代數(shù)試題第6頁(yè)共7頁(yè)0；若k0，則：10k111若k0，則k18分）若k0，則k