電磁波第8章課件

8.1引言

8.2基本振子(ShortDipole)的輻射

8.3發(fā)射天線的電參數(BasicAntennaParameters)

8.4互易定理與接收天線的電參數

8.5對稱振子(SymmetricalCenter－FedDipole)

8.6天線陣(Arrays)的方向性

8.7對稱振子陣的阻抗特性

8.8無限大理想導電反射面對天線電性能的影響第8章天線基礎知識盡管天線問題就是具有復雜邊界條件的電磁場邊值問題，但是在天線領域里，有著自己獨特的語言和文化。本章是天線理論的入門，在這一章中，讀者將從最小的微元——基本振子的輻射開始，熟悉天線的描述語言，理解最簡單的空間功率合成概念，為步入奇妙的天線世界打下基礎。8.1引言8.2.1電基本振子的輻射

電基本振子(ElectricShortDipole)又稱電流元，它是指一段理想的高頻電流直導線。

其長度l遠小于波長λ，其半徑a遠小于l，沿l上的電流振幅相等，相位相同，因此其上的電流瞬時值可表示為i(t)=Icosωt。8.2基本振子(ShortDipole)的輻射圖8-2-1電基本振子的坐標則電流元產生的磁場強度為

(8-2-3a)其中

(8-2-3b)

再由麥克斯韋方程，可得電場強度如下所示

(8-2-4)

1)近區(qū)場

kr<<1，即的區(qū)域稱為近區(qū)，在此區(qū)域內

，因此忽略式(8-2-3)與式(8-2-4)中的項，并且認為e－jkr≈1，電基本振子的近區(qū)場表達式為

(8-2-5)由上式可見，遠區(qū)場的性質與近區(qū)場的性質完全不同，場強只有兩個相位相同的分量(Eθ、Hφ)，其電力線分布如圖8-2-2所示，場矢量如圖8-2-3所示。圖8-2-3電基本振子遠區(qū)場(2)傳播方向上電磁場的分量為零，故稱其為橫電磁波，記為TEM波。

(3)Eθ和Hφ的比值為常數，稱為媒質的波阻抗，記為η。對于自由空間有

(8-2-8)

這一關系說明在討論天線輻射場時，只要掌握其中一個場量，另一個即可用上式求出，通常總是采用電場強度作為分析的主體。(4)Eθ和Hφ與sinθ成正比，說明電基本振子的輻射具有方向性，輻

射場不是均勻球面波。由此，任何實際的電磁輻射絕不可能具有完全的球對稱性，這也是所有輻射場的普遍特性。

電偶極子向自由空間輻射的總功率稱為輻射功率Pr，它等于坡印廷矢量在任一包圍電偶極子的球面上的積分，即

(8-2-9)既然輻射出去的能量不再返回波源，為方便起見，將天線輻射的功率等效成被一個等效電阻所完全吸收，這個等效電阻就稱為輻射電阻Rr。仿照電路理論的相應關系式，可以得出：

其中，Rr稱為該天線歸算于(也叫歸于)電流I的輻射電阻，這里I是電流的振幅值。將上式代入式(8-2-9)，可得電基本振子的輻射電阻為

(8-2-11)(8-2-10)

8.2.2磁基本振子的輻射

磁基本振子(MagneticShortDipole)又稱磁流元、磁偶極子。盡管它是虛擬的，迄今為止還未發(fā)現有孤立的磁荷和磁流存在，但是它可以與一些實際波源相對應。例如下面要介紹的小環(huán)天線就可以等效為磁偶極子，用此概念可以簡化計算，因此對它的討論是很有必要的。

如圖8-2-4所示，設想一段長為l(l<<λ)的磁流元Iml置于球坐標系原點，根據電磁對偶性原理，只需要進行如下變換：圖8-2-4磁基本振子的坐標磁基本振子的實際模型是小電流環(huán)，如圖8-2-5所示，它的周長遠小于波長，而且環(huán)上的諧變電流I的振幅和相位處處相同。

如圖8-2-6所示，此小電流環(huán)所對應的磁矩為

pm=μ0IS(8-2-14)

式中，S為環(huán)面積矢量，方向由環(huán)電流I按右手螺旋定則確定。圖8-2-5置于xOy平面上的小電流環(huán)若求小電流環(huán)遠區(qū)的輻射場，我們可把磁矩看成一個時變的磁偶極子，磁極上的磁荷是+qm、－qm，它們之間的距離是l。磁荷之間有假想的磁流Im以滿足磁流的連續(xù)性，則磁矩又可表示為

pm=qml(8-2-15)

式中，l的方向與環(huán)面積矢量的方向一致。

比較式(8-2-14)和式(8-2-15)，得，又因為

，因此用復數表示的磁流元為

Iml=jωμ0sI(8-2-16)將式(8-2-16)代入式(8-2-13)，可得小電流環(huán)的遠區(qū)場為

(8-2-17)

小電流環(huán)是一種實用天線，稱之為環(huán)型天線。事實上，對于一個很小的環(huán)來說，如果環(huán)的周長遠小于λ/4，則該天線的輻射場方向性與環(huán)的實際形狀無關，即環(huán)可以是矩形、三角形或其他形狀的。8.3.1方向函數

由電基本振子的分析可知，天線輻射出去的電磁波雖然是一球面波，但卻不是均勻球面波。因此，任何一個天線的輻射場都具有方向性。8.3發(fā)射天線的電參數(BasicAntennaParameters)所謂方向性，就是在相同距離的條件下天線輻射場的相對值與空間方向(子午角θ、方位角φ)的關系，如圖8-3-1所示。

若天線輻射的電場強度為E(r，θ，φ)，把電場強度(絕對值)寫成

式中，I為歸算電流，對于駐波天線，通常取波腹電流Im作為歸算電流；f(θ，φ)即為場強方向函數。因此，方向函數可定義為

(8-3-2)(8-3-1)圖8-3-1空間方位角由此，電基本振子的歸一化方向函數為

(8-3-5)

為了分析和對比方便，今后我們定義理想點源是無方向性天線，它在各個方向上、相同距離處產生的輻射場的大小是相等的，因此，它的歸一化方向函數為

F(θ，φ)=1(8-3-6)8.3.2方向圖(FileldPattern)

式(8-3-2)定義了天線的場強方向函數f(θ，φ)，將方向函數f(θ，φ)作為球坐標系中的矢徑r，并將對應(θ，φ)的曲面描繪出來就是天線的場強方向圖。方向圖是直觀表征天線方向特性的圖形。依據歸一化方向函數而繪出的為歸一化方向圖。

對于電基本振子，由于歸一化方向函數F(θ,φ)=|sinθ|，所以其立體方向圖如圖8-3-2所示。圖8-3-2基本振子立體方向圖在實際中，工程上常常采用兩個特定正交平面方向圖。在自由空間中，兩個最重要的平面方向圖是E面和H面方向圖。E面即電場強度矢量與最大傳播方向構成的平面；H面即磁場強度矢量與最大傳播方向構成的平面。

對于球坐標系中的沿z軸放置的電基本振子而言，E面即為包含z軸的任一平面，例如yOz面，此面的方向函數FE(θ)=|sinθ|。而H面即為xOy面，此面的方向函數FH(φ)=1，據此繪出的E和H面的歸一化方向圖如圖8-3-3和圖8-3-4的實線所示，E面和H面方向圖就是立體方向圖沿E面和H面兩個主平面的剖面圖。圖8-3-3電基本振子E平面方向圖圖8-3-4電基本振子H平面方向圖有時還需要討論輻射的功率密度(坡印廷矢量模值)與方向之間的關系，因此引進功率方向圖Φ(θ，φ)(PowerPattern)。容易得出，它與場強方向圖之間的關系為

Φ(θ，φ)＝F2(θ，φ)(8-3-7)

電基本振子E平面功率方向圖如圖8-3-3中的虛線所示。8.3.3方向圖參數

實際天線的方向圖要比電基本振子的復雜，通常有多個波瓣，可細分為主瓣、副瓣和后瓣，如圖8-3-5所示。圖8-3-5天線方向圖的一般形狀用來描述方向圖的參數通常有以下幾個：

(1)零功率點波瓣寬度2θ0E或2θ0H(BeamWidthbetweenFirstNulls，BWFN，下標E、H表示E面、H面，下同)是指主瓣最大值兩邊兩個零輻射方向之間的夾角。

(2)半功率點波瓣寬度2θ0.5E或2θ0.5H(HalfPowerBeamWidth，HPBW)是指主瓣最大值兩邊場強等于最大值的0.707倍(或等于最大功率密度的一半)的兩輻射方向之間的夾角，又叫3dB波束寬度。如果天線的方向圖只有一個強的主瓣，其他副瓣均較弱，則它的定向輻射性能的強弱就可以從兩個主平面內的半功率點波瓣寬度來判斷。(3)副瓣電平(SideLobeLever)是指副瓣最大值與主瓣最大值之比，一般以分貝(dB)表示，即

(8-3-8)

上式中，Sav，max2和Sav，max分別為最大副瓣和主瓣的功率密度最大值；Emax2和Emax分別為最大副瓣和主瓣的場強最大值。副瓣一般指向不需要輻射的區(qū)域，因此要求天線的副瓣電平應盡可能地低。

(4)前后比是指主瓣最大值與后瓣最大值之比，通常也用分貝表示。8.3.4方向系數(Directivity)

上述方向圖參數僅直觀地描述了天線方向圖的形狀，還不能體現天線的定向輻射能力。為了更精確地比較不同天線之間的方向性，需要引入一個能定量地表示天線定向輻射能力的電參數，這就是方向系數。方向系數的定義是：在同一距離及相同輻射功率的條件下，某天線在最大輻射方向上的輻射功率密度Smax(或場強|Emax|2的平方)和無方向性天線(點源)的輻射功率密度S0(或場強E0|2的平方)之比，記為D。用公式表示為如下形式

(8-3-9)因為無方向性天線在r處產生的輻射功率密度為

(8-3-10)

所以由方向系數的定義得

(8-3-11)

由此，在最大輻射方向上有

(8-3-12)上式表明天線的輻射場與PrD的平方根成正比，所以對于不同的天線，若它們的輻射功率相等，則同在最大輻射方向等距離處的觀察點，輻射場之比為

(8-3-13)

若要求它們在同一r處觀察點輻射場相等，則要求

(8-3-14)天線的輻射功率可由坡印廷矢量積分法來計算，此時可在天線的遠區(qū)以r為半徑做出包圍天線的積分球面，表示為

(8-3-15)

(8-3-16)

所以，由式(8-3-9)可得

(8-3-17)由天線的歸一化方向函數式(8-3-4)可知

方向系數最終計算公式為

(8-3-18)

例8-3-1求出沿z軸放置的電基本振子的方向系數。

解已知電基本振子的歸一化方向函數為

F(θ，φ)=|sinθ|

將其代入方向系數的表達式得

若以分貝表示，則D=10lg1.5=1.76dB。可見，電基本振子的方向系數是很低的。

為了強調方向系數是以無方向性天線作為比較標準得出的，有時將dB寫成dBi，以示說明。當副瓣電平較低時(－20dB以下)，可根據兩個主平面的波瓣寬度來近似估算方向系數，即

(8-3-19)

如果需要計算天線其他方向上的方向系數D(θ，φ)，則可以很容易得出它與天線的最大方向系數Dmax的關系為

(8-3-20)8.3.5天線效率(Efficiency)

一般來說載有高頻電流的天線導體及其絕緣介質都會產生損耗，因此輸入天線的實功率并不能全部地轉換成電磁波能量，為了說明這種能量轉換的有效程度，天線效率定義為天線輻射功率Pr與輸入功率Pin之比，記為ηA，即

(8-3-21)輻射功率與輻射電阻之間的聯系公式為，依據電場強度與方向函數的聯系公式(8-3-1)，則輻射電阻的一般表達式為

(8-3-22)

與方向系數的計算公式(8-3-18)對比后，方向系數與輻射電阻之間的聯系為

(8-3-23)類似于輻射功率和輻射電阻之間的關系，也可將損耗功率Pl與損耗電阻Rl聯系起來，即

(8-3-24)

Rl是歸算于電流I的損耗電阻，這樣就有

(8-3-25)值得提出的是，這里定義的天線效率并未包含天線與傳輸線失配引起的反射損失，考慮到天線輸入端的電壓反射系數為Γ，則天線的總效率為

ηΣ=(1－|Γ|2)Ηa

(8-3-26)8.3.6增益系數(Gain)

方向系數只是衡量天線定向輻射特性的參數，它只取決于方向圖；天線效率則表示了天線在能量上的轉換效能；而增益系數則同時表示天線的定向收益程度。

增益系數的定義是：在同一距離及相同輸入功率的條件下，某天線在最大輻射方向上的輻射功率密度Smax(或場強|Emax|2的平方)和理想無方向性天線(理想點源)的輻射功率密度S0(或場強|E0|2的平方)之比，記為G。用公式表示如下

(8-3-27)

上式中Pin、Pin0分別為實際天線和理想無方向性天線的輸入功率。理想無方向性天線本身的增益系數為1?？紤]到效率的定義，在有耗情況下，功率密度為無耗時的ηA倍，式(8-3-27)可改寫為

(8-3-28)

即

G=ηAD(8-3-29)根據上式，可將式(8-3-12)改寫為

(8-3-30)8.3.7天線的極化(Polarization)

天線的極化是指該天線在給定方向上遠區(qū)輻射場的極化，一般特指該天線在最大輻射方向上的極化。實際上，天線的極化隨著偏離最大輻射方向的改變而改變，天線在不同輻射方向可以有不同的極化。

所謂輻射場的極化是指時變電場矢量端點運動的軌跡的形狀、取向和旋轉方向。由此，極化方式可分為線極化、圓極化和橢圓極化，其中圓極化還可以根據其旋轉方向分為右旋圓極化和左旋圓極化。在天線技術中，就圓極化而言，一般規(guī)定，若右手的拇指朝向波的傳播方向、四指彎向電場矢量的旋轉方向，則電場矢量端點的旋轉方向與傳播方向符合右手螺旋的為右旋圓極化；符合左手螺旋的為左旋圓極化。(典型極化的示意圖形請參閱第3章均勻平面波的極化)。天線不能接收與其正交的極化分量。例如，線極化天線不能接收來波中與其極化方向垂直的線極化波，圓極化天線不能接收來波中與其旋向相反的圓極化分量。而對于橢圓極化來說，其中與接收天線的極化旋向相反的圓極化分量不能被接收，極化失配意味著功率損失。8.3.8有效長度(EffectiveLength)

一般而言，天線上的電流分布是不均勻的，也就是說天線上各部位的輻射能力不一樣。為了衡量天線的實際輻射能力，常采用有效長度。它的定義是：在保持實際天線最大輻射方向上的場強值不變的條件下，假設天線上的電流分布為均勻分布時天線的等效長度。通常將歸算于輸入電流Iin的有效長度記為lein。如圖8-3-6所示，設實際長度為l的某天線的電流分布為I(z)，此時該天線在最大輻射方向產生的電場為沿線電基本振子輻射場最大值的疊加，即

(8-3-31)圖8-3-6天線的有效長度若以該天線的輸入端電流Iin為歸算電流，則電流以Iin為均勻分布、長度為lein時天線在最大輻射方向產生的電場可類似電基本振子寫為

(8-3-32)

令上兩式相等，得

(8-3-33)引入有效長度以后，考慮到電基本振子的最大場強的計算，可寫出線天線輻射場強的一般表達式為

(8-3-34)

將式(8-3-23)與上式結合起來，還可得出方向系數與輻射電阻、有效長度之間的關系式為

(8-3-35)8.3.9輸入阻抗與輻射阻抗(InputResistanceandRadiationResistance)

天線通過傳輸線與發(fā)射機相連，天線作為傳輸線的負載，與傳輸線之間存在阻抗匹配問題。天線與傳輸線的連接處稱為天線的輸入端，天線輸入端呈現的阻抗值定義為天線的輸入阻抗，即天線的輸入阻抗Zin為天線的輸入端電壓與電流之比，表示為

(8-3-36)

天線的輸入阻抗取決于天線的結構、工作頻率以及周圍環(huán)境的影響。輸入阻抗的計算是比較困難的，因為它需要準確地知道天線上的激勵電流。除了少數天線外，大多數天線的輸入阻抗在工程中采用近似計算或實驗測定。

事實上，在計算天線的輻射功率時，如果將計算輻射功率的封閉曲面設置在天線的近區(qū)內，用天線的近區(qū)場進行計算，則所求出的輻射功率Pr同樣將含有有功功率及無功

功率。如果引入歸算電流(輸入電流Iin或波腹電流Im)，則輻射功率與歸算電流之間的關系為

(8-3-37)

式中,Zr0、Zrm分別為歸于輸入電流和波腹電流的輻射阻抗；Rr0、Rrm、Xr0、Xrm也為相應的輻射電阻和輻射電抗。由此，輻射阻抗是一個假想的等效阻抗，其數值與歸算電流有關。歸算電流不同，輻射阻抗的數值也不同。8.3.10頻帶寬度(Bandwidth)

天線的所有電參數都和工作頻率有關。任何天線的工作頻率都有一定的范圍，當工作頻率偏離中心工作頻率時，天線的電參數將變差，其變差的容許程度取決于天線設備系統(tǒng)的工作特性要求。當工作頻率變化時，天線的有關電參數變化的允許程度而對應的頻率范圍稱為頻帶寬度。根據天線設備系統(tǒng)的工作場合不同，影響天線頻帶寬度的主要電參數也不同。根據頻帶寬度的不同，可以把天線分為窄頻帶天線、寬頻帶天線和超寬頻帶天線。若天線的最高工作頻率為fmax，最低工作頻率為fmin，對于窄頻帶天線，常用相對帶寬即

來表示其頻帶寬度。

而對于超寬頻帶天線，常用絕對帶寬即來表示其頻帶寬度。

通常，相對帶寬只有百分之幾的為窄頻帶天線，例如引向天線；相對帶寬達百分之幾十的為寬頻帶天線，例如螺旋天線；絕對帶寬可達到幾個倍頻程的稱為超寬頻帶天線，例如對數周期天線。8.4.1互易定理

接收天線工作的物理過程是：天線導體在空間電場的作用下產生感應電動勢，并在導體表面激勵起感應電流，在天線的輸入端產生感應電動勢，在接收機回路中產生電流。所以接收天線是一個把空間電磁波能量轉換成高頻電流能量的轉換裝置，其工作過程就是發(fā)射天線的逆過程。8.4互易定理與接收天線的電參數如圖8-4-1所示，接收天線總是位于發(fā)射天線的遠區(qū)輻射場中，因此可以認為到達接收天線處的無線電波是均勻平面波。設來波方向與天線軸z之間的夾角為θ，電波射線與天線軸構成入射平面，入射電場可分為兩個分量，一個是與入射面相垂直的分量Ev；一個是與入射面相平行的分量Eh。只有同天線軸相平行的電場分量Ez=－Ehsinθ才能在天線導體dz段上產生感應電動勢，進而在天線上激起感應電流I(z)。如果將dz段看成是一個處于接收狀態(tài)的電基本振子，則可以看出無論電基本振子是用于發(fā)射還是接收，其方向性都是一樣的。圖8-4-1接收天線原理由于天線無論作為發(fā)射還是作為接收，應該滿足的邊界條件都是一樣的，這就意味著任意類型的天線用作接收天線時，它的極化、方向性、有效長度和阻抗特性等均與它用作發(fā)射天線時的相同。這種同一天線收發(fā)參數相同的性質被稱為天線的收發(fā)互易性，它可以用電磁場理論中的互易定理得到證明。

盡管天線電參數收發(fā)互易，但是發(fā)射天線的電參數以輻射場的大小為衡量目標，而接收天線卻以來波對接收天線的作用，即總感應電動勢的大小為衡量目標。接收天線的等效電路如圖8-4-2所示。圖8-4-2接收天線的等效電路8.4.2有效接收面積(EffectiveAperture)

有效接收面積是衡量接收天線接收無線電波能力的重要指標。接收天線的有效接收面積的定義為：當天線以最大接收方向對準來波方向進行接收時，并且天線的極化與來波極化相匹配、天線的輸入阻抗與接收機體現的負載阻抗共軛匹配時，接收天線送到匹配負載的最大平均功率PLmax與來波的功率密度Sav之比，記為Ae，即

(8-4-1)由于PLmax=Ae×Sav，所以接收天線在此最佳狀態(tài)下所接收到的功率可以看成是被具有面積為Ae的口面所截獲的垂直入射波功率密度的總和?？梢苑治龅弥藭r天線的有效接收面積最大且為

(8-4-2)如圖8-5-1所示，對稱振子是中間饋電，其兩臂由兩段等長導線構成的振子天線。導線半徑為a，一臂的長度為l。兩臂之間的間隙很小，理論上可忽略不計，所以振子的總長度L=2l。對稱振子的長度與波長相比擬，可以構成實用天線。8.5對稱振子(SymmetricalCenter－FedDipole)圖8-5-1對稱振子結構及坐標圖8.5.1電流分布

若想分析對稱振子的輻射特性，必須首先知道它的電流分布。為了精確地求解對稱振子的電流分布，需要采用數值分析方法，計算比較麻煩。實際上，細對稱振子天線可以看成是由末端開路的傳輸線張開形成，理論和實驗都已證實，細對稱振子的電流分布與末端開路線上的電流分布相似，即非常接近于正弦駐波分布。若取圖8-5-1的坐標，并忽略振子損耗，則其形式為

(8-5-1)圖8-5-2繪出了理想正弦分布和依靠數值求解方法(矩量法)計算出的細對稱振子上的電流分布，后者大體與前者相似，但二者也有明顯差異，特別在振子中心附近和波節(jié)點處的差別更大。這種差別對輻射場的影響不大，但對近場計算(例如輸入阻抗)有重要影響。圖8-5-2對稱振子電流分布(理想正弦分布與矩量法計算結果)8.5.2對稱振子的輻射場

確定了對稱振子的電流分布以后，就可以計算它的輻射場。

欲計算對稱振子的輻射場，可將對稱振子分成無限多電流元，對稱振子的輻射場就是所有電流元輻射場之和。在圖8-5-3的坐標系中，由于觀察點P(r，θ)距對稱振子足夠遠，所以每個電流元到觀察點的射線近似平行，因而各電流元在觀察點處產生的輻射場矢量方向也可被認為相同，和電基本振子一樣，對稱振子仍為線極化天線。如圖8-5-3所示，在對稱振子上距中心z處取電流元段dz，它對遠區(qū)場的貢獻為

(8-5-2)

由于上式中的r與r′可以看作互相平行，因而以從坐標原點到觀察點的路徑r為參考時，r′與r的關系為

r′≈r－zcosθ(8-5-3)圖8-5-3對稱振子輻射場的計算將式(8-5-2)沿振子全長作積分

(8-5-4)

此式說明，對稱振子的輻射場仍為球面波，其極化方式仍為線極化，輻射場的方向性不僅與θ有關，也和振子的電長度有關。根據方向函數的定義式(8-3-2)，對稱振子以波腹電流歸算的方向函數為

(8-5-5)

上式實際上也就是對稱振子E面的方向函數，在對稱振子的H面上(θ=90°的xOy面)，方向函數與φ無關，其方向圖為圓。圖8-5-4繪出了對稱振子E面歸一化方向圖。由圖可見，由于電基本振子在其軸向無輻射，所以對稱振子在其軸向也無輻射，對稱振子的輻射與其電長度l/λ密切相關。當l≤0.5λ時，對稱振子上各點電流同相，因此參與輻射的電流元越多，它們在θ=90°方向上的輻射越強，波瓣寬度越窄。當l>0.5λ時，對稱振子上出現反相電流，也就開始出現副瓣。當對稱振子的電長度繼續(xù)增大至l>0.72λ后，最大輻射方向將發(fā)生偏移。當l=1λ時，在θ=90°的平面內就沒有輻射了。根據方向系數的計算公式和以波腹處電流Im為歸算電流，可計算出方向系數D和輻射電阻Rr與其電長度的關系，如圖8-5-5所示。由此圖可看出，在一定頻率范圍內工作的對稱振子，為保持一定的方向性，一般要求最高工作頻率時，l/λmin<0.7。

在所有對稱振子中，半波振子(l=0.25λ，2l=0.5λ)最具有實用性，它廣泛地應用于短波和超短波波段。它既可以作為獨立天線使用，也可作為天線陣的陣元，還可用作微波波段天線的饋源。將l=0.25λ代入式(8-5-5)可得半波振子的方向函數為

(8-5-6)

其E面波瓣寬度為78°。如圖8-5-5所示，半波振子的輻射電阻為

Rr=73.1(Ω)(8-5-7)

方向系數為

D=1.64(8-5-8)

比電基本振子的方向性稍強一點。圖8-5-4對稱振子E面歸一化方向圖圖8-5-5對稱振子的方向系數與輻射電阻隨一臂電長度變化的圖形8.5.3對稱振子的輸入阻抗

由于對稱振子的實用性，所以必須知道它的輸入阻抗，以便與傳輸線相連。工程上也常常采用“等值傳輸線法”來計算。也就是說考慮到對稱振子與傳輸線的區(qū)別，將對稱振子經過修正等效成傳輸線后，可以借助于傳輸線的阻抗公式來計算對稱振子的輸入阻抗。其結果如圖8-5-6所示，圖中

為對稱振子的平均特性阻抗。對稱振子的輸入阻抗有如下兩個特點：(1)輸入阻抗與傳輸線類似地呈現出振蕩特性，并存在著一系列的諧振點，在這些諧振點上，輸入電抗為零。第一個諧振點位于l/λ≈0.48處，這也是對稱振子的常用長度；第二個諧振點位于l/λ≈0.8~0.9的范圍內，雖然此處的輸入電阻很大，但是頻帶特性不好。

(2)對稱振子越粗，平均特性阻抗Z0A越低，對稱振子的輸入阻抗隨l/λ的變化越平緩，有利于改善頻帶寬度。

應該指出的是，對稱振子輸入端的連接狀態(tài)也會影響其輸入阻抗，在實際測量中，振子的端接條件不同，測得的振子輸入阻抗也會有一定的差別。圖8-5-6對稱振子的輸入阻抗曲線8.6.1二元陣(TwoElementArrays)的方向性

1.方向圖乘積定理(PatternMultiplication)

顧名思義，二元陣是指組成天線陣的單元天線只有兩個，雖然它是最簡單的天線陣列，但是關于其方向性的討論卻適用于多元陣。8.6天線陣(Arrays)的方向性如圖8-6-1所示，假設有兩個間隔距離為d的相似元被放置在y軸上構成一個二元陣，以天線1為參考天線，天線2相對于天線1的電流關系為

I2=mI1ejξ(8-6-1)

由于兩天線的空間取向一致，并且結構完全相同，因此兩天線在遠區(qū)觀察點P(r1，θ，φ)處產生的電場矢量方向相同，且相應的方向函數相等，即

E(θ，φ)=E1(θ，φ)+E2(θ，φ)(8-6-2)

f1(θ，φ)=f2(θ，φ)(8-6-3)圖8-6-1二元陣的輻射仍然選取天線1為相位參考天線，不計天線陣元間的耦合，則觀察點處的合成場為

(8-6-4)

在上式中，令r1－r2=Δr，且

Ψ=ξ+k(r1－r2)=ξ+kΔr(8-6-5)

于是有

E(θ，φ)=E1(θ，φ)(1+mejΨ)(8-6-6)式(8-6-5)中的Ψ代表了天線2在(θ，φ)方向上相對于天線1的總相位差。它由兩部分組成，一個是電流的初始激勵相位差，是一個常數，不隨方位而變；另一個是由路徑差導致的波程差，它與空間方位有關。在圖8-6-1的坐標系中，路徑差為

Δr=dcosδ(8-6-7)根據式(8-6-6)，如果以天線1為計算方向函數的參考天線，將式(8-6-6)的兩邊同時除以60Im1/r1，則天線陣的合成方向函數f(θ，φ)寫為

f(θ，φ)=f1(θ，φ)×fa(θ，φ)(8-6-8)其中

fa(θ，φ)=|1+mejΨ|(8-6-9)式(8-6-8)表明，天線陣的方向函數可以由兩項相乘而得。第一項f1(θ，φ)稱為元因子(PrimaryPattern)，它只與單元天線的結構及架設方位有關；第二項fa(θ，φ)稱為陣因子(ArrayPattern)，取決于兩天線的電流比以及相對位置，與單元天線無關。也就是說，由相似元組成的二元陣，其方向函數(或方向圖)等于單元天線的方向函數(或方向圖)與陣因子(或方向圖)的乘積，這就是方向圖乘積定理。方向圖乘積定理是分析天線陣方向性的理論基礎。當單元天線為點源，即f1(θ，φ)=1時，f(θ，φ)=

fa(θ，φ)。在形成二元陣方向性的過程中，陣因子fa(θ，φ)的作用十分重要。對二元陣來說，由陣因子繪出的方向圖是圍繞天線陣軸線回旋的空間圖形。通過調整間隔距離d和電流比I2/I1，最終調整相位差Ψ(θ，φ)，可以設計方向圖形狀。

由式(8-6-9)，當m為正實數時，陣因子取最大值、最小值的條件分別為

Ψ(θ，φ)=ξ+kΔr=±2nπ，(n=0，1，2，…)時，famax(θ，φ)=1+m(8-6-10)

Ψ(θ，φ)=ξ+kΔr=±(2n－1)π，(n=0，1，2，…)時，famin(θ，φ)=|1－m|(8-6-11)

2.方向圖乘積定理的應用實例

例8-6-1如圖8-6-2所示，有兩個半波振子組成一個平行二元陣，其間隔距離d=0.25λ，電流比，求其E面(yOz)和H面的方向函數及方向圖。

解此題所設的二元陣屬于等幅二元陣m=1，這是最常見的二元陣類型。對于這樣的二元陣，陣因子可以簡化為

(8-6-12)(1)E平面(yOz)。在單元天線確定的情況下，分析二元陣的重要工作就是首先分析陣因子，而陣因子是相位差Ψ的函數，因此有必要先求出E平面(yOz)上的相位差表達式。如圖8-6-3所示，路徑差。

所以相位差為

在δ=0°和δ=180°時，ΨE分別為π和0，這意味著，陣因子在δ=0°和δ=180°方向上分別為零輻射和最大輻射。圖8-6-2例題8-6-1用圖圖8-6-3例題8-6-1E平面坐標圖陣因子可以寫為

而半波振子在E面的方向函數可以寫為

根據方向圖乘積定理，此二元陣在E平面(yoz)的方向函數為

由上面的分析，可以畫出E平面方向圖，如圖8-6-5所示，圖中各方向圖已經歸一化。(2)H平面(xOy)。對于平行二元陣，如圖8-6-4所示，H面陣因子的表達形式和E面陣因子完全一樣，只是半波振子在H面無方向性。應用方向圖乘積定理，直接寫出H面的方向函數為

H面方向圖如8-6-6圖所示。圖8-6-4例題8-6-1H平面坐標圖圖8-6-5例題8-6-1的E平面方向圖圖8-6-6例題8-6-1的H平面方向圖

例8-6-2有兩個半波振子組成一個共線二元陣，其間隔距離d=1λ，電流比Im2=Im1，求其E面(如圖8-6-7)和H面的方向函數及方向圖。

解此題所設的二元陣屬于等幅同相二元陣m=1，ξ=0。相位差Ψ=kΔr。

(1)E平面(yOz)。如圖8-6-7所示，相位差ΨE(δ)=2πcosδ，在δ=0°、90°、180°時，ΨE分別為0(最大輻射)、π(零輻射)、2π(最大輻射)。

陣因子為

fa(δ)=|2cos(πcosδ)|圖8-6-7例題8-6-2的E平面坐標圖根據方向圖乘積定理，此二元陣在E平面(yOz)的方向函數為

E面方向圖如圖8-6-8所示。圖8-6-8例題8-6-2的E平面方向圖(2)H平面(xOz)。如圖8-6-9所示，對于共線二元陣，ΨH(α)=0，H面陣因子無方向性。應用方向圖乘積定理，直接寫出H面的方向函數為fH(α)=1×2=2，所以H面方向圖為圓。圖8-6-9例題8-6-2的H平面坐標及方向圖

例8-6-3有兩個半波振子組成一個平行二元陣，其間隔距離d=0.75λ，電流比，求其方向函數及立體方向圖。

解如圖8-6-10所示，先求陣因子。

路徑差為

Δr=dcosδ=dey·er=dsinθsinφ

所以，總相位差，由式(8-6-12)，陣因子為

圖8-6-10例8-6-3坐標圖根據方向圖乘積定理，陣列方向函數為

圖8-6-11為用MATLAB軟件繪出的此二元陣的歸一化立體方向圖。

通過以上實例的分析可以看出，加大間隔距離d會加大波程差的變化范圍，導致波瓣個數變多；而改變電流激勵初始相差，會改變陣因子的最大輻射方向。常見二元陣陣因子如圖8-6-12所示。圖8-6-11例題8-6-3立體方向圖圖8-6-12二元陣陣因子圖形8.6.2均勻直線陣(UniformLinearArrays)

1.均勻直線陣陣因子

為了更進一步加強陣列天線的方向性，陣元數目需要加多，最簡單的多元陣就是均勻直線陣。所謂均勻直線陣就是所有單元天線結構相同，并且等間距、等幅激勵而相位沿陣軸線呈依次等量遞增或遞減的直線陣。如圖8-6-13所示N個天線元沿y軸排列成一行，且相鄰陣元之間的距離相等都為d，電流激勵為In=In－1ejξ(n=2，3,…,N)，根據方向圖乘積定理，均勻直線陣的方向函數等于單元天線的方向函數與直線陣陣因子的乘積。圖8-6-13均勻直線陣坐標圖設坐標原點(單元天線1)為相位參考點，當電波射線與陣軸線成δ角度時，相鄰陣元在此方向上的相位差為

Ψ(δ)=ξ+kdcosδ(8-6-13)

和二元陣的討論相似，N元均勻直線陣的陣因子為

(8-6-14)上式是一等比數列求和，其值為

(8-6-15)

當Ψ=2mπ(m=0，±1，±2，…)時，陣因子取最大值N；當時，陣因子取零值。對上式歸一化后，得

(8-6-16)圖8-6-14是N元均勻直線陣的歸一化陣因子隨Ψ的變化圖形，稱為均勻直線陣的通用方向圖。由陣因子的分析可以得知，歸一化陣因子Fa(Ψ)是Ψ的周期函數，周期為2π。在Ψ∈［0,2π］的區(qū)間內，函數值為1發(fā)生在Ψ=0,2π處，對應著方向圖的主瓣或柵瓣(該瓣的最大值與主瓣的最大值一樣大)。由于陣因子的分母隨Ψ的變化比分子要慢得多，所以陣因子有N－2個函數值小于1的極大值，發(fā)生在分子為1的條件下，即

(8-6-17)

圖8-6-14均勻直線陣歸一化陣因子隨Ψ的變化圖形此處對應著方向圖副瓣；有N－1個零點，發(fā)生在分子為零而分母不為零時,即

(8-6-18)

由于δ的可取值范圍為0°~180°，與此對應的Ψ變化范圍為

－kd+ξ<Ψ<kd+ξ(8-6-19)

例8-6-4設有一個五元均勻直線陣，間隔距離d=0.35λ，電流激勵相位差ξ=π/2，繪出均勻直線陣陣因子方向圖，同時計算極坐標方向圖中的第一副瓣位置和副瓣電平、第一零點位置。

解相位差，可視區(qū)

－0.2π≤Ψ≤1.2π，歸一化陣因子為

依據F(δ)可以繪出極坐標方向圖。對應圖形見圖8-6-15。圖8-6-15例題8-6-3陣因子方向圖根據式(8-6-17)，第一副瓣位置得

，解之得δm1=82°，副瓣電平

。

根據式(8-6-18)，第一零點，即

，解之得δ01=98.2°。

2.均勻直線陣的應用

均勻直線陣在實際應用中有如下幾種常見的情況。

1)邊射陣(同相均勻直線陣)(BroadsideArray)

當ξ=0時，Ψ=kdcosδ，Ψ=0對應的最大輻射方向發(fā)生在δmax=π/2，由于最大輻射方向垂直于陣軸線，所以這種同相均勻直線陣稱為邊射或側射式直線陣。

圖8-6-16給出了一個五元陣實例。當間隔距離加大時，可視區(qū)變大，柵瓣出現。柵瓣會造成天線的輻射功率分散，或受到嚴重干擾。防止柵瓣出現的條件是可視區(qū)的寬度ΔΨmax=

|Ψ(δ=0)－Ψ(δ=π)|=2kd有一定的限制，對于邊射陣，要求有

ΔΨmax<4πd<λ(8-6-20)

d<λ就是邊射式直線陣不出現柵瓣的條件。

結合圖8-6-16和圖8-6-17可以看出，陣元數越多，間隔距離越大，邊射陣主瓣越窄，副瓣電平也越高。圖8-6-16邊射陣方向圖圖8-6-17邊射陣陣因子極坐標方向圖2)普通端射陣(OrdinaryEndFireArrays)

端射式天線陣是指天線陣的最大輻射方向沿天線陣的陣軸線(即δmax=0或π)。此時要求ξ+kdcos0=0或ξ+kdcosπ=0，即

(8-6-21)

也就是說，陣的各元電流相位沿最大輻射方向依次滯后kd。圖8-6-18給出了一個普通端射陣實例。圖8-6-18普通端射陣方向圖普通端射陣同樣存在控制柵瓣出現的問題。由于普通端射陣的主瓣比較寬，考慮到第一零點的位置為，所以普通端射陣不產生柵瓣的條件為，即

(8-6-22)

比邊射陣要求嚴格。改變電流激勵相位差ξ，最大輻射方向將由ξ+kdcosδmax=0決定，表示為

(8-6-23)

當d給定后，δmax將隨ξ的變化而變化。連續(xù)地調整ξ，可以讓波束在空間掃描，這就是相掃天線的基本原理。3)強方向性端射陣(漢森-伍德耶特陣)(End-FireArrayswithincreaseddirectivity)

由普通端射陣方向圖(見圖8-6-18)的實例可知，盡管普通端射陣的主瓣方向唯一，但是它的方向圖主瓣過寬，方向性較弱。為了提高普通端射陣的方向性，漢森和伍德耶特提出了強方向性端射陣的概念。他們指出：對一定的均勻直線陣，通過控制單元間的激勵電流相位差可以獲得最大方向系數。具體條件是

(8-6-24)即在原始普通端射陣的基礎上將單元間的初相差再加上π/N的相位延遲，它使得陣軸線方向不再是完全同相了。滿足這種條件的均勻直線陣方向系數最大，故這種直線陣稱為強方向性端射陣。

圖8-6-19繪出了一個強方向性端射陣的實例。與圖8-6-18比較可以看出，在相同元數和相同間隔距離的條件下，強方向性端射陣的主瓣比普通端射陣的主瓣要窄，因此方向性要強；但是它的副瓣電平比較大。從F(Ψ)的圖形而言，強方向性端射陣實際上是把可視區(qū)稍微平移，從而將普通端射陣的最大值以及附近變化比較緩慢的區(qū)域從可視區(qū)內移出了。圖8-6-19強方向性端射陣方向圖為了防止出現柵瓣需滿足下式

(8-6-25)

間隔距離受限的條件略比普通端射陣嚴格一點。

3.均勻直線陣的方向系數

如果忽略單元天線的方向性，可以計算出不同均勻直線陣的方向系數變化曲線，如圖8-6-20所示。

此圖反映出間距的加大會使得方向系數增大，但是過大的間距會導致柵瓣出現，此時方向系數反而下降。同時，當N很大時，方向系數與N的關系基本上成線性增長關系。

表8-6-1總結了當N很大時，三種均勻直線陣的方向圖參數，以供參考。圖8-6-20均勻直線陣方向系數變化曲線表8-6-1N很大時均勻直線陣方向圖參數均勻直線陣是一種最簡單的排陣方式，在要求最大輻射方向為任意值時，它并不是最好的選擇。

圖8-6-21給出了當要求最大輻射方向為θmax=45°，φmax=90°時，排列在y軸上，間隔距離為0.25λ的8元均勻直線陣所能達到的最好效果，此時方向系數為5.5。而以同樣的陣元數目和陣輪廓尺寸排列的xOy平面上的8元圓環(huán)陣(即半徑為7×0.25λ/2)，卻能達到8.1的方向系數。實際上，盡管規(guī)則布陣對場地或載體有更苛刻的要求，但是任意布陣卻更具優(yōu)越性，這對實際的陣列構造是很有價值的。這時，計算機的輔助設計在任意陣列結構優(yōu)化時就顯得十分重要。圖8-6-218元均勻直線陣和圓環(huán)陣的陣因子方向圖8.7.1二元陣的阻抗

設空間有兩個耦合振子排列如圖8-7-1所示，兩振子上的電流分布分別為I1(z1)和I2(z2)。以振子1為例，由于振子2上的電流I2(z2)會在振子1上z1處線元dz1表面上產生切向電場分量E12，并在dz1上產生感應電動勢E12zdz1。根據理想導體的切向電場應為零的邊界條件，振子1上電流I1(z1)必須在線元dz1處產生－E12，以滿足總的切向電場為零，也就是說，振子1上電流I1(z1)也必須在dz1上產生一個反向電動勢－E12dz1。為了維持這個反向電動勢，振子1的電源必須額外提供的功率為8.7對稱振子陣的阻抗特性圖8-7-1耦合振子示意圖

(8-7-1)

因為理想導體既不消耗功率，也不能儲存功率，所以dP12被線元dz1輻射到空中，它實際上就是感應輻射功率。由此，振子1在振子2的耦合下產生的總感應輻射功率為

(8-7-2)同理，振子2在振子1的耦合下產生的總感應輻射功率為

(8-7-3)

互耦振子陣中，振子1和振子2的總輻射功率應分別為

(8-7-4)式中，P11和P22分別為振子單獨存在時對應Im1和Im2的自輻射功率?？梢詫⑹?8-7-4)推廣而直接寫出P11和P22的表達式為

(8-7-5)

(8-7-6)如果仿照網絡電路方程，引入分別歸算于Im1和Im2的等效電壓U1和U2，則振子1和振子2的總輻射功率可表示為

(8-7-7)

回路方程可寫為

(8-7-8)式中，Z11、Z22分別為歸算于波腹電流Im1、Im2的自阻抗(selfimpedance)；Z12為歸算于Im1、Im2的振子2對振子1的互阻抗(mutualimpedance)；Z21為歸算于Im2、Im1的振子1對振子2的互阻抗。它們各自的計算公式如下

(8-7-9)在用式(8-7-9)計算時，所有沿電流的電場切向分量均用振子的近區(qū)場表達式。圖8-7-2和圖8-7-3分別給出了兩齊平行、兩共線半波振子之間，歸算于波腹電流的互阻抗計算曲線(圖中l(wèi)、a的定義參見圖8-5-1)。圖8-7-2二齊平行半波振子的互阻抗隨d/λ的計算曲線(a=0.0001l)圖8-7-3二共線半波振子的互阻抗隨d/λ的計算曲線(a=0.0001l)將式(8-7-8)的第一式兩邊同除以Im1，式(8-7-8)的第二式兩邊同除以Im2，振子1和振子2的輻射阻抗為

(8-7-10)如果計算二元振子陣的總輻射阻抗，則依據二元陣總輻射功率等于兩振子輻射功率之和有

(8-7-11)

選定振子1的波腹電流為歸算電流，則有

(8-7-12)于是，以振子1的波腹電流為歸算電流的二元陣的總輻射阻抗可表述為

(8-7-13)

如果同樣以振子1的波腹電流Im1為歸算電流來計算二元陣的方向函數，根據式(8-3-23)，則二元陣的最大方向系數為

(8-7-14)

例8-7-1計算如圖8-7-4所示的齊平行二元半波振子陣的方向系數(a/l=0.0001)。

解以振子1的波腹電流為歸算電流，依據式(8-7-14)，欲求方向系數，必須先求出fmax(1)和RrΣ(1)。

此二元陣屬于等幅二元陣，根據方向圖乘積定理，該陣在平行于陣軸線的左端方向，振子2相對于振子1的總相位差為0，因此，該方向為最大輻射方向，fmax(1)=2。圖8-7-4例題8-7-1圖形(Im2=Im1ejπ/2)以振子1的波腹電流為歸算電流，該二元陣的總輻射阻抗為

考慮到Z11=Z22、Z12=Z21，代入，上式化簡為

因此,RrΣ(1)=146.2(Ω)。該二元陣在平行于陣軸線左端的方向系數，也就是最大方向系數為

例8-7-2若例8-7-1題的其他條件不變，只是將二振子的饋電電流改為Im2=0.5Im1，求方向系數。

解仍然以振子1的波腹電流為歸算電流。由于二元陣兩振子的饋電電流同相，所以最大輻射方向改為邊射，fmax(1)=1.5。二元陣的總輻射阻抗改寫為

查圖8-7-2可得

Z12=40.8－j28.3(Ω)因此,

方向系數為

例8-7-3求長度l=3λ/4、以波腹電流為歸算電流的對稱振子的輻射阻抗(a/l=0.0001)。

解將此對稱振子(或單導線)看成由三個半波振子組