北航空氣動力學(xué)答案(三章)

第三章理想不可壓縮流體平面位流3-1設(shè)有直勻流V二以正X軸方向流過位于原點(diǎn)的點(diǎn)源，點(diǎn)源的強(qiáng)度為Q，試求半無限體表面上最大垂直分速度Vmax的位置及速度值，并證明，在該點(diǎn)處合速度的大小正好等于直勻流速度V：解：根據(jù)疊加原理，流函數(shù)為'-My?=V「y—arctg-cCX(1)利用流函數(shù)表達(dá)式（1），可以寫出合速度場中的速度分量為UV22cy■2兀x+yy22xyV「x(2)由（2）式可以確定流場中駐點(diǎn)A（即Ua二Va=0的點(diǎn)）位置為22：(3)(4)過駐點(diǎn)A的流線，即為半無限體的表面，其方程為2二V(4)半無限體表面上的垂直分速度為vv，v，QsinVsin2v，QsinVsin22二x2y2(5)可得可得dv_dVsin~_2V：：sin^cosT可得dv_dVsin~_2V：：sin^cosT亦_亦二"一V：sin2r(6)jiji-0當(dāng)sinr-0時(shí)，v-二，v=VSin=oIT-8tg=當(dāng)二--=_2時(shí)，v=tg=當(dāng)二--=_2時(shí)，v=H-0V*2VsinJ_v：si任，即tg==1.9760315=113.2183,=1.9760315=113.2183,=1.9760315=113.2183,v--V.sin2v-0.72461M：匕=4.3071538=246.7817匕=4.3071538=246.7817：,v=-V：sin2—-0.72461M：所以，半無限體表面上最大的垂直分速度為VVmax=0.724611/：：VmaxVmax=0.724611/：：(8)該點(diǎn)的位置為(9(9)(9)Q「1.9760315=113.2183，y(9)在半無限體表面的水平速度分量為QxQcos*VQxQcos*V：：sicost—7旳二—VaQQxQcos*V：：sicostQxQcos*V：：sicost—7旳二—VaQ2二x2y2ji-0(10)在該點(diǎn)處的水平速度分量為uu=V：：u=Vu=V：：十=0.68915牡(11)則該點(diǎn)處的合速度為(12)3-2令Gx,y是二維拉普拉斯方程的解，請證明Gx,y可以代表二維無粘不可壓縮流動的位函數(shù)或流函數(shù)。證明：Gx,y=0afcG&1￡x」Wy丿cGu=——次Gv二:y有：i"二衛(wèi)趙八g=o-z丫_衛(wèi)#一空=ox；:y；x.y:xy：：x_：y7同時(shí)滿足不可壓及無旋條件，所以可以代表二維無粘不可壓縮流動位函數(shù)cGu二JZV「至:：X有：Idxby：x：y有：Idxby：x：y：x：y=0.x:y：2G：：2g:x:x:：y「y滿足不可壓平面流動條件，所以可以代表二維無粘不可壓縮流動流函數(shù)3-3在正三角形的三個(gè)角點(diǎn)a,0，-a,0，0,.3a處放入三個(gè)等強(qiáng)度的點(diǎn)源,試寫出該流動的流函數(shù)，確定其駐點(diǎn)坐標(biāo)，并粗略地勾畫出對應(yīng)的流譜。解：設(shè)點(diǎn)源的強(qiáng)度為Q，根據(jù)疊加原理，該流動的流函數(shù)為arctgarctg——arctgx—ax+aarctg——arctg——arctgx—ax+a—+arctg_^3a（1）x由（1）可以給出流動的速度分量x+x+a++22xa1亠y評Qu=一dyx—ay_2y-43ay_2y-43ax2y-.3a—222

x_a〕i亠yxa〕i亠y由（2）式可以確定流場中駐點(diǎn)A（即Ua=Va=0的點(diǎn)）位置為

匚Xa二0Ia(3)*一33-4疊加中心在原點(diǎn)的點(diǎn)渦和點(diǎn)源，試證其合成流動是一種螺旋形流動。在這一種流動中，速度與極半徑之間的夾角處處相等，其值等于arctg-二Q解：根據(jù)疊加原理，合成流動的位函數(shù)為lnr—lnr—2lnr—2lnr—2(1)由（1）可以給出流動的速度分量VV」亠cr2兀rV」亠V」亠cr2兀r(2)速度與極半徑之間的夾角:為Vr-■-arctgarctgQ2Q2-rQ2-r2-rQ2-r2-r(3)3-5在-a,0和a,0分別放入強(qiáng)度相等的點(diǎn)源和點(diǎn)匯，直勻流V：沿x軸流來。設(shè)點(diǎn)源的強(qiáng)度為Q=2；V：a，試求流動的流函數(shù)、前后駐點(diǎn)的位置和零流線的形狀。該零流線所代表的封閉物體稱之為蘭金卵形，試確定該蘭金卵形的短半軸值。解：根據(jù)疊加原理，該流動的流函數(shù)為■-=VyQiarctg—-arctg—2兀Ix+ax-a丿.（1）（yy'二VyVaiarctg-arctg—:Vx+ax-a丿由（1）可以給出流動的速度分量

v/aV/-GVcy-uv==V.av/aV/-GVcy-uv==V.acX°°y前后駐點(diǎn)的位置為2-3a(3)y前后駐點(diǎn)的位置為2-3a(3)yA=°零流線的形狀為(4)y-arctg—(4)x-a當(dāng)x=0時(shí)，數(shù)值求解得^-1.3065a，所以該蘭金卵形的短半軸為1.3065a。3-6設(shè)有直勻流*=V-y繞過兩種物體，一種是蘭金卵形封閉物體，另一種是半徑等于蘭金卵形物體短軸的圓柱體，試比較在這兩種物體表面上所產(chǎn)生的最大速度之比，并給出適當(dāng)?shù)奈锢斫忉?。解：由于蘭金卵形和圓柱物體均為左右對稱，因此最大速度位置均出現(xiàn)在左右的對稱面上。蘭金卵形物體表面上對稱面位置的坐標(biāo)為0,1.3065a，該點(diǎn)處的速度為UUi=v比十JUi=v比十Ui=v比十J|x+aI22*22xayx_ay=1.738841/：：(1)-0yy222-0xaI亠yx-a1亠y蘭金卵形物體表面上所產(chǎn)生的最大速度為Vmax」=口=1.738841/好根據(jù)疊加原理，圓柱繞流的流函數(shù)為'■-V7-M272(2)x+yy2v二一—ex2xy圓柱表面上左右對稱面位置的坐標(biāo)為0,1.3065a，該點(diǎn)處的速度為x2-y2U2=V：：-M「尹二V：(x+y)M^x^ox2y2圓柱表面上所產(chǎn)生的最大速度為Vmax,2=U2=2VJOo蘭金卵形物體和圓柱物體表面上所產(chǎn)生的最大速度之比為沁=1.738841=0.869721Vmax,22(4)(5)3-7在-a,0和a,0有等強(qiáng)度的點(diǎn)源和點(diǎn)匯，試證明它們對無窮遠(yuǎn)處(即x,yLa)的作用和一個(gè)位于原點(diǎn)的偶極子的作用完全一樣。證明：位于原點(diǎn)的強(qiáng)度為M=2Qa=Qa的偶極子的位函數(shù)為2兀兀=M2x2x2(1)xy-x根據(jù)疊加原理,強(qiáng)度為Q的分別位于在-a,0和a,0的點(diǎn)源和點(diǎn)匯構(gòu)成的流動的位函數(shù)為一乎In^x—a$y222QtxayQln—4■:1(x+a)2+y244■:4■:In-arln1+4ax(2)當(dāng)x,yLa時(shí),4ax4ax小有xJy固有-(x-af+y2jIn4axIQ4ax]廠…7]卞Er]Q4axQax4x2y2二x2y23-8位于0,a和0,-a處有兩個(gè)強(qiáng)度相等的旋轉(zhuǎn)方向相反的點(diǎn)渦，當(dāng)a>0時(shí)保持2二al為常數(shù)，試證其對應(yīng)的流動與軸線在x軸的偶極子完全相同。證明：位于原點(diǎn)的軸線沿-X軸方向的強(qiáng)度為M的偶極子的流函數(shù)為=~M2(1)xy根據(jù)疊加原理，位于0,a和0,-a處的強(qiáng)度為-的旋轉(zhuǎn)方向相反的點(diǎn)渦產(chǎn)生的復(fù)合流場的流函數(shù)為4二r一=——In-4兀-24二r一=——In-4兀-22『-2Inx+(y_a)丨+——Inx+(y+a--4兀-X2ya2~22=xy-a4兀-r一—In1+4兀4ay22xy-a(2)對（2）式兩端取極限，有rlim——In1+aT4兀'^li4ay22xTim°2+(y_a『t兀x2+(y_a)(3)V：沿當(dāng)Ma時(shí)，，二'■V：沿3-9在-a,0和a,0處分別布置強(qiáng)度為Q的等強(qiáng)度的點(diǎn)匯和點(diǎn)源，直勻流x軸方向流來，試寫出合成流動的流函數(shù)，并證明其包含駐點(diǎn)的流線方程為222xy「a2aytan2V：yQ設(shè)a=V：：222xy「a2aytan2V：yQ證明：合成流動的流函數(shù)為屮=Vcy'arctg_arctg（1）2兀Ix—ax+a丿流場中各點(diǎn)的速度分量為■y■y■yQ（x_a）■yQ（x_a）珂（x—a"Qyy-X2-x-a\亠y2xai亠y2由（2）可求得駐點(diǎn)的位置為［遵歹因此包含駐點(diǎn)的流線方程Qi'yy\Vyarctgarctg0（3）2兀Ix-ax+a丿流線方程（3）可以進(jìn)一步改寫為2二V_yyy/八arctgarctg（4）Qxax-atan淖=tanarctg丄-arctg丄L2寫2（5）QVx—ax+a丿x+y-a所以，包含駐點(diǎn)的兩條流線方程為y=0（6-1）2222ayxy-a（6-2）tan（2兀Q）當(dāng)a二V：：-Q：2二=1時(shí)，包含駐點(diǎn)的流線方程（6-2）簡化為x2y2=12y（6-2）tany3-10相距2a、強(qiáng)度為Q的等強(qiáng)度點(diǎn)源和點(diǎn)匯，位于一條與正x軸成45度的直線上,點(diǎn)源和點(diǎn)匯相對于原點(diǎn)對稱。試證當(dāng)a>0時(shí)，并保持2二aQ等于常數(shù)M時(shí)，此時(shí)形成的偶極子的流函數(shù)為

證明:動的流函數(shù)為M、2y-x222-2x2y22血、-一a,_—a證明:動的流函數(shù)為M、2y-x222-2x2y22血、-一a,_—a，點(diǎn)匯位于'返a,返a122丿I22丿,則點(diǎn)源與點(diǎn)匯合成流設(shè)點(diǎn)源位于arctgIx+yt^—arctgy-密燈2ax-V22a,(1)對（1）式進(jìn)行變換有y、22ay-、22atan"屮x+Q2ax_Q2aV2a(x_y)anQ’y.22ay-22ax2y2_a21亠x22ax-,22a(2)Jarctg^x—y2二x2y2-a2(3)x2y2-a22二x2x2y2-a22二x2y2M2y-x(4)3-11試證在直勻流中，半徑為a的圓柱體表面上的壓強(qiáng)系數(shù)為C°=1—4si