求點到平面距離的基本方法

求點到平面距離的基本方法北京農(nóng)大附中閆小川求點到平面的距離是立體幾何中的一個基本問題，是高考的一個熱點，也是同學(xué)學(xué)習(xí)中的一個難點.本文通過對一道典型例題的多種解法的探討，概括出求點到平面的距離的幾種基本方法.例(2005年福建高考題)如圖1，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF±平面ACE.(I)求證：AE±平面BCE；求二面角B-AC-E的大??；求點D到平面ACE的距離.E(I)、(II)解略，(III)解如下：一、直接法利用兩個平面垂直，直接作出點到平面的距離.如圖2,Aep,pla,以p=l,AM±l，則AM±a.AM為點A到平面a的距離.

解：如圖3,過點A作AG旦EC，連結(jié)DG,CG，則平面ADG〃平面BCE,.??平面BCE±平面ACE,.??平面ADG±平面ACE,作DH1AG,垂足為H，則DH±平面ACE.?.?DH是點D到平面ACE的距離.在gDG中，DH=在gDG中，DH=ADD!圖3二、平行線法如圖4,Ael,l〃a,B為l上任意一點，AM1a,BN1a，則AM=BN.點A到平面a的距離轉(zhuǎn)化為平行于平面a的直線l到平面a的距離，再轉(zhuǎn)化為直線l上任意一點B到平面a的距離.解：如圖5，過點D作DMWAE，連結(jié)CM，則DM〃平面ACE，點D到平面ACE的距離轉(zhuǎn)化為直線DM到平面ACE的距離，再轉(zhuǎn)化為點M到平面ACE的距離.作MN1CE,垂足為N，

.??平面CEM±平面ACE,?.?MN±平面ACE,???MN是點M到平面ACE的距離.在RtMEM中，MN=EM?CM=疽二至.CE<63圖5三、斜線法利用平面的斜線及三角形相似，轉(zhuǎn)化為求斜線上的點到平面的距離.如圖6、7,lna=O,A,Bel,AM±a,BN±a，若A0=t，則AM=t-BN.點A到BO平面a的距離轉(zhuǎn)化為求直線l上的點B到平面a的距離.圖7圖7解：如圖8,BD與AC的交點為Q，即BDn平面ACE=Q,DQ=BQ,..?點D到平面ACE的距離與點B到平面ACE的距離相等.?「平面BCE±平面ACE,BF±平面ACE,?.?BF是點B到平面ACE的距離.在RNCE中，BF=BCB=2^62=233圖8四、線面角法如圖9,OP為平面a的一條斜線，AeOP,OA=l,OP與a所成的角為0,A到平面a的距離為d，則由斜線和平面所成的角的定義可知，有d=lsin0.經(jīng)過OP與a垂直的平面與a相交，交線與OP所成的銳角就是OP與a所成的角0，這里并不強求要作出A在a上的射影B，連結(jié)OB得0.圖9解：如圖IO，：BF±平面ACE，.??平面BDF±平面ACE，ZBQF為DQ與平面ACE所成的角為0，則點D到平面ACE的距離d=DQsin0.頃。知二面角b-AC-e的正弦值為w，得帆二巡.?.?D到平面ACE的距離d=、互X史=登3.33F圖10F五、二面角法如圖11,以np=l，a、&所成二面角的大小為0,Aep,AB±l,AB=a,點A到平面a的距離AO=d，則有d=asin0.0也就是二面角的大小，而不強求作出經(jīng)過AB的二面角的平面角.圖11解：如圖12,?「平面ACDn平面ACE=AC,DQu平面ACD,DQ1AC,設(shè)二面角D-AC-E的大小為0，則點D到平面ACE的距離d=DQsin0.由（II）知二面角B-AC-E的正弦值為2i6,得sin0M.33?.?D到平面ACE的距離d=42x史=類3.圖12六、體積法解：如圖13，過點E作EO1AB交AB于點O,OE=1.???二面角D-AB-E為直二面角，?.?EO上平面ABCD.設(shè)D到平面ACE的距離為h,vVdace=VEACD，TOC\o"1-5"\h\zA1S-h=1S-EO.3AACE3AACDvAE1平面BCE,AAE1EC.2AD-DC-EO2X2X2x12-AE-EC-x<2x、R32.??點D到平面ACE的距離為233.七、向量法解：如圖14,以線段A8的中點為原點O,OE所在直線為x軸，AB所在直線為j軸，過O點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，AE1平面BCE，BEu平面BCE，?.?AE1BE，在RtAAEB中,AB=2,O為AB的中點，?.?OE=1,?.?A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).AE=(1,1,0),AC=(0,2,2).設(shè)平面ACE的一個法向量為n=(x,y,z)，則嚴(yán).n=0,即」x+y=0,AC?n=0,〔2y+2z=0.解得廣-乙Iz=x.令x=1,得n=(1,-1,1)是平面ACE的一個法向量.LAD//z軸，AD=2，?AD=(0,0,2)，..