高考數(shù)學總復習第53講計數(shù)原理2二項式定理及其應用

高考數(shù)學總53二項式定理及其①① abnC0anC1an1bC2an2b2Cranrbr n右邊的多項式叫abnn1項，各項的系數(shù)Crr0,1,,nnCranrbr叫二項展開式的通項，用 nTr

Cranrbr

rn1xnn特殊地，二項式定理中，設a1,bx 1xn1C1xC2x2CrxrC n與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Cmn若二項式系數(shù)遞增，即對于確定的n，

Cnmm0,1,,nCknk1Ck1Ck1nk11kn1 所以當k

n

n nnn且最大，即Cn

Cn2 abnC0anC1an1bC2an2b2CranrbrCnbn，若令 C0C1C2CrCn2n。若令a C0C2C42n C1C3C52n 0 1 2n2 rnr n rnrabCna b b bCnb br

Cranrbrnn axbynC0anxnC1an1bxn1yC2an2b2xn2y2Cranrbrxnryr CC b r

rnrrnrr

Cranrbrxnrnn CnCranrbrxnr Cran Cn 設二項展開式第k1 CkankbkCk1ank1bk1 CkbC CkankbkCk1ank1bk1

CkaCk 若ab1Ckb CkCk1 n n

k Cka CkCk1 2所以，當nkn，二項式系數(shù)Cnn122n

n

n當n為奇數(shù)時，k 或k 二項式系數(shù)Cn2Cn2都是最大最大項是第 n 1項2 axbynC0anxnC1an1bxn1yCranrbrxnryrC nnnr

Cranrbrxnrxy1 0 1 2n2 rnr n

rnrabCna b b bCnb bx1y1 0 1 rnr

n

rnrabCna- b1 b1Cnbr

b C0anC2an2b2C4an4b4

abna，2 C1an1bC3an3b3C5an5b5

abna。2 C0C1C2Cn C0C2C42n C1C3C52n 例如，計算0.9973的近似值（精度分別為103或106n

33x 例如，求證46n5n1942020的因式。由于451n,5n1541n，于是。46n5n19451n541n945k154m1。20kmk,mN SnC12C23C3 例如，求證21

1n

3nN,n2x112展開式中的常數(shù)項為 3案例1：(1)3 A． D．解：∵x112的通項為 Crx12r1r1rCx1243r33r33r 令12 0，∴r93

r

所以x

133

展開式的常數(shù)項為19C9220。故選C

(12x2)x

1xx

（ 1

122

和2

x

答案：42。

1

1 1

x

x12x2)xx2x2x x x x 1 1 ∵x 的通項為 Crx8r 1Crx8， x r x 1 令82r0，解得r4x常數(shù)項為1C470 x 5 15令82r2，解得r52x2x常數(shù)項為21C511218所以(1 2 18

x x2x)x

展開式的常數(shù)項為7011242。故填4222案例2：(1)若(1 )5a （a,b為有理數(shù)則ab 22 分析：根據(jù)二項式定理展開，利用二項式定理的“恒等性”求得a,b。答案：C。 52解：∵1 25C020C121C222C323C424C 5222221 20 20 41 22222241 a ，于是得a41,b2922ab412970。故選C(2)若12x2009aax x2009(xR),則a1a2a2009的值為

(D)

分析：由12x2009的通ar0,1,2,,2009，于是得數(shù)a1a2a2009的通12x2009的通項為r

12009r2rxr1r2r

xr

a1r2r 1r2rC2009rr0,1,2,,2009rr∴ar1r

C

r0,1,2,,2009

a1a2a2009 C C C C2008C a1a2a2009C2009C2008C2007C ∴2a1a2a20092C20092 22009 a1a2a20091。故選C 6案例3：已知1 xn的展開式中，某一項系數(shù)是它前一項系數(shù)的2倍，而等于它后一項系數(shù)的566求得展開式系數(shù)最大的項的r3

5（2）（1）12

的通項為

r

Cr1nr2rx22rCrx2 設某一項系數(shù)為2rCr，則它的前一項系數(shù)為2r1Cr1，它的后一項系數(shù)為2r1Cr1，于 nn2rCr22r1Cr1n

n2r 2rCr

52r1Cr1

5n8r

解得 r 7∴12x二項式系數(shù)最大的項為 C2x2280x2和7

C2x2560x33 2

44 27rrrrrr（2）∵12x的通項為 C 2x22Cx27rrrrrrr n設12x7展開式中系數(shù)最大為2rCrn2rCr2r1Cr1 28rr 13

解 r ，∴r52rCr2r1Cr1

55所以1 x展開式中系數(shù)最大的項為 55C525x 672x2 04：已知13x90

x

x2

a1a2a9a1a3a9a0a2|a0||a1||a2||a9使a0a1xa2x2a9x90x利用13x9的通項判斷a的正負，把含絕對值的|a||a||a||a| 對值的arx1 求使aaxax2ax90x的值轉(zhuǎn)化為求使13x9 3 aaxax2ax9aaaa1319 a1a2a9512a0513（2）x1 aaxax2ax9aaaa131929 aaxax2ax9aaaa1319 2aaaa294929218 aaaa28291x19aaxax2ax9aaaa13192929 x1，則9aaxax2ax9aaaa1319 2aaaa294929 a0a2a4a828291∵13x9的通項為 Cr1nr3xr3rCrxrr0,1,2,,9r ∴當r0,2,4,6,8ar3rCr0；當r1,3,5,7,9a3rCr0 |a0||a1||a2||a9|a0a1a2a9。令x1，則aaxax2ax9aaaa131949 |a0||a1||a2||a9|218 ∵13x9aaxax2 ∴求使aaxax2ax90x的值，也就是求使13x9 1 335：求證21

1n

3nN,n2 1 1 1 1 nn1 n 1 1 1 nn

k k! n n k k111 n

n2C212C313 Cn1 n2，∴n13∴1

1

11C2

1

2n nn

nn ∵11

2C21

C3