線性代數(shù)-第二章對于行數(shù)和列數(shù)較高矩陣為了

一、矩陣的對于行數(shù)和列A，為運算化成小矩陣的運體做法是：將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為A的子塊，以子 Aa a

B1100 a00b0111bB2B B 30 0 A

0

1a0100b100b1A

C2C 4a a

0 A

0

1 C b 0A

0

O

其中A

1

B

b 0 A

0

A其中A0 1

b 1二、分塊矩陣的運1A與B的行數(shù)相同相同的分塊法有

列數(shù)相采 B1rA

, B s sr

s

sr其中AijBij的行

列數(shù)相同那AB

As

s

B1r.

A1r2設(shè)A

為數(shù)那AA

AsrA

sr

A44

1 2 322A3 2 124 5 62 6 28 83設(shè)A為ml矩陣B為ln矩陣分塊

A1t B1r, , A

B ABAB s

Ast t B 其中Ai1,Ai2,Ait的列數(shù)分別等于B1jB2j,,的行數(shù)

1rAB CC s

Csr

k

Bkj

i1,,s;j1,,r

A1r

s14設(shè)A

則

?

T

AT sr

sr5設(shè)A為n階矩陣,若A的分塊矩陣只有在主對角線上有非零子塊, 塊都為零矩陣,且非零子塊是方陣. O OA

,, AsA

,,AsAii1,2,s都是那末稱A為分塊對角矩陣.分塊對角矩陣的行列式具有下述性質(zhì)AA1A2As , , As若

0i1,2,s,

0,并有

o A

ss 0 0

A2 0

0

11 0 0

例

00102110A001021100 1

1 0解把AB分塊成110000 A0

100

E O,

0

EA A 1 10011001004202B21 O EAB E

B22 A1B11

A1B22AB

.A1B11

A1B22又A

2

0 0

1 2 4 0 4,

1 2

A

1

1 0 1于 AB

A1B11

A1B22 0 13 3 1 0例 設(shè)A

01 1 b 0B

0 0求A

b 將A,B分

1A0

0

a

1 A 其

2

A

1b

0

0

aB0

0 其 2

B 0

bA

0 0 A2 A1 A2B2AB

1

0

a a

A

1 0 1

b b

A

0 0 A2 A1 A2B2 0 0 1 2b

0

0 A2 B2 A2

0

A2B2A2AB

2a21

a3aAB

2b21

0 0 0 A2 B2 A1B1 a3 2a2

a3 2b 0 b32b 0 b32b 0AA例 1

A1 012 012 0 A

1 012 2012 1

A

A1

5

A 1A 5

;A;;A; O

3 A1

A100

001. 3 例：AmnOmn的充分必要條件是方陣ATAOnn．證明：A按列分塊A(aij)mn1,2,,n

T2 T2

nATA

2,,,

n?

T

n那

a1j

n

a ,a ,,

2j

2

2

2 1 2

? 1 2 1 2 1 2

a a mj

線性方程組的幾種a11x1a12x2a1n x x x2利用矩陣乘系數(shù)矩陣按列分成n三、分塊矩陣之間的運分塊矩陣之間與一般矩陣之間的運算性質(zhì)加數(shù)乘

數(shù)k乘矩陣A,需k乘A的每個子若A與B相乘,需A的列的劃分與B轉(zhuǎn)

AT

1r

T

A

AT sr

sr分塊對角陣的行列A

AA1A2AsAsA

AsAAi可逆i1,2,sA1diagA1,A1,,A1 設(shè)A D,其中B和C都 C證明A可逆,并求A1思考 由B,C可逆,有ABC