全國初中數(shù)學聯(lián)賽習題及詳解

1985年全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題及詳解一、選擇題（每題5分，共30分）設ABCD為圓內(nèi)接四邊形，現(xiàn)在給出四個關系式：(1)sinAsinC(2)sinAsinC0(3)cosBcosD0(4)cosBcosD其中總能成立的關系式的個數(shù)是(A)一個(B)兩個(C)三個(D)四個答()解：選（B）因ABCD為圓內(nèi)接四邊形，故C1800A，且A,C都不能夠為0°及180°，故（1）式恒成立；（2）式恒不成立.同樣由D1800B，（3）式恒成立；（4）式只有BD900時成立.故只有（1）、（3）總能成立,應選B.211n2.若n是大于1的整數(shù)，則pnn12的值(A)必然是偶數(shù)(B)必然是奇數(shù)(C)是偶數(shù)但不是2(D)能夠是偶數(shù)也能夠是奇數(shù)答()解：選（B）當n為偶數(shù)時，1(1)n0，pn1是奇數(shù)；當n為奇數(shù)時，21(1)nn21為偶數(shù)，故pn21)為奇數(shù)，所以pnn212121，且n(n1的值必然是奇數(shù).應選(B).3.在平行四邊形ABCD中，P為BC的中點，過PAD作BD的平行線交CD于Q，連PA，PD，QA，QB，則圖中與ABP面積相等的三角形，除ABP外還有：Q(A)三個(B)四個(C)五個(D)六個BPC答()解:選（C）由題設條件，Q是CD的中點，這樣圖中與ABP面積相等的三角形有三類：(1)與ABP等底等高的三角形有二個：BPD,PCD.(2)一邊為BP邊的二倍，而高為BP上的高之半的三角形有二個：BCQ、ADQ.(3)與BCQ等底同高的三角形有一個：QDB.故共有五個,選（C）.第1頁1函數(shù)y1xx2的圖像大體形狀是(A)圖1中的實線部分(B)圖2中的實線部分(C)圖3中的實線部分(D)圖4種的實線部分答()解:（C）因x2x0的根為0及1，故y1xx21x2x0x11x2xx0,x1.由二次函數(shù)的圖像可知，函數(shù)y1xx2的圖像的大體形狀是圖3中的實線部分.應選(C).5.x表示取數(shù)x的整數(shù)部分，比方15等，若yxuxu，34444且當x1，8，11，14時，y1；x2，5，1215，時，y2；x3，6，9，16時，y3；x4，7，10，13時，y0；則表達式中u等于x2(B)x1(C)x(D)x1(A)4444答()解:（D）若ux2，則當x2時，u1，u1，所以y4333，444與題設x2時，y2矛盾，故（A）錯.同理，令x3，可判斷（B）錯；令x4，可判斷（C）錯.從而（D）正確.應選(D).6.如圖，在等腰ABC中，CD是底邊AB上的高，E是腰BC的中點，AE交CD于F，第2頁2現(xiàn)在給出三條路線：CaAFCEBDAEbACEBDFAcADBEFCA

FABD設它們的長度分別為La，Lb，Lc，那么以下三種關系式：LaLb，LaLc，LbLc中，必然能夠成立的個數(shù)是：(A)0個(B)1個(C)2個(D)3個答()解:（B）由題條件可知，F(xiàn)是ABC的重心，所以CF2DF,AF2FE，由于CACB,由FADFBD知AFBF,L(c)ABBEEFFCCA,L（a)AFFCCBBA，故L(c)L(a)BEEFAFBEEFBF0即L（c)L（a)，又L（b)AC+CEEBBDDFFAL（c)L（b)（ABBD）+（EFFA）+（FCDF）CEADDFEFCE當ABC為等邊三角形時，ADCE,DFEF，所以L（c)L(b)，這說明L（b)L(c)不恒成立.再因L（a)L(b)FCDAACDFDFDAAC當0311ACB120且ACBC1時,AD,CD,DF,226故L（a)L(b)3113350即L（a)L(b),故不等式L（a)L(b)不恒成266立，即三個不等式中，只有一個恒成立.應選(B).二、填空題（每題5分，共30分）1.設ab23，bc23，則a2b2c2abbcca

的值為________.:填15.原式=1（ab)2(bc)2(ca)21(23)2(23)24230.22方法2:令Sa2b2c2abbcca，則2S2a22b22c22ab2bc2ca(ab)2(bc)2(ca)2=30第3頁3∴S13015,即a2b2c2abbcca15.22.設方程x2402xk0的一根加380倍，那么k=__________.，即為另一根的解:填1985.設方程兩根為x1,x2，由題意，有x1380x2,即x180x23,又∵x1x2402，∴80x23x2402，從而x25,x280x23397,于是kx1x239751985.有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元，購甲4件，乙10件，共需4.20元.現(xiàn)在購甲、乙、丙各1件共需__________元.解:填1.05元.設購甲貨1件需x元，乙貨1件需y元，丙貨1件需z元，依照題意，有3x7yz3.15（xyz)2(x3y)3.15（）即14x10yz4.20(xyz)3(x3y)4.20（）2（1）3(2)2得xyz1.05,所以購甲、乙、丙各一件共需1.05元.4.不等式42x2axa2的解為__________.解:原不等式可化為（6xa)(7xa)0（1）當a0時，原不等式解集為aa；x76（2）當a0時，原不等式解集為aa；x67當a0時，原不等式無解；5.已知xx0,1和1兩個數(shù)，若是只許用加法、減法，1作被除數(shù)的除法三種運算(能夠使用括號)，經(jīng)過六步算出x2，那么計算的表達式是__________.解：表達式是11x1(x1)x或11（x1)1xx.也可寫成1x或1x1111xx1x1x6.在正實數(shù)集上定義一個運算*，其規(guī)則為：當ab時，abba；當ab時，abb2.依照這個規(guī)則，方程3x27的解是__________.:填33,或3若0x3,則3xx3，又∵3x27,∴x327，∴x3;第4頁4若x3則2又∵3x27,∴x227,∴x2733,3xx,所以方程，3*x=27的解是3,或33.三、如圖，O為凸五邊形ABCDE內(nèi)一點，且12，34，56，78.求證：9與10相等或互補.證法1:由正弦定理及已知條件得OAOBOBOCOCsin10sin1sin2sin3sin4ODODOE7OEOA,sin5sin6sinsin8sin9從而sin∠10=sin∠9，∴9=10或9+10=1800,即∠9與∠10相等或互補.證法2:由于對定線段的張角為定角的點的軌跡是以定線段為弦的張角為定角的兩個相等的弓形弧.【和已知線段的兩個端點的連線的夾角等于已知角的點的軌跡，是以已知線段為弦所含的圓周角等于已知角的兩段?。ǘ它c除外）】，所以由∠1=∠2，得OAB的外接圓與OCB的外接圓相等；同理，OCB的外接圓與OCD的外接圓相等；OCD的外接圓與ODE的外接圓相等;ODE的外接圓與OAE的外接圓相等；于是OAB的外接圓與OAE的外接圓相等，從而∠9與∠10相等或互補.四、如圖，O1，O2外切于A，半徑分別為r1和r2；PB，PC分別為兩圓的切線，B，C為切點；PB:PCr1:r2；又PA交O2于E點.BP求證：PAB∽PEC.E證法1：O1AC如圖1，連接O1A，O1B,PO1，PO2，O2A,O2C，O2則O，A,OPB:PCr:r，Q三點共線，∵1212RtPBO1∽RtPCO2,∴3=4PO1:PO2r1:r2O1A:O2A，于是PA為O1PO2的均分線，即∠1=∠2，連接O2E，由O1APO2EP，得OAP1∽O2EP∴PA:PEr1:r2，即PA:PEPB:PC又由∠3=∠，∠1=∠，知BPACPE42PAB∽PEC證法2：如圖2，延長BA交⊙O2于B,過B作直線平行于PB交PA的延長線于P，第5頁5交PC的延長線于Q.連接O1B,O1A,O2A,O2B，則由O1,A,O2三點共線，知O1ABO2AB,∴O1BAO2BA，從而O1B∥O2B又∵BP∥BP，O1BPB，∴O2BPQ，即PQ為O2的切線，B為切點.∵BP∥BP，∴ABP∽ABP，∴PB:PBAB:AB由AO1B∽AO2B知AB:ABr1:r2又PB:PCr1:r2,∴PB:PBPB:PC∴PBPCQCQB,∴QPQP設QO交PA于F,FQ為PQP的均分線∴O2FAE,AFFE從而PFPF2∴PAPE又BPACPE,PBPC,∴PAB≌PEC,∴PAB∽PEC.五、有一長、寬、高分別為正整數(shù)m，n，rmnr的長方體，表面涂上紅色后切成棱長為1的正方體，已知不帶紅色的正方體個數(shù)與兩面帶紅色的正方體個數(shù)之和，減去一面帶紅色的正方體個數(shù)得1985.求m，n，r的值.解:（1）若m1，這時n1，沒解，∴n2依題意，不帶紅色的正方體的個數(shù)為k00，一面帶紅色的正方體的個數(shù)為k10，兩面帶紅色的正方體的個數(shù)為k2(n2)(r2)，于是有k0k1k2k21985（n2)(r2)19855397即n25或n21∴n7或n3∴2r2r3991987r3971985r∴m1,n7,r399，或m1,n3,r1987（2）若m2，依題意,不帶紅色的正方體的個數(shù)為k00，一面帶紅色的正方體的個數(shù)為k12(n2)(r2),兩面帶紅色的正方體的個數(shù)為k24(n2)4(r2)，則k1與k2都是偶數(shù)，顯然k0k1k2k21985.(3)若m2，依題意，不帶紅色的正方體個數(shù)為k0(m2)(n2)(r2)；一面帶紅色的正方體個數(shù)為k12(m2)(n2)2(m2)(r2)2(n2)(r2)；兩面帶紅色的正方體個數(shù)為k24(m2)4(n2)4(r2)；于是有k0k2k11985,即第6頁6(m2)(n2)（r2)4(m2)(n2)+(r2）2(m2)(n2)(m2)(r2)(n2)(r2)1985亦即（m2)2[(n2)2][(r2)2]198581977（m4)(n4)(r4)19771977=13659=111977=（1）(1)1977m41m41m41∴n43或n41或n41r4659r41977r41977m5m5m3∴n7或n5或n3r663r1981r1981綜上所述，切合題意的m,n,r有五組：m1,n7,r399；m1,n3,r1987；m5,n7,r663；m5,n5,r1981；m3,n3,r1981.六、桌面上有五枚硬幣正面全部向上，若每次任意翻動四枚能否經(jīng)過若干次后，將反面全部