數(shù)學(xué)文化欣賞剖析課件

數(shù)學(xué)是什么？●“在進(jìn)入大學(xué)前的十載歲月里，我未接觸到應(yīng)試數(shù)學(xué)的半點(diǎn)光彩。我們始終向著高考這個(gè)終點(diǎn)在一程程地接力跑，手中的接力棒是學(xué)校里所學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)。當(dāng)我們抵達(dá)終點(diǎn)時(shí)，盡情享受勝利的喜悅，而那比賽中象征傳遞延續(xù)的接力棒則早已被人遺忘。這就是我所學(xué)的數(shù)學(xué)，為分?jǐn)?shù)而做、為功利而學(xué)。”（英語系）●“隨著年齡的增長，學(xué)習(xí)的深入，在我對(duì)數(shù)學(xué)的興趣中漸漸滲入了一種叫做‘恐懼與無助’的滋味。數(shù)學(xué)題目的解出與否不再是無關(guān)緊要的事情，它關(guān)乎一場考試的成敗，甚至是人生的成敗。于是，我感到了壓力，在經(jīng)過了無數(shù)場機(jī)械化的操練、在經(jīng)歷無數(shù)場考試、在做遍千萬份試卷后，數(shù)學(xué)對(duì)我而言，終于成為了一項(xiàng)任務(wù)，還有一些厭惡?！保ㄈ照Z系）數(shù)學(xué)是什么？●“在進(jìn)入大學(xué)前的十載歲月里，我未接觸到應(yīng)試數(shù)學(xué)

王蒙回想童年時(shí)代花的時(shí)間一大部分用在做數(shù)學(xué)題上，這些數(shù)學(xué)知識(shí)此后直接用到的很少，但是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于我的思維的訓(xùn)練卻是及其有益的。時(shí)隔半個(gè)多世紀(jì)了，有時(shí)看到上中學(xué)的孫子有數(shù)學(xué)題做不上來，我仍然喜歡拿到一邊去做，與我上數(shù)學(xué)課的時(shí)間已經(jīng)相隔半個(gè)多世紀(jì)了，多數(shù)情況下我仍能做出來，并從中得到極大的快樂。王蒙▲如果你想當(dāng)經(jīng)濟(jì)學(xué)家，藥學(xué)家，化學(xué)家，數(shù)學(xué)是統(tǒng)計(jì)分析工具▲你想當(dāng)物理學(xué)家，數(shù)學(xué)是微積分▲你想當(dāng)計(jì)算機(jī)專家，數(shù)學(xué)是算法語言▲你想當(dāng)建筑學(xué)家，數(shù)學(xué)是幾何三視圖▲你想當(dāng)數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)就是你的世界▲如果你不幸什么都當(dāng)不了，小心數(shù)學(xué)就是你的克星!▲如果你想當(dāng)經(jīng)濟(jì)學(xué)家，藥學(xué)家，化學(xué)家，數(shù)學(xué)是統(tǒng)計(jì)分析工具▲數(shù)學(xué)學(xué)什么？古希臘：----------------“萬物皆數(shù)”畢達(dá)哥拉斯學(xué)派一，他把【證明】這個(gè)概念引入了數(shù)學(xué)。證明現(xiàn)在普遍被看做是數(shù)學(xué)最基本的精神，我們甚至很難想像先于數(shù)學(xué)推理的階段是什么。

二，他意識(shí)到了無理數(shù)的存在。當(dāng)然，他不知道“無理數(shù)”這個(gè)稱呼，他也無可抑制的對(duì)這個(gè)他無法控制的數(shù)感到惱火---自然他也就避開了它。數(shù)學(xué)學(xué)什么？古希臘：----------------“萬物皆偉大的畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯：古希臘數(shù)學(xué)家，公元前580至公元前497，青年的他游歷許多地方，并到埃及印度留學(xué)。他深入民間收集點(diǎn)點(diǎn)滴滴的數(shù)學(xué)知識(shí)，最后學(xué)有所成并形成一個(gè)學(xué)派，史稱畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，對(duì)數(shù)學(xué)，天文學(xué)有巨大貢獻(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為任何數(shù)都可以表達(dá)成二個(gè)整數(shù)的商，即任意數(shù)都是可以度量的。偉大的畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯：古希臘數(shù)學(xué)家，公元前580至公元萬物皆數(shù)他們把線段的長度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意兩條線段長度之比就是它們各自原子數(shù)之比。由此觀點(diǎn)出發(fā)，畢氏研究了音樂美術(shù)天文地理。應(yīng)用在數(shù)學(xué)上，從埃及的黃金三角形（各邊之比為3：4：5）發(fā)現(xiàn)5：12：13，8：15：17，這就是中國說的“勾股定理”它們只相信直角三角形的三邊之比都應(yīng)該是整數(shù)比萬物皆數(shù)他們把線段的長度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意畢氏的學(xué)生、學(xué)者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就不可度量，與畢氏理論產(chǎn)生矛盾畢氏也發(fā)現(xiàn)不可通約量的存在學(xué)派進(jìn)入兩難境地，學(xué)派內(nèi)部所有成員立誓保密，因而無理數(shù)有個(gè)外號(hào)“不可說”（Alogon)希帕索斯說了，學(xué)派就此開始瓦解。學(xué)派解決矛盾的方法是把希帕索斯拋進(jìn)愛琴海喂魚。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。大約公元前５世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)－－－－畢達(dá)哥拉斯悖論畢氏的學(xué)生、學(xué)者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就當(dāng)然真理是畢達(dá)哥拉斯無法扔到愛琴海喂魚的，之后100年，柏拉圖的學(xué)生用公理化的辦法處理了這個(gè)問題。但是不知道是因?yàn)閿?shù)學(xué)家也害怕被扔到愛琴海喂魚呢，還是因?yàn)槭チ藢?duì)整數(shù)的信仰，整個(gè)希臘數(shù)學(xué)自此開始轉(zhuǎn)向了研究幾何圖形的問題，畢竟幾何圖形避免了數(shù)打交道，從而有了歐氏幾何。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物—古典邏輯與歐氏幾何學(xué)當(dāng)然真理是畢達(dá)哥拉斯無法扔到愛琴海喂魚的，之后100年，柏拉微積分產(chǎn)生的背景從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在尋求一種計(jì)算不規(guī)則圖形面積的方法眾多科學(xué)家意識(shí)到其中有個(gè)“幽靈”說不清道不明，其代表人物：阿基米德，芝諾，歐道克斯，莊子，劉徽許多迫切待解決的問題擺在數(shù)學(xué)家面前：描述變速運(yùn)動(dòng)？曲線的切線？曲線的長度？曲面的面積？曲面圍成的多面體的體積？極大極小問題？等等微積分產(chǎn)生的背景從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在尋古希臘的數(shù)學(xué)中除了整數(shù)之外，并沒有無理數(shù)的概念，連有理數(shù)的運(yùn)算也沒有，可是卻有量的比例。他們對(duì)于連續(xù)與離散的關(guān)系很有興趣，尤其是芝諾提出的四個(gè)著名的悖論：第一個(gè)悖論是說運(yùn)動(dòng)不存在，理由是運(yùn)動(dòng)物體到達(dá)目的地之前必須到達(dá)半路，而到達(dá)半路之前又必須到達(dá)半路的半路……如此下去，它必須通過無限多個(gè)點(diǎn)，這在有限長時(shí)間之內(nèi)是無法辦到的。第二個(gè)悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因?yàn)闉觚斣谒懊鏁r(shí)，他必須首先到達(dá)烏龜?shù)钠瘘c(diǎn)，然后用第一個(gè)悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。這兩個(gè)悖論是反對(duì)空間、時(shí)間無限可分的觀點(diǎn)的。第三、第四悖論是反對(duì)空間、時(shí)間由不可分的間隔組成。第三個(gè)悖論是說“飛矢不動(dòng)”，因?yàn)樵谀骋粫r(shí)問間隔，飛矢總是在某個(gè)空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個(gè)悖論是游行隊(duì)伍悖論，內(nèi)容大體相似。這說明希臘人已經(jīng)看到無窮小與“很小很小”的矛盾。當(dāng)然他們無法解決這些矛盾。古希臘的數(shù)學(xué)中除了整數(shù)之外，并沒有無理數(shù)的概念，連有理數(shù)的運(yùn)無窮小分割是主要方法無窮小分割求和：關(guān)于切線：笛卡兒與費(fèi)爾瑪認(rèn)為是兩個(gè)交點(diǎn)重合時(shí)的割線。羅伯瓦等認(rèn)為是描繪曲線的運(yùn)動(dòng)在這點(diǎn)的方向眾多數(shù)學(xué)家加入到這場爭論中，拉開流數(shù)術(shù)和微分法的序幕費(fèi)爾瑪是除去牛頓萊布尼茲外做得最多的人，他走到大門口，但沒有進(jìn)入。主要是他沒有它的理論與求積的關(guān)系無窮小分割是主要方法無窮小分割求和：牛頓與萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)明微積分牛頓與微積分萊布尼茲與微積分英德之間的歷史公案牛頓與萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)明微積分牛頓與微積分1665年夏天，因?yàn)橛l(fā)鼠疫，劍橋大學(xué)暫時(shí)關(guān)閉。剛剛獲得學(xué)士學(xué)位、準(zhǔn)備留校任教的牛頓被迫離校到他母親的農(nóng)場住了一年多。這一年多被稱為“奇跡年”，牛頓對(duì)三大運(yùn)動(dòng)定律、萬有引力定律和光學(xué)的研究都開始于這個(gè)時(shí)期。在研究這些問題過程中他發(fā)現(xiàn)了他稱為“流數(shù)術(shù)”的微積分。他在1666年寫下了一篇關(guān)于流數(shù)術(shù)的短文，之后又寫了幾篇有關(guān)文章。但是這些文章當(dāng)時(shí)都沒有公開發(fā)表，只是在一些英國科學(xué)家中流傳。

首次發(fā)表有關(guān)于微積分研究論文的是德國哲學(xué)家萊布尼茨。萊布尼茨在1675年已發(fā)現(xiàn)了微積分，但是也不急于發(fā)表，只是在手稿和通信中提及這些發(fā)現(xiàn)。1684年，萊布尼茨正式發(fā)表他對(duì)微分的發(fā)現(xiàn)。兩年后，他又發(fā)表了有關(guān)積分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推動(dòng)下，萊布尼茨的方法很快傳遍了歐洲。到1696年時(shí)，已有關(guān)于微積分的教科書出版。

1665年夏天，因?yàn)橛l(fā)鼠疫，劍橋大學(xué)暫時(shí)關(guān)于是究竟是誰首先發(fā)現(xiàn)了微積分，就成了一個(gè)需要解決的問題了。1711年，蘇格蘭科學(xué)家、英國王家學(xué)會(huì)會(huì)員約翰·凱爾在致王家學(xué)會(huì)書記的信中，指責(zé)萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，只不過用不同的符號(hào)表示法改頭換面。同樣身為王家學(xué)會(huì)會(huì)員的萊布尼茨提出抗議，要求王家學(xué)會(huì)禁止凱爾的誹謗。王家學(xué)會(huì)組成一個(gè)委員會(huì)調(diào)查此事，在次年發(fā)布的調(diào)查報(bào)告中認(rèn)定牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分，并譴責(zé)萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作。此時(shí)牛頓是王家學(xué)會(huì)的會(huì)長，雖然在公開的場合假裝與這個(gè)事件無關(guān)，但是這篇調(diào)查報(bào)告其實(shí)是牛頓本人起草的。他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長篇文章。

當(dāng)然，爭論并未因?yàn)檫@個(gè)偏向性極為明顯的調(diào)查報(bào)告的出籠而平息。事實(shí)上，這場爭論一直延續(xù)到了現(xiàn)在。沒有人，包括萊布尼茨本人，否認(rèn)牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分。問題是，萊布尼茨是否獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了微積分？萊布尼茨是否剽竊了牛頓的發(fā)現(xiàn)？

于是究竟是誰首先發(fā)現(xiàn)了微積分，就成了一個(gè)需要解決數(shù)學(xué)文化欣賞剖析課件無窮小是零嗎？

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)研究下列問題：1734年，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無窮小的問題，提出了貝克萊悖論。引發(fā)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。無窮小是零嗎？

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)研究下列問題：dx為逝去量的“靈魂”

他指出：牛頓在求xn的導(dǎo)數(shù)時(shí)，采取了先給x以增量０，應(yīng)用二項(xiàng)式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓０消逝，這樣得出增量的最終比。dx為逝去量的“靈魂”他指出：牛頓在求“幽靈”即為極限的概念

這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)：先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒有增量。"他認(rèn)為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，"dx為逝去量的靈魂"。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？“幽靈”即為極限的概念

這里牛頓做了違反“幽靈”即為極限的概念

由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭論。直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)：極限理論“幽靈”即為極限的概念

由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個(gè)

危機(jī)的實(shí)質(zhì)

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是“不是有理數(shù)，而是無理數(shù)”。那么第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該說，是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光——集合論到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時(shí)，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了（康托）。人們感覺到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光—

羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。羅素悖論：“設(shè)B={集合A|

}，問B屬于不屬于B？”羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”：某村的一個(gè)22

危機(jī)的消除

危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來。危機(jī)的消除

這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問題的余地。羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征（悖論的實(shí)質(zhì)）是“自我指謂”。即，一個(gè)待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來定義，造成惡性循環(huán)。例如，悖論中定義“不屬于自身的集合”時(shí)，涉及到“自身”這個(gè)待定義的對(duì)象。這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托“樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)“所有集合的集合”、“一切屬于自身的集合”這樣的集合。為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托

1908年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,1871—1953）提出了由7條公理組成的集合論體系，稱為Z-系統(tǒng)。

1922年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進(jìn)一條公理，還把公理用符號(hào)邏輯表示出來，形成了集合論的ZF-系統(tǒng)。再后來，還有改進(jìn)的ZFC-系統(tǒng)。這樣，大體完成了由樸素集合論到公理集合論的發(fā)展過程，悖論消除了。1908年，策梅洛（E.F.F.

但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評(píng)論道：“為了防狼，羊群已經(jīng)用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內(nèi)有沒有狼”。這就是說，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，并不是完全令人滿意的。但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在悖論欣賞：1.說謊者悖論：“我說這句話時(shí)正在說謊”2.柏拉圖：“蘇格拉底老師下面說的話是假話”蘇格拉底：“柏拉圖上面說的話是真話”3.語言悖論：“N是須用超過25個(gè)自然字才能定義的最小正整數(shù)?！?8悖論欣賞：1.說謊者悖論：“我說這句話時(shí)正在說謊”28近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期從19世紀(jì)20年代至今數(shù)學(xué)發(fā)展極為昌盛快速，成為一棵根繁葉茂的參天大樹，深入到人類生活的各個(gè)領(lǐng)域。從內(nèi)容上看，它研究了最一般的數(shù)量關(guān)系和空間形式，建立了抽象代數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)、泛函分析、集合論、數(shù)理邏輯、概率統(tǒng)計(jì)、圖論、運(yùn)籌學(xué)、模糊數(shù)學(xué)等等學(xué)科，它們成為現(xiàn)在大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的主要課程或成為計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)。

近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期近現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期從19世紀(jì)20年代至今數(shù)學(xué)發(fā)展極迎來三件驚天動(dòng)地的大事：

18世紀(jì)與19世紀(jì)之交，人們認(rèn)為數(shù)學(xué)已經(jīng)完備，沒有發(fā)展的余地了數(shù)學(xué)寧靜了一段時(shí)間，終于迎來了暴風(fēng)驟雨由俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基提出了與傳統(tǒng)的歐幾里得幾何不同的幾何理論，（它否定了歐氏幾何的平行公理）引發(fā)了一場數(shù)學(xué)革命，被稱為數(shù)學(xué)狂飆經(jīng)過近百年的發(fā)展，數(shù)學(xué)和人類迎來三件驚天動(dòng)地的大事迎來三件驚天動(dòng)地的大事：

18世紀(jì)與19世紀(jì)之交，人們認(rèn)愛因斯坦、電子計(jì)算機(jī)、空間技術(shù)：源于愛因斯坦的數(shù)學(xué)推導(dǎo)E=C2M(C為光速，M為物質(zhì)的質(zhì)量，E為能量)而掌握的原子能源于數(shù)學(xué)和電子學(xué)的電子計(jì)算機(jī)源于數(shù)學(xué)與天文、工業(yè)的空間技術(shù)，將人類帶入一個(gè)全新時(shí)代源于數(shù)學(xué)的邊緣學(xué)科紛紛誕生，從數(shù)學(xué)中分出的計(jì)算機(jī)科學(xué)成為二十世紀(jì)末二十一世紀(jì)最活躍、最賺錢的科學(xué)技術(shù)。愛因斯坦、電子計(jì)算機(jī)、空間技術(shù)：源于愛因斯坦的數(shù)學(xué)推導(dǎo)E=C世界數(shù)學(xué)年

2000年是聯(lián)合國宣布的“世界數(shù)學(xué)年”，聯(lián)合國教科文組織指出：“純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)是理解世界及其發(fā)展的一把主要鑰匙?！笔澜鐢?shù)學(xué)年2000年是聯(lián)合國宣布的“世界數(shù)學(xué)年”，聯(lián)合數(shù)學(xué)是什么？●“在進(jìn)入大學(xué)前的十載歲月里，我未接觸到應(yīng)試數(shù)學(xué)的半點(diǎn)光彩。我們始終向著高考這個(gè)終點(diǎn)在一程程地接力跑，手中的接力棒是學(xué)校里所學(xué)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)。當(dāng)我們抵達(dá)終點(diǎn)時(shí)，盡情享受勝利的喜悅，而那比賽中象征傳遞延續(xù)的接力棒則早已被人遺忘。這就是我所學(xué)的數(shù)學(xué)，為分?jǐn)?shù)而做、為功利而學(xué)?！保ㄓ⒄Z系）●“隨著年齡的增長，學(xué)習(xí)的深入，在我對(duì)數(shù)學(xué)的興趣中漸漸滲入了一種叫做‘恐懼與無助’的滋味。數(shù)學(xué)題目的解出與否不再是無關(guān)緊要的事情，它關(guān)乎一場考試的成敗，甚至是人生的成敗。于是，我感到了壓力，在經(jīng)過了無數(shù)場機(jī)械化的操練、在經(jīng)歷無數(shù)場考試、在做遍千萬份試卷后，數(shù)學(xué)對(duì)我而言，終于成為了一項(xiàng)任務(wù)，還有一些厭惡。”（日語系）數(shù)學(xué)是什么？●“在進(jìn)入大學(xué)前的十載歲月里，我未接觸到應(yīng)試數(shù)學(xué)

王蒙回想童年時(shí)代花的時(shí)間一大部分用在做數(shù)學(xué)題上，這些數(shù)學(xué)知識(shí)此后直接用到的很少，但是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)對(duì)于我的思維的訓(xùn)練卻是及其有益的。時(shí)隔半個(gè)多世紀(jì)了，有時(shí)看到上中學(xué)的孫子有數(shù)學(xué)題做不上來，我仍然喜歡拿到一邊去做，與我上數(shù)學(xué)課的時(shí)間已經(jīng)相隔半個(gè)多世紀(jì)了，多數(shù)情況下我仍能做出來，并從中得到極大的快樂。王蒙▲如果你想當(dāng)經(jīng)濟(jì)學(xué)家，藥學(xué)家，化學(xué)家，數(shù)學(xué)是統(tǒng)計(jì)分析工具▲你想當(dāng)物理學(xué)家，數(shù)學(xué)是微積分▲你想當(dāng)計(jì)算機(jī)專家，數(shù)學(xué)是算法語言▲你想當(dāng)建筑學(xué)家，數(shù)學(xué)是幾何三視圖▲你想當(dāng)數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)就是你的世界▲如果你不幸什么都當(dāng)不了，小心數(shù)學(xué)就是你的克星!▲如果你想當(dāng)經(jīng)濟(jì)學(xué)家，藥學(xué)家，化學(xué)家，數(shù)學(xué)是統(tǒng)計(jì)分析工具▲數(shù)學(xué)學(xué)什么？古希臘：----------------“萬物皆數(shù)”畢達(dá)哥拉斯學(xué)派一，他把【證明】這個(gè)概念引入了數(shù)學(xué)。證明現(xiàn)在普遍被看做是數(shù)學(xué)最基本的精神，我們甚至很難想像先于數(shù)學(xué)推理的階段是什么。

二，他意識(shí)到了無理數(shù)的存在。當(dāng)然，他不知道“無理數(shù)”這個(gè)稱呼，他也無可抑制的對(duì)這個(gè)他無法控制的數(shù)感到惱火---自然他也就避開了它。數(shù)學(xué)學(xué)什么？古希臘：----------------“萬物皆偉大的畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯：古希臘數(shù)學(xué)家，公元前580至公元前497，青年的他游歷許多地方，并到埃及印度留學(xué)。他深入民間收集點(diǎn)點(diǎn)滴滴的數(shù)學(xué)知識(shí)，最后學(xué)有所成并形成一個(gè)學(xué)派，史稱畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，對(duì)數(shù)學(xué)，天文學(xué)有巨大貢獻(xiàn)。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為任何數(shù)都可以表達(dá)成二個(gè)整數(shù)的商，即任意數(shù)都是可以度量的。偉大的畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯：古希臘數(shù)學(xué)家，公元前580至公元萬物皆數(shù)他們把線段的長度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意兩條線段長度之比就是它們各自原子數(shù)之比。由此觀點(diǎn)出發(fā)，畢氏研究了音樂美術(shù)天文地理。應(yīng)用在數(shù)學(xué)上，從埃及的黃金三角形（各邊之比為3：4：5）發(fā)現(xiàn)5：12：13，8：15：17，這就是中國說的“勾股定理”它們只相信直角三角形的三邊之比都應(yīng)該是整數(shù)比萬物皆數(shù)他們把線段的長度看作是線段鎖包含的原子數(shù)目，因而任意畢氏的學(xué)生、學(xué)者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就不可度量，與畢氏理論產(chǎn)生矛盾畢氏也發(fā)現(xiàn)不可通約量的存在學(xué)派進(jìn)入兩難境地，學(xué)派內(nèi)部所有成員立誓保密，因而無理數(shù)有個(gè)外號(hào)“不可說”（Alogon)希帕索斯說了，學(xué)派就此開始瓦解。學(xué)派解決矛盾的方法是把希帕索斯拋進(jìn)愛琴海喂魚。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。大約公元前５世紀(jì)，不可通約量的發(fā)現(xiàn)－－－－畢達(dá)哥拉斯悖論畢氏的學(xué)生、學(xué)者希帕索斯發(fā)現(xiàn)直角三角形直角邊都取1，則斜邊就當(dāng)然真理是畢達(dá)哥拉斯無法扔到愛琴海喂魚的，之后100年，柏拉圖的學(xué)生用公理化的辦法處理了這個(gè)問題。但是不知道是因?yàn)閿?shù)學(xué)家也害怕被扔到愛琴海喂魚呢，還是因?yàn)槭チ藢?duì)整數(shù)的信仰，整個(gè)希臘數(shù)學(xué)自此開始轉(zhuǎn)向了研究幾何圖形的問題，畢竟幾何圖形避免了數(shù)打交道，從而有了歐氏幾何。第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的產(chǎn)物—古典邏輯與歐氏幾何學(xué)當(dāng)然真理是畢達(dá)哥拉斯無法扔到愛琴海喂魚的，之后100年，柏拉微積分產(chǎn)生的背景從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在尋求一種計(jì)算不規(guī)則圖形面積的方法眾多科學(xué)家意識(shí)到其中有個(gè)“幽靈”說不清道不明，其代表人物：阿基米德，芝諾，歐道克斯，莊子，劉徽許多迫切待解決的問題擺在數(shù)學(xué)家面前：描述變速運(yùn)動(dòng)？曲線的切線？曲線的長度？曲面的面積？曲面圍成的多面體的體積？極大極小問題？等等微積分產(chǎn)生的背景從埃及尼羅河沿岸每年丈量土地開始，人們就在尋古希臘的數(shù)學(xué)中除了整數(shù)之外，并沒有無理數(shù)的概念，連有理數(shù)的運(yùn)算也沒有，可是卻有量的比例。他們對(duì)于連續(xù)與離散的關(guān)系很有興趣，尤其是芝諾提出的四個(gè)著名的悖論：第一個(gè)悖論是說運(yùn)動(dòng)不存在，理由是運(yùn)動(dòng)物體到達(dá)目的地之前必須到達(dá)半路，而到達(dá)半路之前又必須到達(dá)半路的半路……如此下去，它必須通過無限多個(gè)點(diǎn)，這在有限長時(shí)間之內(nèi)是無法辦到的。第二個(gè)悖論是跑得很快的阿希里趕不上在他前面的烏龜。因?yàn)闉觚斣谒懊鏁r(shí)，他必須首先到達(dá)烏龜?shù)钠瘘c(diǎn)，然后用第一個(gè)悖論的邏輯，烏龜者在他的前面。這兩個(gè)悖論是反對(duì)空間、時(shí)間無限可分的觀點(diǎn)的。第三、第四悖論是反對(duì)空間、時(shí)間由不可分的間隔組成。第三個(gè)悖論是說“飛矢不動(dòng)”，因?yàn)樵谀骋粫r(shí)問間隔，飛矢總是在某個(gè)空間間隔中確定的位置上，因而是靜止的。第四個(gè)悖論是游行隊(duì)伍悖論，內(nèi)容大體相似。這說明希臘人已經(jīng)看到無窮小與“很小很小”的矛盾。當(dāng)然他們無法解決這些矛盾。古希臘的數(shù)學(xué)中除了整數(shù)之外，并沒有無理數(shù)的概念，連有理數(shù)的運(yùn)無窮小分割是主要方法無窮小分割求和：關(guān)于切線：笛卡兒與費(fèi)爾瑪認(rèn)為是兩個(gè)交點(diǎn)重合時(shí)的割線。羅伯瓦等認(rèn)為是描繪曲線的運(yùn)動(dòng)在這點(diǎn)的方向眾多數(shù)學(xué)家加入到這場爭論中，拉開流數(shù)術(shù)和微分法的序幕費(fèi)爾瑪是除去牛頓萊布尼茲外做得最多的人，他走到大門口，但沒有進(jìn)入。主要是他沒有它的理論與求積的關(guān)系無窮小分割是主要方法無窮小分割求和：牛頓與萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)明微積分牛頓與微積分萊布尼茲與微積分英德之間的歷史公案牛頓與萊布尼茲各自獨(dú)立發(fā)明微積分牛頓與微積分1665年夏天，因?yàn)橛l(fā)鼠疫，劍橋大學(xué)暫時(shí)關(guān)閉。剛剛獲得學(xué)士學(xué)位、準(zhǔn)備留校任教的牛頓被迫離校到他母親的農(nóng)場住了一年多。這一年多被稱為“奇跡年”，牛頓對(duì)三大運(yùn)動(dòng)定律、萬有引力定律和光學(xué)的研究都開始于這個(gè)時(shí)期。在研究這些問題過程中他發(fā)現(xiàn)了他稱為“流數(shù)術(shù)”的微積分。他在1666年寫下了一篇關(guān)于流數(shù)術(shù)的短文，之后又寫了幾篇有關(guān)文章。但是這些文章當(dāng)時(shí)都沒有公開發(fā)表，只是在一些英國科學(xué)家中流傳。

首次發(fā)表有關(guān)于微積分研究論文的是德國哲學(xué)家萊布尼茨。萊布尼茨在1675年已發(fā)現(xiàn)了微積分，但是也不急于發(fā)表，只是在手稿和通信中提及這些發(fā)現(xiàn)。1684年，萊布尼茨正式發(fā)表他對(duì)微分的發(fā)現(xiàn)。兩年后，他又發(fā)表了有關(guān)積分的研究。在瑞士人伯努利兄弟的大力推動(dòng)下，萊布尼茨的方法很快傳遍了歐洲。到1696年時(shí)，已有關(guān)于微積分的教科書出版。

1665年夏天，因?yàn)橛l(fā)鼠疫，劍橋大學(xué)暫時(shí)關(guān)于是究竟是誰首先發(fā)現(xiàn)了微積分，就成了一個(gè)需要解決的問題了。1711年，蘇格蘭科學(xué)家、英國王家學(xué)會(huì)會(huì)員約翰·凱爾在致王家學(xué)會(huì)書記的信中，指責(zé)萊布尼茨剽竊了牛頓的成果，只不過用不同的符號(hào)表示法改頭換面。同樣身為王家學(xué)會(huì)會(huì)員的萊布尼茨提出抗議，要求王家學(xué)會(huì)禁止凱爾的誹謗。王家學(xué)會(huì)組成一個(gè)委員會(huì)調(diào)查此事，在次年發(fā)布的調(diào)查報(bào)告中認(rèn)定牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分，并譴責(zé)萊布尼茨有意隱瞞他知道牛頓的研究工作。此時(shí)牛頓是王家學(xué)會(huì)的會(huì)長，雖然在公開的場合假裝與這個(gè)事件無關(guān)，但是這篇調(diào)查報(bào)告其實(shí)是牛頓本人起草的。他還匿名寫了一篇攻擊萊布尼茨的長篇文章。

當(dāng)然，爭論并未因?yàn)檫@個(gè)偏向性極為明顯的調(diào)查報(bào)告的出籠而平息。事實(shí)上，這場爭論一直延續(xù)到了現(xiàn)在。沒有人，包括萊布尼茨本人，否認(rèn)牛頓首先發(fā)現(xiàn)了微積分。問題是，萊布尼茨是否獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了微積分？萊布尼茨是否剽竊了牛頓的發(fā)現(xiàn)？

于是究竟是誰首先發(fā)現(xiàn)了微積分，就成了一個(gè)需要解決數(shù)學(xué)文化欣賞剖析課件無窮小是零嗎？

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)研究下列問題：1734年，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊發(fā)表《分析學(xué)家或者向一個(gè)不信正教數(shù)學(xué)家的進(jìn)言》，矛頭指向微積分的基礎(chǔ)--無窮小的問題，提出了貝克萊悖論。引發(fā)第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。無窮小是零嗎？

第二次數(shù)學(xué)危機(jī)研究下列問題：dx為逝去量的“靈魂”

他指出：牛頓在求xn的導(dǎo)數(shù)時(shí)，采取了先給x以增量０，應(yīng)用二項(xiàng)式（x+0）n，從中減去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量與x的增量之比，然后又讓０消逝，這樣得出增量的最終比。dx為逝去量的“靈魂”他指出：牛頓在求“幽靈”即為極限的概念

這里牛頓做了違反矛盾律的手續(xù)：先設(shè)x有增量，又令增量為零，也即假設(shè)x沒有增量。"他認(rèn)為無窮小dx既等于零又不等于零，召之即來，揮之即去，這是荒謬，"dx為逝去量的靈魂"。無窮小量究竟是不是零？無窮小及其分析是否合理？“幽靈”即為極限的概念

這里牛頓做了違反“幽靈”即為極限的概念

由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個(gè)半世紀(jì)的爭論。直到19世紀(jì)20年代，一些數(shù)學(xué)家才比較關(guān)注于微積分的嚴(yán)格基礎(chǔ)。波爾查諾、阿貝爾、柯西、狄里赫利等人的工作開始，到威爾斯特拉斯、戴德金和康托的工作結(jié)束，中間經(jīng)歷了半個(gè)多世紀(jì)，基本上解決了矛盾，為數(shù)學(xué)分析奠定了嚴(yán)格的基礎(chǔ)：極限理論“幽靈”即為極限的概念

由此而引起了數(shù)學(xué)界甚至哲學(xué)界長達(dá)一個(gè)

危機(jī)的實(shí)質(zhì)

第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是“不是有理數(shù)，而是無理數(shù)”。那么第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)是什么？應(yīng)該說，是極限的概念不清楚，極限的理論基礎(chǔ)不牢固。也就是說，微積分理論缺乏邏輯基礎(chǔ)。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)

“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光——集合論到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時(shí)，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了（康托）。人們感覺到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī)“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光—

羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。羅素悖論：“設(shè)B={集合A|

}，問B屬于不屬于B？”羅素悖論的通俗化——“理發(fā)師悖論”：某村的一個(gè)54

危機(jī)的消除

危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選擇有兩種，一種是拋棄集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造集合論，探討消除悖論的可能。人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來。危機(jī)的消除

這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問題的余地。羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征（悖論的實(shí)質(zhì)）是“自我指謂”。即，一個(gè)待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來定義，造成惡性循環(huán)。例如，悖論中定義“不屬于自身的集合”時(shí)，涉及到“自身”這個(gè)待定義的對(duì)象。這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托“樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)造集合的原則，例如，不