人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

笑二音 一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用市一字(選擇性必修第二冊)第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算課程標(biāo)準(zhǔn)要求.了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義..能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c(c為常數(shù))，y=x,y=x：y=x\y=-,y=V%X的導(dǎo)數(shù)..能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).能求簡單的復(fù)合函數(shù)(限于形如f(ax+b))的導(dǎo)數(shù),會使用導(dǎo)數(shù)公式表.必備知識數(shù)公式表.必備知識?課前回顧8幅激材夯實四家[A知識梳理.函數(shù)y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)⑴定義:如果當(dāng)Ax-0時,平均變化率?無限趨近于一個確定的值，即黑有極限,則稱y=f(x)在x=x0處可導(dǎo),并把這個確定的值叫做y=f(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)(也稱為瞬時變化率)，記作f'(x。)或y'lx/,即f，(x0)=lim"lim回空3.Ax-oAxAlOAx■釋疑(1)定義的變化形式:f'(xo)=lim/(y)V(Xo).X-^XqX-Xq(2)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)反映了函數(shù)f(x)的瞬時變化趨勢,其正負號反映了變化的方向其大小If'(x)|反映了變化的快慢，|f二(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”.(2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)f'(X。)就是曲線y=f(x)切線的斜率k0,即k°=lim/g+AxAff，(Xo).△lOZx ■釋疑(1)曲線y=f(x)在點P(x0,y0)處的切線是指P為切點,斜率為f'(xo)的切線,具有唯一性.(2)曲線y=f(x)過點P(x(),y。)的切線，點P不一定是切點,切線可能有HZ.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)從求函數(shù)y=f(x)在x=x()處導(dǎo)數(shù)的過程可以看至！J,當(dāng)x=x()時，f'(X。)是一個唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)x變化時,y=f'(x)就是x的函數(shù),我們稱它為y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)(簡稱導(dǎo)數(shù)).y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)有時也記作y',即f(x)=y，=lim“x+sAx-0Ax3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式基本初等函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)=c(c為常數(shù))f7(x)=0f(x)=x°(aGQ,且a70)f(x)=axn1f(x)=sinxf7(x)=cosXf(x)=cosXf'(x)--sinxf(x)=e*f'(x)=Ef(x)=a'(a>0,且aW1)f7(x)=a1naf(x)=lnxf'(x)上Xf(x)=logax(a>0,且aWl)fZ(x)x\na■釋疑函數(shù)的解析式中含有根式的，在求導(dǎo)時要先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)事后求導(dǎo)數(shù).4.導(dǎo)數(shù)的運算法則若f'(x),g，(x)存在，則有[f(x)±g(x)]'=f'(x)土g'(x);[f(x)?g(x)]z=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);⑶陪，J(x)g⑺(x)((x)#0).9(x) [g(x)]5.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般地,對于由函數(shù)y=f(u)和u=g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y=f(g(x)),它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y，Ru?u\.即y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù)的乘積.度重要結(jié)論.奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù),周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)還是周期函數(shù)..熟記以下結(jié)論：⑴(3，T；X XL⑵W=^=；⑶[念]'=-61(f(x)W。)；(4)[af(x)±bg(x)]'=af'(x)±bgz(x).一:二對點自測三—.函數(shù)f(x)=e*+x2-2x的圖象在點(0,f(0))處的切線方程為(A)A.x+y-l=OB.x+y+l=O2x+y+l=02x+yT=0解析：因為f(x)=e*+x2-2x,所以f'(x)=e*+2x-2,所以*(0)=-1.又f(0)=1,所以所求切線方程為y-l=-(x-0),即x+y-l=0.故選A..下列求導(dǎo)數(shù)運算正確的是(B)A.(cos-)'=-sin-B.(log2x)'--^―3 3 x\n2C.(3、)'=3xlog3eD.(x+-)'=1+4x解析：由于cos；"因此(cos)=0,故A錯誤；(log2X)'=心，故B正32 3 xlnz確；(3?=31n3,故C錯誤;因為(x+3'=x'+(3'=『之故D錯誤.X X XL故選B..設(shè)f(x)在x=x()處可導(dǎo),且limf(Xo+3Ax)-/(Xo)=l,則f，(x。)等于(C)△x-0AxA.1B.3C.-D.03解析：lim/(Xo+3Axb/(Xo)=TOC\o"1-5"\h\zAx-0 Ax3lim/(Xo+3Ax)V(Xo)^3fz(x°)=l,△%-*0 3Ax所以f'(X。)三.故選C.*.(2020?全國in卷)設(shè)函數(shù)f(x)T-.若f,⑴士則x+a 4解析：由于f‘（X）二節(jié)步，故f'⑴二品三，解得a=L答案：1.若函數(shù)f(x)=ln(2x-1),則f'(2)=.解析:f'(x)『,因此f'(2)=」一=|.2x~l 2x2~l3答案:|關(guān)鍵能力?課堂突破戚考點一導(dǎo)數(shù)的運算1.已知函數(shù)f(x)=f'(Dx2+2x+2f(D,則f'(2)的值為(D)A.-2B.0C.-4D.-6解析:法一由題意⑴+2+2f⑴，化簡得f(l)=-f'⑴-2,而f'(x)=2f'⑴x+2,所以f'(l)=2f'(1)+2,得f(1)=-2,故f⑴二0,所以f(x)=-2x2+2x,所以f'(x)=-4x+2,所以f'(2)=-6.故選D.法二函數(shù)f(x)=f'(Dx2+2x+2f(l)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=2f,(l)x+2,即f'(1)=2#(1)+2,解得f'(1)=-2,因此f'(x)=-4x+2,f'(2)=-6.故選D.2.已知f(x)至，貝ijf'(；)等于(D)yJ2x 2A.-2-ln2B.-2+ln2C.2-In2D.2+ln2解析:依題意有ci(、--V2x-2x--(2x)2-Inxf(X)- ,2x故f，(，心譬2+ln2.故選D.3.(2021?湖南長沙期中)若函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x)+xg(x)=x?T,且f⑴=1,則f'⑴+g'⑴等于(C)A.1B.2C.3D.4解析:因為f(1)=1,f(l)+g(l)=0,所以g(l)=-l.因為f(x)+xg(x)=x''T,所以f'(x)+g(x)+xg'(x)=2x,所以f'(D+g⑴+g'⑴=2,所以f'⑴+g'⑴=2-(-1)=3.故選C.4.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(l)y-2x+1; (2)y=^=+^=;X+2 14-Vx1-y/x(3)y=lnVl+2%;(4)y=l+cos2x.解：(1)法一y'=(史:)'=x+2(2x+l)'(x+2)-(2x+l)(x+2)'_ 3(x+2)2 (x+2)2'法二因為2X+1,(x+2)'—ax+2 x+2 x+2所以y，=(2-2)，=(-8)，x+2 x+2 (x+2)⑵_1+1_(1-衣)+(1+衣)_2'l+Vxlyjx(1+Vx)(1->/%)1-X，所以y'=(")'=(=;)'=/*1-X X-1 (x-1)(3)因為y=Wl+2%,所以y=|ln(l+2x),所以y'2?—?(l+2x)'=二一.2l+2x 1+2%(4)因為y=1+cos2x=1+1+c°s2x-|+lC0S2x,所以y'=(-cos2x)'=--sin2x,(2x)'=-sin2x.一題后悟通.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分解為基本初等函數(shù)的和、差、積、商,再利用運算法則求導(dǎo)數(shù)..熟記求導(dǎo)函數(shù)的5種形式及解法(1)連乘積形式:先展開化為多項式的形式,再求導(dǎo)；(2)分式形式:觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或較為簡單的分式函數(shù),再求導(dǎo)；(3)對數(shù)形式:先化為和、差的形式，再求導(dǎo)；(4)根式形式:先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的形式,再求導(dǎo)；(5)三角函數(shù)形式:可利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形式,再求導(dǎo),也可直接利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)..掌握求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一般步驟(1)明確復(fù)合關(guān)系,適當(dāng)選定中間變量,正確分解關(guān)系；(2)分層求導(dǎo),弄清每一步中是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)數(shù).糜考點二導(dǎo)數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用口角度-求切線方程(例17)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,f(x)=x3-2x2,則曲線y=f(x)在點(l,f(D)處的切線方程為.解析：當(dāng)x>0時,-x<0,又當(dāng)x<0時，f(x)=x3-2x2,可知f(-x)=(-x)-2(-x)2=-x3-2x2.因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x).所以當(dāng)x>0時,f(x)=x3+2x2,所以f(1)=1+2=3.當(dāng)x>0時，f'(x)=3x?+4x,且f'(1)=7.因此曲線y=f(x)在點(1,f(l))處的切線方程為y-3=7(xT),即7x-y-4=0.答案：7x-y-4=0解題策略.求曲線在點P(x°,y°)處的切線方程的方法(1)求出y=f(x)在x=xo處的導(dǎo)數(shù)，即y=f(x)在點P(x0,f(X。))處的切線斜率(當(dāng)曲線y=f(x)在點P處的切線與y軸平行時,在該點處導(dǎo)數(shù)不存在,切線方程為x=x。);(2)由點斜式求得切線方程y-yo=f'(X。)?(x-xo)..由于本題涉及奇函數(shù)的點的切線問題，因此求解時需要利用奇函數(shù)的性質(zhì)求f(l)以及f'(1).幅度二求切點坐標(biāo)(例1->在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經(jīng)過點Qe,-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù))，則點A的坐標(biāo)是?解析:設(shè)A(xo,yo),由y，旦得k=—,xx0所以曲線在點A處的切線方程為y-Inxo-(x-xo).因為切線經(jīng)過點(-e,T),所以-1-InXq——(-e-Xo),所以InXo=—,x0 x0解得x()=e,yo-1,即A(e,1).答案：(e,1)解題策略根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點坐標(biāo)應(yīng)注意兩點：一是切點坐標(biāo)既在曲線的圖象上又在切線上;二是切線的斜率等于切點的橫坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù)值.口角度三求參數(shù)的值(取值范圍)(例1-3)(1)已知直線y=kx+l與曲線y=lnx相切，則k等于()A.4B.-C.eD.e2eze(2021?陜西寶雞高考模擬)已知直線y=kx(k>0)和曲線f(x)=x-alnx(aWO)相切，則a的取值范圍是( )A.(-8,o)u(0,e)B.(0,e)C.(0,1)U(1,e)D.(-8,o)U(1,e)解析：(1)因為y=lnx,所以y'X設(shè)切點為(m,Inm),得切線的斜率為k=y，因為切點在直線y=kx+l上，所以Inm=—,m+1,m即Inm-2,貝ljm=e；貝ljk=/.故選A.e2(2)函數(shù)f(x)=x-alnx(a#0)的定義域為(0,+°°),

設(shè)直線y=kx(k>0)和曲線f(x)=x-alnx(aWO)相切于點(x0,kx0)(x0>0),因為f'(x)=lT所以切線斜率k=『(x°)=l-g.XO又切點在曲線f(x)上，所以kx0=x0-alnx又切點在曲線f(x)上，所以k=1--,

XO整理得(fc-l)%0=-aln解得|&=e,k~l=-—, ia=-e(kT).整理得*0因為k>0,所以a=~e(k-l)<e,且a#0.所以a的取值范圍是(-8,0)U(0,e).故選A.解題策略利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法利用切點的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)的方程(組)或者參數(shù)滿足的不等式(組)，進而求出參數(shù)的值或取值范圍.［針對訓(xùn)練］.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+ax2,若曲線y=f(x)在點P(x0,f(xo))處的切線方程為x+y=O,則點P的坐標(biāo)為()A.(0,0)B.(1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)或(—1,1)解析：因為f(x)=x：'+ax：所以f'(x)=3x?+2ax,因為曲線y=f(x)在點P(x0,f(xo))處的切線方程為x+y=O,所以3詔+2axo=T,①又Xo+%；+a以=0,即xo(%o+ax0+l)=0,②由①可得x()#0,因此變形②為以+axo+l=O,結(jié)合①可解得x()=±l,所以當(dāng)x0=l時，f(x0)=-1,當(dāng)x0=-l時，f(Xo)=l.故選D..若函數(shù)f(x)=lnx+ax的圖象存在與直線2x-y=0平行或重合的切線,則實數(shù)a的取值范圍是.解析：函數(shù)f(x)=lnx+ax的圖象存在與直線2x-y=0平行或重合的切線，即f'(x)=2在(0,+8)上有解，而f，(x)」+a,故工+a=2,即a=2」X X X在(0,+8)上有解,因為x>o,所以2--<2,所以a的取值范圍是(-X°°,2).答案：(-8,2).(2021?安徽安慶一模)函數(shù)f(x)=(x數(shù))?尸+a在點(l,f⑴)處的切線經(jīng)過點⑶7),則實數(shù)a=.解析：由f(x)=(x+l)exl+a,得f'(x)=ei(x+2),f'(1)=3,f(l)=a+2,而切線過點⑶7),從而有二2=3,解得a=-1.3-1答案:T皂備選例^CfflD設(shè)函數(shù)f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),且f'(0)=6,則k等于()A.0B.~1C.3D.-6解析：f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k)=x[(x+k)(x+2k)(x13k)],即f'(x)=(x+k)(x+2k),(x-3k)+x[(x+k)(x+2k)(x_3k)]',貝!)f'(0)=-6k:-6,所以k=-l.故選B.CW3已知點A(l,2)在函數(shù)f(x)=ax，的圖象上,則過點A的曲線C:y=f(x)的切線方程是()B.x-4y+7=0C.6x-y-4=0或x-4y+7=0D.6x-y-4=0或3x-2y+l=0解析：由于點A(1,2)在函數(shù)f(x)=ax：’的圖象上，則a=2,即y=2x’,其導(dǎo)數(shù)為y'=6x2.設(shè)切點為(m,2nl)則切線的斜率為k=6m2,由點斜式得切線方程為y-2m3=6m2(x-m).代入點A(1,2)得2-2m3=6m2(l-m),即有2m3-3m2+l-0,(m-l)2(2m+l)=0,解得m=l或-條即斜率為6或|,則過點A的曲線C:y=f(x)的切線方程是y-2=6(xT)或y-2=|(x-1),即6x-y-4=0或3x-2y+l=0.故選D.例3，已知aTnb=0,c-d=l,貝!!(a-c)2+(b-d)2的最小值是( )A.1B.V2C.2D.2V2解析:設(shè)(b,a)是曲線C:y=lnx上的點，(d,c)是直線l:y=x+l上的點,則(a-c)2+(b-d)2可看作是曲線C上的點到直線1上的點的距離的平方.對函數(shù)y=lnx求導(dǎo)得y，==令y'=1,得x=l,所以曲線C上一點到X直線1上距離最小的點為(1,0),該點到直線1的距離為?市吧7LJ#+(-1)2因此(a-c)2+(b-d)2的最小值為(V2)2=2.故選C.設(shè)f(x)=|lnx|,若函數(shù)g(x)=f(x)-ax在區(qū)間(0,e?)上有三個零點,則實數(shù)a的取值范圍是()A.(。，》B.蜀；)c.(4，-)D.(4，i)ezeeze解析：令g(x)=f(x)-ax=o,可得f(x)=ax.在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)=|ln%|的圖象如圖所示. ,產(chǎn)

0 1 e2當(dāng)x>l時，f(x)=lnx.由y=lnx得y'X設(shè)過原點的直線y=ax與函數(shù)y=lnx的圖象相切于點A(x。，Inx0),finx0=%，(xo=e,則有I”_1解得］__1CL——, U-_,vx0 Ie所以當(dāng)直線y=ax與函數(shù)y=lnx的圖象相切時,a=±e又當(dāng)直線y=ax經(jīng)過點B(e2,2)時，有2=a-e2,解得a=W-ez結(jié)合圖象可得當(dāng)直線y=ax與函數(shù)f(x)=|ln%］的圖象有3個交點時,實數(shù)a的取值范圍是《，與.故選D.C?5)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=e'的切線，貝!)b=.解析：設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2的切點為(x1，y,)?與曲線y=ex的切點為(X2,yz),y=lnx+2的導(dǎo)數(shù)為y' y=e*的導(dǎo)數(shù)為y'=e;可得1<=12二.又由k=^^l=e>Tn消去可得(1+lnXi)?(X-1)=0,%2一%1 %2一%1則X1,或X1=1,當(dāng)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2的切點為(工，1)時，其e e與曲線y=e、的切點為(1,e);當(dāng)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2的切點為(1,2)時,其與曲線y=ex的切點為(0,1).所以k~^-y~e或k~^^=1,則切線方程為y=ex或y=x+l,可得b=0或1.

知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練導(dǎo)數(shù)的概念與運算1,2,912導(dǎo)數(shù)的幾何意義4,5,6,1014,1517函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合3,7,8,111316課時作業(yè)靈活》塔龍數(shù)提保?選題明細表A級基礎(chǔ)鞏固練1.(多選題)以下運算正確的是(BC)A.(-)'=B.(cosx)'=-sinxXX乙C.(2X)'=21n2D.(1gx)'=-一一xlnlO解析:對于A,由于(3'=-3，所以A不正確;對于B,由于(cosX)'=-sinx,所以B正確;對于C,由于(2X)'=2xln2,所以C正確；對于D,由于(lgx)'=-^77,所以D不正確.故選BC.xlnlO2.(2021?廣東肇慶高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ei+xlnx,則伊⑴等于(D)A.0B.1C.eD.2解析：因為f(x)=e'T+xlnx,所以f'(x)=ei+l+lnx,所以伊(1)=e1-1+l+ln1=2.故選D.3.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,則f(x)的解析式可能為(C)f(x)=3cosxf(xf(x)=3cosxf(x)=x3+x2C.f(x)=l+sin2xD.f(x)=e*+x解析:A項中，f，(x)=-3sinx,是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱,不關(guān)于y軸對稱；B項中，f'(x)=3x2+2x=3(x+，q,其圖象關(guān)于直線x=q對稱;C項中，f'(x)=2cos2x,是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱;D項中，f，(x)=e，+l,由指數(shù)函數(shù)的圖象可知該函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱.故選C.4.若直線y=-2x+b為曲線y=x-e*的一條切線，則實數(shù)b的值是(D)A.In3-3B.31n3+3C.In3+3D.31n3-3解析：設(shè)切點為(xo,xo-e*。)，由y=x-e*得y'=l-e1所以1-同。=-2,得e3=3,得x°=ln3.所以切點為(In3,In3-3),所以In3-3=-21n3+b,得b=31n3-3.故選D.(2021?湖南永州二模)曲線f(x)=21nx在x=t處的切線1過原點,則1的方程是(A)A.2x-ey=0 B.2x+ey=0C.ex-2y=0 D.ex+2y=0解析：曲線f(x)=21nx的導(dǎo)數(shù)為(x)W,設(shè)切點坐標(biāo)為(t,21nt),X因此切線1的斜率k=f，(t)上.又直線1過原點,所以k上等且得t t-otInt=l,t=e,所以k=,故切線1的方程為y-2=^(x-e),即2x-ey=0.故e e選A.6.(多選題)(2021?江蘇淮安高三聯(lián)考)若直線y=]+b是函數(shù)f(x)圖象的一條切線，則函數(shù)f(x)可以是(BCD)A.f(x)=-B.f(x)=x'XC.f(x)=sinxD.f(x)=e"解析:直線y=|x+b的斜率為k=|.由f(X)』的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=-g即切線的斜率小于0,故A不正確；由f(x)=x'的導(dǎo)數(shù)為*(x)=4x;而4x,解得x=|,故B正確；由f(x)=sinx的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=cosx,而cosx=：有解，故C正確；由f(x)=e，的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=ex,而由e'W，解得x=Tn2,故D正確.故選BCD.(2021?江蘇連云港高三聯(lián)考)定義方程f(x)=f'(x)的實數(shù)根x。叫做函數(shù)f(x)的“保值點”.如果函數(shù)g(x)=x與函數(shù)h(x)=ln(x+l)的“保值點”分別為a,B,那么a和8的大小關(guān)系是(B)A.a<BB.a〉BC.a=BD.無法確定解析：由題可得g'(x)=l,h'(x)"；,由“保值點”的定義可知a=l,x+1記0(x)=ln(x+l)-擊，則J(x)去島):>0,故/x)在定義域上單調(diào)遞增.由0(0)=-1<0,夕(l)=ln2-Zin2-LnV^〉0,因此0<B<1,所以a>B.故選B.(2021?江西吉安高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,f(x)W，則曲線y=f(x)在點(l,f(D)處的切線方程為A.y=2ex-eB.y=-2ex-eC.y=2ex+3D.y=-2ex+e解析：函數(shù)f(X)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)=^.設(shè)x>0,則-x〈0,因此f(-x)十一xe：由函數(shù)由X)是奇函數(shù)可知f(x)=-f(-X)=xex,即當(dāng)x>0時f(x)=x,ex,f'(x)=(x+l),即Xf(l)=e,k=f'(1)-2e.y=f(x)在點(1,f⑴)處的切線方程為y=2ex-e.故選A..某堆雪在融化過程中，其體積V(單位:m3)與融化時間t(單位:h)近似滿足函數(shù)關(guān)系:V(t)=H(10-2t)3(H為常數(shù))，其圖象如圖所示.記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為萬(mVh),那么t?t2,t3,t4中,瞬時融化速度等于萬(mVh)的時刻是圖中的解析:,上端詈反映的是v(t)圖象與兩坐標(biāo)軸交點連線的斜率,如圖,觀察可知t3處瞬時速度(即切線的斜率)與平均速度一致.V/m3答案:t3.我國魏晉時期的科學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實施“以直代曲”的近似計算，用正n邊形進行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周率n的精度較高的近似值,這是我國最優(yōu)秀的傳統(tǒng)科學(xué)文化之一.借用“以直代曲”的近似計算方法,在切點附近，可以用函數(shù)圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算.設(shè)f(x)=e-.則f，(x)=,其在點(0,1)處的切線方程為.解析：因為f(x)=e"2,故f'(x)=(x2)'e"2=2xe*2,則f'(0)=0,故曲線y=f(x)在點(0,1)處的切線方程為y=l.答案：2xe/y=l.設(shè)函數(shù)f(x)=g(2xT)+x；曲線y=g(x)在點(l,g(D)處的切線方程為y=2x+l,則伊⑴=.解析:把x=l代入y=2x+l,解得y=3,即g⑴=3,由y=2x+l的斜率為2,得到屋(1)=2.因為f'(x)=2g‘(2x-l)+2x,所以f'(l)=2g，(l)+2=6.答案：6B級綜合運用練.(2021?江蘇徐州高三期末)假設(shè)某放射性同位素的衰變過程中，t其含量P(單位：貝克)與時間t(單位:天)滿足函數(shù)關(guān)系P(t)=P02-西其中P。為t=0時該放射性同位素的含量.已知t=15時,該放射性同位素的瞬時變化率為-史強,則該放射性同位素含量為4.5貝克時衰變10所需時間為(D)A.20天B.30天C.45天D.60天t 1 _t解析：由P(t)=Po2-而得P'(t)=-而,Po,2-茄,In2,因為t=15時，該放射性同位素的瞬時變化率為-駕”,即P'(15)=-0解10 60 10_t得Po=18,則P(t)=18,230.當(dāng)該放射性同位素含量為4.5貝克時，即P(t)=4.5,所以18-2噎=4.5,即2-萬之,所以-才-2,解得t=60.故選D.13.(多選題)若以函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點P(xi,y)為切點作切線1.,y=f(x)圖象上總存在異于點P的點Q(x2,y,,使得以Q為切點的直線12與L平行,則稱函數(shù)f(x)為“美函數(shù)”，下面四個函數(shù)中是“美函數(shù)”的是(BC)A.y=x：，-2xB.y=3x+-XC.y=cosxD.y=(x-2)'+lnx解析：由題意可知函數(shù)是“美函數(shù)”的條件是方程y'=a(a是導(dǎo)數(shù)值)至少有兩個根.對于A,由y'=3x2-2,當(dāng)y'=-2時,x的取值只有。是唯一的，因此不符合題意；對于B,由y，=3-?a(x#0,且a<3),即白=3-a,此方程有兩個不同的* X根,符合題意;對于C,由y'=-sinx及其周期性可知-sinx=a(TWa/l)的解有無窮多個,符合題意；對于D,由y'=2x-4+工(x>0),令2x-4—=a,則有2x?-(4+a)x+l=0,當(dāng)X X△=0時,解唯一,不符合題意.故選BC.(2021?河北石家莊高三開學(xué)考試)函數(shù)f(x)=sin2x在原點(0,0)處的切線方程為,請你舉出與函數(shù)f(x)=sin2x在原點處具有相同切線的一個函數(shù):.解析：由f(x)=sin2x得f'(x)=2cos2x,所以函數(shù)f(x)在原點(0,0)處的切線斜率為k=#(0)=2,因此函數(shù)f(x)在原點(0,0)處的切線方程為y=2x.因為函數(shù)f(x)=sin2x在原點(0,0)處的導(dǎo)數(shù)值為2,所以所求函數(shù)可以是y=x+2x,y'=2x+2,其在原點(0,0)處的切線方程為y=2x.答案:y=2xy=x?+2x(答案不唯一)(2021,安徽黃山一模)已知函數(shù)f(x)=x2+2,g(x)=lnx,若曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線與曲線y=f(x)相切于點(xi,y),則后-ln(2xi)=.解析：設(shè)公切線與g(x)=lnx相切于點(X2,InX2),由f'(x)=2x,g'(x)」，X則曲線y=f(x)在(xi,yj處的切線方程為y-(后+2)=2xi(x-Xi),即y=2xix-好+2.曲線y=g(x)在區(qū)，InX2)處的切線方程為y=±+lnx2-l,x2所以產(chǎn)=公，4-2=Inx2-l,解得*Tn(2xi)=3.答案：3C級應(yīng)用創(chuàng)新練16.在函數(shù)f(x)=alnx-(xT尸的圖象上,橫坐標(biāo)在(1,2)內(nèi)變化的點處的切線斜率均大于1,則實數(shù)a的取值范圍是(C)A.[1,+8)B.(1,+8)C.[6,+8)D.(6,+8)解析：函數(shù)f(x)=alnxYxT)2,求導(dǎo)得尹(x)=2-2(xT),X由橫坐標(biāo)在區(qū)間(1,2)內(nèi)變化的點處的切線斜率均大于1,可得±-2(x-l)>l對x￡(1,2)恒成立，X即有a>x(2x-l)=2x-x對x￡(1,2)恒成立.令g(x)=2x?-x,對稱軸方程為x=；,所以區(qū)間(1,2)為增區(qū)間，即有g(shù)(x)<g(2)=6,則有a，6.故選C.17.設(shè)點P,Q分別是曲線y=xer(e是自然對數(shù)的底數(shù))和直線y=x+3上的動點，則P,Q兩點間距離的最小值為(B)A.絲 B.這2 2「(4e-l)V2口(4e+l)V22 2解析：由題意，曲線y=xG上的任意一點P和直線y=x+3上的動點Q兩點間的距離的最小值，就是曲線y=xer上與直線y=x+3平行的切線與直線y=x+3之間的距離.由y=W可得y'==,令y'=1,解得x=0.ex ex當(dāng)x=0時,y=0,點P(0,0),因此P,Q兩點間的距離的最小值，即為點P(0,0)到直線y=x+3的距禺，故選B.7A2第二課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、最值關(guān)鍵能力?課堂突破腐考點一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題口角度-根據(jù)圖象判斷函數(shù)的極值設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值，則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是(解析：因為函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在X=-2處取得極小值，所以當(dāng)x>-2時，f'(x)>0;當(dāng)x=-2時，f'(x)=0;當(dāng)x<-2時，f，(x)<0.所以當(dāng)-2<x<0時,xf'(x)<0;當(dāng)x=-2時，xf'(x)=0;當(dāng)x<-2時,xf'(x)>0.故選C.解題策略.涉及與極值有關(guān)的函數(shù)圖象問題，首先要分清給的是f(x)的圖象還是f'(X)的圖象若給的是f(x)的圖象，應(yīng)先找出f(x)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值點，如果給的是f'(X)的圖象，應(yīng)先找出f'(X)的正負區(qū)間及由正變負還是由負變正,然后結(jié)合題目特點分析求解..f(x)在x=x。處有極值時,一定有f'(x°)=0,f(x。)可能為極大值，也可能為極小值,應(yīng)檢驗f(x)在x=x。兩側(cè)的符號后才可下結(jié)論;若f'(Xo)=0,則f(X)不一定在X=Xo處取得極值，只有確認Xi<Xo<X2時,f(X1),f(x2)<0,才可確定f(x)在X=Xo處取得極值.口角度二求函數(shù)的極值、 丫2(例1-2)函數(shù)f(x)=y-klnx,k>0.求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：由f(x)=土-kinx(k>0,x>0),得f'(x)=x-空上~^.由f'(x)=0,2 xx解得x-y/k(負值舍去).當(dāng)x變化時，f(x)與f'(x)在區(qū)間(0,+8)上的變化情況如表，X(O.Vfc)(Vfc,+°°)f'(X)—0+f(X)單調(diào)遞減k(l-lnk)2單調(diào)遞增所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,迎)，單調(diào)遞增區(qū)間是(板,+8),所以f(x)在x=迎處取得極小值為f(Vfc)=也詈,f(x)沒有極大值.解題策略利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,首先是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值,也就是f'(X)的值的符號,如果左正右負，那么y=f(x)在這個點處取極大值,如果左負右正，那么y=f(x)在這個點處取極小值.如果左右不改變符號,那么f(x)在這個點處無極值.口角度三已知極值點求參數(shù)(范圍)(ffi-?)已知函數(shù)f(x)=[ax2-(3a+l)x+3a+2]e*在x=l處取得極小值,求實數(shù)a的取值范圍.解：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(x-1)(ax-1)e\法一若a>l,則當(dāng)x￡(二1)時,f'(x)<0;當(dāng)x￡(1,+8)時,f，a(x)>0.所以f(x)在x=l處取得極小值.若aWl,則當(dāng)x￡(0,1)時,axTWxT<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的極小值點.綜上可知,a的取值范圍是(1,+8).法二若a=0,當(dāng)x<l時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)x>l時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在x=l處取得極大值,不符合題意；若a=l,由f'(x)=(x-l)2ex^0知f(x)單調(diào)遞增,無極值,不符合題意;TOC\o"1-5"\h\z若a>l,則乂1,f(x)在(-,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增，CL CL可得函數(shù)f(X)在x=l處取得極小值,符合題意；若0<a<l,則工>1,f(x)在(-8,1)上單調(diào)遞增,在(1,與上單調(diào)遞減，a a可得函數(shù)f(x)在x=l處取得極大值,不符合題意；若a<0,則乂1,f(x)在(2,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，Cl CL可得函數(shù)f(X)在X=1處取得極大值,不符合題意.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(1,+8).解題策略已知函數(shù)的極值點X=x。求參數(shù)的值時,首先明確f'(x°)=0,然后判斷函數(shù)在x=x。左右的函數(shù)值的符號是否滿足函數(shù)極值點的性質(zhì)，若是涉及參數(shù)的討論,則還要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的零點分類討論,一般是將導(dǎo)函數(shù)的零點用參數(shù)表示出來，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點與極值點的關(guān)系分類討論后求解.口角度四已知極值點的個數(shù),求參數(shù)的取值范圍融B已知函數(shù)f(x)=J、a(lnx+3(a￡R).若f(x)在(0,2)上有兩" X個極值點,求實數(shù)a的取值范圍.要使得f(x)在(0,2)上有兩個極值點，則g(x)=exl-ax在(0,2)上有兩個變號零點.①當(dāng)aWl時，g(x)=e*'-ax2e"'-x,令S(x)=ex'-x,S'(x)=ex-1,所以當(dāng)x￡(0,1)時,S'(x)<0,S(x)為減函數(shù),當(dāng)x￡(l,2)時,S'(x)>0,S(x)為增函數(shù)，所以S(x)2S⑴=0,故g(x)20,所以g(x)在(0,2)上沒有兩個零點,不符合題意.②當(dāng)a2e時，因為x￡(0,2),ex-,Ee),eg'(x)=exl-a<0,則g(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，所以g(x)最多只有一個零點，不符合題意.③當(dāng)Ka<e時,g'(x)=ex-a,當(dāng)x￡(0,lna+l)時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x￡(Ina+1,2)時,g'(x)〉0,g(x)單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(lna+l)=-alna,要使g(x)=e*「ax在(0,2)上有兩個(g(0)=；>。，不同的零點，只要JgQna+1)=-a\na<0,解得(g(2)=e-2a>0,綜上所述,a的取值范圍為(1,|).解題策略已知函數(shù)極值點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍.解決此類問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f'(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)變號零點的個數(shù)問題求解.口角度五討論函數(shù)極值點的個數(shù)例運已知函數(shù)f(x)=(xT)e'-ax“e是自然對數(shù)的底數(shù),a￡R).討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù),并說明理由.解:f(x)的定義域為R,f'(x)=xex-2ax=x(ex-2a),(1)當(dāng)a《0時,ex-2a>0,令f'(x)=0,得x=0,若x<0,則fz(x)<0,f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減,若x>0,則f'(x)>0,f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以f(x)有1個極值點.(2)當(dāng)a>0時，令f'(x)=0,得x=0或x=ln(2a),①當(dāng)時，In(2a)=0,f'(x)20,f(x)在R上單調(diào)遞增，所以f(x)沒有極值點.②當(dāng)O〈aq時，ln(2a)<0,由f'(x)>0,得x〈ln(2a)或x〉0,由f'(x)<0,得ln(2a)<x<0,所以f(x)在(-8Jn(2a))上單調(diào)遞增,在(In(2a),0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以f(x)有2個極值點.③同②可得，當(dāng)a*時,f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增,在(0,In(2a))上單調(diào)遞減，在Un(2a),+8)上單調(diào)遞增,所以f(x)有2個極值點.綜上所述，當(dāng)a三時,f(x)沒有極值點，當(dāng)a<0時,f(x)有1個極值點，當(dāng)a>0,且時,f(x)有2個極值點.解題策略討論函數(shù)極值點的個數(shù)，就是轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的變號零點的個數(shù),而討論變號零點的個數(shù),常常利用數(shù)形結(jié)合法,將其轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點問題,需準(zhǔn)確畫出兩個函數(shù)的圖象,利用圖象討論滿足條件的參數(shù)范圍.［針對訓(xùn)練］1.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象如圖所示，那么( )-1是函數(shù)f(x)的極小值點1是函數(shù)f(x)的極大值點2是函數(shù)f(x)的極大值點D.函數(shù)f(x)有兩個極值點解析:根據(jù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖象可知f'(T)=o,f'(2)=0,當(dāng)x<T時,伊(x)>0,當(dāng)-l〈x<2時，f'(x)>0,當(dāng)x>2時,f'(x)<0,所以-1不是極值點,2是函數(shù)f(x)的極大值點.故選C.(2021?河北邯鄲月考)若函數(shù)f(x)=aex-sinx在x=0處有極值,則a的值為()A.-1B.0C.1D.e解析：f'(x)=ae*-cosx,若函數(shù)f(x)=ae*-sinx在x=0處有極值，則f'(0)=aT=0,解得a=l,經(jīng)檢驗a=l符合題意.故選C.(2021?貴州遵義高三期中)若函數(shù)f(x)與匚ax?+x-5無極值點,則實數(shù)a的取值范圍是()(-1,1)[-1,1](-°°,-1)U(1,+8)(-°°,-1]U[1,+oo)解析：因為f(x)=1x3-ax2+x-5,所以f'(x)=x2-2ax+l.由函數(shù)f(x)=|x3-axL，+x-5無極值點知f'(x)=0至多有1個實數(shù)根.所以△=(-2a)2-4W0,解得TWaWl,實數(shù)a的取值范圍是[T,故選B..函數(shù)f&)=&+1)6"-92-6*+2的極大值為 .解析：因為f'(x)=(x+2)(e*-3),令f'(x)=0,解得x=-2或x=ln3.故當(dāng)x￡(-8,-2)時,f'(x)>0,當(dāng)(-2,In3)時，f'(x)<0,當(dāng)x￡(ln3,+8)時,f'(x)>0,故當(dāng)x=-2時，函數(shù)f(x)有極大值，極大值是6.答案：6.已知函數(shù)f(x)=xln(2x)-ax2-x(aGR),討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù).解:f(x)的定義域為(0,+8),f，(x)=ln(2x)+2x,—-2ax-l=ln(2x)-2ax,2x下面討論f'(x)=ln(2x)-2ax的變號零點：由f'(x)=ln(2x)-2ax=0得a=ln(2x).；記t=2x>0,g(t)=—,2x t因為g'(t)」等，令g'(t)=0,可得t=e,所以當(dāng)t￡(0,e)時,g'(t)>0,當(dāng)t￡(e,+8)時,g'(t)<0,故8代)=則在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減,且g(e)At e畫出函數(shù)的簡圖：所以當(dāng)a2%時,f'(x)沒有變號零點,e當(dāng)aWO時,f'(x)有1個變號零點，當(dāng)(Kad時,f'(x)有2個變號零點.e綜上，當(dāng)a2二時,f(x)無極值點，e當(dāng)a<0時,f(x)有1個極值點，當(dāng)O〈ad時,f(x)有2個極值點.e慢考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值(例2)已知函數(shù)f函)=lnx-mx(mGR),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值.解：因為廣(x)』-m=q.XX①若mWO,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+8)上為增函數(shù).所以在xe[1,e]±,f(x)raax=f(e)=l-me.②若MmW1,即1e,當(dāng)x￡(0」)時,f'(x)>0,f(x)為增函數(shù)，e m m當(dāng)x￡(±+8)時,f'(x)<0,f(x)為減函數(shù)，m所以在x￡[1,e]上,f(x),?ax=f(—)=~lnmT.mTOC\o"1-5"\h\z③若m>l,即0<-<l,f(x)在(工+8)上為減函數(shù)，m m所以在x￡[1,e]上,f(x)max=f(l)=-m.④若0<m<-,BP->e,f(x)在(0,與上為增函數(shù)，所以當(dāng)xe[1,e]em m時,f(x)max=f(e)=l-me.綜上所述，當(dāng)mT時，f(x)TOX=f(e)=l-me;e當(dāng)工WmWl時,f(x)111ax=f(L)=Tnm-1;e m當(dāng)m>l時,f(x)Bax=f(l)=-m.[典例遷移](變結(jié)論)已知函數(shù)f(x)=lnx-mx(m￡R).若m>0,且f(x)在悖,2]上的最大值為T,求m的值.解:因為f(x)=lnx-mx(mGR),則f'(x),-m=q,其中xwR,2txx L2①當(dāng)(KmW手寸,對任意的xe[1,2],f/(x)20,此時，函數(shù)f(x)在I，2]上單調(diào)遞增,所以f(x)max=f(2)=ln2-2m=-l,解得m=帶唱,舍去；②若則當(dāng)xeRJ)時，伊(x)>0,當(dāng)x￡(Z,2］時，尹(x)<0,2 2m m所以函數(shù)f(X)在L》上單調(diào)遞增,在《，2］上單調(diào)遞減，所以f(x)111ax=f(3=-lnmT=T,解得m=l;m③當(dāng)m22時,對任意的x￡g,2］f(x)WO,此時，函數(shù)f(x)在巳2］上單調(diào)遞減，則f(x)a=f(?=Tn2-，=T,解得m=2-21n2<2(舍去).綜上所述,m=l.解題策略L求解函數(shù)y=f(x)在給定閉區(qū)間［a,b］上的最值問題，應(yīng)先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性以及函數(shù)的極值點的函數(shù)值與區(qū)間端點的函數(shù)值的大小確定函數(shù)的最值(若函數(shù)值的大小不能確定，則需要利用作差比較法比較其大小)；若所給的閉區(qū)間［a,b］含有參數(shù)或函數(shù)解析式含有參數(shù),則需通過對參數(shù)分類討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而得到函數(shù)f(x)的最值.2.已知函數(shù)的最值求參數(shù),通法是直接根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),這種方法一般需要較為復(fù)雜的討論;巧法是利用最值的定義通過分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)最值問題.［針對訓(xùn)練］已知f(x)=ax-lnx,aWR,是否存在實數(shù)a,使f(x)在區(qū)間(0,e］上的最小值是3?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由.解:假設(shè)存在實數(shù)a,使f(x)=axTnx在x￡(0,e］上的最小值為3,則f(x)23在x￡(0,e］上恒成立,且存在xG(0,e］使等號成立.

f(x)23即a^3+lnx,x￡(0,e].X令g(x)-3+lnx,xe(0,e],XX￡ X令g'(x)=0得x=e2X￡ X令g'(x)=0得x=e2.當(dāng)x￡(e；e］時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,所以g(x)m=g(e2)=|r|=e2.綜上,存在a=e)使f(x)在區(qū)間(0,e］上的最小值為3.展考點三導(dǎo)數(shù)在實際問題中的應(yīng)用CW3南半球某地區(qū)冰川的體積每年隨時間而變化,現(xiàn)用t表示時間,以月為單位,年初為起點，根據(jù)歷年的數(shù)據(jù)，冰川的體積(單位:億立方米)關(guān)于t的近似函數(shù)的關(guān)系為V/xf-t3+llt2-24t+100,0<t<10,；(4(t-10)(3t-41)+100,10<t<12.(1)該冰川的體積小于100億立方米的時期稱為衰退期.以表示第i月份(i=l,2,…，12),問：一年內(nèi)哪幾個月是衰退期？(2)求一年內(nèi)該地區(qū)冰川的最大體積.解：(1)由題意可得V(t)<100.①當(dāng)(KtWIO時，由V(t)=-t3+llt2-24t+100G00,可得t(t-3)(t_8)>0,解得0<僅3或8<tW10.②當(dāng)10<t^l2時,由V(t)=4(t-10)(3t-41)+100<100,可得10<t<p則綜上所述,衰退期為1月，2月，3月，9月，10月，11月，12月.(2)①當(dāng)(KtWIOBt,V(t)=-t3+llt2-24t+100,Vz(t)=-3t2+22t-24=-(3t-4)(t-6).當(dāng)t變化時,V(t)與L(t)在區(qū)間(0,10］上的變化情況如表.t(0.|)43(p6)6(6,10]w(t)—0+0—V(t)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以函數(shù)在(0,3,(6,10］上單調(diào)遞減,在專6)上單調(diào)遞增，所以V(t)極大值=V(6)=136,因為V(0)=100,此時V(t)*V(6)=136.②當(dāng)10<t^l2時，V(t)=4(t-10)(3t-41)+100,W(t)=24t-284,故函數(shù)V(t)在(10,2)上單調(diào)遞減,在(三,12］上單調(diào)遞增,且V(12)<100.6 6綜上所述,一年內(nèi)該地區(qū)冰川的最大體積為136億立方米.解題策略利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的基本方法(1)將實際問題利用函數(shù)進行抽象表達,并注意函數(shù)定義域.(2)利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題.(3)根據(jù)函數(shù)的最值得到優(yōu)化問題的答案.提醒:用導(dǎo)數(shù)求解實際問題中的最大(小)值時,如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么依據(jù)實際意義,該極值點也就是最值點.［針對訓(xùn)練］已知某服裝廠每天的固定成本是30000元,每生產(chǎn)一件服裝,成本增加100元,每天最多可以生產(chǎn)m件.生產(chǎn)x件服裝的收入函數(shù)是R(x)="|xM00x(x>0),記L(x),P(x)分別為每天生產(chǎn)x件服裝的利潤和平均利潤(平均利潤=黑絲).總產(chǎn)量(1)當(dāng)m=600時,每天生產(chǎn)量x為多少時,利潤L(x)有最大值,并求出L(x)的最大值；(2)每天生產(chǎn)量x為多少時,平均利潤P(x)有最大值,并求P(x)的最大值.解：(1)根據(jù)題意,可得利潤L(x)=R(x)-100x-30000--x2+400x-100x-30000=--x2+300x-30000,x￡(0,600],整理得L(x)=」(x-450)2+37500,xG(0,600]，因為x￡(0,600],所以當(dāng)x=450時,L(x)有最大值37500元.17/、q1 +300x-30000 1/on000\ ,(2)依題思得P(x)=- =—(x+ )+300,x￡(0,m],x 3x貝IJP'(x)"2；oooo”(0,m].3xz令P'(x)=0,即產(chǎn)：?！恪?。=0,解得x=300或x=-300(舍去)，當(dāng)x￡(0,300)時,P'(x)>0,P(x)在(0,300)上單調(diào)遞增，當(dāng)x￡(300,+8)時,p'(x)<0,P(x)在(300,+8)上單調(diào)遞減,所以若0<m<300,當(dāng)x初時,P(x)取得最大值為(300-亞鯉)元；若m2300,當(dāng)x=300時,P(x)取得最大值為100元.息備選例題C?(2021?黑龍江大慶高三模擬)已知函數(shù)f(x)=x4ax2+bx+a2在x=l處有極小值10,則a+b等于( )A.-7B.0C.-7或0D.-15或6解析：由函數(shù)f(x)nx'+ax'bx+a?有f'(x)=3x?+2ax+b.函數(shù)f(x)在x=l處有極小值10.所以V：fl)即1/(1)=10,[r(1)=3+2a+b=0,1/(1)=l+a+b+a2=10,解得修二1或憶力當(dāng)｛j二A：時，f'(x)=3x?+8xTl=(xT)(3x+ll).令f'(x)>0得*>1或*<-/,令f'(x)<0得-所以函數(shù)f(x)在(-8,-￡)上單調(diào)遞增,在(-y,1)上單調(diào)遞減,在(1,+8)上單調(diào)遞增.顯然滿足函數(shù)f(x)在x=l處有極小值10.當(dāng)｛；二33,時,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-IT2。,所以函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,不滿足函數(shù)f(x)在x=l處有極小值10.所以a+b=4-ll=-7.故選A.CW(2021?新高考I卷)函數(shù)f(x)=|2rl卜21nx的最小值為.解析：由題設(shè)知f(x)=|2x-l|-21nx的定義域為(0,+8),所以當(dāng)0<x4時,f(x)=l-2x-21nx,此時f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)乂xWl時,f(x)=2xT-21nx,有f'(x)=2=?IO,此時f(x)單調(diào)遞2 x減；當(dāng)x>l時，f(x)=2x-l-21nX,有f'(x)=2上>0,此時f(x)單調(diào)遞增，X又f(x)在各分段的界點處連續(xù),所以當(dāng)O〈x〈l時,f(X)單調(diào)遞減，當(dāng)x>l時,f(x)單調(diào)遞增,所以f(x)2f⑴=1.答案：1Q例3)已知函數(shù)f(x)=alnx,a￡R.設(shè)F(x)=xf(x),求F(x)在[a,2a]上的最大值.解：由已知a>0,F'(x)=a(l+lnx),當(dāng)(Kxd時,F'(x)<0,當(dāng)時,F'(x)>0,e e從而F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,-),e e從而，F(xiàn)(x)Kx=max{F(2a),F(a)},于是F(2a)-F(a)=a2[In(4a2)-Ina]=a21n(4a).當(dāng)a>：時,F(2a)>F(a),所以F(xKx=F(2a)=2a21n(2a);當(dāng)0<aW^時,F(2a)WF(a),4所以F(x)max=F(a)=a21na.{a2\na,0<a<-,, 4i2a21n(2a),a>-.(例4)設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a￡R,試討論函數(shù)f(x)極值點的個數(shù),并說明理由.解：函數(shù)f(x)=ln(x+l)+a(x2-x),其中a￡R,x￡(-1,+℃,).導(dǎo)數(shù)為伊(x)」+2ax-a*qN令g(x)=2ax'+ax-a+1.(1)當(dāng)a=0時,g(x)=l,此時f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(T,+8)上單調(diào)遞增，無極值點；(2)當(dāng)a>0時，△=a?-8a(1-a)=a(9a-8).①當(dāng)(Kag時，△W0,g(x)20,f'(x)20,函數(shù)f(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，無極值點；②當(dāng)a卓寸，△>0,設(shè)方程2ax?+ax-a+l=0的兩個實數(shù)根分別為X1,X2,X1<X2.因為X1+X2=-；,所以Xi<-i,X2>-；.2 4 4由g(-l)>0,可得-所以當(dāng)x￡(-1,Xi)時,g(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x￡(xi,X2)時,g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)xG(x2,+8)時,g(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.因此函數(shù)f(x)有兩個極值點.⑶當(dāng)a<0時，△>0,由g(T)=l>0,可得Xi<-l<x2.所以當(dāng)x￡(-1,X2)時,g(x)>0,fz(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x￡(x2,+8)時,g(x)<0,f(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.因此函數(shù)f(x)有一個極值點.綜上所述,當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)有一個極值點；當(dāng)OWaWg時，函數(shù)f(x)無極值點；當(dāng)a3時,函數(shù)f(x)有兩個極值點.課時作業(yè) 靈活小崖有數(shù)襲.甚回選題明細表知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值1,2,3,7,8,912,13,16,1718導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值4,514,15函數(shù)的極值與最值綜合問題6,1011A級基礎(chǔ)鞏固練(2021?安徽阜陽高三聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=x3-ax2(a>0)的極大值點為a-2,則a等于(B)A.1B.2C.4D.6解析：函數(shù)f(x)=x-ax2(a>0)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x2-2ax.當(dāng)x<0或x>當(dāng)時,f'(x)>0,當(dāng)(Kx號時,f'(x)<0.所以f(x)的極大值點為0,則a-2=0,解得a=2.故選B.(2021?河南南陽高三期末)已知函數(shù)f(x)=ax+e*沒有極值點，則實數(shù)a的取值范圍是(D)A.a<0B.a>0C.aWOD.a20解析：函數(shù)f(x)=ax+ex在R上沒有極值點，即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0無解或有唯一解(但導(dǎo)數(shù)在點的兩側(cè)符號相同).函數(shù)f(x)=ax+e，的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=a+ex,所以a+e-0無解，所以an-e，無解,所以a『0.故選D.3.一個矩形鐵皮的長為16cm,寬為10cm,在四個角上截去四個相同的小正方形,制成一個無蓋的小盒子,若記小正方形的邊長為x(cm),小盒子的容積為V(cm)則(B)A.當(dāng)x=2時,V有極小值B.當(dāng)x=2時,V有極大值C.當(dāng)x號時,V有極小值D.當(dāng)x號時,V有極大值解析：小盒子的容積為V(x)=x(16-2x)(10-2x)=4x3-52x2+160x(0<x<5),所以V'(x)=12x2-104x+160,令V/(x)=0,得x=2或 (舍去).當(dāng)0<x<2時，V’(x)>0,V(x)單調(diào)遞增，當(dāng)2<x<5時,W(x)<O,V(x)單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=2時,V（x）有極大值為144.故選B.4.已知函數(shù)f（x）=31nx-x?+（a-?x在區(qū)間（1,3）上有最大值,則實數(shù)a的取值范圍是（B）A.弓5）B.（T，y）爭D.G，5）解析：因為*（x）q-2x+a《,所以由題設(shè)f'（x）W-2x+a《在（1,3）上（1）>o只有一個零點，且單調(diào)遞減，則問題轉(zhuǎn)化為, 'I/⑶V0,{clH—>0, 11I/ 解得-故選B.*〈。，225.設(shè)圓柱的體積為V,那么其表面積最小時，底面半徑為（D）A.WB.平C.V4VD.解析:設(shè)圓柱的底面圓半徑為r,高為h,則V=Jir'h,即h=三,所以S=c1,n2c y,D22V.n20/A2V4nr3-2V2Jirh+2Jir=2冗r?--+2nr=—+2兀r,S=4nr--=——--,由nr2 r r2r2S'>0得,r>3匹由S'<0得,0<r<3區(qū)所以當(dāng)r=3區(qū)時，圓柱的表面積最小.故選D.6.(2021?河南鄭州高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=x~3a+|)x2+6ax,若f(x)在(-1,+8)上既有極大值,又有最小值,且最小值為3a-|,則a的取值范圍為(C)A-9B.c-4］止與3解析：由于函數(shù)f(x)=x~(3a+|)x?+6ax的導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x~6a+3)x+6a=(3x-6a),(xT)的零點為2a和］，且f⑴=3a」，所以1是函數(shù)的極小值點即最小值點，則2a是函數(shù)的極大值點，所以-k2a<1,且f(-1)23a」,解得-乂aW」.故選C.2 2 67.已知a,b￡R,若x=a不是函數(shù)f(x)=(x-a)2(x-b)(e*'T)的極小值點,則下列選項符合的是(B)A.l^b<a B.b〈aWlC.a〈lWb D.a<b〈l解析:令f(x)=(x-a)2(x-b)(exl-l)=0,得Xi=a,X2=b,X3—1.下面利用數(shù)軸標(biāo)根法畫出f(x)的草圖，借助圖象對選項A,B,C,D逐一分析.對選項A,若l〈b〈a,由圖七開*可知x=a是f(x)的極小值點，不符合題意；對選項B,若b<a<1,由圖 河知x=a不是f(x)的極小值點，符合題意；對選項C,若aGWb,由圖 工.可知x-a是f(x)的極小值點,不符合題意；對選項D,若a〈b〈l,由圖 ；可知x=a是f(x)的極小值點,不符合題意.故選B..(2021?河南鄭州一模)已知f(x)=(x?+2x+a)e*,若f(x)存在極小值,則a的取值范圍是.解析：函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=(2x+2)ex+(x?+2x+a)e'=e*(x2+4x+a+2).因為函數(shù)f(x)的定義域為R,所以若f(x)存在極小值，即函數(shù)f(x)有最小值點，所以x?+4x+a+2=0有兩個不相等的實數(shù)根，AnG-Ma+Z))。,解得a<2.答案：(-8,2).(2021?湖北武漢高三模擬)寫出一個定義在R上且使得命題“若伊(1)=0,則1為函數(shù)f(x)的極值點”為假命題的函數(shù)f(x)=.解析：由題意,f'(1)=0,且f'(x)在x=l處不存在變號零點，例如f(x)=(x-l))則f'(x)=3(x-1)；所以廣(1)=0,且#(x)=3(xT)2?0,符合題意.答案：(x-1尸(答案不唯一).已知函數(shù)f(x)=用.若函數(shù)f(x)在x=T處取得極值,則函數(shù)的f(x)的最大值是,最小值是.A774-C：mMC/\3-2xrmiq//\~2(x2+a)-2x(3-2x)2(x2-3x-a)解析：因為f(x)=H，則f(x)=一西彳一由題意可得f'(-1)-”解得a=4.(a+1)故f(x)=鬻，求導(dǎo)得f,(X)二喏二由f'(x)=0得x=-l,或x=4.當(dāng)x變化時，函數(shù)f(x),f，(x)的變化情況如表,X(-8,—1)-1(-1,4)4(4,+8)f'(x)+0—0+f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,—1),(4,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4).當(dāng)x<|時,f(x)>0;當(dāng)x>|時,f(x)<0.所以f(X)max=f(T)=l,f(x)min=f(4)=-34答案：i44B級綜合運用練.(多選題)(2021?廣東湛江高三一模)已知函數(shù)f(x)=x-31nx-1,則(BC)A.f(x)的極大值為0B.曲線y=f(x)在(1,f(D)處的切線為x軸C.f(x)的最小值為0D.f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)解析:函數(shù)f(xhx'TInxT的定義域為(0,+8),導(dǎo)數(shù)f，(x)=3x?-2=X-(X3-1).X令f'(x)=^(x3-l)=0,x=l.X當(dāng)X變化時,f(x),『(x)的變化情況如表:X(0,1)1(1,+°°)伊(X)—0+f(X)單調(diào)遞減0單調(diào)遞增所以f(x)的極小值,也是最小值為f(1)=0,無極大值,在定義域內(nèi)不單調(diào)，故C正確,A,D錯誤;對于B,由f(1)=0及f'⑴=0,所以y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為y=0,即x軸，故B正確.故選BC.(2021?全國乙卷)設(shè)aWO,若x=a為函數(shù)f(x)=a(x-a)“x-b)的極大值點，則(D)A.a<b B.a>bC.ab<a2 D.ab>a2解析:因為函數(shù)f(x)=a(x-a)2?(x-b),所以f'(x)=2a(x-a)(x-b)+a(x-a)2=a(x-a),(3x-a-2b).令f'(x)=0,結(jié)合a#0可得x=a或x=^^.⑴當(dāng)a>0時,①若等〉a,即b>a,此時易知函數(shù)f(x)在(-8,a)上單調(diào)遞增,在(a,等)上單調(diào)遞減,所以x=a為函數(shù)f(x)的極大值點,滿足題意；②若咪a,即b=a,此時函數(shù)f(x)=a(x-aT在R上單調(diào)遞增,無極值點,不滿足題意；③若亨(a,即b<a,此時易知函數(shù)f(x)在(等,a)上單調(diào)遞減,在(a,+8)上單調(diào)遞增,所以x=a為函數(shù)f(x)的極小值點，不滿足題意.⑵當(dāng)a<0時，①若^^>a,即b>a,此時易知函數(shù)f(x)在(-8,a)上單調(diào)遞減，在(a,等)上單調(diào)遞增,所以x=a為函數(shù)f(x)的極小值點,不滿足題意；②若a+j-a,即b=a,此時函數(shù)f(x)=a(x-a)3在R上單調(diào)遞減,無極值點，不滿足題意；③若等<a,即b<a,此時易知函數(shù)f(x)在(等,a)上單調(diào)遞增，在(a,+8)上單調(diào)遞減,所以x=a為函數(shù)f(x)的極大值點,滿足題意.綜上，當(dāng)a>0,且b>a時,滿足題意，當(dāng)a<0,且b<a時,也滿足題意.據(jù)此,可知必有ab>a?成立.故選D.13.若X。是函數(shù)f(x)=e'-叱’的極值點，則(C)XXA.—+lnxo=OB.x0-lnxo=O%C.Xo+lnxo=OD.—Inxo=O出解析：因為函數(shù)f(x)=e，-叱'，XX所以f'(x)=e'+當(dāng)，*因為X。是函數(shù)f(x)=e*-叱二的極值點，XX所以f'(xo)=ex°+ln^°~0,即詔eXo=_]nx0.兩邊取以e為底的對數(shù)，得x()+21nx0=ln(-lnx0),即Xo+lnXo=Tnx0+ln(-Inx0).令g(x)=x+lnx(x>0),即g(x())=g(TnXo),因為g'(x)=l+3o,X所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以Xo=Tnx0,即Xo+lnx()=O.故選C..已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))，在［-2,2］上有最大值3,那么此函數(shù)在［-2,2］上的最小值為.解析：由已知可得,f'(x)=6x2-12x,由6x2-12x=0得x=2或x=0,因此當(dāng)x￡［2,+8)u(-8,o］時,f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x￡［0,2］時,f(x)單調(diào)遞減,又因為x￡［-2,2］,所以當(dāng)x￡［-2,0］時,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)［0,2］時,f(x)單調(diào)遞減,f(x)(0)=m=3,故有f(x)=2xL6x?+3,所以f(-2)-37,f(2)=-5.因為f(-2)=-37<f(2)=-5,所以函數(shù)f(x)的最小值為f(-2)=-37.答案：-37.已知函數(shù)f(x)=e*+lnx,g(x)=4x+-,且x滿足l〈xW2,貝ljg(x)-f(x)X的最大值為.解析:令h(x)=g(x)-f(x)=4x+--ex-lnx,1WxW2,X則h'(x)=4—令m(x)=4-^-ex-->X乙 X則m'(x)=gex+W，l《xW2,易知m，(x)在［1,2］上單調(diào)遞減，則m'(l)=3-e>0,m'(1.1)=*+-^-eL1<0,1.12則必存在一點xoe(1,1.1),使m'(xo)=^-ex°+^~O,即W+J=e*。，XQ XQ XQXQ即m(x)在(1,x0)上單調(diào)遞增,在(xo,2)上單調(diào)遞減，則函數(shù)m(x)在X。處取最大值，且m(xo) ■一■xoe(1,1.1),% %O%oXqXqXqXqXqXq易知m(x。)在(1,1.1)上單調(diào)遞增，則m(xo)<m(l.1)=4—^7-——^-r<0,1.121.11.13則m(x)<0在1WxW2上恒成立，即h'(x)<0.故h(x)在[1,2]上單調(diào)遞減,從而h(x)Wh(l)=5-e.答案：5-e.若x=0為f(x)=x'+(aT)x3+ax?的極大值點，則a的取值范圍為.解析：因為f(x)=x"+(a-l)x3+ax2,則f'(x)=4x、'+3(aT)x?+2ax=x[4x?+3(a-1)x+2a].設(shè)g(x)=4x2+3(a-l)x+2a,則△=9(a-l)2-32a=9a-50a+9.(1)若△<0,則g(x)>0,當(dāng)x<0時，*(x)<0,當(dāng)x>0時,f'(x)>0,此時,x=0為函數(shù)f(x)的極小值點，不符合題意；(2)若A=9a-50a+9=0,解得@=出警，設(shè)函數(shù)g(x)的零點為Xo,則f'(x)=4x(x-xo)2.當(dāng)Xo〈x<O時,f'(x)<0,當(dāng)x>0時,f'(x)>0,此時,x=0為函數(shù)f(x)的極小值點,不符合題意;②若a=25-4隼貝|Jx°Win(),9 8當(dāng)x<0時，伊(x)<0,當(dāng)O〈x<Xo時,f'(x)>0.此時,x=0為函數(shù)f(x)的極小值點，不符合題意;⑶若△>(),解得a〈互產(chǎn)或a>^爐，設(shè)函數(shù)g(x)的兩個零點分別為X?X2.①若a=0,則f'(x)=4x3-3x2=x2(4x-3).當(dāng)x<0時,f'(x)<0,當(dāng)0<xT時,f'(x)<0,4此時,x=0不是函數(shù)f(x)的極值點，不符合題意；②若Xi<x2<0,f'(x)=4x(x-xi)(x-x2),當(dāng)X2<x<0時,f，(x)<0,當(dāng)x>0時,f'(x)>0,此時,x=0為函數(shù)f(x)的極小值點，不符合題意；③若0<Xi<x2,當(dāng)x<0時，f'(x)<0,當(dāng)0<x〈Xi時，f'(x)>0,此時,x=0為函數(shù)f(x)的極小值點,不符合題意；④若Xi<0<x2,當(dāng)Xi<x<0時，f'(x)>0,當(dāng)0〈x〈X2時，f'(x)<0,此時,x=0為函數(shù)f(x)的極大值點,符合題意.即函數(shù)g(x)的零點一正一負，故XiX2-j<0,解得a<0.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是(-8,0).答案：(-8,0).(2021?江西吉安高三期末)已知函數(shù)f(x)=aex?(x-2)(aWO).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵當(dāng)a=-l時,求函數(shù)g(x)=f(x)+x2-2x的極值.解：(1)函數(shù)f(X)的定義域為R,fz(x)=aex(x-l).若a>0,由f'(x)<0,可得x〈l;由f'(x)>0,可得x>l,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,i),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+8)；若a<0,由f'(x)<0,可得x>l;由f'(x)>0,可得x<l,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1).綜上所述，當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+°°)；當(dāng)a<0時，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,1).(2)當(dāng)a=-l時，可得g(x)=f(x)+x2-2x=~ex(x-2)+x2-2x,則gr(x)=-ex(x_l)+2x-2=-(x-l)(ex-2),由g'(x)=0,即(x-1)(eK-2)=0,解得x=l或x=ln2