三重積分例題分析課件

三重積分的計(jì)算問題:設(shè)f(x,y,z)在Ω上可積,研究三重積分的計(jì)算方法研究思路:設(shè)法將化為先定積分再二重積分(1)先單后重:(2)先重后單:先二重積分再定積分三重積分的計(jì)算問題:設(shè)f(x,y,z)在Ω上可1zxyx+y+z=10例1.計(jì)算其中是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xyzxyx+y+z=10例1.計(jì)算其中是由平面x+y+z=2例2.計(jì)算其中是由拋物柱面及平面y=0,z=0,解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz0D0yx例2.計(jì)算其中是由拋物柱面及平面y=0,z=0,3例3.將化為三次定積分，其中是由z=x2+y2和z=1所圍的閉區(qū)域.解：先對(duì)z積分，將向xy平面投影.z=x2+y2

x2+y2=1D:x2+y2≤1z=1z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2

例3.將化為三次定積分，其中是由z=x2+y2和4xyz01Dxyz=1z=x2+y2

xyz01Dxyz=1z=x2+y25解2：先對(duì)y積分，將

向xz平面投影：z=x2+y2

Dxy:x2≤z≤

1,z=11≤x≤1z=x2+y2

xyz0Dxz11解2：先對(duì)y積分，將向xz平面投影：z=x26例4.計(jì)算其中

是由z=x2+y2和z=1所圍成的閉區(qū)域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]例4.計(jì)算其中是由z=x2+y2和z=1所圍成7例5.計(jì)算解：

D(x):0≤y≤1–x,0≤z≤

1xyzxy0111x:0≤x≤1其中是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.D(x)z=1xy

xy01x1x例5.計(jì)算解：D(x):0≤y≤1–x,0≤8例6.計(jì)算其中

由與z=1所圍閉區(qū)域.解：

D:x2+y2≤1z=1

z=rz=0xyz0Dz=rz=1例6.計(jì)算其中由與z=1所圍閉區(qū)域.解：D:9xyz0z=rz=11Dxyz0z=rz=11D10例7.計(jì)算

={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1xyz01例7.計(jì)算={(x,y,z)|x2+y2+z211得到解例8.得到解例8.12于是，于是，13與球面例9.

計(jì)算其中,是由錐面所圍成的區(qū)域.解:

積分區(qū)域如圖所示.則錐面方程變?yōu)榍蛎娣匠套優(yōu)閞=a,區(qū)域變?yōu)椋獃xzO運(yùn)用球面坐標(biāo)計(jì)算,令與球面例9.計(jì)算其中,是由錐面所圍成的區(qū)域.解:積分14故(該題也可選擇柱面坐標(biāo)計(jì)算，請讀者自行完成.)故(該題也可選擇柱面坐標(biāo)計(jì)算，請讀者自行完成.)15y14x+y=4x=0xzo.例10.y14x+y=4x=0xzo.例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.4x+y=4y=0xyz.D..o1例10.4x+y=4y=0xyz.D..o1例10.666x+y+z=63x+y=62.例11.x0z

y

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域666x+y+z=63x+y=62.例11.x0zy666x+y+z=63x+y=62.x0z

y

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域666x+y+z=63x+y=62.x0zy3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zyz=0y=042x+y+z=6.x0z

y666

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域z=0y=042x+y+z=6.x0zy66642.x0z

y666

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域.D0y

x624D.42.x0zy666y2=xxyzo例12.y2=xxyzo例12.y2=xxyzoy2=xxyzoz=0y=0xyzo。。0y

xy2=xDz=0y=0xyzo。。0yxy2=xD例13由曲面zx22y2及z2x2所圍成的閉區(qū)域；xyzOzx22y22z2x2例13由曲面zx22y2及z2x2所圍成的閉區(qū)域11Oxyz2zx22y2z2x2例13由曲面zx22y2及z2x2所圍成的閉區(qū)域；11Oxyz2zx22y2z2x2例13由曲面z解其中Ω由曲面例14計(jì)算積分所界的立體Ω往xz平面上的投影區(qū)域解其中Ω由曲面例14計(jì)算積分所界的立體Ω往xz平面上的投30三重積分例題分析課件31解例15計(jì)算積分,其中Ω是兩個(gè)球的公共部分由采用先重后單方法計(jì)算解例15計(jì)算積分,其中Ω是兩32三重積分例題分析課件33例16設(shè),其中Ω由所界解例16設(shè)34三重積分例題分析課件35例17.解:由對(duì)稱性,所求體積yzxoDxyoa2aD例17.解:由對(duì)稱性,所求體積yzxoDxyoa2aD36運(yùn)用極坐標(biāo)系,則D變成D*:式中故運(yùn)用極坐標(biāo)系,則D變成D*:式中故37三重積分例題分析課件38三重積分的計(jì)算問題:設(shè)f(x,y,z)在Ω上可積,研究三重積分的計(jì)算方法研究思路:設(shè)法將化為先定積分再二重積分(1)先單后重:(2)先重后單:先二重積分再定積分三重積分的計(jì)算問題:設(shè)f(x,y,z)在Ω上可39zxyx+y+z=10例1.計(jì)算其中是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.解：

D:0≤y≤1–x,0≤x≤111Dx+y=1

xyzxyx+y+z=10例1.計(jì)算其中是由平面x+y+z=40例2.計(jì)算其中是由拋物柱面及平面y=0,z=0,解：

D:0≤y≤,0≤x≤yxz0D0yx例2.計(jì)算其中是由拋物柱面及平面y=0,z=0,41例3.將化為三次定積分，其中是由z=x2+y2和z=1所圍的閉區(qū)域.解：先對(duì)z積分，將向xy平面投影.z=x2+y2

x2+y2=1D:x2+y2≤1z=1z=1xyz01Dxyz=1z=x2+y2

例3.將化為三次定積分，其中是由z=x2+y2和42xyz01Dxyz=1z=x2+y2

xyz01Dxyz=1z=x2+y243解2：先對(duì)y積分，將

向xz平面投影：z=x2+y2

Dxy:x2≤z≤

1,z=11≤x≤1z=x2+y2

xyz0Dxz11解2：先對(duì)y積分，將向xz平面投影：z=x244例4.計(jì)算其中

是由z=x2+y2和z=1所圍成的閉區(qū)域.xyz01D(z)1解：D(z):x2+y2≤zz[0,1]例4.計(jì)算其中是由z=x2+y2和z=1所圍成45例5.計(jì)算解：

D(x):0≤y≤1–x,0≤z≤

1xyzxy0111x:0≤x≤1其中是由平面x+y+z=1與三個(gè)坐標(biāo)面所圍閉區(qū)域.D(x)z=1xy

xy01x1x例5.計(jì)算解：D(x):0≤y≤1–x,0≤46例6.計(jì)算其中

由與z=1所圍閉區(qū)域.解：

D:x2+y2≤1z=1

z=rz=0xyz0Dz=rz=1例6.計(jì)算其中由與z=1所圍閉區(qū)域.解：D:47xyz0z=rz=11Dxyz0z=rz=11D48例7.計(jì)算

={(x,y,z)|x2+y2+z2≤1,z≥0}.解：D:x2+y2≤1xyz01例7.計(jì)算={(x,y,z)|x2+y2+z249得到解例8.得到解例8.50于是，于是，51與球面例9.

計(jì)算其中,是由錐面所圍成的區(qū)域.解:

積分區(qū)域如圖所示.則錐面方程變?yōu)榍蛎娣匠套優(yōu)閞=a,區(qū)域變?yōu)椋獃xzO運(yùn)用球面坐標(biāo)計(jì)算,令與球面例9.計(jì)算其中,是由錐面所圍成的區(qū)域.解:積分52故(該題也可選擇柱面坐標(biāo)計(jì)算，請讀者自行完成.)故(該題也可選擇柱面坐標(biāo)計(jì)算，請讀者自行完成.)53y14x+y=4x=0xzo.例10.y14x+y=4x=0xzo.例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.y14x+y=4xzo1.取第一卦限部分例10.4x+y=4y=0xyz.D..o1例10.4x+y=4y=0xyz.D..o1例10.666x+y+z=63x+y=62.例11.x0z

y

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域666x+y+z=63x+y=62.例11.x0zy666x+y+z=63x+y=62.x0z

y

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域666x+y+z=63x+y=62.x0zy3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zy3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0z

y42

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域3x+y=63x+2y=12x+y+z=6.666x0zyz=0y=042x+y+z=6.x0z

y666

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域z=0y=042x+y+z=6.x0zy66642.x0z

y666

：平面y=0,z=0，3x+y=6,3x+2y=12和x+y+z=6所圍成的區(qū)域.D0y

x624D.42.x0zy666y2=xxyzo例12