數(shù)學活動的特質(zhì)與有效教學策略

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭g迎閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭?！感謝閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭?！感謝閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭?！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭「兄x閱讀本文檔，希望本文檔能夠?qū)δ兴鶐椭?shù)學活動的特質(zhì)與有效教學策略來自《課程·教材·教法》2009.8作者：泰州師范高等?？茖W校鄧友祥摘要：數(shù)學活動具有內(nèi)隱性、數(shù)學化、層次性、平衡性等特質(zhì)。有效的數(shù)學活動教學要求要重視數(shù)學的“再創(chuàng)造”、基于學生已有的知識和經(jīng)驗、加大數(shù)學活動的探索性成分、引導學生“數(shù)學地思維”和“做數(shù)學”。關鍵詞：數(shù)學活動；特質(zhì)；有效教學；數(shù)學化；數(shù)學活動教學中圖分類號：G633．6文獻標識碼：A文章編號：1000-0186(2009)08-0038-05隨著數(shù)學新課程的深入實施，廣大的數(shù)學教師在課程理念方面已有一定的認識，比較重視改善學生的數(shù)學學習方式，重視數(shù)學交流、合作學習等數(shù)學活動的教學，并積累了較豐富的數(shù)學新課程實施經(jīng)驗。但是，當前數(shù)學活動教學在很大程度上仍然停留在“為活動而活動”的表層上，數(shù)學活動展開不夠充分，數(shù)學的本質(zhì)凸顯不夠，數(shù)學教學缺乏創(chuàng)造性和數(shù)學性，學生內(nèi)在的情感和思維沒有被真正激活，這極大地影響了主體的主動建構。上述教學現(xiàn)狀導致不少學生獨立思考的意識不強，數(shù)學學習缺乏深層次的思考，數(shù)學學習效率和水平普遍不高，到了中學階段(高中階段尤為明顯)，數(shù)學學習顯得“后勁”(數(shù)學思維)不足。究其原因，不少教師對數(shù)學活動特質(zhì)的理解和把握不夠，缺乏對數(shù)學活動的形式及其作用的理性認識，不能準確地了解學生的真實思維活動，較多的只是憑自己的經(jīng)驗、直覺，甚至是主觀臆斷選擇教學方法，不知道數(shù)學教學應該在何處活動、何時活動、怎樣活動、活動應該達到什么目的，因而在實施數(shù)學活動教學時無所適從，不能科學地把握教學的進程與節(jié)奏。由此看來，對數(shù)學活動特質(zhì)進行科學分析，探究和把握學生的真實思維活動，進而采取有效的數(shù)學活動教學策略，對提高數(shù)學活動水平和數(shù)學教學效率有十分重要的意義。以下，擬對數(shù)學活動及其特質(zhì)做一界定，并探討有效數(shù)學活動的教學策略。一、數(shù)學活動的特質(zhì)關于數(shù)學活動，至今還沒有一個準確的定義，這里只局限于對數(shù)學中積極性的狹義理解，把數(shù)學教學的積極性作為可發(fā)展的具有一定結構的思維活動來理解，顯然，這種狹義的積極性是帶有數(shù)學特點的。[1](104)至此，我們可以給數(shù)學活動下一個描述性定義。所謂數(shù)學活動，是指師生之間、學生之間交往互動與共同發(fā)展，具有一定結構和數(shù)學特點的思維活動。“數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學?！盵1](10)。分析數(shù)學活動的特質(zhì)，有助于把握數(shù)學活動規(guī)律和學生的數(shù)學思維活動，采取有針對性的有效教學策略，以提高數(shù)學課堂教學的有效性。這里所說的特質(zhì)是指數(shù)學活動本身所特有的性質(zhì)，通常主要表現(xiàn)為以下幾種。(一)內(nèi)隱性數(shù)學活動具有較強的內(nèi)隱性，這是由于，表面上看數(shù)學活動較多的是外在的活動(解題等操作活動)，事實上數(shù)學活動更多的卻是內(nèi)在的活動(數(shù)學思維活動)，外在的活動必須為內(nèi)在的活動做準備。這一特質(zhì)要求，有效的數(shù)學活動應該使學生勇于發(fā)表自己的意見，善于聽取別人的意見，樂于修正自己的意見，從而揭示學生自身內(nèi)在的數(shù)學思維活動。(二)數(shù)學化所謂“數(shù)學化”，簡單地說，就是用數(shù)學方法將實際材料組織起來。在數(shù)學中，組織本身就是一項數(shù)學活動。數(shù)學活動如果不涉及數(shù)學教材深度(數(shù)學學習材料的組織程度)以及一定的時間長度，那是沒有意義的。而決定數(shù)學活動深度的不是別的，正是數(shù)學與現(xiàn)實生活經(jīng)歷聯(lián)系的密切程度，這些聯(lián)系又保證了數(shù)學學習記憶的持久性。因此，數(shù)學教師理應肩負“數(shù)學化”的重任，重視數(shù)學與外部的聯(lián)系，尤其重視數(shù)學內(nèi)部的邏輯聯(lián)系。正如弗賴登塔爾所說的：“數(shù)學教學不要教孤立的片斷，應該教連貫的材料，這個觀念從原則上看是正確的，因為有聯(lián)系的事物學得快，記得牢?！盵2(45-46)(三)層次性數(shù)學活動是一個組織經(jīng)驗領域的活動，學生在數(shù)學學習過程中，思維進入較高層次時，較低層次的組織方法將變成較高層次的研究題材，較低層次的活動就成為分析的對象，要了解學生真實的數(shù)學思維水平，就必須對數(shù)學活動的層次進行足夠深度的分析。根據(jù)AA斯托利亞爾的觀點，可以將數(shù)學活動(數(shù)學思維活動)水平分為三個層次：第一層次稱為經(jīng)驗材料的數(shù)學組織化(數(shù)學描述)，主要借助于觀察、試驗、歸納、類比、概括等方法積累事實材料；第二層次稱為數(shù)學材料的邏輯組織化，由積累的材料中抽象出原始概念和公理體系并在這些概念和體系的基礎上演繹地建立理論；第三層次稱為數(shù)學理論的應用。[1](108上述三個層次，在實際操作時往往需要做進一步的細化。以幾何教學為例，按照赫爾(P.H．Van．Hiele)的觀點，結合我國學生實際，可以將數(shù)學活動(數(shù)學思維活動)分為五種水平[1](110-111)：第一層次(最低)水平的特點是把幾何圖形作為整體來觀察，只會按它的形狀(尚未加以分析)來區(qū)分，不能判斷圖形的屬種(如長方形也是平行四邊形)等邏輯關系；第二層次水平，會對認識的形狀加以分析，分析的結果是認識到這些形狀的性質(zhì)，在這個水平上能按圖形的性質(zhì)進行分類，但還沒有在邏輯上認識圖形，只是用試驗的方法認識它們，這種思維水平也不能得到幾何學的邏輯結構；第三層次水平，完成了對圖形性質(zhì)及圖形自身的邏輯整理，把一個或幾個性質(zhì)取作定義圖形的性質(zhì)，其余的性質(zhì)可用邏輯方法得到，但在此層次上整個演繹法的特殊意義還沒有為學生理解；第四層次水平，學生在整體上理解了演繹法的意義，即由局部的理解轉(zhuǎn)到對演繹法以及為建立和發(fā)展整個幾何理論方法上的理解，在這一水平上實現(xiàn)了理論的有內(nèi)容的公理化；第五層次水平，舍棄對象的具體性質(zhì)和其間關系的具體含義，即超出對理論的任何具體解釋而發(fā)展理論，此時幾何理論建立成一種抽象的公理體系。實踐調(diào)查研究表明，上述第一層次水平，小學一、二年級學生能達到；第二層次水平，小學三至六年級學生能達到；第三層次水平，初中學生能達到；第四層次水平，高中學生可達到；第五層次水平，在中學任何階段不可能實現(xiàn)。(四)平衡性人的心理現(xiàn)象包括心理過程和個性心理兩方面。心理過程，主要是指感覺、知覺、記憶、思維、想象等心理活動，一般稱之為認知系統(tǒng)；而個性心理，主要是指傾向、動機、興趣、信念等，這些是人們活動的基本動力，一般稱之為動力系統(tǒng)。所謂數(shù)學活動的平衡性就是師生雙方認知系統(tǒng)與動力系統(tǒng)的有機結合，是這兩個系統(tǒng)整體作用的結果，主要表現(xiàn)為師生之間在數(shù)學認知(數(shù)學思維)上達成平衡。這里認知上的平衡，是指通過一定的師生雙邊活動(數(shù)學活動)，使得學生已有的知識和能力足以解決所面臨的問題(學習目標)，從而在觀念(目標認識)方面與教師保持在相同的認知層面上。否則，當學生已有的知識與能力不足以解決所面臨的問題時，就會出現(xiàn)目標認識上的偏差，這就是師生之間認知上的不平衡。數(shù)學活動中師生之間在認知上達成平衡往往是相對的、暫時的，是教學過程中矛盾的一種狀態(tài)。數(shù)學教學(數(shù)學活動)是師生之間在認知上從不平衡到平衡，再從平衡到不平衡，進而達到更高層次平衡的多次循環(huán)往復的過程。二、數(shù)學活動的有效教學策略數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，從這個意義上說，數(shù)學教學效率的高低在很大程度上取決于數(shù)學活動水平的高低?；顒咏虒W的心理學基礎是皮亞杰和列昂節(jié)夫等人關于活動在人的認識、思維、個性等形成發(fā)展中的作用的研究，這為活動教學提供了充分的心理學依據(jù)?！度罩屏x務教育數(shù)學課程標準(修訂稿)》(即將出版)指出：“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流也是數(shù)學學習的重要方式，學生應當有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等活動過程?！庇缮峡磥恚瑪?shù)學活動教學要想有效促進學生的主體性發(fā)展，就應該精心設計有利于主體發(fā)展的各種數(shù)學活動，采用自主探索與合作交流等數(shù)學學習方式，使學生有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、驗證、推理、計算、證明等數(shù)學活動過程，讓學生真正成為數(shù)學活動的主體，使各種不同的活動形式和決定著它們的諸多條件相互促進，從而使學生通過數(shù)學活動和其他輔助活動實現(xiàn)自身認識、思維、個性等的形成和發(fā)展。實踐表明，實現(xiàn)數(shù)學活動的有效教學可有如下幾點策略。(一)給學生提供可“再創(chuàng)造”的數(shù)學活動機會弗賴登塔爾提出：“數(shù)學教學的核心是學生的‘再創(chuàng)造’，這就是說，數(shù)學學習事實上就是這樣的‘再創(chuàng)造’過程，我們在此并非是要機械地去重復歷史中的‘原始創(chuàng)造’，而應根據(jù)自己的體驗并用自己的思維方式重新去創(chuàng)造出有關的數(shù)學知識?！盵2](111)這是由于數(shù)學教材經(jīng)過了教學法的加工，通常是用演繹的方法把概念、公式、法則等內(nèi)容互相聯(lián)合起來的一個統(tǒng)一體，這種形式在一定程度上顛倒了數(shù)學的實際發(fā)現(xiàn)過程。這就使得學生對知識的理解和抽象概括、邏輯推理等能力的表現(xiàn)處于暫時滯后狀態(tài)。對此，教師應為學生創(chuàng)設合適的“再創(chuàng)造”情境，使學生經(jīng)歷數(shù)學活動(數(shù)學思維)的學習，了解數(shù)學結論背后的豐富事實，從而對數(shù)學概念、法則、公式、定理等數(shù)學結論的發(fā)生發(fā)展有充分的認識。eq\r(2)eq\r(2)eq\r(2)給學生提供可“再創(chuàng)造”的數(shù)學活動機會，必須基于尊重學生現(xiàn)有的數(shù)學思維發(fā)展水平，也就是要承認學生學習能力的限度，要接受學生看待問題的方式方法。這是因為，學生在其現(xiàn)有數(shù)學思維發(fā)展水平上理解事物，是從他自己看問題的角度來看待事物的，教師只有尊重學生的數(shù)學思維，才能使學生有真正的發(fā)展，才能使教學有真正的效果。尊重學生現(xiàn)有的數(shù)學思維水平，就是要根據(jù)學生的數(shù)學思維水平層次，給學生留有充足的思考時間和空間，給學生更多的交流討論、思考的機會。下面是一個尊重學生現(xiàn)有的數(shù)學思維發(fā)展水平，給學生“再創(chuàng)造”機會的典型例子。一次，某數(shù)學教師讓學生解決如下問題：是否存在這樣的兩個無理數(shù)x,y,使得xy是有理數(shù)?一般情況下，教師引導學生得出如下方法即終止教學：令x＝eq\r(2)eq\r(2)eq\(2,2)、y＝eq\r(2)，若eq\r(2)是有理數(shù)，則問題得證；若eq\r(2)是無理數(shù)，令x＝eq\r(2)、Y＝eq\r(2)，則(eq\r(2))=(eq\r(2))2＝2是有理數(shù)；因此，一定存在兩個無理數(shù)x，y，使得是有理數(shù)。[3]這位經(jīng)驗豐富的教師，并未滿足于上述教學結果，eq\r(2)eq\r(2)eq\r(2)而是給學生進行充分交流、討論的機會，調(diào)動學生積極數(shù)學思維。結果有一位學生eq\r(2)eq\r(2)得到如下結果：x＝eq\r(2)，y＝log3(＝2log23)是兩個無理數(shù)，而xy＝eq\r(2)Log3＝3是有理數(shù)。這樣的結果不僅給出證明，而且明確指出了是哪兩個無理數(shù)具有此性質(zhì)。上述數(shù)學活動教學，既圓滿解決了問題，也培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維。eq\r(2)eq\r(2)eq\r(2)eq\r(2)eq\r(2)eq\r(2)迪恩斯認為，在數(shù)學教學中學生應該依靠自己的經(jīng)驗，而不是依靠教師的經(jīng)驗。建構主義也認為，知識并不能簡單地由教師或其他人傳授給學生，而只能由每個學生依據(jù)自身已有知識和經(jīng)驗主動地加以建構。學生對于教師所講的必須有一個“理解”或“消化”的過程，所謂“理解”，就是指“被納入到適當?shù)膱D式之中”，從而，這在很大程度上就是一個意義賦予的過程，即學習者必須依據(jù)自身已有知識和經(jīng)驗(認知結構)對教師所說的作出“解釋”，也即必須在新的學習材料與主體已有知識和經(jīng)驗之間建立起實質(zhì)性的、非任意的聯(lián)系，從而使其獲得確定的意義，這就是一種“創(chuàng)造性的理解”。[4]研究表明，當數(shù)學活動和學生的現(xiàn)實生活密切結合時，數(shù)學才是活的，富有生命力的，才能激發(fā)學生學習和解決數(shù)學問題的興趣，激發(fā)學生思考與創(chuàng)造的源泉，促進學生在以后遇到相關問題時自覺地運用有關的數(shù)學經(jīng)驗去思考并解決問題。因此，數(shù)學活動教學應該基于學生已有的知識和經(jīng)驗，重視數(shù)學學習材料的組織，營造真實的數(shù)學活動教學情境，鼓勵學生做實驗性數(shù)學作業(yè)(數(shù)學實驗)。例如，教學“統(tǒng)計與概率”時，我們讓學生先從實際生活中收集相關數(shù)據(jù)，再進行數(shù)據(jù)整理、統(tǒng)計與分析，并從中尋求數(shù)學知識與規(guī)律。下表是實際數(shù)學活動教學中某位學生自我進行脈搏測量的統(tǒng)計結果(樣本數(shù)據(jù)代表)，統(tǒng)計目的是要求學生探究測量一個人的脈搏用多少秒比較適宜”這一問題。時間（秒）3025201512106543次數(shù)3730241713128764次數(shù)（1分鐘）74727268657280849080學生在各自測量統(tǒng)計的基礎上，經(jīng)過思考、交流，得出測量一個人的脈搏用20—30秒比較適宜，這一結果與醫(yī)療臨床經(jīng)驗基本相符。這樣的數(shù)學活動教學充分體現(xiàn)了《全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》中“內(nèi)容的呈現(xiàn)應采用不同的表達方式，以滿足多樣化的學習需求”這一理念要求。(三)加大數(shù)學活動探索性成分的教學數(shù)學教師在設計數(shù)學活動教學時，所選擇的問題及安排的數(shù)學活動不但要適合于學生現(xiàn)有的數(shù)學思維水平，也要考慮到促進學生的數(shù)學思維向下一個數(shù)學思維階段發(fā)展，即，要考慮到學生數(shù)學思維能力水平的限制，又要考慮到數(shù)學思維發(fā)展的潛力。[5]從這樣的角度去分析，數(shù)學教學應該不斷深入了解學生真實的思維活動，善于引起學生觀念上的不平衡，采取有效的教學對策，促使學生的數(shù)學思維水平不斷上層次。也即應當善于設定這樣的環(huán)境，在其中，學生已有的知識和能力不足以解決所面臨的問題(達到目標)，從而產(chǎn)生觀念上的不平衡，能夠較為清楚地看到自身已有知識的局限性，并努力通過新的學習活動達到新的、更高水平上的平衡。顯然，從這樣的角度去分析，除了提供正面的范例，還必須通過適當?shù)馁|(zhì)疑或反例設計去引發(fā)學生的“觀念沖突”，并幫助學生將正確觀念和錯誤觀念進行比較，促其作出自覺的選擇。要引起學生觀念上的不平衡，一個有效的策略，就是加大數(shù)學活動的探索性成分。當前中小學數(shù)學教學通常只是讓學生“體驗”一下科學家發(fā)現(xiàn)知識的過程，從事一下“類似”科學家發(fā)現(xiàn)知識的活動，雖然這已經(jīng)很不錯了，但還是遠遠不夠的。這是因為，知識學習難度與學習活動強度密切相關，只有在高強度的認識活動中，才能培養(yǎng)起高質(zhì)量的認知品質(zhì)，缺乏難度的學習會使學生注意力分散、不動腦。長久下去，將會使學生意志力差、興趣差，乏數(shù)感。由此看來，教師應該是數(shù)學活動教學中的“理智的引路人”，應該引導學生對已有數(shù)學知識做進一步整理和改組，適當加大數(shù)學知識難度和滲透科學認識的教學，重視學生對科學方法、科學價值的掌握和理解的導引教學，加強學生對整理知識和重組知識能力的培養(yǎng)，使學生能從知識材料間的問題和矛盾中不斷探索發(fā)現(xiàn)和解決問題，實現(xiàn)認識的深化和發(fā)展。[6](四)引導學生學會“數(shù)學地思維”弗賴登塔爾認為：“與其說是學習數(shù)學，不如說是學習‘數(shù)學化’。[7]這就要求數(shù)學教學應加強“高層次數(shù)學思維”研究(這是相對于“初等數(shù)學思維”而言的)，努力幫助學生學會“數(shù)學地思維”，將數(shù)學學習心理學的研究深入到真正的數(shù)學活動之中，通過“數(shù)學化”來教數(shù)學、學數(shù)學，給學生盡可能多的將已有學習題材形成為數(shù)學內(nèi)容的“數(shù)學化”機會。比如，教學“平行四邊形的概念與性質(zhì)”時，根據(jù)初中學生數(shù)學活動水平基本處于第三層次的特點，應該先給學生一組不同類型、不同大小的平行四邊形，讓其觀察、思考，引導學生發(fā)現(xiàn)“兩組對邊分別平行”“兩組對邊分別相等”“兩組對角分別相等”“兩組鄰角分別互補”“對角線互相平行”等許多重要性質(zhì)，并通過操作、交流、討論等，進一步發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)之間的邏輯聯(lián)系，在此基礎進行邏輯組織，最終發(fā)現(xiàn)其中一個“基本性質(zhì)”可以推出其他所有性質(zhì)(這里，不同的學生會選擇不同的“基本性質(zhì)”)。顯然，這樣的數(shù)學活動教學，不僅抓住了平行四邊形概念內(nèi)涵的本質(zhì)，而且還能使學生學會定義這種數(shù)學活動。要引導學生“數(shù)學地思維”，還必須重視對學生(尤其是初中生)的“體驗性教育”，回歸尊重學生本性的追求，側重使學生形成獨立的問題意識和思考能力，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維，促進學生理解能力和個性的健全發(fā)展。[8]讓學生進行數(shù)學“體驗性教育”的問題，就是要促進學生數(shù)學思維“積極化”發(fā)展，這是當前數(shù)學活動教學應該重視的問題。那種只保證廣義的積極性而不考慮數(shù)學思維特點的數(shù)學活動教學，我們稱為“偽積極性數(shù)學教學”；保證考慮數(shù)學特點的狹義的積極性教學，即數(shù)學活動的教學，稱為積極性的數(shù)學教學。為了確定學生是否能實現(xiàn)某種積極性的數(shù)學活動以及教師的數(shù)學教學活動應當是什么，必須了解學生現(xiàn)有的真實思維水平以及必須要教給學生的數(shù)學活動水平，比較這兩個水平的目的就是要把學生的數(shù)學活動水平提高到我們要教的水平。教師必須明確什么時候提高或降低所要教的數(shù)學活動水平，以確保學生與教師的數(shù)學思維水平同步(平衡)，甚至超前，為學生進行“數(shù)學地思維”創(chuàng)造良好的可能條件。(五)提倡學生“做數(shù)學”做數(shù)學(doingmathemati