熱力學(xué)與物理統(tǒng)計第七章03

第七章玻爾茲曼統(tǒng)計一、熱力學(xué)量的統(tǒng)計表達(dá)式第七章玻爾茲曼統(tǒng)計玻爾茲曼分布的適用范圍：經(jīng)典粒子，定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件的玻色（費(fèi)米）系統(tǒng)。這幾個系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)一致嗎？內(nèi)能：第七章玻爾茲曼統(tǒng)計配分函數(shù)定義函數(shù)考慮到粒子數(shù)內(nèi)能表達(dá)式第七章玻爾茲曼統(tǒng)計為界對系統(tǒng)做的功等于系統(tǒng)外參量的變化與相應(yīng)的廣義力的乘積之和熱力學(xué)基本微分方程廣義力第七章玻爾茲曼統(tǒng)計廣義力的表達(dá)式壓強(qiáng)第七章玻爾茲曼統(tǒng)計無窮小準(zhǔn)靜態(tài)過程，外參量有dy的改變，外界對系統(tǒng)做功為在這個過程中，內(nèi)能的變化為第一項，粒子分布不變時由于外參量的改變導(dǎo)致能級改變而引起的內(nèi)能的變化；第二項，粒子能級不變時由于粒子分布改變所引起的內(nèi)能的變化第七章玻爾茲曼統(tǒng)計在無窮小準(zhǔn)靜態(tài)過程中，外界對系統(tǒng)所做的功等于粒子分布不變時能級發(fā)生變化而引起的內(nèi)能變化；系統(tǒng)從外界吸收的熱量等于粒子在各能級重新分布所增加的內(nèi)能沒有與熱量相對應(yīng)的微觀物理量第七章玻爾茲曼統(tǒng)計熵的統(tǒng)計表達(dá)式配分函數(shù)視為β和y的函數(shù)，那么第七章玻爾茲曼統(tǒng)計β是(dU-Ydy)的積分因子第七章玻爾茲曼統(tǒng)計積分因子如果微分式不是完整積分，但存在函數(shù)λ(x,y)，使得是某一函數(shù)的全微分，那么λ就稱為dz的積分因子令φ(s)為s的任意函數(shù)，那么λφ(s)也必是dz的積分因子β是(dU-Ydy)的積分因子第七章玻爾茲曼統(tǒng)計1/T是(dU-Ydy)的積分因子令第七章玻爾茲曼統(tǒng)計可以證明，k是和S無關(guān)的?？紤]互為熱平衡的兩個系統(tǒng)，它們具有共同的β，但是它們的熵是任意的，因此k與S無關(guān)。k=R/NA=1.381×10-23J/K玻爾茲曼常數(shù)第七章玻爾茲曼統(tǒng)計熵的統(tǒng)計意義玻爾茲曼分布第七章玻爾茲曼統(tǒng)計玻爾茲曼關(guān)系玻爾茲曼關(guān)系指出某個宏觀狀態(tài)的熵等于玻爾茲曼常量k乘以相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)的對數(shù)。某個宏觀狀態(tài)對應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)越多，它的混亂度就越多，熵就越大。這就是熵的統(tǒng)計意義上述適應(yīng)的條件是玻爾茲曼系統(tǒng)和定域系統(tǒng)，系統(tǒng)的微觀粒子是可以分辨的。第七章玻爾茲曼統(tǒng)計對于滿足經(jīng)典極限條件的玻色和費(fèi)米系統(tǒng)，由玻爾茲曼分布直接導(dǎo)出的內(nèi)能和廣義力的統(tǒng)計表達(dá)式是適用的。由于系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)與玻爾茲曼系統(tǒng)不同，因此熵為第七章玻爾茲曼統(tǒng)計有了內(nèi)能和熵，下一步可以求系統(tǒng)的自由能適用于定域系統(tǒng)適用于滿足經(jīng)典極限的玻色和費(fèi)米系統(tǒng)第七章玻爾茲曼統(tǒng)計經(jīng)典統(tǒng)計——經(jīng)典粒子玻爾茲曼分布定義配分函數(shù)第七章玻爾茲曼統(tǒng)計二、理想氣體的物體方程考慮單原子分子理想氣體，不考慮分子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，那么分子的運(yùn)動就可以看做是在容器內(nèi)的自由運(yùn)動一般氣體滿足經(jīng)典極限條件，因此，遵從玻爾茲曼分布系統(tǒng)的配分函數(shù)第七章玻爾茲曼統(tǒng)計能級的簡并度考慮μ空間體積元dxdydzdpxdpydpz，分子可能的微觀狀態(tài)數(shù)為宏觀大小的容器，系統(tǒng)的動量和能量是準(zhǔn)連續(xù)的，因此求和改成積分第七章玻爾茲曼統(tǒng)計這是一個六重積分引入積分公式那么第七章玻爾茲曼統(tǒng)計因此理想氣體的壓強(qiáng)第七章玻爾茲曼統(tǒng)計經(jīng)典極限條件氣體越稀薄，溫度越高，分子質(zhì)量越大，經(jīng)典極限條件越容易滿足第七章玻爾茲曼統(tǒng)計三、麥克斯韋速度分布滿足經(jīng)典極限條件的氣體，分子質(zhì)心的運(yùn)動能量為在體積V內(nèi)，動量在dpxdpydpz內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)為那么在體積V內(nèi)，動量在dpxdpydpz內(nèi)的分子數(shù)為第七章玻爾茲曼統(tǒng)計氣體分子總數(shù)為N那么在體積V內(nèi)，動量在dpxdpydpz內(nèi)的分子數(shù)為那么在體積V內(nèi)，速度在dvxdvydvz內(nèi)的分子數(shù)為第七章玻爾茲曼統(tǒng)計單位體積內(nèi)，速度在dvxdvydvz內(nèi)的分子數(shù)為f(vx,vy,vz)滿足麥克斯韋速度分布。對于有相互作用的系統(tǒng)，上述分布仍然成立。第七章玻爾茲曼統(tǒng)計引入速度空間的球坐標(biāo)v，θ，φ，球坐標(biāo)的體積元單位體積內(nèi)，速度在dv范圍內(nèi)的粒子數(shù)為氣體分子的速率分布。很明顯使速率分布函數(shù)取極大值的速率稱為最概然速率vm第七章玻爾茲曼統(tǒng)計分子的平均速率分子的方均根速率第七章玻爾茲曼統(tǒng)計碰壁數(shù)：單位時間內(nèi)碰到單位面積器壁上的分子數(shù)用dΓdAdt表示在dt時間