代數(shù)幾何綜合題的解題方法

代數(shù)幾何綜合題的解題方法北京一〇一中學(xué)李愛(ài)民代數(shù)、幾何綜合題是指需綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何這兩部分知識(shí)解題的問(wèn)題，是初中數(shù)學(xué)中知識(shí)涵蓋面廣、綜合性最強(qiáng)的題型，它的解法多種多樣.代數(shù)與幾何綜合題考查了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和靈活運(yùn)用知識(shí)的能力；復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化的能力；考查了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移整合能力；考查了將大題分解為小題，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析考查了對(duì)代數(shù)幾何知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系的認(rèn)識(shí)，與解決問(wèn)題的能力.題型一般分為：〔1〕方程與幾何綜合的問(wèn)題；〔2〕函數(shù)與幾何綜合的問(wèn)題；〔3〕動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)問(wèn)題；〔4〕直角坐標(biāo)系中的幾何問(wèn)題；〔5〕幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問(wèn)題.題型特點(diǎn)：一是以幾何圖形為載體，通過(guò)線段、角等圖形尋找各元素之間的數(shù)量關(guān)系，建立代數(shù)中的方程或函數(shù)模型求解；二是把數(shù)量關(guān)系與幾何圖形建立聯(lián)系，使之直觀化、形象化，從函數(shù)關(guān)系中點(diǎn)與線的位置、方程根的情況得出圖形中的幾何關(guān)系.以形導(dǎo)數(shù)，由數(shù)思形，從而尋找出解題捷徑.解代數(shù)、幾何綜合題要靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是要從題目中尋找這兩部分知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)，從而發(fā)現(xiàn)解題的突破口.這類題目往往是中考的壓軸題解題方法：解這類題目時(shí)應(yīng)從代數(shù)幾何兩方面入手，多角度、多線索地深入分析，架起連接代數(shù)與幾何的橋梁關(guān)鍵點(diǎn).靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想、數(shù)學(xué)建模思想、.分類討論思想、轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)與方程思想等.例1.生活中，有人喜歡把傳送的便條折成示紙條的反面)，如圖1-1.形狀，折疊過(guò)程是這樣的(陰影部分表Q圖1-1(圖①)長(zhǎng)為26cm，寬為xcm，分別答復(fù)以下問(wèn)題：(即紙條兩端均超出點(diǎn)P)，試求x的取值范圍．P的長(zhǎng)度相等，M與點(diǎn)A的距離(用x表示)．如果由信紙折成的長(zhǎng)方形紙條(1)為了保證能折成圖④的形狀(2)如果不但要折成圖④的形狀，而且為了美觀，希望紙條兩端超出點(diǎn)即最終圖形是軸對(duì)稱圖形，試求在開(kāi)始折疊時(shí)起點(diǎn)點(diǎn)撥：將圖④中的紙條分別沿PM、PQ折疊，把折好的紙條打開(kāi)，則得到如圖1-2所.我們發(fā)現(xiàn)其中等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)正好等于示的帶有折痕〔虛線〕的紙條〔數(shù)學(xué)化〕紙條的寬，PM′等于5倍的紙條寬，從而可列方程求解.1APBMM′圖1-2PM/解：〔1〕由折紙的過(guò)程可知，要保證折后紙條兩端均超出點(diǎn)P，則必須滿足AB，26∴05x26，解得0x；5〔2〕∵圖④是軸對(duì)稱圖形，由紙條兩端超出點(diǎn)P的長(zhǎng)度相等，也即265xAPBM/M與點(diǎn)A的距離為APPM，而PMx，，折疊時(shí)起點(diǎn)2265x3232∴AM=APPMx13x.點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是〔13x〕cm.2歸納：此題設(shè)計(jì)精巧、頗具創(chuàng)意，以學(xué)生喜聞樂(lè)見(jiàn)的“折紙”為背景，展示了數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵，材料鮮活、親切，表述簡(jiǎn)明、直觀，且?guī)缀蔚滋N(yùn)豐富，極具有挑戰(zhàn)性.既考查了圖形變換及軸對(duì)稱、方程和不等式的知識(shí)，又考查了實(shí)踐能力和數(shù)學(xué)建模能力，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)踐變?yōu)檎嬷?，將感性上升為理性，這正是此題設(shè)計(jì)的價(jià)值所在.如果不親自動(dòng)手實(shí)踐，僅憑想象，是很難得到正確結(jié)果的.此題對(duì)學(xué)生的識(shí)圖能力和動(dòng)手實(shí)踐能力提出了更高的要求實(shí)踐操作型以文字、圖形等形式介紹一種圖案〔實(shí)物〕的設(shè)計(jì)〔制作〕流程，根據(jù)流程完成設(shè)計(jì)或制作，并在此基礎(chǔ)解決設(shè)計(jì)或制作中所遇到的問(wèn)題.求解時(shí)，要注意挖掘設(shè)計(jì)〔制作〕過(guò)程中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)知識(shí)例2.如圖2-1，以矩形OABC的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，OC所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．已知OA＝3，OC＝2，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，在OA上取一點(diǎn)D，將△BDA沿BD翻折，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處．〔1〕直接寫出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)頂點(diǎn)為F的拋物線交y軸正半．．軸．于點(diǎn)P，且以點(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求該拋物線的解析式；..〔3〕在x軸、y軸上是否分別存在點(diǎn)M、N，使得四邊形MNFE的周長(zhǎng)最??？如果存在，求出周長(zhǎng)的最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．點(diǎn)撥：〔1〕由軸對(duì)稱的性質(zhì)，可知∠得四邊形ABFD是正方形，則可求點(diǎn)FBD=∠ABD，F(xiàn)B=AB，可E、F的坐標(biāo)；〔2〕已知拋物圖2-1線的頂點(diǎn)，則可用頂點(diǎn)式設(shè)拋物線的解析式給明頂角的頂點(diǎn)，而頂角和底邊都是惟一的，.因?yàn)橐渣c(diǎn)E、F、P為頂點(diǎn)的等腰三角形沒(méi)有所以要抓住誰(shuí)是頂角的頂點(diǎn)進(jìn)行分類，可分別以E、F、P為頂角頂點(diǎn)；〔3〕求周長(zhǎng)的最小值需轉(zhuǎn)化為利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解解：(1)E(3,1)；F(1,2)；.EB2BF212225.(2)連結(jié)EF，在Rt△EBF中,∠B=90°，∴EF=設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,n),n＞0,∵頂點(diǎn)F(1,2),∴設(shè)拋物線的解析式為①如圖2-2，當(dāng)EF=PF時(shí)，EF，∴1+(n-2)=5，解得n1=0(舍去)，n2=4.∴P(0，4)，∴4=a(0-1)2+2，解得y=a(x-1)2+2，(a≠0)．2=PF222a=2，∴拋物線的解析式為y=2(x-1)2+2．2②如圖2-3，當(dāng)EP=FP時(shí)，EP2=FP2，∴(2-n)2+1=(1-n)2+9，解得5(舍去2)．n=－③當(dāng)EF=EP時(shí)，EP=5＜3，這種情況不存在.綜上所述，符合條件的拋物線為y=2(x-1)2+2．MNFE的周長(zhǎng)最?。?3)存在點(diǎn)M、N，使得四邊形如圖2-4，作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，作點(diǎn)F關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，連結(jié)E′F′，分別與x軸、y軸交于點(diǎn)M、N，則點(diǎn)M、N就是所求.連結(jié)NF、ME.∴E′(3，-1)、F′(-1，2)，NF=NF′，ME=ME′.∴BF′=4，BE′=3.3242=5.∴FN+NM+ME=F′N+NM+MEF′E又∵EF=5，∴FN+MN+ME+EF=5+5，此時(shí)四邊形MNFE的周長(zhǎng)最小值為5+5.yyFBCOPEFBCxDAExODAP圖2-3圖2-2yF′FBECNxOADM圖2-4E′歸納：此題考查了平面直角坐標(biāo)系、等腰直角三角形、拋物線解析式的求法、利用軸對(duì)稱性求最短距離以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想對(duì)問(wèn)題分類、求解，要特別注意分類原則是不重不漏、最簡(jiǎn)念分類，如判斷直角三角形時(shí)明確哪個(gè)角可以是直角，對(duì)應(yīng)角；二是依運(yùn)動(dòng)變化的圖形中的分界點(diǎn)進(jìn)行分類，.分類討論的思想要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，.分類常見(jiàn)的依據(jù)是：一是依概兩個(gè)三角形相似時(shí)分清誰(shuí)與誰(shuí)可以是如一個(gè)圖形在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與另一個(gè)圖形重合部分可以是三角形，也可以是四邊形、五邊形等.幾何與函數(shù)的綜合題是中考常見(jiàn)的壓軸題型，解決這類問(wèn)題主要分為兩步：一是利用線段的長(zhǎng)確定出幾何圖形中各點(diǎn)的坐標(biāo)；二是用待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式.例3.已知：如圖3-1，在Rt△ACB中，C90，AC4cm，BC3cm，點(diǎn)P3由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．假設(shè)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)〔0t2〕，解答以下問(wèn)題：〔1〕當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？〔2〕設(shè)△AQP的面積為y〔cm2〕，求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；〔3〕是否存在某一時(shí)刻存在，求出此時(shí)t的值；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由；PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四邊形t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？假設(shè)〔4〕如圖3-2，連接PQPC，那么是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQPC為菱形？假設(shè)存在，求出此時(shí)菱形的邊長(zhǎng)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由．BPBCPCAQAQ圖3-1圖3-2PAQAPAB點(diǎn)撥：〔1〕當(dāng)PQ∥BC時(shí)，△APQ∽△ABC，從而可列比例式，求出t的值；PH，然后由ACPHAPAB〔2〕過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得，求出BC1S△APQ=PH·AQ,求出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；2〔3〕先假設(shè)存在，再由假設(shè)出發(fā)結(jié)合已知條件求出t的值.BC2AC25，由題意知：AP=5－t，AQ=2t，B解：〔1〕在Rt△ABC中，AB假設(shè)PQ∥BC，則△APQ∽△ABC.PAQACAP.∴2t5t10∴t，∴．AB457〔2〕過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC于H．如圖3-3.PHBCAPAB∵△APH∽△ABC，∴，AQCHPH5t，∴PH33t.圖3-3∴3551212332∴yAQPH2t(3t)t3t．55〔3〕假設(shè)PQ把△ABC周長(zhǎng)平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ．∴(5t)2tt3(42t)，解得：t1．假設(shè)PQ把△ABC面積平分，41235則SAPQSABC，即－t2＋3t=3．∵t=1代入上面方程不成立，∴不存在這一時(shí)刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分．〔4〕過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，如圖3-4.假設(shè)四邊形PQP′C是菱形，那么∵PM⊥AC于M，∴QM=CM．PQ＝PC．BN∵PN⊥BC于