初中數(shù)學人教九年級上冊第二十四章圓-垂直于弦的直徑 名師獲獎

什么是軸對稱圖形？我們學過哪些軸對稱圖形？如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫軸對稱圖形．回顧線段角等腰三角形矩形菱形等腰梯形正方形圓圓也是軸對稱圖形嗎？探究動畫——沿著圓的任意一條直徑對折圓是軸對稱圖形．任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸．圓有哪些對稱軸？OOABCDE是軸對稱圖形．大膽猜想已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，

CD⊥AB，垂足為E．下圖是軸對稱圖形嗎？已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，

CD⊥AB，垂足為E．求證：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒證明：連結OA、OB，則OA＝OB．∵垂直于弦AB的直徑CD所在的直線既是等腰三角形OAB的對稱軸又是⊙O的對稱軸．∴當把圓沿著直徑CD折疊時，

CD兩側的兩個半圓重合，

A點和B點重合，

AE和BE重合，

AC、AD分別和BC、BD重合．∴AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒疊合法DOABEC

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條?。R要點DOABEC垂徑定理AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB①直徑過圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊☆}設結論DOABEC垂徑定理將題設與結論調(diào)換過來，還成立嗎？這五條進行排列組合，會出現(xiàn)多少個命題？①直徑過圓心③平分弦②垂直于弦④平分弦所對優(yōu)弧⑤平分弦所對的劣?。?）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．垂徑定理的推論1DOABEC已知：CD是直徑，AB是弦，CD平分AB求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒一個圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直．因此這里的弦如果是直徑，結論不一定成立．OABMNCD注意為什么強調(diào)這里的弦不是直徑？①直徑過圓心④平分弦所對優(yōu)?、燮椒窒尧诖怪庇谙尧萜椒窒宜鶎Φ牧踊〈箯蕉ɡ淼耐普?（2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．已知：CD是直徑，AB是弦，并且AC＝BC

求證：CD平分AB，CD⊥AB，AD＝BD⌒⌒⌒⌒DOABEC①直徑過圓心⑤平分弦所對的劣?、燮椒窒尧芷椒窒宜鶎?yōu)弧②垂直于弦垂徑定理的推論1（2）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧．已知：CD是直徑，AB是弦，并且AD＝BD

求證：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦③平分弦①直徑過圓心④平分弦所對優(yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊。?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。箯蕉ɡ淼耐普?已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求證：CD是直徑，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦④平分弦所對優(yōu)?、僦睆竭^圓心③平分弦⑤平分弦所對的劣?、诖怪庇谙尧萜椒窒宜鶎Φ牧踊、僦睆竭^圓心③平分弦④平分弦所對優(yōu)?。?）垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直徑過圓心，并且平分弦和所對的另一條弧．③平分弦④平分弦所對優(yōu)?、僦睆竭^圓心②垂直于弦⑤平分弦所對的劣?。?）平分弦并且平分弦所對的一條弧的直徑過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對的另一條?。燮椒窒尧萜椒窒宜鶎Φ牧踊、僦睆竭^圓心②垂直于弦④平分弦所對優(yōu)?、芷椒窒宜鶎?yōu)?、萜椒窒宜鶎Φ牧踊、僦睆竭^圓心②垂直于弦③平分弦（6）平分弦所對的兩條弧的直徑過圓心，并且垂直平分弦．∴AM＝BM，

CM＝DM⌒⌒⌒⌒垂徑定理的推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等．MOABNCD證明：作直徑MN垂直于弦AB∵AB∥CD

∴直徑MN也垂直于弦CD∴AM－CM＝BM－DM

⌒⌒⌒⌒⌒⌒即AC＝BDABCD兩條弦在圓心的同側兩條弦在圓心的兩側垂徑定理的推論2有這兩種情況：OOABCDCDABE已知：AB．求作：AB的中點．⌒⌒點E就是所求AB的中點．⌒作法：1．連結AB．2．作AB的垂直平分線CD，交AB于點E．⌒小練習ABCDE已知：AB．求作：AB的四等分點．⌒⌒作法：1．連結AB．3．連結AC．2．作AB的垂直平分線，交AB于點E．⌒4．作AC的垂直平分線，交AC于點F．⌒5．點G同理．點D、C、E就是AB的四等分點．⌒ABC作AC的垂直平分線作BC的垂直平分線這種方法對嗎？等分弧時一定要作弧所夾弦的垂直平分線．×CABO你能確定AB的圓心嗎？⌒作法：1．連結AB．2．作AB的垂直平分線，交AB于點C．⌒3．作AC、BC的垂直平分線．4．三條垂直平分線交于一點O．點O就是AB的圓心．⌒你能破鏡重圓嗎？ABCmnO作弦AB、AC及它們的垂直平分線m、n，交于O點；以O為圓心，OA為半徑作圓．作法：依據(jù)：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。箯蕉ɡ砣切蝑+h=rdhar有哪些等量關系？在a，d，r，h中，已知其中任意兩個量，可以求出其它兩個量．你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國隋代建造的石拱橋，是我國古代人民勤勞與智慧的結晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對的弦的長）為37.，拱高（弧的中點到弦的距離）為7.2m．趙州橋主橋拱的半徑是多少？實際問題垂徑定理的應用用表示主橋拱，設所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點D，根據(jù)前面的結論，D是AB的中點，C是的中點，CD就是拱高．解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2BODACR解得R≈27.9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m．OA2=AD2+OD2課堂小結1．圓是軸對稱圖形任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸．O

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧．2．垂徑定理DOABEC條件結論命題①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對的兩條?。椒窒宜鶎Φ囊粭l弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條?。业拇怪逼椒志€經(jīng)過圓心，并且平分這條弦所對的兩條弧．垂直于弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心，并且平分弦和所對的另一條弧．平分弦并且平分弦所對的一條弧的直線經(jīng)過圓心，垂直于弦，并且平分弦所對的另一條弧．平分弦所對的兩條弧的直線經(jīng)過圓心，并且垂直平分弦．3．垂徑定理的推論

經(jīng)常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，為應用垂徑定理創(chuàng)造條件．4．解決有關弦的問題1．判斷：（1）垂直于弦的直線平分這條弦，并且平分弦所對的兩?。ǎ?）平分弦所對的一條弧的直徑一定平分這條弦所對的另一弧．（）（3）經(jīng)過弦的中點的直徑一定垂直于弦．（）（4）圓的兩條弦所夾的弧相等，則這兩條弦平行．（）（5）弦的垂直平分線一定平分這條弦所對的?。ǎ獭屉S堂練習2．在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE解：答：⊙O的半徑為5cm．3．在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證：四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形．4．在直徑是20cm的⊙O中，的度數(shù)是60°，那么弦AB的弦心距是________．cm5．弓形的弦長為6cm，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為________．cm6．已知P為⊙O內(nèi)一點，且OP＝2cm，如果⊙O的半徑是3cm，，那么過P點的最短的弦等于____________．cm7．一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓?。磮D中弧CD，點O是弧CD的圓心），其中CD=600m，E為弧CD上的一點，且OE⊥CD垂足為F，EF=90m．求這段彎路的半徑．解:連接OC．●OCDEF┗8．已知在⊙O中，弦AB的長為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．解：連結OA．過O作OE⊥AB，垂足為E，則OE＝3cm，AE＝BE．∵AB＝8cm∴AE＝4cm

在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理有OA＝5cm

∴⊙O的半徑為5cm．．AEBO9．在以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點．求證：AC＝BD．證明：過O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE．

AE－CE＝BE