人教版高中數(shù)學(xué)必修二必修2培訓(xùn)輔導(dǎo)講義word版(含答案)18講

PAGEPAGE10第一講：空間幾何體的結(jié)構(gòu)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】利用實物模型、計算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征；認(rèn)識由柱、錐、臺、球組成的幾何組合體的結(jié)構(gòu)特征；能用上述結(jié)構(gòu)特征描繪現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．【要點梳理】要點一、棱柱的結(jié)構(gòu)特征1由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱．在棱柱中，兩個相互平行的面叫做棱柱的底面，簡稱底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱．側(cè)面與底的公共頂點叫做棱柱的頂點．棱柱中不在同一平面上的兩個頂點的連線叫做棱柱的對角線．過不相鄰的兩條側(cè)棱所形成的面叫做棱柱的對角面．2、棱柱的分類：底面是三角形、四邊形、五邊形、……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……3、棱柱的表示方法：①用表示底面的各頂點的字母表示棱柱如下圖四棱柱五棱柱六棱柱可分別表示為ABCD ABCD、1111ABCDE ABCDE11111

、ABCDEF ABC111

EF；111②用棱柱的對角線表示棱柱，如上圖，四棱柱可以表示為棱柱AC1ACAD等；六棱柱可表示為棱柱AC、棱柱ADAE等．1 1 1 1 14、棱柱的性質(zhì)：棱柱的側(cè)棱相互平行.要點詮釋：

B等；五棱柱可表示為棱柱1體滿足“有兩個面互相平行，其余各個面都是平行四邊形”這一條件，但它不是棱柱．判定一個幾何體是否是棱柱時，除了看它是否滿足條件，不具備這一條件的幾何體不是棱柱．要點二、棱錐的結(jié)構(gòu)特征1鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱；2、棱錐的分類：按底面多邊形的邊數(shù)，可以分為三棱錐、四棱錐、五棱錐……；SSCBSSSSDDCAABECAB3、棱錐的表示方法：用表示頂點和底面的字母表示，如四棱錐S要點詮釋：棱錐有兩個本質(zhì)特征：有一個面是多邊形；要點三、圓柱的結(jié)構(gòu)特征ABCD．1、定義：以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的底面．平行要點詮釋：用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與底面全等的圓面．徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．要點四、圓錐的結(jié)構(gòu)特征要點詮釋：用一個平行于圓柱底面的平面截圓柱，截面是一個與底面全等的圓面．徑，經(jīng)過圓柱的軸的截面通常叫做軸截面．要點四、圓錐的結(jié)構(gòu)特征1、定義：以直角三角形的直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐．旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸．垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的底面．不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面．無論旋轉(zhuǎn)到什么位置不垂直于軸的邊都叫做圓錐的母線．2、圓錐的表示方法：用表示它的軸的字母表示，如圓錐SO．要點詮釋：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面是一個比底面小的圓面．經(jīng)過圓錐的軸的截面是一個等腰三角形，其底邊是圓錐底面的直徑，兩腰是圓錐側(cè)面的兩條母線．要點五、棱臺和圓臺的結(jié)構(gòu)特征2、棱臺的表示方法：用各頂點表示，如四棱臺ABCD ABCD；11113、圓臺的表示方法：用表示軸的字母表示，如圓臺OO；要點詮釋：側(cè)棱，它們必相交于同一點．要點六、球的結(jié)構(gòu)特征叫做球的半徑.半圓的圓心叫做球心.半圓的直徑叫做球的直徑.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.叫做球的半徑.半圓的圓心叫做球心.半圓的直徑叫做球的直徑.2、球的表示方法：用表示球心的字母表示，如球O.要點詮釋：圓的半徑等于球的半徑；如果截面不經(jīng)過球心，則截面圓的半徑小于球的半徑．若半徑為R的球的一個截面圓半徑為r，球心與截面圓的圓心的距離為d，則有dR2 ．要點七、特殊的棱柱、棱錐、棱臺棱柱是正棱柱；底面是矩形的直棱柱叫做長方體；棱長都相等的長方體叫做正方體；側(cè)棱長等于底面邊長的正三棱錐又稱為正四面體；特殊的棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺；注：簡單幾何體的分類如下表：要點八、簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征1幾何體；2、常見的組合體有三種：①多面體與多面體的組合；②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合；③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合.①多面體與多面體的組合體三棱柱的組合體；如圖是一個四棱柱與一個四棱錐的組合體；如圖合體．②多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體圓柱組合而成的；如圖是一個圓錐與一個四棱柱組合而成的；而圖的．③旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體是由一個球體和一個圓柱體組合而成的；如圖是由一個圓臺和兩個圓柱組合而成的；如圖一個圓錐組合而成的．要點九、幾何體中的計算問題幾何體的有關(guān)計算中要注意下列方法與技巧：關(guān)證明及運(yùn)算往往與兩者相關(guān)．正四棱臺中要掌握其對角面與側(cè)面兩個等腰梯形中關(guān)于上、下底及梯形高的計算，有關(guān)問題往往要轉(zhuǎn)化(3)研究圓柱、圓錐、圓臺等問題的主要方法是研究它們的軸截面，這是因為在軸截面中，易找到所需有關(guān)元素之間的位置、數(shù)量關(guān)系．(4)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開是把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題處理的重要手段之一．(5)圓臺問題有時需要還原為圓錐問題來解決．球與多面體的切接問題，要恰當(dāng)?shù)剡x取截面，化“空間”為平面．【經(jīng)典例題】類型一：簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1．判斷下列說法是否正確．棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形；一個n（n≥3）2n棱柱的兩個底面是全等的多邊形；如果棱柱有一個側(cè)面是矩形，則其余各側(cè)面也都是矩形．（（（）（）不正確．【解析】（1）側(cè)面都是平行四邊形（）一個n棱柱的底面是一個n邊形，因此每個底面都有n個項點，兩個底面的頂點數(shù)2n（4）如果棱柱有一個側(cè)面是矩形，只能保證側(cè)棱垂直于該側(cè)面的底邊，但其余側(cè)面的側(cè)棱與相應(yīng)底邊不一定垂直，因此其余側(cè)面不一定是矩形．故12（）4）不正確．特征，也就是要以棱柱、棱錐、棱臺概念的本質(zhì)內(nèi)涵為依據(jù)，以具體實物和圖形為模型來進(jìn)行判定．舉一反三：【變式1】如下圖中所示幾何體中是棱柱有（ ）A．1 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【高清課堂：空間幾何體的結(jié)構(gòu)394899同步練習(xí)】【變式2】有兩個面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱嗎？【答案】不一定例2．有下面五個命題：側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；側(cè)棱都相等的棱錐是正棱錐；底面是正方形的棱錐是正四棱錐；正四面體就是正四棱錐；頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是底面多邊形的外心的棱錐必是正棱錐．其中正確命題的個數(shù)是（．A．1個 B．2個C3D．4【答案】A【解析】本題主要考查正棱錐的概念，關(guān)鍵看是否滿足定義中的兩個條件．命題射影是底面的中心，故不是正棱錐，如下圖S-ABCSA=SB=BC=Ac=3，SC=AB=1，則此三棱錐的各側(cè)面都是全等的等腰三角形，但它不是正三棱錐；命題）中的“側(cè)棱都相等”并不能保證底面是正多邊形，如下圖中的三棱錐P-DEFPD=PE=PF=1DEDF2但它不是正三棱錐；命題3）中的“底面是正方形的棱錐3，從正方體中截取一個四棱錐D-ABCD，底面是正方形，但它不是正四棱錐；命題）中的“正四面體”是正三棱錐．三棱錐中共有4叫正四面體；命題5）中的“頂點在底面上的射影既是底面多邊形的內(nèi)心，又是外心舉一反三：【變式說明理由；如果不正確，舉出反例．【答案】不正確．四邊形，其余各面都是三角形，但是該幾何體不是棱錐．例3．判斷下圖所示的幾何體是不是臺體？為什么？【解析】三個圖都不是臺體（AA1DD1交于一點，而BBCC1（）中面ABCD與面ABCD1不平行，故也不是臺體（）OO1不平行，故也不是臺體．【總結(jié)升華】判斷一個幾何體是否為臺體，必須緊扣臺體的兩個本質(zhì)特征（）由錐體截得的2）截面線與兩底面垂直．舉一反三：【變式1】判斷如下圖所示的幾何體是不是臺體？為什么？【答案】①②③都不是臺體．因為它是用平行于圓錐SO底面的平面截圓錐SO而得的．類型二：幾何體中的基本計算4．124πcm225πcm2．求圓臺的高；截得此圓臺的圓錐的母線長．（1）315（2）20【解析】畫出軸截面，依據(jù)勾股定理及相似三角形知識即可求解．（1）如右圖，圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD【解析】畫出軸截面，依據(jù)勾股定理及相似三角形知識即可求解．（1）如右圖，圓臺的軸截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底面半徑O1A=2cm面半徑OB=5cm，又腰長AB=12cmAM122(52)2315（cm．l122∴l(xiāng)=20cm．故截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm．

1∽△SBO，可得l 5，【總結(jié)升華】對于這類旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計算問題，其關(guān)鍵在于作出它們的軸截面（即過旋轉(zhuǎn)鈾的截面把它們轉(zhuǎn)化為平面幾何問題即可．舉一反三：【變式1】已知圓臺的上、下底面積之比為1：9，圓臺的高為10，求截得圓臺的圓錐的高．【解析】設(shè)圓錐的高為h，上、下底半徑為rh101，解得h15．R h 3類型三、簡單幾何體的組合體例5．指出下圖中的圖形是由哪些簡單幾何體構(gòu)成的．【解析】分割原圖，使它們的每一部分構(gòu)成簡單幾何體．是一個三棱柱和一個四棱柱組合而成的；是一個圓錐和一個四棱柱組合而成的．其次要善于將復(fù)雜的組合體“分割”成幾個簡單的幾何體．幾個簡單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識圖能力．舉一反三：【變式1】如下圖，觀察下列幾何體，分析它們是由哪些基本幾何體組成的，并說出它們的主要結(jié)構(gòu)特征．【答案】圖（1）是由一個四棱柱在它的上、下底面上向內(nèi)挖去一個三棱柱組成的幾何體，它有9個面，14個頂點，21條棱，具有四棱柱和三棱柱的結(jié)構(gòu)特征．圖（2）是一個四棱柱和一個底面與該四棱柱上底面重合的四棱錐組成的幾何體，它有9個面，9個頂點，16條棱，具有四棱柱和四棱錐的結(jié)構(gòu)特征．圖（3）是由一個三棱柱和一個底面與該三棱柱的上底面重合的三棱臺組成的幾何體，它有9個頂點，8個面，15條棱，具有三棱柱和三棱臺的結(jié)構(gòu)特征．【變式2】如下圖是由圖中的平面圖形（ ）旋轉(zhuǎn)得到的．【答案】A各頂點（如果是半圓形，則取垂直于這條直線的半徑的端點）點用圓弧連接起來，也就得出相應(yīng)的幾何體，進(jìn)而便可判定其是由哪些簡單的幾何體所組成的幾何體．類型四、簡單幾何體的表面展開與折疊問題例6．請畫出下圖所示的幾何體的表面展開圖．【解析】將立體圖形沿著某些棱剪開，然后伸展到平面上．表面展開圖如下圖所示．些棱把它剪開，并鋪成平面圖形，進(jìn)而畫出相應(yīng)的平面圖形．將多面體的表面展開成平面圖形，有利于我們解決與多面體表面有關(guān)的計算問題．例7．根據(jù)下圖所給的平面圖形，畫出立體圖形．【解析】將各平面圖形折起后形成的空間圖形如下圖所示．【總結(jié)升華】平面圖形的折疊問題實質(zhì)上是多面體的表面展開問題的逆向問題（即逆向過程的平面圖形和立體圖形，找到這兩個圖形之間的構(gòu)成關(guān)系．舉一反三：【變式1】如下圖所示的兩個圖形都是立體圖形的平面展開圖，你能分別說出這些立體圖形的名稱嗎？【答案】（1）正方體（2）正四棱錐【鞏固練習(xí)】【鞏固練習(xí)】一個正方形沿不平行于正方形所在平面的方向平移一段距離一定可以形成（ A．棱錐 B．四棱柱C．正四棱柱 D．長方體從長方體的一個頂點出發(fā)的三條棱上各取一點EFG（不與頂點重合，過此三點作長方體的截面，那么這個截面的形狀是（ ．A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可3下列命題中，正確的是（ ．A．有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱B．棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的側(cè)面C．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形下列圖形不是正方體表面展開圖的是（ ．下列命題：①圓柱的軸截面是過母線的截面中最大的一個；②用任意一個平面去截球體得到的截嘶一定是一個圓面；③用任意一個平面去截圓錐得到的截斷一定是一個圓面其中正確的個數(shù)是（ ．A．0 B．1 C．2 D．36．一個直角梯形以較長底為軸進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，得到的幾何體是（ A．一個圓臺 B．一個圓錐C．由兩個圓錐組成的組合體 D．由一個圓錐一個圓柱組成的組合體一個棱臺至少有 個面；面數(shù)最少的一個棱錐有 個頂點；頂點最少的一個棱臺條側(cè)棱．正六棱臺的兩底邊長分別為高是1cm，它的斜高為 ．為球面上相異兩點，則通過兩點可作的球大圓有 個．10．長方體的全面積為十二條棱的長度之和為24，求這個長方體的一條對角線已知三棱錐的底面是邊長為aS、S1 2

，側(cè)面是全等的等腰梯形，棱臺的高為h，求此棱臺的側(cè)棱長和斜高(側(cè)面等腰梯形的高).【答案與解析】【答案與解析】1B【解析】由棱柱定義可知，選B2A【解析】連結(jié)E三點，用余弦定理證明知，這個三角形是銳角三角形．3D【解析】緊扣棱柱的定義可知選D4C【解析】由展開圖折回去形不成正方體可知選C5C6D7543【解析】面數(shù)最少的棱臺是三棱臺；面數(shù)最少的棱錐是三棱錐；頂點最少的棱臺是三棱臺．7【答案】2【解析】在正六棱臺ABCDEF A' 中，連結(jié)OC'，作OG BC' B' OG，垂足為H，解RtG得斜高GG'

7cm．2【答案】一個或無窮多個5

bc11【解析】設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、c，則 ，而對角線長b24a2 b2 a2 b2 b2ab2bc2ac62 113【答案】 a216對應(yīng)邊長之比為對應(yīng)邊長之比為1211PAGEPAGE19S 12 1∴ A．S 2 4ABC

3a2，∴

1 3a2 3a2．ABC 4

A'

4 4 16【答案

1(S2

Sh21(1(S4Sh212【解析】上、下底面正方形的邊長為S、S長為l長為l(22S222Sh2112(S2Sh2；1斜高為h(S2S221h214(S2Sh2.1

，此棱臺對角面、過兩相對斜高的截面都是等腰梯形，則側(cè)棱第二講：空間幾何體的三視圖和直觀編稿： 審稿：【學(xué)習(xí)目標(biāo)】點，了解空間圖形的不同表現(xiàn)形式；能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱的簡易組合體）所表示的立體模型，會用斜二測畫法畫出它們的直觀圖．【要點梳理】【高清課堂：空間幾何體的三視圖與直觀圖395059中心投影與平行投影】要點一、中心投影與平行投影投影、投影線和投影面做投影線，留下物體影子的屏幕叫做投影面．中心投影把一個物體射到一個平面上，這個物體的影子就是它在這個平面上的中心投影．中心投影的性質(zhì)中心投影的投影線交于一點；4．平行投影斜投影．5．平行投影的性質(zhì)平行投影的投影線互相平行．6．中心投影與平行投影的區(qū)別與聯(lián)系起來與人的視覺效果一致，最像原來的物體．要點二、空間幾何體的三視圖【高清課堂：空間幾何體的三視圖與直觀圖395059三視圖】1．三視圖的概念種投影．光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的正視圖；光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫做幾何體的側(cè)視圖；幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖．2．三視圖的畫法規(guī)則之間必須互相對齊，不能錯位．兩個視圖之間有一定的對應(yīng)關(guān)系，根據(jù)這種對應(yīng)關(guān)系得到三視圖的畫法規(guī)則：正、俯視圖都反映物體的長度——“長對正正、側(cè)視圖都反映物體的高度——“高平齊俯、側(cè)視圖都反映物體的寬度——“寬相等【高清課堂：空間幾何體的三視圖與直觀圖395059斜二測畫法及典型例題1】要點三、斜二測畫法在立體幾何中，空間幾何體的直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形．要畫空間幾何體的直觀圖，首先要學(xué)會水平放置的平面圖形的直觀圖畫法．斜二測畫法的步驟：在已知圖形中取互相垂直的z軸和y軸，兩軸相交于點O．畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x＇y＇軸，兩軸交于點O＇＇=4°（或13°，它們確定的平面表示水平面．已知圖形中，平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于xy和所畫坐標(biāo)軸的位置關(guān)系與已知圖形中相應(yīng)線段和原坐標(biāo)軸的位置關(guān)系相同．已知圖形中，平行于x軸或zy來的一半．畫圖完成后，擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了平面圖形的直觀圖．要點詮釋：點的位置都要通過其所在的平行于、y要點四、立體圖形的直觀圖用斜二測畫法畫空間幾何體的步驟①在已知圖形中，取互相垂直的x軸和y軸，再取z軸，使∠xOz=90°，且∠yOz=90°；y′z′′′′=4（或13°′O′=9°，x′O′y′所確定的平面表示水平平面；③已知圖形中平行于x軸，y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸，y′軸或z′軸的線段；④在已知平面圖形中平行于x軸和z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼囊话?；⑤擦去作為輔助線的坐標(biāo)軸，就得到了空間幾何體的直觀圖．斜二測畫法保留了原圖形中的三個性質(zhì)交；③平行于x，z畫立體圖形與畫水平放置的平面圖形相比多了一個zz軸的是＇表示水平平面，平面和＇表示直立平面．平行于z（或在：軸上）的線段，其平行性和長度都不變．三視圖與直觀圖的聯(lián)系與區(qū)別三視圖與直觀圖都是用平面圖形來刻畫空間圖形的位置特征與度量特征，二者有以下區(qū)別：都是三視圖．②直觀圖是對空間幾何體的整體刻畫，可視性高，立體感強(qiáng)，由此可以想象實物的形狀．要點五、已知三視圖畫直觀圖線從不同位置將物體按正投影向投影面投射所得到的圖形，對于同一個物體，兩者可以相互轉(zhuǎn)換．由三視圖畫直觀圖，一般可分為兩步：第一步：想象空間幾何體的形狀．包括正視圖、側(cè)視圖和俯視圖．如柱體、錐體或臺體等．俯視圖反映出物體的長和寬．對于簡單幾何體來說，當(dāng)俯視圖是圓形時，該幾何體是旋轉(zhuǎn)體；當(dāng)俯視圖是多邊形時，該幾何體是多面體．第二步：利用斜二測畫法畫出直觀圖．示看不見的部分．畫完直觀圖后還應(yīng)注意檢驗．【典型例題】類型一、平行投影與中心投影例1．下列命題中正確的是（ A．矩形的平行投影一定是矩形B．梯形的平行投影一定是梯形C．兩條相交直線的投影可能平行D．一條線段的平行投影如果仍是一條線段，那么這條線段中點的投影必是這條線段投影的中心【答案】D【解析】平行投影因投影線的方向變化而不同，因而平行投影改變幾何圖形的形狀，因而A、B不正確．兩條直線的交點無論是平行投影還是中心投影仍是同一個點，這個點在兩條直線的投影上，因而兩條直線的投影不可能平行，故C錯．兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比，因而D正確．強(qiáng)，看起來與人的視覺效果一致，最像原來的物體，所以在繪畫時，經(jīng)常使用這種方法．例2．一圖形的投影是一條線段，這個圖形不可能是．①線段 ②直線 ③圓 ④梯形 ⑤長方體【答案】②⑤其投影不可能是線段；直線的投影，只能是直線或點．舉一反三：【變式1】有下列說法：變成了相交的直線；④空間幾何體在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式．其中正確的命題有（．A．1個 個C．3個【答案】D類型二、空間幾何體的三視圖例3．螺栓是棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體，如下圖，畫出它的三視圖．【解析】該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的．正視圖反映正六棱柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面，側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個側(cè)面和圓柱側(cè)面（中心重合它的三視圖如下圖．（1）三視圖．在繪制三視圖時，應(yīng)注意：若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出．不同，所畫的三視圖就可能不同；其次，簡單組合體是由哪幾個簡單幾何體構(gòu)成的，并注意它們的構(gòu)成方式，特別是它們的交線位置．例4．如下圖（1）所示的是一個獎杯的三視圖，畫出它的立體圖形．60mm100mm20mm．底座的上面是一個底面對角線長為40mm72mm它的底面對角線分別與棱臺的底面的兩邊平行，底面的中心在棱臺上、下底面中心的連線上，獎杯的最上部是在正四棱柱上底面的中心放了一個直徑為28mm根據(jù)以上分析，畫出獎杯的立體圖形，如上圖所示．齊、寬相等”的基本特征，想象視圖中每部分對應(yīng)的實物部分的形狀，特別要注意幾何體中與投影面垂直或平行的線及面的位置．視圖的幾何特點，想象整個幾何體的幾何特征，從而判斷三視圖所描述的幾何體．通常是根據(jù)俯視圖判斷是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再結(jié)合正視圖和側(cè)視圖確定具體的幾何結(jié)構(gòu)特征，最終確定是簡單幾何體還是簡單組合體．【變式1】右圖是長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題，其中真命題的個數(shù)【變式1】右圖是長和寬分別相等的兩個矩形．給定下列三個命題，其中真命題的個數(shù)．是（①存在三棱柱．其正（主）視圖、俯視圖如右圖②存在四棱柱，其正（主）視圖、 俯視圖如右圖A．3③存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖B．2C．1D．0【答案】A【變式2】若某幾何體的三視圖如下圖所示，則這個幾何體的直觀圖可以是（ ）【答案】B類型三、空間幾何體的直觀圖例5．畫出水平放置的等邊三角形的直觀圖.【解析】畫法，如圖：在三角形ABC中，取AB所在直線為xAByxy軸，兩軸交于點O，且使xOy 以O(shè)為中點，在x軸上取AB AB，在y軸上取O

1OC；2連接ACBC，并擦去輔助線xyABC.【總結(jié)升華】斜二測畫法的作圖技巧：坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用原有直線為坐標(biāo)軸或圖形的對稱軸為坐標(biāo)軸，以線段的中點或圖形的對稱點為原點；在原圖中平行于xy軸的線段在直觀圖中仍然平行于xy以先畫出線段的端點再連線，畫端點時利用與坐標(biāo)軸平行的線段；畫立體圖形的直觀圖，在畫軸時，要再畫一條與平面xOy垂直的z軸，平行于z軸的線段長度保持不變.舉一反三：【變式1】已知正角形ABC的邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖的面積為（ ）A．3a2 B．3a2 C．6a2 D．6a24 8 8 16【答案】D【解析】先根據(jù)題意，畫出直觀圖，然后根據(jù)直觀圖△A＇B＇C＇的邊長及夾角求解．3如上圖（2）所示的實際圖形和直觀圖．由圖）可知，A＇=AB=，OC'1OC a，在32 4圖（）中作＇D＇B＇于，則CD' 2OC' 6a．2 8∴SA'

1 1 6 6A' a a a2．2 2 8 16圖形中的高線在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成45例6．畫出底面為邊長為1.2cm的正方形，側(cè)棱均相等且高為1.5cm的四棱錐的直觀圖．【解析】（1）畫軸．畫x軸、y軸、z軸，xOy=4°（或13°xOz=9°，如下圖．畫底面．以O(shè)xOyABCD，使AB=1.2cm，EF＇=0.6畫頂點，在OzOP，使OP=1.5PBPCPD，下圖2．再利用斜二測畫法的規(guī)則及步驟畫出直觀圖．建系后觀察哪些線段分別與、yz軸平行或重合，找到對應(yīng)頂點即可．【鞏固練習(xí)】【鞏固練習(xí)】下列實例中，不是中心投影的是（．工程圖紙B．小孔成像．相片D．人的視覺有（．個個D．4個一個幾何體的某一方向的視圖是圓，則它不可能( ).球體 B．圓錐 圓柱 D．長方體4．一個建筑物的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖如下圖所示，則組成這個建筑物的組合體是（ A．圓柱和圓錐 B．立方體和圓錐 C．正四棱柱和圓錐 D．正方形和圓行四邊形，其中有一邊長為4，則此正方形的面積是（．A．16 B．64 C．1664D．以上都不對平行投影與中心投影之間的區(qū)別．一個三角形在其直觀圖中對應(yīng)一個邊長為1的正三角形，原三角形的面積．正視圖為一個三角形的幾何體可以．(寫出三)用斜二測畫法作出兩邊邊長分別為3cm4cm用斜二測畫法畫正六棱柱的直觀圖，使其底面邊長為3cm6cm根據(jù)三視圖（如下圖，畫出物體的直觀圖．【答案與解析】【答案與解析】1ACD均是中心投影．2B3D【解析】45C6C【解析】正視圖中小長方形在左上方，對應(yīng)俯視圖應(yīng)該在左側(cè)，排除B、D，側(cè)視圖中小長方形在右上方，對應(yīng)俯視圖應(yīng)該在下方，排除A，故選C．【答案】平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點．6【答案】平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點．6【答案】2【解析】如右圖，由底邊長AB=1C3，那么原來的高線為662 6，則原三角形的面積S11 6．662 2 2【答案】三棱錐、三棱柱、圓錐【解析】由三棱錐、三棱柱（側(cè)放、圓錐的特征可知這三種幾何體的正視圖均是三角形．【解析】采用斜二測畫法，即在已知圖形所在的空間中取水平平面，作軸、y軸，使

450，然后依據(jù)平行投影的有關(guān)性質(zhì)逐一作圖（如右圖．在已知ABCD中取ABAD所在邊為x軸與y軸，相交于點OO與A重合，畫對應(yīng)的x＇＇y＇=45°．在＇軸上取A，BAB=AB=4，在＇軸上取DADC＇平行x＇的直線，且等于A＇B＇長．連CBABCD＇就是矩形ABCD的直觀圖．

1 3AD= ，過DD2 2【解析】先作底面正六邊形的直觀圖，再沿平行于z作法：1）畫軸：畫O＇＇=45°（或13°，∠O=90°．畫底面：按x＇軸畫正六邊形的直觀圖ABCDEF．畫側(cè)棱：過ABCDEF各點分別作AABBCCDDEE，F(xiàn)F成圖：順次連結(jié)ABCDEF（去掉輔助線，改被遮擋的部分為虛線，圖12121）xOy=45°，∠xOz=90°，圖．如右20PAGEPAGE27（）O，在z軸上截取OOOO＇作Ox的平行線Ox，Oy的平行線OO＇＇與O＇＇畫出底面圓O（與畫圓O一樣，在zO″，使OOOOO″作Ox的平行線O″x″，Oy的平行線Oy″，作圓O（3）成圖．連接AAAABBBB，整理得到三視圖所表示的立體圖的直觀圖，如右圖所示．第三講：空間幾何體的表面積和體積【學(xué)習(xí)目標(biāo)】通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的表面積和體積的求法；能運(yùn)用公式求解柱體、錐體和臺體的體積，并且熟悉臺體與柱體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系；體積；【要點梳理】要點一、棱柱、棱錐、棱臺的表面積項目名稱棱柱項目名稱棱柱底面?zhèn)让嫫矫娑噙呅纹叫兴倪呅卫忮F平面多邊形三角形面積=底·高1面積=·底·高棱臺平面多邊形梯形面積=（·高212要點詮釋：要點二、圓柱、圓錐、圓臺的表面積為平面圖形，再去求其面積．圓柱的表面積圓柱的側(cè)面積：圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，如下圖，圓柱的底面半徑為r，母線長圓柱側(cè)矩形的長等于圓柱底面周長C=π，寬等于圓柱側(cè)面的母線長（也是高，由此可得S =C=2πr．圓柱側(cè)S圓柱表

22rl2圓錐的表面積圓錐的側(cè)面積：如下圖所示，圓錐的側(cè)面展開圖是一個扇形，如果圓錐的底面半徑為r，母線長為C=πr，半徑等于圓錐側(cè)面的母線長為是S圓錐側(cè)

1Cl 2πr2+πr圓臺的表面積圓臺的側(cè)面積：如上圖所示，圓臺的側(cè)面展開圖是一個扇環(huán)．如果圓臺的上、下底面半徑分為r、r，母線長為，那么這個扇環(huán)的面積為(＇+r)，即圓臺的側(cè)面積為S =π(＇+r)．圓臺側(cè)S圓臺表

r2

要點詮釋：底面半徑、母線長與對應(yīng)的側(cè)面展開圖中的邊長之間的關(guān)系．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系如下圖所示．要點三、柱體、錐體、臺體的體積1．柱體的體積公式棱柱的體積：棱柱的體積等于它的底面積S和高h(yuǎn)的乘積，即V 棱柱圓柱的體積：底面半徑是r，高是h的圓柱的體積是V =Sh=πr2h．圓柱綜上，柱體的體積公式為V=Sh．錐體的體積公式棱錐的體積：如果任意棱錐的底面積是S，高是h，那么它的體積V棱錐

1Sh．3圓錐的體積：如果圓錐的底面積是S，高是h，那么它的體積V圓錐1

1Shr，用πr23表示S，則V圓錐

r2h．3綜上，錐體的體積公式為V 1Sh．3臺體的體積公式SS棱臺的體積：如果棱臺的上、下底面的面積分別為SS，高是SSV 1棱臺 3

S'．圓臺的體積：如果圓臺的上、下底面半徑分別是r，高是，那么它的體積是SS1SSV hS S') h2 r'r2．SS圓臺 3SS綜上，臺體的體積公式為V

13

S柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關(guān)系如下圖所示．要點四、球的表面積和體積1．球的表面積球面不能展開成平面，要用其他方法求它的面積．球的表面積設(shè)球的半徑為R，則球的表面積公式S=4πR2．球即球面面積等于它的大圓面積的四倍．2．球的體積設(shè)球的半徑為R，它的體積只與半徑R有關(guān)，是以R為自變量的函數(shù)．4球的體積公式為V球

R3．3要點五、側(cè)面積與體積的計算1積與體積，能夠?qū)⑵浞纸獬芍?、錐、臺、球，再進(jìn)一步分解為平面圖形（以求得其表面積與體積．要注意對各幾何體相重疊部分的面積的處理，并要注意一些性質(zhì)的靈活運(yùn)用．棱錐平行于底的截面的性質(zhì)：SSSSS小錐底小錐全小錐側(cè)SSS大錐底大錐全大錐側(cè)對應(yīng)線段（如高、斜高、底面邊長等）的平方之比．要點詮釋：積比時，將臺體補(bǔ)成錐體，也可應(yīng)用這個關(guān)系式．有關(guān)棱柱直截面的補(bǔ)充知識．在棱柱中，與各側(cè)棱均垂直的截面叫做棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上下底面及與底面平行的截面．棱柱的側(cè)面積與直截面周長有如下關(guān)系式：S 棱柱側(cè)

其中直截

、分別為棱柱的直截面周長與側(cè)棱長，直截V 棱柱

其中直截

、分別為棱柱的直截面面積與側(cè)棱長．直截2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和體積的計算圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解決有關(guān)問題的關(guān)鍵．關(guān)問題的關(guān)鍵．【典型例題】類型一、簡單幾何體的表面積例1．已知正四棱錐底面正方形的邊長為4cm，高與斜高的夾角為30°，求正四棱錐的側(cè)面積和表面積．【思路點撥】利用正棱錐的高、斜高、底面邊心距組成的直角三角形求解，然后代入公式。OE組成Rt△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴OE組成Rt△POE．∵OE=2cm，∠OPE=30°，∴PE因此SCh'12444OEsin3032(cm2)，4cm．側(cè)12S =S+S=32+16=4cm2．表面積 側(cè) 底【總結(jié)升華】求正棱錐的側(cè)面積的關(guān)鍵是求側(cè)面等腰三角形的高（稱為斜高，這就需要充分利用棱錐的高、邊心距（底面中心到各邊的距離）和斜高所構(gòu)成的直角三角形來求解．舉一反三：1S-ABC，求它的表面積?！敬鸢浮?a2【變式2】圓錐的母線長擴(kuò)大到原來的n倍底面半徑縮小為原來的1那么它的側(cè)面積變?yōu)樵瓉恚?）n1A．1倍 n倍 n2倍 倍nA例2表面積之比．【思路點撥】一般要畫出其軸截面來分析，利用相似三角形求解。【答案】21【解析】如右圖為其軸截面圖，設(shè)圓柱、圓錐的底面半徑分別是r、R，圓錐的母線長為l．則有R，即R R，2則有R，即R R，2∴R=2r，l2RSR2RRR2RR2S圓錐表

224r 41 1(21)R(2(21)R(2212求各元素之間的關(guān)系，再利用相應(yīng)表面積公式計算．例31:23，求由它旋轉(zhuǎn)而成的圓臺的上底面積，下底面積和側(cè)面積的比．【答案】1∶4∶6【解析】如右圖，設(shè)上、下底和高分別為x、2x、3x，則母線l(側(cè)面積的比．【答案】1∶4∶6【解析】如右圖，設(shè)上、下底和高分別為x、2x、3x，則母線l(2x，上底 下底 側(cè)∴圓臺的上、下底面積及側(cè)面積之比為1∶4∶6．徑、高、母線等集中在一個直角三角形中研究．舉一反三：1】圓臺的上、下底面半徑分別是10cm20cm180的表面積是多少？（結(jié)果中保留π）【答案】1100π【變式2】鄰邊長為a，b的平行四邊形，且a＞b，分別以a，b兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)這個平行四邊形所得幾何體的表面積分別為S，S，則有（ ）1 2A．S＜S ＞S ＝S ≥S1 2 1 2 1 2 1 2【答案】A類型二、簡單幾何體的體積例4．如右圖所示，三棱錐的頂點為P，PA、PB、PC為三條側(cè)棱，且PA、PB、PC兩兩互相垂直，又PA=2，PB=3，PC=4，求三棱錐P-ABC的體積V．PB=3，PC=4，求三棱錐P-ABC的體積V．PA⊥PBPA⊥PCPBPCP，PAPBC，即PAA—PBC【答案】4【解析】三棱錐的體V 1Sh，其中S為底面積為高，而三棱錐的任意一個面都可以作為底面，所以此題可把A看作頂點，△PBC作為底面求解．VV 1Sh1S PAAPBC 3 3PBC114324．32A—PBC積法，隨著知識的增多，它的應(yīng)用越來越廣，因此必須熟練掌握．【變式【變式1】各棱長都為1的正四棱錐的體積V= ．（2）如右圖，正方體ABCD—ABCD2，動點在棱AB111111分別在棱A，CD上．若EF=，AE=，DQ=DP=（x，，z大于零，1則四面體PEFQ的體積（ ）A．與x，y，z與x有關(guān)，與y，z與y有關(guān)，與x，z與z有關(guān)，與x，y22【答案】（1）12（2）DABCDPABCD11 11距離是變化的，即yP到面ABCDD．11例5．一個幾何體的三視圖如圖所(單位：m)，則這個幾何體的體積為 【解析】由三視圖可知這個幾何體是由一個圓錐和一個長方體組成的．其體積為等于圓錐的體積與長方體的體積之和．即【解析】由三視圖可知這個幾何體是由一個圓錐和一個長方體組成的．其體積為等于圓錐的體積與長方體的體積之和．即V13r2habc133321= 6（m3）【總結(jié)升華】給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或表面積時，新課標(biāo)高考的熱點，應(yīng)引起重視．舉一反三：【變式1】某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是A．823B．83C．822D．3【答案】A【解析】由三視圖可知，其幾何體是由一個正方體挖去一個圓錐82．3類型三、球的表面積與體積例6．求體積為V的正方體的外接球的表面積和體積．3【答案】 23【解析】如圖所示，顯示正方體的中心為其外接球的球心，過球心作平行于正方體面的球的截面，則其截面為圓內(nèi)一正方形（正方形的各頂點均在圓內(nèi)，而不是在圓上）．體的一個對角面上，因此，以正方體的一個對角面作截面即可．任一正方【解析】如圖所示，顯示正方體的中心為其外接球的球心，過球心作平行于正方體面的球的截面，則其截面為圓內(nèi)一正方形（正方形的各頂點均在圓內(nèi)，而不是在圓上）．體的一個對角面上，因此，以正方體的一個對角面作截面即可．任一正方ACCA作球的截面，則球心OAC的中點，設(shè)正方111體的

V,x3V，而AC1 1

2x,AC 3x33VAA33VAA21AC21 13333V23S 4R2 33V24R3 V3球 球 3 2的有關(guān)問題時，必須謹(jǐn)慎地作其軸截面，切忌想當(dāng)然地作圖．地體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系，達(dá)到空間問題平面化的目的．舉一反三：【變式1】設(shè)長方體的長、寬、高分別為，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為 。3a2

6a2

C．12a2

D．24a2【答案】B后，水恰好淹沒最上面的球（如右圖所示后，水恰好淹沒最上面的球（如右圖所示，則球的半徑是【答案】4cm．【解析】 設(shè)球的半徑為rcm，則底面圓的半徑為rcm，從而有83436rr2，由此解得r=4?！眷柟叹毩?xí)】【鞏固練習(xí)】側(cè)棱長和底面邊長都為1的正三棱錐的體積是（ ）11213 2112B． C． D．24 12 24 4長方體的一個頂點上三條棱長分別是且它的8個頂點都在同一球面上則這個球的表面積（ A．25 B．50 C．125 D．都不對圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84，則圓臺較小底面的半為（ ）A．7 Ｂ．6 Ｃ．5 Ｄ．3過圓錐的高的三等分點作平行于底面的截面，它們把圓錐側(cè)面分成的三部分的面積之比為（ ）5.正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為()A．3:1B．3C．2:3D．35.正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為()A．3:1B．3C．2:3D．36．如右圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．9212B．9218C．942D．3618過球半徑的中點，作一個垂直于這條半徑的截面，那么這 個截面的面積與球的大面積之比是 ．把一個三棱錐的各棱都增大到原來的2倍，那么它的體積增大的倍數(shù)是 ．正六棱柱的高為5cm，最長的對角線長為13cm，則它的側(cè)面積為 ．若三個球的表面積之比1:2:3，則它們的體積之比已知正三棱柱的側(cè)面積182，高為．求它的體積．六棱臺的上、下底面均是正六邊形，邊長分別是8cm和18cm，側(cè)面是全等的等腰梯形，側(cè)棱長為13cm將圓心角為1200，面積為3的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積．【答案與解析】【答案與解析】B363 6 1 236【解析】正三棱錐的底面面積為 ，高為 ，則體積為 ．4 3 3 4 3 12B32 432 42 52

52,2R52,R

524R2 502A【解析】S 847側(cè)面積Br

1:2

1:21 2 3 1 2 3

S:S:S1 2

1:41

:(S2

S1

S)1:3:52球和外接球的半徑之比為1:球和外接球的半徑之比為1:3，即3．6.【答案】B【解析】該幾何體是有一個球和一個圓柱組合而成的，故體積是兩體積之和．28PAGEPAGE373:43 3 2【解析】如圖，求出截面圓的半徑為

R，則截面的面積與大圓的面積比為 R:R2 2

3:4．82hShSh=2h=4S1hs111222 1 2 1v=3111，v=32hs2 2132h4s111，即它的體積增大的倍數(shù)8．5218052【解析】正六棱柱的底面最長對角線為

12，所以底面邊長為6，則它的側(cè)面積為665180cm2．10.1:223【解析】r1:23

:(:(

2:331 2 3 1 2 319cm3【解析】由已知得棱柱底面邊長，則體積為93．129365823【解析】一個側(cè)面如下圖，易知a

182

5，h

則S側(cè)面積1

61882

12936(cm2)，S =上底 2S 1

8(8sin6o)6963cm2)，18(18sin6o)64863cm2)3下底 233所以，表面積為936 96313【答案】4 2 23

486

9365823(cm2)【解析】設(shè)扇形的半徑和圓錐的母線都為l，圓錐的半徑為r，則120

33；2 321；360 3S表面積

S S側(cè)面 底

rl4,2222V Sh 22 ．3 3 3第四講：平面【學(xué)習(xí)目標(biāo)】利用生活中的實物對平面進(jìn)行描述；理解平面的概念，掌握平面的畫法及表示方法．重點掌握平面的基本性質(zhì)．能利用平面的性質(zhì)解決有關(guān)問題．【要點梳理】要點一、平面的基本概念1.平面的概念：幾何里的平面就是從這些物體中抽象出來的，但是，幾何里的平面是無限延展的．要點詮釋：(1)“平面”是平的（這是區(qū)別“平面”與“曲面”的依據(jù)(2)“平面”無厚薄之分；(3)“2.平面的畫法：通常畫平行四邊形表示平面．要點詮釋：表示平面的平行四邊形，通常把它的銳角畫成45o，橫邊長是其鄰邊的兩倍；不畫；平面的表示法：(1)用一個希臘字母表示一個平面，如平面、平面、平面等；(2)用表示平面的平行四邊形的四個字母表示，如平面ABCD；(3)用表示平面的平行四邊形的相對兩個頂點的兩個字母表示，如平面AC或者平面BD；點、直線、平面的位置關(guān)系：(1)點A在直線a上，記作Aa；點A在直線a外，記作Aa；(2)點A在平面上，記作A ；點A在平面外，記作A (3)直線在平面內(nèi)，記作l ；直線不在平面內(nèi)，記作l 要點二、平面的基本性質(zhì)平面的基本性質(zhì)即書中的三個公理，它們是研究立體幾何的基本理論基礎(chǔ).1.公理1：(1)文字語言表述：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi)(2)符號語言表述：Al，Bl，A ，B l ；(3)圖形語言表述：要點詮釋：公理12：文字語言表述：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；符號語言表述：A、B、C三點不共線 有且只有一個平面，使得A ，B ，C (3)圖形語言表述：要點詮釋：公理2別要注意公理2中“不在一條直線上的三點”這一條件．“有且只有一個”的含義只有一個”也可以說成“存在”并且“唯一(4)2①過一條直線和直線外一點，有且只有一個平面；②過兩條相交直線，有且只有一個平面；③過兩條平行直線，有且只有一個平面.(5)作用：確定一個平面的依據(jù).3.公理3：(1)文字語言表述：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線(2)符號語言表述：P I I l且Pl；(3)圖形語言表述：要點詮釋：公理3的作用是判定兩個平面相交及證明點在直線上的依據(jù).要點三、點線共面的證明所謂點線共面問題就是指證明一些點或直線在同一個平面內(nèi)的問題．1．證明點線共面的主要依據(jù)：1）如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi)（公理1不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面（公理2及其推論．證明點線共面的常用方法：1）納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點、線在此平面內(nèi)（）線確定平面α，再證明其余元素確定平面β，最后證明平面、β）反證法．具體操作方法：證明幾點共面的問題可先取三點（不共線的三點）確定一個平面，再證明其余各點都在這個平面內(nèi)；（相交或平行要點四、證明三點共線問題所謂點共線問題就是證明三個或三個以上的點在同—條直線上．證明三點共線的依據(jù)是公理3所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線．也就說一個點若是兩個平面的公共點，則這個點在這兩個平面的交線上．和另一個平面的交點必在這兩個平面的交線上．證明三點共線的常用方法方法1：首先找出兩個平面，然后證明這三點都是這兩個平面的公共點．根據(jù)公理3知，這些點都在交線上．方法2：選擇其中兩點確定一條直線，然后證明另一點也在其上．要點五、證明三線共點問題所謂線共點問題就是證明三條或三條以上的直線交于一點．1．證明三線共點的依據(jù)是公理3．2．線上的問題．【經(jīng)典例題】類型一、平面的概念及其表示例1．平面內(nèi)的直線、b相交于點P，用符號語寄語言概述為“aIbP，且P∈ ，是否正確？【答案】不正確【解析】不正確．應(yīng)表示為：a ，b ，且a∩b=P．相交于點Pb都在平面內(nèi)，也可以說，平面經(jīng)過相交于點P的直線b．題中的符號語言只描述了直線、b交于點PP在平面內(nèi)，而沒有描述直線、b言所表示的情形．【總結(jié)升華】用符號語言來敘述時，必須交代清楚所有元素的位置關(guān)系，不能有半點遺漏．（有助于空間想象力的培養(yǎng)；而符號語言更精練、簡潔．三種語言的互譯有助于我們在更廣闊的思維領(lǐng)域里尋找解決問題的途徑，有利于對思維廣闊性的培養(yǎng)．舉一反三：【變式】根據(jù)下列符號表示的語句，說明點、線面之間的位置關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形（A∈B （2）l ，mI A，Al（P∈P Q∈，Q∈．【解析】（1）點A在平面內(nèi)，點B不在平面內(nèi)；直線在平面內(nèi)，直線m與平面相交于點AA不在直線上；直線經(jīng)過平面外一點P和平面內(nèi)一點Q圖形分別如圖12（）所示．類型二、平面的確定例2．判斷下列說法是否正確，并說明理由：一點和一條直線確定一個平面；經(jīng)過一點的兩條直線確定一個平面：兩兩相交的三條直線確定一個平面；4【答案】不正確正確不正確不正確（1）221正確．經(jīng)過同一點的兩條直線是相交直線，由公理223條直線可能交于同一點，也可能有三個不同交點，如下圖1）22132214點不一定在此平面內(nèi)，如上圖3，因此這4不一定在同一平面內(nèi)．23意它們各種不同的位置關(guān)系，以及由此產(chǎn)生的不同結(jié)果．舉一反三：【變式1（2014年安徽六安期末）空間中可以確定一個平面的條件( A．兩條直線 B．一點和一直線C．一個三角形 D．三個點【答案】C例3．在空間內(nèi)，可以確定一個平面的是（ ）A．兩兩相交的三條直線 B．三條直線，其中的一條與另外兩條直線分別相C．三個點 D．三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點【答案】DA則三條直線不一定在同一個平面內(nèi)，故排除AB故排除B對于C此排除C只有選項D中的三條直線，它們兩兩相交且不交于同一點，因而其三個交點不在同一條直線上，由公理知其確定一個平面．所以應(yīng)選D合空間幾何體來考慮會更直觀、快速．類型三、平面的基本性質(zhì)的應(yīng)用4．4．已知、、、d求證：直線a、b、c、d共面．【解析】（1）無三線共點的情況．如右圖所示，b∩d=Nc∩d=P，a∩b=q，a∩c=Rb∩c=S．∵N∈d，Q∈，Q∈，c．∴直線a、b、c、d共面．c．∴直線a、b、c、d共面．bd三線相交于點K與a分別交于NP、M，且K∵Ka∵N，∴N∈，又K∈，∴NK ，即b ．同理c ，d ，∴直線、b、d共面由（1）知直線、、d共面．（1）要證明點線共面，一般是依據(jù)公理2及其推論，在這些點、線中取出能確定一個平面的相關(guān)元素，再證明其他的點、線也在這個平面內(nèi)，也就是“納入法（然后將其他元素納入到這個平面之中．2明；②重合法：先說明一些元素在一個平面內(nèi)，其余元素在另一個平面內(nèi)，再證明兩個平面重合．在證明“線共點”時，一般是依題意，選擇其中相交的兩條直線，再證明其交點在第三條直線上，內(nèi)即可．舉一反三：求證：過a、b、m有且只有一個平面．證明：∵a∥b，∴過a、b有一個平面．求證：過a、b、m有且只有一個平面．證明：∵a∥b，∴過a、b有一個平面．又m∩a=A，m∩b=B，∴A∈b，∴A∈，B∈．又A∈m，B∈m，∴m ，即過、、m有一個平面假設(shè)過a、b、m還有一個平面異于，則a ，b ，a ，b ．、b、b、m有且只有一個平面．例52014年福建福州期末）如圖所示，四邊形ABCD中，已知AB∥CDABBCDC，ADE，F(xiàn)，GHE，F(xiàn)，GH必在同一直線上．【證明】因為AB∥CD，所以AB，CD確定平面AC，ADH，因為H∈平面ACH，3必在平面AC同理FGE都在平面AC的交線上，因此E，F(xiàn)，GH【總結(jié)升華】所謂點共線問題就是證明三個或三個以上的點在同一條直線上．證明三點共線的依據(jù)是公理3公共點，那么過這兩點的直線就是它們的交線；②如果兩個相交平面有三個公共點，那么這三點共線；③如果兩個平面相交，那么一個平面內(nèi)的直線和另一個平面的交點必在這兩個平面的交線上．證明三點共線的常用方法：方法1方法21）證明三線共點的依據(jù)是公理．（2）點在直線上的問題．舉一反三：【高清課堂：空間點線面之間的位置關(guān)系例3】【變式1E,F,G,H分別是空間四邊形各邊AABCDEF與GH交于點在同一直線上．PEFI

PEF P平ABDPGH P平P平面ABDI平面BCD BD PBDEFGHAC三條直線交于一點．證明：∵E∈SA，SA 平面SAC，F(xiàn)∈SC，SCSAC∴EF 平面SAC．∵G∈AB，ABEFGHAC三條直線交于一點．證明：∵E∈SA，SA 平面SAC，F(xiàn)∈SC，SCSAC∴EF 平面SAC．∵G∈AB，AB平面ABC，H∈BC，BC平面ABC，∴GH 平面ABC，又∵EF∩GH=P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC．∵平面SAC∩平面ABC=AC，∴P∈AC即直線EFGHAC共點于P．【總結(jié)升華】線共點的證明可利用公理1、公理3作為推理的依據(jù)．舉一反三：【變式ABCD（即四個點不在同一平面內(nèi)的四邊形）H分別是邊CF CG 2AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，且

．求證：直線EFGH求證：直線EFGHAC相交于一點．證明：∵E、H分別是邊AB、AD的中點，∴EH∥BD且EH1BD2．∵F、G分別是邊BC、CD上的點，且CFCG2，∴FG∥BD且FG 2BD3故知EH∥FG且EH≠FG，

CB CD 3即四邊形EFGH為梯形，從而EF與GH必相交，設(shè)交點為P．∵P∈EF，EF ABC，∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．∵平面ADC∩平面ABC=AC，∴P∈ACEFGHAC交于一點P．F1B1C1D1的棱CC1和AA1BED1F與平面ABCD的交線．【解析】設(shè)法找出兩平面的公共點，兩公共點的連線就是兩個平面的交線．如上圖，在平面AA1D1D內(nèi)，D1FDA不平行，分別延長D1FDAD1FDA必相交，設(shè)交點為M．因為M∈FD1，M∈DA，F(xiàn)D1 平面BED1F，AD 平面ABCD，所以M∈平面BED1F∩平面ABCD，又BBED1F∩平面ABCD，所以，連接MB，則MB=平面BED1FABCD．即直線MB為所求兩平面的交線．DD1FDA在同一平面內(nèi)不平行，因此，它們的延長線必相交于一點，進(jìn)而推出該點也為兩平面的公共點，這兩點確定的直線即為所求．舉一反三：【變式1】已知正方體ABCD=A1B1C1D1中，MNP分別是棱ABA1D、 BB1的中點，試作出過M、N、P三點的截面．作法）設(shè)MNP三點確定的平面為，則平面 與平面AABB的交MPMPA1B1=RRN是平面與平面A1B1C1D1RN∩B1C=Q，連接PQ，則PQ是平面與平面BBC1C的交線（如右圖．（2）設(shè)MPA1A=F，則FN是平面與平面A1D1DA的交線，設(shè)FNAD=H，連接HM，則HM是平面與平面ABCD的交線．由1）知平面PMHNQ 就是過MNP三點的截面（如右圖中陰影部分．【鞏固練習(xí)】【鞏固練習(xí)】用符號表示“點A在直線上，在平面外，正確的是（ ）A．A∈l B．A∈lCA l DA 2．空間不同的三點確定一個平面空間兩兩相交的三條直線確定一個平面空間有三個角為直角的四邊形一定是平面圖形和同一條直線相交的三條平行直線一定在同一平面內(nèi)3（2014年安徽蚌埠期末）空間有四個點，如果其中任意三個點不共線，則經(jīng)過其中三個點的平面( A．2個或3個 B．4個或3個C．1個或3個 D．1個或4個ABCD ABCD1111

是正方體，O是BD11

的中點，直線AC交平面ABD1 1

于點M，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）A．三點共線 B．M1

四點共面C．四點共面 D．B

四點共面1平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，既與AB共面又與CC1共面的棱的條數(shù)為（ A．3 B．4 C．5 D．6若三個平面把空間分成6個部分，那么這三個平面的位置關(guān)系是（ ）三個平面共線有兩個平面平行且都與第三個平面相交D.7（2014年廣東深圳期末）下列四個命題：①兩個相交平面有不在同一直線上的三個公共點；②經(jīng)過空間任意三點有且只有一個平面；③過兩平行直線有且只有一個平面；④在空間兩兩相交的三條直線必共面其中正確命題的序號．一個平面把空間分成 部分，兩個平面最多把空間分成 部分，三個平面最多把空間分成 部分．平面、相交，在、內(nèi)各取兩點，這四點都不在交線上，則這四點能確個平面．空間有四條交于一點的直線，過其中每兩條作一個平面，這樣的平面至多有 個．畫一個正方體ABCD-A1B1C1D1，再畫出平面ACD1與平面BDC1的交線，并且說明理由．12（2014年江西吉安期末）如圖，直角梯形ABDCAB∥CDAB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一點，畫出平面SBD和平面SAC的交線，并說明理由．13．ABCD-A1B1C1D1中，M為AB的中點，BB1BCC1B1的中心，過O求作一直線與AN交于P，與CM交于Q（只寫作法，不必證明．【答案與解析】【答案與解析】B之間的關(guān)系是集合與集合之間的關(guān)系．故選B之間的關(guān)系是集合與集合之間的關(guān)系．故選BD【解析】空間不在同一條直線上的三點確定一個平面，故A錯誤；空間兩B面圖形，可能是空間是四邊形，如圖所示與平面兩相交定是平44D38【解析】畫出正方體ABCD ABCD1111

后，可知D正確．5C【解析】如右圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1，中，與AB和CC1都相交的棱為BC；與AB相交且與CC1平行的棱有AA1，BB1；與AB平行且與CC1相交的棱有CD，C1D15條．故選C6C【解析】如下圖，三個平面相交的截面圖是下面兩種情況時，把空間分成6個部分．【答案】③24814【解析】當(dāng)四點共面時能確定1個平面，若這四點不共面，則任意三點可確定1個平面，故可確定4個平面．10．【答案】661EF為所求．8cm【解析】由題意知，點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點，即點S在交線上，由于AB>CD，則分別延長AC和BD交于點E，如圖所示．∵E∈AC，AC在平面平面SAC，∴E∈平面SAC．同理，可證E∈平面SBD．∴點E在平面SBD和平面SAC的交線上，連接SE，直線SE是平面SBD和平面SAC的交線．此，可先由點O、A、N和O、C、M各確定一個平面、．ONAD知，AD與ON可確定一個平面．又O、C、M三點可確定一個平面，如右圖所示．39此，可先由點O、A、N和O、C、M各確定一個平面、．ONAD知，AD與ON可確定一個平面．又O、C、M三點可確定一個平面，如右圖所示．39PAGEPAGE54∵三個平面、和平面ABCD兩兩相交，有三條交線，其中交線DA與交線CM不平行且共面，∴DA和CM必須相交，記交點為Q．∴OQ是與的交線．連接OQ與AN交于P，故OPQ即為所求作的直線．第五講：直線、平面平行的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】掌握直線與平面平行的判定定理；掌握兩平面平行的判定定理；能熟練應(yīng)用直線與平面、平面與平面平行的判定定理解決相關(guān)問題．【要點梳理】要點一、直線和平面平行的判定文字語言圖形語言：符號語言：a 、b ，aa//要點詮釋：用該定理判斷直線a①直線a在平面外，即a ；②直線b在平面內(nèi)，即b ；③直線a，b平行，即a∥b．這三個條件缺一不可，缺少其中任何一個，結(jié)論就不一定成立．定理的作用要在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行即可．要點二、兩平面平行的判定文字語言：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.圖形語言：符號語言：若a 、b ，aIbA，且a//、b//，則//圖形語言：要點詮釋：定理中平行于同一個平面的兩條直線必須是相交的．定理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，可概述為：線面平行面面平行．要點三、判定平面與平面平行的常用方法1．一個平面，于是這兩個平面平行，或在一個平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個平面內(nèi)兩條相交的直線平行．平面平行的傳遞性：即若兩個平面都平行于第三個平面，則這兩個平面互相平行．【典型例題】類型一、直線與平面平行的判定1．已知ABBCCD是不在同一平面內(nèi)的三條線段，F(xiàn)，G分別是ABBCCD的中點，求證：平面EFGEFG一條直線，如右圖可知，只需證明AC一條直線，如右圖可知，只需證明ACEF證明：如右圖，連接ACBD，EF，GF，EG在△ABC又AC中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，∴AC∥EF，平面EFG，EF平面EFG，于是AC∥平面EFG．同理可證BD∥平面EFG．（1在平面內(nèi)尋找直線的平行線證明這兩條直線平行（）由判定定理得出結(jié)論．2．已知有公共邊AB的兩個全等的矩形ABCD和ABEF不在同一個平面內(nèi)，PQ分別為對角線AEBD上的點，且AP=DQ，如右圖．求證：∥平面CBEPM∴ABEP QN，EA DCBQ．BD∵AP=DQ，∴EP=BQ又∵AB=CD，EA=BD．，證明：作PMAB交BEPM∴ABEP QN，EA DCBQ．BD∵AP=DQ，∴EP=BQ又∵AB=CD，EA=BD．，∴PM//QN．∴四邊形PMNQ是平行四邊形．∴PQ∥MN．綜上，PQ 平面CBE，MN 平面CBE又∵PQ∥MN，∴PQ∥平面CBE．【總結(jié)升華】證線面平行，需證線線平行，尋找平行線是解決此類問題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】在正方體ABCD ABCD1111

是正方形ABC1 111

1

//面BCD．1 1證明：如圖，取面ABCD的中心OOC．1 D1 C1O1QOC11

，且OC OC B1A111A1

DO是平行四邊形 C11 OA BAO，QOC 平面BDC1 1 1 1AOBCD1 1【變式2（2014年山東日照期末如圖所示在正方體ABCD ABCD1111

F分別是棱BCCD11的中點．求證：EFBDDB．11【答案】詳見證明【證明】取【答案】詳見證明【證明】取DB的中點O，11連接OF，OB．∵OFP1BC211，BEP1BC，211∴OFPBE．∴EF∥BO．∵EF 平面BDDB，11BO包含于平面BDDB，11∴EFBDDB．11【總結(jié)升華】要證明直線和平面平行，只須在平面內(nèi)找到一條直線和已知直線平行就可以了．注意適當(dāng)添加輔助線，重視中位線在解題中的應(yīng)用．【變式3】如右圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PBPC的中點．PAD求三棱錐E—ABC的體積加輔助線，重視中位線在解題中的應(yīng)用．【變式3】如右圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F(xiàn)分別是PBPC的中點．PAD求三棱錐E—ABC的體積V又∵AD 平面PAD，EF 平面PAD，∴EF∥平面PAD．（2）連接AE，AC，EC，過E作EG∥PA交AB于點G，如下圖，則EG⊥平面ABCD，且EG1PA．2在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，∴AP則EG⊥平面ABCD，且EG1PA．2在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90°，BP=2，∴APAB2，EG22．

22 2，2ABC 2 2∴V 1

EG 1 1．22EABC 322

3 2 3類型二、平面與平面平行的判定例ABCDAB1CD1AB1D∥平面BDC．【解析】要證明兩個平面平行，由面面平行的判定定理知：須在某一平面內(nèi)尋相交且都與另一平面平行的直線．證明：∵ABB，CD類型二、平面與平面平行的判定例ABCDAB1CD1AB1D∥平面BDC．【解析】要證明兩個平面平行，由面面平行的判定定理知：須在某一平面內(nèi)尋相交且都與另一平面平行的直線．證明：∵ABB，CDB，∴ABD，11111111∴BC1∥平面AB1D1．同理，BD∥平面AB1D1，BDBC1=BAB1D1∥平面BDC1．【總結(jié)升華】利用面面平行的判定定理判定兩個平面平行的程序是（）在第一個平面內(nèi)找出（或作出兩條平行于第二個平面的直線（2）說明這兩條直線是相交直線3）由判定定理得出結(jié)論．例2014年安徽蚌埠期末）如圖所示，在正方體ABCD ABCD1111

中，S是BD11

的中點，E、F、11G分別是BCDC和SC的中點．求證：平面EFG∥平面BDD11【答案】詳見證明【證明】如圖所示，連接SB，SD，∵F、G分別是DC、SC的中點，∴FG∥SD．又∵SD包含于平面BDDB，11FG 平面BDDB，11∴直線FG∥平面BDDB．11同理可證EG∥平面BDDB，11又∵EG包含于平面EFG，F(xiàn)G包含于平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDDB．11線的平行．舉一反三：399113】1】點P是△ABCG,分別是△PBCAPCABP的重心，求證：面1 2 3GGG12 3

//面ABC.證明：連PG,，并延長分別交AB，ACMQMQ.3 2因為G為重心，所以MQ3 2又直線PM∩PQ=P，所以直線PM，PQ確定平面PMQ,在△PMQ中，因為G,G

PG為重心，所以

2

2，所以GG

.3 2

M 1GQ 2 33 2因為GG 面ABC，MQ 面ABC，GG，所以GG面ABC2 3 2 3 2 3同理GG13

//面ABC，因為GG13

面GG1

G，GG2 3 2

面GG1

G，GG2 3 1

IGG G，2 3 3GGABCGG2 3 1

//面ABC，所以面GGG【變式2】的中點．ABC【變式2】的中點．ABC—A1B1C1D，EBC與B1C1求證：平面A1EB∥平面ADC1．

面ABC1C1D，E分別為BC，B1C1C1E，則四邊形C1DBE為平行四邊形，因此EBC1D又C1D 平面ADC1，EB 平面ADC1，所以EB∥平面ADC1．連接DE1，所以四邊形EDBB1為平行四邊形，則ED1B因為BB/AA（棱柱的性質(zhì)，所以ED/AA，則四邊形EDAA1為平行四邊形，所以A1EAD又A1E 平面ADC1，AD 平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1．由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1E 平面A1EB，EB 平面A1EB，且A1E∩EB=E，所以平面A1EB∥平面ADC1．【變式3】已知在正方體ABCD A中分別是AA的中點，在該正方體中作出過頂點且與平面AMN平行的平面，并證明你的結(jié)論．【解析】與平面AMN平行的平面有以下三種情況：下面以上圖（1）為例進(jìn)行證明：證明：∵四邊形ABEM是平行四邊形，∴BE∥AM，又BE 平面BDE，AM 平面BDE，∴AM∥平面BDE．∵M(jìn)N是AMN∵四邊形BDD是平行四邊形，∴BD∥BD，又BD 平面BDE，MN 平面BDE，∴MN∥平面BDE．又AM、MN 平面AMN，且MN∩AM=M，由平面與平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE．【鞏固練習(xí)】【鞏固練習(xí)】下列說法中正確的是（ ）A．如果一個平面內(nèi)有一條直線和另一個平面平行，那么這兩個平面平行BC．如果一個平面內(nèi)的任何一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面平行D．如果兩個平面平行于同一直線，則這兩個平面平行已知三條互相平行的直線b、c中，a ，，則平面、的位置關(guān)系是（ A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．重合已知mnm// mn① m；②

n與相交；③

m

m//。n m// n//其中正確命題的個數(shù)是（ ）A．0 B．1 C．2 D．34．在下列條件中，可判斷平面與平行的( 、都平行于直線l內(nèi)存在不共線的三點到的距離相等、ml∥，m∥、m∥，m∥，m∥下列四個正方體圖形中，A,B為正方體的兩個頂點，M、N、為其所在棱的中點，能得出AB平面MNP的圖形的序號( )

分別是A.①③ B.①④ C.②③ D.②④()6（2014年湖北武漢期末）給出下列結(jié)論，正確的有（ ）①平行于同一條直線的兩個平面平行；②平行于同一平面的兩個平面平行；③過平面外兩點，不能作一個平面與已知平面平行；④若a，b為異面直線，則過a與b平行的平面只有一個A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．過已知直線外一點與已知直線平行的直線有 條；過平面外一點與已知平面平行的直線條，與已知平面平行的平面有 個。8（2014年福建福州期末）已知直線a、，平面、，且a，∥，則直線b與平面的位置關(guān)系為 ．①若平面內(nèi)有一條直線平行于另一個平面，則//；②若平面內(nèi)有兩條直線平行于另一個平面，則//；③若平面內(nèi)有無數(shù)條直線平行于另一個平面，則//；④若平面內(nèi)任意一條直線平行于另一個平面，則//；⑤若平面內(nèi)兩條相交直線平行于另一個平面，則//以上命題正確的．三、解答題是平行四邊形ABCD所在平面外一點，是PA的中點．求證：PCBDQ．ABBC、CD三、解答題是平行四邊形ABCD所在平面外一點，是PA的中點．求證：PCBDQ．12（2014年江蘇南通期末）正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相 交于AB在AEBD上各有一點P，Q，且AP＝DQ．求證∥平面BCE．在正方體ABCD ABCD1111

P為AC11

上任意一點。DPABC；1求證：平面ABD/平面CBD