群論及其在晶體學中的應用電子教案課件

群論及其在晶體學中的應用群論及其在晶體學中的應用群論的產生與發(fā)展

群的概念形成于十九世紀初。群論的早期發(fā)展伴隨著代數方程根式解的研究并最終徹底解決了這個困擾全世界數學家的難題。群論的創(chuàng)立，就像解析幾何和微積分的創(chuàng)立一樣，閃耀著人類智慧的光芒。二十世紀初，以量子力學與相對論的創(chuàng)立為標志，物理學跨進了近代物理新時期。此后，群論一直是研究微觀體系粒子運動的強有力的工具，在理論與實驗研究中取得了令人驚嘆的成果，吸引著越來越多的包括物理學家和化學家在內的科學工作者學習它，應用它。

群論的產生與發(fā)展群的概念形成于十九世紀群論的產生與發(fā)展E.P.Wigner最早應用群論研究原子結構和原子光譜，是將群論應用于物理學的先導，他猶豫對原子核和基本粒子的研究，特別是通過發(fā)現和應用基本對稱性原來而作出的貢獻，榮獲了1963年諾貝爾物理學獎。1981年諾貝爾化學獎授予了著名化學家R。Hoffmann和福井謙一，以表彰他們建立和發(fā)展“軌道對稱和守恒性原理”的功績化學家Bell：無論在什么地方，只要能應用群論，立即從一切紛亂混淆中結晶出簡捷與和諧。目前，群論已廣泛應用于物理，化學，結晶學以及許多技術學科中。群論的產生與發(fā)展E.P.Wigner群論及其在晶體學中的應用電子教案課件若G群的元素數目為有限,則稱G為有限群,有限群G的元素數目稱為群階(h).反之則稱G為無限群.由上述群的定義,可以證明:①群G的恒等元e是唯一的;②群G中的任意一個元素a的逆元是唯一的,記作a-1.若G群的元素數目為有限,則稱G為有限群,定理1:設G為一有限群,其元素為a1(e),a2,a3,……,an……(1)如果ak是群G中的一個任意元素,則G的每一個元素在序列eak,a2ak,a3ak,……,anak……(2)中出現一次,且只出現一次;同理,G的每一個元素在序列ake,aka2,aka3,…….,akan……(3)中出現一次,且只出現一次.定理1:設G為一有限群,其元素為

交換群(Abel群):如果對于群G中的任意兩個元素a和b,恒有ab=

ba,則稱群G為交換群.

群元素a的n次方:設a為G群中的一個任意元素,定義a的n次方an為

an=

aaa……a(n個a的乘積).

定理2

:設a,b和c為群G中的任意三個元素,則交換群(Abel群):如果對于群G中的任意兩個元素a和群元素的周期(階):設a為G群中的一個任意元素,能使an=

e的最小正整數n稱為a的周期或階.若此n不存在,則a稱的周期為無限.群元素的周期(階):設a為G群中的一個任意元素,能使a

子群:若群G的子集H對于G的乘法亦作成一個群,則稱H為群G的子群.任何群G至少有兩個子群,一是群G的本身,二是僅由e構成的子集{e},這兩個子群稱為群G的平凡子群.定理3:群G的非空子集H是子群的充要條件為①若a和b為H中的任意兩個元素,則乘積ab亦屬于H(abH);②如果a屬于H,則a的逆元a-1亦屬于H(a-1H).(證明從略)定理4:群G的非空有限子集H是子群的充分必要條件為H中的元素對于群G的乘法滿足封閉性條件.定理5:若群G是有限群,則群G的子群H的階一定是群G的階的因子.定理6:有限群G中的任意一個元素a的階均為群G階的因子.子群:若群G的子集H對于G的乘法亦作成一個群,則稱H為晶體性質晶體是原子(包括離子，原子團)在三維空間中周期性排列形成的固體物質。晶體有以下的共同性質：均勻性;各向異性;自范性;4.對稱性;5.穩(wěn)定性。

晶體性質晶體是原子(包括離子，原子團)晶體點陣與晶體對稱性在每個重復周期都選取一個代表點，就可以用三維空間點陣來描述晶體的平移對稱性。而平移對稱性是晶體最為基本的對稱性。整個點陣沿平移矢量

t=ua+vb+wc

(u、v，w為任意整數)平移，得到的新空間點陣與平移前一樣，稱沿矢量t的平移為平移對稱操作。晶體點陣與晶體對稱性在每個重復周期都選取一個代表點，就可以用晶體點陣與晶體對稱性點陣是一組無限的點，連接其中任意兩點可以得到一個矢量，點陣按此矢量平移后都能復原。三維空間點陣是在三維空間中點的無限陣列，其中所有的點都有相同的環(huán)境。選任意一個陣點作為原點，三個不共面的矢量a，b和c作為坐標軸的基矢，這三個矢量得以確定一個平行六面體如下：

此平行六面體稱為晶胞。晶體點陣與晶體對稱性點陣是一組無限的點，連接其中任意兩點可以晶胞如上確定的六面體稱為晶胞，由矢量a，b和c確定的方向稱為晶體學的晶軸X，Y，Z。如果晶胞中只包含一個陣點，則這種晶胞被稱為初基的(primitive)。晶胞的大小和形狀可以用晶胞參數來表示，即用晶胞的三個邊的長度a，b，c三個邊之間的夾角a，b，g表示。晶胞包含描述晶體結構所需的最基本結構信息。如果知道了晶胞中全部原子的坐標，就有了晶體結構的全部信息。一般寫作：晶體結構=點陣+結構基元晶胞如上確定的六面體稱為晶胞，由矢量a，b和c確定的方向稱點陣、結構和單胞點陣：晶體的周期性，忽略填充空間的實際結構(分子)。

點陣矢量：由點陣矢量移動晶體到一個等效位置的平移。初基點陣矢量：可選擇的最小點陣矢量。初基晶胞：

初基點陣矢量定義的平行六面體，僅包含一個點陣點。

晶體結構：原子在晶體中的周期性排列。它可以通過在每點陣點安放一個稱為基元（或型主）的一組原子來描述。點陣、結構和單胞點陣：晶體的周期性，忽略填充空間的實際結構(三維點陣和晶胞使用矢量a、b和c指定點陣：在所有兩個點陣點之間的矢量(r)滿足關系，r=ua+vb+wc,，其中u、v和w是整數。指定晶體中的任意點：r=(u+x)a+(v+y)b+(w+z)c，其中u，v，w為整數r=(ua+vb+wc)+(xa+yb+zc)x,y,z是在晶胞之內指定一個位置的分數座標。x,y,z用晶胞邊長的分數表示，在0-1之間變化。晶胞原點的分數坐標總是0，0，0。用相同分數座標x、y和z指定的所有位置都對稱等價。（由于晶體的三維周期性，在分數坐標上加減任意整數，仍然表示平移對稱的等價位置。）三維點陣和晶胞使用矢量a、b和c指定點陣：在所有兩個點陣點晶體學中的對稱操作元素

分子和晶體都是對稱圖像，是由若干個相等的部分或單元按照一定的方式組成的。對稱圖像是一個能經過不改變其中任何兩點間距離的操作后復原的圖像。這樣的操作稱為對稱操作。在操作中保持空間中至少一個點不動的對稱操作稱為點對稱操作，如簡單旋轉和鏡像轉動(反映和倒反)是點式操作;使空間中所有點都運動的對稱操作稱為非點式操作，如平移，螺旋轉動和滑移反映。

晶體學中的對稱操作元素分子和晶體都是對稱圖像，是由若干個相對稱操作和對稱元素對稱操作：一個物體運動或變換，使得變換后的物體與變換前不可區(qū)分（復原，重合）。對稱元素：在對稱操作中保持不變的幾何圖型：點、軸或面。

點群：保留一點不變的對稱操作群。

空間群：為擴展到三維物體例如晶體的對稱操作群，由點群對稱操作和平移對稱操作組合而成；由32晶體學點群與14個Bravais點陣組合而成；空間群是一個單胞（包含單胞帶心）的平移對稱操作；反射、旋轉和旋轉反演等點群對稱性操作、以及螺旋軸和滑移面對稱性操作的組合。

對稱操作和對稱元素對稱操作：一個物體運動或變換，使得變換后全同操作(1)全同操作(Identity)，符號表示為1

(E)，對應于物體不動的對稱操作，對應的變換矩陣為單位矩陣。矩陣表示

注意：符號表示為國際符號也稱為赫爾曼-毛古因Hermann-Mauguin符號，括號內為熊夫利斯Sch?nflies符號。全同操作(1)全同操作(Identity)，符號表示為1(旋轉軸

(2)旋轉軸(旋轉軸)

：繞某軸反時針旋轉q

=360/n度，

n稱為旋轉軸的次數(或重數)，符號為n(Cn)。其變換矩陣為：旋轉軸(2)旋轉軸(旋轉軸)：繞某軸反時針旋轉q=36旋轉矩陣旋轉矩陣倒反中心(Inversioncenter)倒反中心：也稱為反演中心或對稱中心(Centerofsymmetry)，它的操作是通過一個點的倒反(反演)，使空間點的每一個位置由坐標為(x、y，z)變換到(-x，-y，-z)。符號為1(i)，變換矩陣為倒反中心(Inversioncenter)倒反中心：也稱為反映面--鏡面反映面，也稱鏡面，反映操作是從空間某一點向反映面引垂線，并延長該垂線到反映面的另一側，在延長線上取一點，使其到反映面的距離等于原來點到反映面的距離。符號為m(s)。為了表示反映面的方向，可以在其符號后面標以該面的法線。如法線為[010]的反映面，可記為m[010]。{m[010]}(x、y，z)=(x，-y，z)反映面--鏡面反映面，也稱鏡面，反映操作是從空間某一點向反映鏡面類型和矩陣表示關于對稱平面（或鏡面）σ的反映，可以平行于(vertical，σv)或垂直于(horizontal，sh)主軸。在二個C2軸之間角平分線的一個垂直平面叫作雙面鏡面，σd（dihedralplane）。

通過yz面的反映。鏡面類型和矩陣表示關于對稱平面（或鏡面）σ的反映，可以平行于旋轉倒反軸-反軸旋轉倒反軸，簡稱反軸(Axisofinversion，

Rotoinversionaxis)，其對稱操作是先進行旋轉操作(n)后立刻再進行倒反操作，這樣的復合操作稱為記為組合成這種復合操作的每一個操作本身不一定是對稱操作。其矩陣表示為：旋轉倒反軸-反軸旋轉倒反軸，簡稱反軸(Axisofin旋轉反映軸--映軸旋轉反映軸，簡稱映軸(rotoreflectionaxis)，其對稱操作是先進行繞映軸的旋轉操作(n)后立刻再對垂直于該映軸的反映面進行反映操作m。符號為?

(Sn)，設對稱軸沿[001]方向，其矩陣表示為：

旋轉反映軸--映軸旋轉反映軸，簡稱映軸(rotoreflec旋轉反映Sn旋轉反映

Sn，包括繞對稱軸的逆時針旋轉360°/n，接著作垂直反射。旋轉反演和旋轉反映（Improperrotation）被（譯）稱為異常旋轉、非真旋轉、不當旋轉等。

旋轉反映Sn旋轉反映Sn，包括繞對稱軸的逆時針旋轉360°反軸和映軸間的對應關系用映軸表示的對稱操作都可以用反軸表示，所以在新的晶體學國際表中只用反軸。

所有的點對稱操作實際上可以簡單的分為簡單旋轉操作和旋轉倒反操作兩種。全同操作就是一次真旋轉軸，倒反中心為一次反軸，鏡面為二次反軸，所有映軸都可以用等價反軸表示。

反軸和映軸間的對應關系用映軸表示的對稱操作都可以用反軸表示，反軸和映軸間的對應關系旋轉倒反軸和旋轉反映軸之間存在簡單的一一對應關系，旋轉角度為q的反軸和旋轉角為(q-p)的映軸是等價的對稱軸，這一關系也很容易從他們的表示矩陣看出。所以1次，2次，3次，4次和6次反軸分別等價于2次，1次，6次，4次和3次映軸。

反軸和映軸間的對應關系旋轉倒反軸和旋轉反映軸之間存在簡單的一非點式對稱操作非點式對稱操作：是由點式操作與平移操作復合后形成的新的對稱操作，平移和旋轉復合形成能導出螺旋旋轉，平移和反映復合能導出滑移反映。非點式對稱操作非點式對稱操作：是由點式操作與平移操作復合后形螺旋軸螺旋軸：先繞軸進行逆時針方向360/n度的旋轉，接著作平行于該軸的平移，平移量為(p/n)t，這里t是平行于轉軸方向的最短的晶格平移矢量，符號為np，n稱為螺旋軸的次數，(n可以取值2,3,4,6)，而p只取小于n的整數。所以可以有以下11種螺旋軸：

21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65。螺旋軸螺旋軸：先繞軸進行逆時針方向360/n度的旋轉，接著作滑移面滑移反映面，

(滑移面)簡稱滑移面，其對稱操作是沿滑移面進行鏡面反映操作，然后接著進行與平行于滑移面的一個方向的平移，平移的大小與方向等于滑移矢量。點陣的周期性要求重復兩次滑移反映后產生的新位置與起始位置相差一個點陣周期，所以滑移面的平移量等于該方向點陣平移周期的一半?；泼婊品从趁?，(滑移面)簡稱滑移面，其對稱操作是沿滑移滑移反射不對稱單位先經鏡面反射，然后沿平行與鏡面的方向平移。

滑移反射改變了不對稱單位的手性。

滑移反射不對稱單位先經鏡面反射，然后沿平行與鏡面的方向平移?；泼娣诸愝S向滑移面：沿晶軸(a、b，c)方向滑移;對角滑移面：沿晶胞面對角線或體對角線方向滑移，平移分量為對角線一半;金剛石滑移面：沿晶胞面對角線或體對角線方向滑移，平移分量對角線1/4的對角滑移面。只有在體心或面心點陣中出現，這時有關對角線的中點也有一個陣點，所以平移分量仍然是滑移方向點陣平移點陣周期的一半?；泼娣诸愝S向滑移面：沿晶軸(a、b，c)方向滑移;鏡面和滑移面

鏡面或滑移面的符號。

(在左邊：沿鏡面的邊緣看。在右邊是沿垂直于鏡面的方向觀看。箭頭表示平移方向。

a，b，c是平行于單胞邊的滑移。

n是對角滑移，在兩個方向都滑移單胞長度的一半。

d是類似n的對角滑移，但這里在每個方向移動單胞邊長的1/4。

鏡面和滑移面鏡面或滑移面的符號。

(在左邊：沿鏡面的邊對稱操作分類只產生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作；而產生物體對映體（鏡像）的操作統(tǒng)稱為第二類操作。第一類操作：真（純）旋轉；螺旋旋轉。第二類操作：反射；反演；滑移；非真旋轉（旋轉反演，旋轉反映）沒有反軸對稱性的晶體是手性晶體。對稱操作分類只產生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作；而產生物晶系(Thesevencrystalsystems)晶系：按照晶胞的特征對稱元素可以分成7個不同類型，稱為晶系。晶系(Thesevencrystalsystems)晶7個晶系的單胞

7個晶系的單胞不同晶系中的標準單胞選擇規(guī)則不同晶系中的標準單胞選擇規(guī)則晶體學點群晶體中滿足群的性質定義的點對稱操作的集合稱作晶體學點群。點對稱操作的共同特征是進行操作后物體中至少有一個點是不動的。晶體學中，點對稱操作只能有軸次為1,2,3,4,6的旋轉軸和反軸。(對稱中心=，鏡面=)如果把點對稱操作元素通過一個公共的點按所有可能組合起來，則一共可以得出32種不同的組合方式，稱為32個晶體學點群。

晶體學點群晶體中滿足群的性質定義的點對稱操作的集合稱作晶體學點群的Sch?nflies符號Cn:具有一個n次旋轉軸的點群。Cnh:具有一個n次旋轉軸和一個垂直于該軸的鏡面的點群。Cnv:具有一個n次旋轉軸和n個通過該軸的鏡面的點群。Dn:具有一個n次旋轉主軸和n個垂直該軸的二次軸的點群。Sn:具有一個n次反軸的點群。T:具有4個3次軸和4個2次軸的正四面體點群。O:具有3個4次軸,4個3次軸和6個2次軸的八面體點群。點群的Sch?nflies符號Cn:具有一個n次旋轉軸的Cn：n=1,2,3,4,6即C1，C2，C3，C4，C6；五個點群；Cnv：C2v，C3v，C4v，C6v四個點群；Cnh：C1h＝Cs，C2h，C3h，C4h，C6h五個點群；Sn：S3與C3h等同，不重復計算，只有S2＝i，S4，S6，三個點群；Dn：D2，D3，D4，D6四個點群；Dnh：D2h，D3h，D4h，D6h，四個點群；Dnd：該類點群含有平分面σd，使映轉軸次數要擴大一倍，故只有D2d，D3d以上共27個點群，還有5個高階群：T、Td、Tu、O、Oh。32個晶體學點群

晶系

Shoenflies符號

國際符號

三斜

C1S21T

單斜

CsC2C2hm22/m

正交C2vD2D2hmm2222mmm

四方C4S4C4hC4vD2dD4D4h44/m4mm4224/mmm

三方C3S6C3vD3D3d33m32

六方C6C3hC6hC6vD6D3hD6h

66/m6mm6226/mmm

立方TThTdOOh

23m432m3mCn：n=1,2,3,4,6即C1，C2，C3，C4，C632種點群的表示符號及性質

1.旋轉軸(C=cyclic)：

C1,C2,C3,C4,C6;1,2,3,4,62.

旋轉軸加上垂直于該軸的對稱平面：

C1h=Cs,C2h,C3h,C4h,C6h;m,2/m,3/m(),4/m,6/m3.旋轉軸加通過該軸的鏡面：C2v,C3v,C4v,C6v;mm2,3m,4mm,6mm4.旋轉反演軸S2=Ci,

S4,S6=C3d;-1,-4,-332種點群的表示符號及性質1.旋轉軸(C=cyclic)32種點群的符號表示符號及性質5.旋轉軸(n)加n個垂直于該軸的二次軸：

D2,D3,D4,D6;

222,32,422,622

6.旋轉軸(n)加n個垂直于該軸的二次軸和鏡面：

D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm7.D群附加對角豎直平面：

D2d,D3d;

-42m,-3m8.立方體群(T=tetrahedral，O=octahedral)T,Th,O,Td,Oh;

23,m3,432,-43m,m3m32種點群的符號表示符號及性質5.旋轉軸(n)加n個垂直于該點群與物理性質點群與物理性質點陣帶心在單胞之內附加點陣點位置由一套帶心操作描述：體心(I)：在???附加的點陣點；面心(F)：在0??、?

0

?和??

0有附加的點陣點；面心(C)：在??

0有附加的點陣點點陣帶心在單胞之內附加點陣點位置由一套帶心操作描述：帶心操作帶心操作帶心不是所有七個晶系都可能帶心–僅有14個可能的組合(Bravais點陣)一些帶心的類型不允許，因為他們將降低單胞的對稱性：如立方晶系不可能有底心點陣，因為這將破壞立方對稱的一個基本條件：有三次對稱軸。一些帶心的類型是多余的：

如C心的四方點陣總可以用一個更小的初基四方單胞來描述。帶心不是所有七個晶系都可能帶心–僅有14個可能的組合(Bra空間點陣型式--Bravais點陣空間點陣按點群對稱性和帶心的模式一共可以產生14種型式，稱為14種布拉伐點陣或布拉伐點陣。布拉伐點陣表示出所屬空間群的平移子群。

Bravais點陣?描述點陣的純平移對稱。實質上通過指定Bravais點陣，指定了單胞(晶系)的形狀和帶心的型式。

空間點陣型式--Bravais點陣空間點陣按點群對稱性和帶心14種空間點陣型式示意圖(14個Bravais點陣)14種空間點陣型式示意圖(14個Bravais點陣)14種可能的Bravais點陣

14種可能的Bravais點陣從晶系到空間群

7個晶系旋轉，反射，反演平移螺旋軸，滑移面32個點群14種Bravais格子230個空間群（按照晶胞的特征對稱元素分類）從晶系到空間群7個晶系旋轉，反射，反演平移螺旋軸，滑移面3空間群(SpaceGroup)晶體學中的空間群是三維周期性物體(晶體)變換成它自身的對稱操作(平移，點操作以及這兩者的組合)的集合。一共有230種空間群。空間群是點陣、平移群(滑移面和螺旋軸)和點群的組合。230個空間群是由14個Bravais點陣與32個晶體點群系統(tǒng)組合而成?？臻g群(SpaceGroup)晶體學中的空間群是三維周期性空間群分布

三斜晶系：2個；單斜晶系：13個正交晶系：59個；三方晶系：25四方晶系：68個；六方晶系：27個立方晶系：36個。有對稱中心90個，無對稱中心140個。73個symmorphic(點式)，157個non-symmorphic。空間群分布三斜晶系：2個；單斜晶系：13個謝 謝！謝 謝！群論及其在晶體學中的應用群論及其在晶體學中的應用群論的產生與發(fā)展

群的概念形成于十九世紀初。群論的早期發(fā)展伴隨著代數方程根式解的研究并最終徹底解決了這個困擾全世界數學家的難題。群論的創(chuàng)立，就像解析幾何和微積分的創(chuàng)立一樣，閃耀著人類智慧的光芒。二十世紀初，以量子力學與相對論的創(chuàng)立為標志，物理學跨進了近代物理新時期。此后，群論一直是研究微觀體系粒子運動的強有力的工具，在理論與實驗研究中取得了令人驚嘆的成果，吸引著越來越多的包括物理學家和化學家在內的科學工作者學習它，應用它。

群論的產生與發(fā)展群的概念形成于十九世紀群論的產生與發(fā)展E.P.Wigner最早應用群論研究原子結構和原子光譜，是將群論應用于物理學的先導，他猶豫對原子核和基本粒子的研究，特別是通過發(fā)現和應用基本對稱性原來而作出的貢獻，榮獲了1963年諾貝爾物理學獎。1981年諾貝爾化學獎授予了著名化學家R。Hoffmann和福井謙一，以表彰他們建立和發(fā)展“軌道對稱和守恒性原理”的功績化學家Bell：無論在什么地方，只要能應用群論，立即從一切紛亂混淆中結晶出簡捷與和諧。目前，群論已廣泛應用于物理，化學，結晶學以及許多技術學科中。群論的產生與發(fā)展E.P.Wigner群論及其在晶體學中的應用電子教案課件若G群的元素數目為有限,則稱G為有限群,有限群G的元素數目稱為群階(h).反之則稱G為無限群.由上述群的定義,可以證明:①群G的恒等元e是唯一的;②群G中的任意一個元素a的逆元是唯一的,記作a-1.若G群的元素數目為有限,則稱G為有限群,定理1:設G為一有限群,其元素為a1(e),a2,a3,……,an……(1)如果ak是群G中的一個任意元素,則G的每一個元素在序列eak,a2ak,a3ak,……,anak……(2)中出現一次,且只出現一次;同理,G的每一個元素在序列ake,aka2,aka3,…….,akan……(3)中出現一次,且只出現一次.定理1:設G為一有限群,其元素為

交換群(Abel群):如果對于群G中的任意兩個元素a和b,恒有ab=

ba,則稱群G為交換群.

群元素a的n次方:設a為G群中的一個任意元素,定義a的n次方an為

an=

aaa……a(n個a的乘積).

定理2

:設a,b和c為群G中的任意三個元素,則交換群(Abel群):如果對于群G中的任意兩個元素a和群元素的周期(階):設a為G群中的一個任意元素,能使an=

e的最小正整數n稱為a的周期或階.若此n不存在,則a稱的周期為無限.群元素的周期(階):設a為G群中的一個任意元素,能使a

子群:若群G的子集H對于G的乘法亦作成一個群,則稱H為群G的子群.任何群G至少有兩個子群,一是群G的本身,二是僅由e構成的子集{e},這兩個子群稱為群G的平凡子群.定理3:群G的非空子集H是子群的充要條件為①若a和b為H中的任意兩個元素,則乘積ab亦屬于H(abH);②如果a屬于H,則a的逆元a-1亦屬于H(a-1H).(證明從略)定理4:群G的非空有限子集H是子群的充分必要條件為H中的元素對于群G的乘法滿足封閉性條件.定理5:若群G是有限群,則群G的子群H的階一定是群G的階的因子.定理6:有限群G中的任意一個元素a的階均為群G階的因子.子群:若群G的子集H對于G的乘法亦作成一個群,則稱H為晶體性質晶體是原子(包括離子，原子團)在三維空間中周期性排列形成的固體物質。晶體有以下的共同性質：均勻性;各向異性;自范性;4.對稱性;5.穩(wěn)定性。

晶體性質晶體是原子(包括離子，原子團)晶體點陣與晶體對稱性在每個重復周期都選取一個代表點，就可以用三維空間點陣來描述晶體的平移對稱性。而平移對稱性是晶體最為基本的對稱性。整個點陣沿平移矢量

t=ua+vb+wc

(u、v，w為任意整數)平移，得到的新空間點陣與平移前一樣，稱沿矢量t的平移為平移對稱操作。晶體點陣與晶體對稱性在每個重復周期都選取一個代表點，就可以用晶體點陣與晶體對稱性點陣是一組無限的點，連接其中任意兩點可以得到一個矢量，點陣按此矢量平移后都能復原。三維空間點陣是在三維空間中點的無限陣列，其中所有的點都有相同的環(huán)境。選任意一個陣點作為原點，三個不共面的矢量a，b和c作為坐標軸的基矢，這三個矢量得以確定一個平行六面體如下：

此平行六面體稱為晶胞。晶體點陣與晶體對稱性點陣是一組無限的點，連接其中任意兩點可以晶胞如上確定的六面體稱為晶胞，由矢量a，b和c確定的方向稱為晶體學的晶軸X，Y，Z。如果晶胞中只包含一個陣點，則這種晶胞被稱為初基的(primitive)。晶胞的大小和形狀可以用晶胞參數來表示，即用晶胞的三個邊的長度a，b，c三個邊之間的夾角a，b，g表示。晶胞包含描述晶體結構所需的最基本結構信息。如果知道了晶胞中全部原子的坐標，就有了晶體結構的全部信息。一般寫作：晶體結構=點陣+結構基元晶胞如上確定的六面體稱為晶胞，由矢量a，b和c確定的方向稱點陣、結構和單胞點陣：晶體的周期性，忽略填充空間的實際結構(分子)。

點陣矢量：由點陣矢量移動晶體到一個等效位置的平移。初基點陣矢量：可選擇的最小點陣矢量。初基晶胞：

初基點陣矢量定義的平行六面體，僅包含一個點陣點。

晶體結構：原子在晶體中的周期性排列。它可以通過在每點陣點安放一個稱為基元（或型主）的一組原子來描述。點陣、結構和單胞點陣：晶體的周期性，忽略填充空間的實際結構(三維點陣和晶胞使用矢量a、b和c指定點陣：在所有兩個點陣點之間的矢量(r)滿足關系，r=ua+vb+wc,，其中u、v和w是整數。指定晶體中的任意點：r=(u+x)a+(v+y)b+(w+z)c，其中u，v，w為整數r=(ua+vb+wc)+(xa+yb+zc)x,y,z是在晶胞之內指定一個位置的分數座標。x,y,z用晶胞邊長的分數表示，在0-1之間變化。晶胞原點的分數坐標總是0，0，0。用相同分數座標x、y和z指定的所有位置都對稱等價。（由于晶體的三維周期性，在分數坐標上加減任意整數，仍然表示平移對稱的等價位置。）三維點陣和晶胞使用矢量a、b和c指定點陣：在所有兩個點陣點晶體學中的對稱操作元素

分子和晶體都是對稱圖像，是由若干個相等的部分或單元按照一定的方式組成的。對稱圖像是一個能經過不改變其中任何兩點間距離的操作后復原的圖像。這樣的操作稱為對稱操作。在操作中保持空間中至少一個點不動的對稱操作稱為點對稱操作，如簡單旋轉和鏡像轉動(反映和倒反)是點式操作;使空間中所有點都運動的對稱操作稱為非點式操作，如平移，螺旋轉動和滑移反映。

晶體學中的對稱操作元素分子和晶體都是對稱圖像，是由若干個相對稱操作和對稱元素對稱操作：一個物體運動或變換，使得變換后的物體與變換前不可區(qū)分（復原，重合）。對稱元素：在對稱操作中保持不變的幾何圖型：點、軸或面。

點群：保留一點不變的對稱操作群。

空間群：為擴展到三維物體例如晶體的對稱操作群，由點群對稱操作和平移對稱操作組合而成；由32晶體學點群與14個Bravais點陣組合而成；空間群是一個單胞（包含單胞帶心）的平移對稱操作；反射、旋轉和旋轉反演等點群對稱性操作、以及螺旋軸和滑移面對稱性操作的組合。

對稱操作和對稱元素對稱操作：一個物體運動或變換，使得變換后全同操作(1)全同操作(Identity)，符號表示為1

(E)，對應于物體不動的對稱操作，對應的變換矩陣為單位矩陣。矩陣表示

注意：符號表示為國際符號也稱為赫爾曼-毛古因Hermann-Mauguin符號，括號內為熊夫利斯Sch?nflies符號。全同操作(1)全同操作(Identity)，符號表示為1(旋轉軸

(2)旋轉軸(旋轉軸)

：繞某軸反時針旋轉q

=360/n度，

n稱為旋轉軸的次數(或重數)，符號為n(Cn)。其變換矩陣為：旋轉軸(2)旋轉軸(旋轉軸)：繞某軸反時針旋轉q=36旋轉矩陣旋轉矩陣倒反中心(Inversioncenter)倒反中心：也稱為反演中心或對稱中心(Centerofsymmetry)，它的操作是通過一個點的倒反(反演)，使空間點的每一個位置由坐標為(x、y，z)變換到(-x，-y，-z)。符號為1(i)，變換矩陣為倒反中心(Inversioncenter)倒反中心：也稱為反映面--鏡面反映面，也稱鏡面，反映操作是從空間某一點向反映面引垂線，并延長該垂線到反映面的另一側，在延長線上取一點，使其到反映面的距離等于原來點到反映面的距離。符號為m(s)。為了表示反映面的方向，可以在其符號后面標以該面的法線。如法線為[010]的反映面，可記為m[010]。{m[010]}(x、y，z)=(x，-y，z)反映面--鏡面反映面，也稱鏡面，反映操作是從空間某一點向反映鏡面類型和矩陣表示關于對稱平面（或鏡面）σ的反映，可以平行于(vertical，σv)或垂直于(horizontal，sh)主軸。在二個C2軸之間角平分線的一個垂直平面叫作雙面鏡面，σd（dihedralplane）。

通過yz面的反映。鏡面類型和矩陣表示關于對稱平面（或鏡面）σ的反映，可以平行于旋轉倒反軸-反軸旋轉倒反軸，簡稱反軸(Axisofinversion，

Rotoinversionaxis)，其對稱操作是先進行旋轉操作(n)后立刻再進行倒反操作，這樣的復合操作稱為記為組合成這種復合操作的每一個操作本身不一定是對稱操作。其矩陣表示為：旋轉倒反軸-反軸旋轉倒反軸，簡稱反軸(Axisofin旋轉反映軸--映軸旋轉反映軸，簡稱映軸(rotoreflectionaxis)，其對稱操作是先進行繞映軸的旋轉操作(n)后立刻再對垂直于該映軸的反映面進行反映操作m。符號為?

(Sn)，設對稱軸沿[001]方向，其矩陣表示為：

旋轉反映軸--映軸旋轉反映軸，簡稱映軸(rotoreflec旋轉反映Sn旋轉反映

Sn，包括繞對稱軸的逆時針旋轉360°/n，接著作垂直反射。旋轉反演和旋轉反映（Improperrotation）被（譯）稱為異常旋轉、非真旋轉、不當旋轉等。

旋轉反映Sn旋轉反映Sn，包括繞對稱軸的逆時針旋轉360°反軸和映軸間的對應關系用映軸表示的對稱操作都可以用反軸表示，所以在新的晶體學國際表中只用反軸。

所有的點對稱操作實際上可以簡單的分為簡單旋轉操作和旋轉倒反操作兩種。全同操作就是一次真旋轉軸，倒反中心為一次反軸，鏡面為二次反軸，所有映軸都可以用等價反軸表示。

反軸和映軸間的對應關系用映軸表示的對稱操作都可以用反軸表示，反軸和映軸間的對應關系旋轉倒反軸和旋轉反映軸之間存在簡單的一一對應關系，旋轉角度為q的反軸和旋轉角為(q-p)的映軸是等價的對稱軸，這一關系也很容易從他們的表示矩陣看出。所以1次，2次，3次，4次和6次反軸分別等價于2次，1次，6次，4次和3次映軸。

反軸和映軸間的對應關系旋轉倒反軸和旋轉反映軸之間存在簡單的一非點式對稱操作非點式對稱操作：是由點式操作與平移操作復合后形成的新的對稱操作，平移和旋轉復合形成能導出螺旋旋轉，平移和反映復合能導出滑移反映。非點式對稱操作非點式對稱操作：是由點式操作與平移操作復合后形螺旋軸螺旋軸：先繞軸進行逆時針方向360/n度的旋轉，接著作平行于該軸的平移，平移量為(p/n)t，這里t是平行于轉軸方向的最短的晶格平移矢量，符號為np，n稱為螺旋軸的次數，(n可以取值2,3,4,6)，而p只取小于n的整數。所以可以有以下11種螺旋軸：

21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65。螺旋軸螺旋軸：先繞軸進行逆時針方向360/n度的旋轉，接著作滑移面滑移反映面，

(滑移面)簡稱滑移面，其對稱操作是沿滑移面進行鏡面反映操作，然后接著進行與平行于滑移面的一個方向的平移，平移的大小與方向等于滑移矢量。點陣的周期性要求重復兩次滑移反映后產生的新位置與起始位置相差一個點陣周期，所以滑移面的平移量等于該方向點陣平移周期的一半?；泼婊品从趁?，(滑移面)簡稱滑移面，其對稱操作是沿滑移滑移反射不對稱單位先經鏡面反射，然后沿平行與鏡面的方向平移。

滑移反射改變了不對稱單位的手性。

滑移反射不對稱單位先經鏡面反射，然后沿平行與鏡面的方向平移。滑移面分類軸向滑移面：沿晶軸(a、b，c)方向滑移;對角滑移面：沿晶胞面對角線或體對角線方向滑移，平移分量為對角線一半;金剛石滑移面：沿晶胞面對角線或體對角線方向滑移，平移分量對角線1/4的對角滑移面。只有在體心或面心點陣中出現，這時有關對角線的中點也有一個陣點，所以平移分量仍然是滑移方向點陣平移點陣周期的一半?；泼娣诸愝S向滑移面：沿晶軸(a、b，c)方向滑移;鏡面和滑移面

鏡面或滑移面的符號。

(在左邊：沿鏡面的邊緣看。在右邊是沿垂直于鏡面的方向觀看。箭頭表示平移方向。

a，b，c是平行于單胞邊的滑移。

n是對角滑移，在兩個方向都滑移單胞長度的一半。

d是類似n的對角滑移，但這里在每個方向移動單胞邊長的1/4。

鏡面和滑移面鏡面或滑移面的符號。

(在左邊：沿鏡面的邊對稱操作分類只產生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作；而產生物體對映體（鏡像）的操作統(tǒng)稱為第二類操作。第一類操作：真（純）旋轉；螺旋旋轉。第二類操作：反射；反演；滑移；非真旋轉（旋轉反演，旋轉反映）沒有反軸對稱性的晶體是手性晶體。對稱操作分類只產生可重合物體的操作統(tǒng)稱為第一類操作；而產生物晶系(Thesevencrystalsystems)晶系：按照晶胞的特征對稱元素可以分成7個不同類型，稱為晶系。晶系(Thesevencrystalsystems)晶7個晶系的單胞

7個晶系的單胞不同晶系中的標準單胞選擇規(guī)則不同晶系中的標準單胞選擇規(guī)則晶體學點群晶體中滿足群的性質定義的點對稱操作的集合稱作晶體學點群。點對稱操作的共同特征是進行操作后物體中至少有一個點是不動的。晶體學中，點對稱操作只能有軸次為1,2,3,4,6的旋轉軸和反軸。(對稱中心=，鏡面=)如果把點對稱操作元素通過一個公共的點按所有可能組合起來，則一共可以得出32種不同的組合方式，稱為32個晶體學點群。

晶體學點群晶體中滿足群的性質定義的點對稱操作的集合稱作晶體學點群的Sch?nflies符號Cn:具有一個n次旋轉軸的點群。Cnh:具有一個n次旋轉軸和一個垂直于該軸的鏡面的點群。Cnv:具有一個n次旋轉軸和n個通過該軸的鏡面的點群。Dn:具有一個n次旋轉主軸和n個垂直該軸的二次軸的點群。Sn:具有一個n次反軸的點群。T:具有4個3次軸和4個2次軸的正四面體點群。O:具有3個4次軸,4個3次軸和6個2次軸的八面體點群。點群的Sch?nflies符號Cn:具有一個n次旋轉軸的Cn：n=1,2,3,4,6即C1，C2，C3，C4，C6；五個點群；Cnv：C2v，C3v，C4v，C6v四個點群；Cnh：C1h＝Cs，C2h，C3h，C4h，C6h五個點群；Sn：S3與C3h等同，不重復計算，只有S2＝i，S4，S6，三個點群；Dn：D2，D3，D4，D6四個點群；Dnh：D2h，D3h，D4h，D6h，四個點群；Dnd：該類點群含有平分面σd，使映轉軸次數要擴大一倍，故只有D2d，D3d以上共27個點群，還有5個高階群：T、Td、Tu、O、Oh。32個晶體學點群

晶系

Shoenflies符號

國際符號

三斜

C1S21T

單斜

CsC2C2hm22/m

正交C2vD2D2hmm2222mmm

四方C4S4C4hC4vD2dD4D