圓錐曲線復習資料

錐曲線圓錐曲線的定義:定義中要重視.“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F1,F2的距離的和等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要大于\FF，當常數(shù)等于\FF|時，軌跡是線段FF'，當常數(shù)小于FF|時，無軌跡；TOC\o"1-5"\h\z12121212雙曲線中，與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)2a，且此常數(shù)2a一定要小于IF/」，定義中的“絕對值”與2a<\F1F；|不可忽視。12若2a=|F1F2I，則軌跡是以FyF2為端點的兩條射線，若2a>|F代2|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。12例1-1：方程￥‘(x—6)2+y2-\：(x+6)2+y2=8表示的曲線是圓錐曲線的標準方程標準方程是指中心(頂點)在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程：橢圓:焦點在x軸上時三+bT(a>b>o)o":b端(參數(shù)方程,其中中為參數(shù))，焦點在y軸上時y2x2—+—=1(a>b>0)。a2b2方程Ax2+By2=C表示橢圓的充要條件是什ABC尹0，且A，B，C同號，A尹B。例2-1:已知方程—土+工=1表示橢圓，則k的取值范圍為3+k2—k2-2:若x,ygR，且3x2+2y2=6，則x+y的最大值是，x2+y2的最小值是⑵雙曲線：x2y2y2x2焦點在x軸上：--—b-=1,焦點在y軸上：M-b2=1(a>0,b>0)。方程Ax2+By2=C表示雙曲線的充要條件是ABC尹0，且A，B異號。例2-3:y=1x是雙曲線的一條漸近線，且與橢圓專+y2=1有公共焦點，則該雙曲線的方程294⑶拋物線:開口向右時*=2px（p>0），開口向左時j2=-2px（p>0），開口向上時x2=2py（p>0）,開口向下時x2=—2py（p>0）。圓錐曲線焦點位置的判斷首先化成標準方程，然后再判斷：（1）橢圓：由x2,y2分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。X2y2、例3-1：已知方程——-+^—=1表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是—m—12—m（2）雙曲線：由X2,y2項系數(shù)的正負決定，焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F1，F(xiàn)2的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參卻,b，，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，a最大，a2=b2+。2，在雙曲線中，c最大，c2=a2+b2。圓錐曲線的幾何性質(zhì)：X2y2,（1）橢圓（以云+b-=1（a>b>0）為例）：范圍：一a<x<a,—b<y<b焦點：兩個焦點（土c,0）；對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0，一個對稱中心（0,0），四個頂點（土a,0）,（0,土b），其中長軸長為2a，短軸長為2b；x2y2（2）雙曲線（以—一一=1（a>0,b>0）為例）：a2b2范圍：x<—a或x>a,ygR；焦點：兩個焦點（土c,0）；對稱性：兩條對稱軸x=0,y=0，一個對稱中心（0,0），兩個頂點（土a,0），其中實軸長為2a，虛軸長為2b，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設(shè)為x2—y2=k,k豐0；b兩條漸近線：y=±—x。a（3）拋物線（以y2=2px（p>0）為例）：范圍：x>0,ygR；焦點：一個焦點（p,0），其中p的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸y=0，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；p④準線：一條準線x=_%；例4-1：設(shè)a。0,agR，則拋物線J=4ax2的焦點坐標為X2J25、點P(x0,%)和橢圓02+b2=1(a>b>0)的關(guān)系:點P(X0,J0)在橢圓外=X+另>1；點P(x0,*)在橢圓上O0-+親=1；點P(X0,*)在橢圓內(nèi)O—^+bo-V16.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(1)相交：>0=直線與橢圓相交；>0n直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有A>0,當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故A>0是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；A>0n直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有A>0，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故A>0也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。例6-1：若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是x2J26-2：直線y—kx—1=0與橢圓w+—=1恒有公共點，則m的取值范圍是5mX2J2,6-3：過雙曲線〒-土-=1的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若|AB|=4,則這樣的直線幾條?相切：A=0=直線與橢圓相切；A=0O直線與雙曲線相切；A=0=直線與拋物線相切；相離：A<0=直線與橢圓相離；A<0O直線與雙曲線相離；A<0=直線與拋物線相離。例6-4：過點(2,4)作直線與拋物線J2=8x只有一個公共點，這樣的直線有6-5：過點(0,2)與雙曲線X2-蘭=1有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為9166-6:過雙曲線%2-土=1的右焦點作直線l交雙曲線于A、B兩點，若|A8|=4,則滿足條件的直線l有—條6-7：求橢圓7%2+4y2=28上的點到直線3%-2y-16=0的最短距離6-8：直線y=a%+1與雙曲線3%2—y2=1交于A、B兩點。當a為何值時，A、B分別在雙曲線的兩支上？②當a為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點?6-9：拋物線y2=2%上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為7、拋物線中與焦點弦有關(guān)的一些幾何圖形的性質(zhì)：TOC\o"1-5"\h\z(1)(2)(3)(4)8、弦長公式若直線y=k%+b與圓錐曲線相交于兩點A、B，且氣,%2分別為A、B的橫坐標，則AB=―.c__1,寸1+k2%一%|，若y,y分別為A、B的縱坐標，則|AB|=|1+廣y-y|，若弦AB所在直線方程12，12)k2121設(shè)為%=ky+b，則|AB|=。1+k2|y1-yj。例8-1：過拋物線y2=2%焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知IABI=10，O為坐標原點，則AABO重心的橫坐標為9、圓錐曲線的中點弦問題:遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。一％2y2b2%在橢圓云+b-=1中，以P(%0,y0)為中點的弦所在直線的斜率k=—；%2y2b2%在雙曲線一眼=1中，以P(%0,y0)為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線y2=2p%(p>0)中，以P(%,y)為中點的弦所在直線的斜率k史?！瓂0TOC\o"1-5"\h\zx2V2<例9-1：如果橢圓盎+二=1弦被點A(4,2)平分，那么這條弦所在的直線方程3699-2：試確定m的取值范圍，使得橢圓%2+廣=1上有不同的兩點關(guān)于直線V=4x+m對稱43特別提醒：因為A>0是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關(guān)弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗A>0！10、你了解下列結(jié)論嗎？雙曲線擋-已=1的漸近線方程為擋-21=0；a2b2a2b2以"土bx為漸近線(即與雙曲線己—21=1共漸近線)的雙曲線方程為擋—22以(入為參數(shù)，aa2b2a2b2人尹0)。例10-1：與雙曲線擋-22=1有共同的漸近線，且過點(—32/3)的雙曲線方程為TOC\o"1-5"\h\z916中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設(shè)為mx2+ny2=1；若拋物線y2=2px(p>0)的焦點弦為AB，A(x,y),B(x,y)，則\o"CurrentDocument"1122P2①IAB1=x+x+p；②xx=,yy=—p2\o"CurrentDocument"1212412若OA、OB是過拋物線y2=2px(p>0)頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經(jīng)過定點(2p,0)。11、動點軌跡方程：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點、列式、化簡、確定點的范圍；求軌跡方程的常用方法：①直接法：直接利用條件建立x,y之間的關(guān)系F(x,y)=0；例11-1：已知動點P到定點F(1,0)和直線x=3的距離之和等于4,求P的軌跡方程.待定系數(shù)法：已知所求曲線的類型，求曲線方程一一先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數(shù)。例11-2：線段AB過x軸正半軸上一點M(m，0)(m>0)，端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為定義法：先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；例11-2：由動點P向圓X2+j2=1作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B,/APB=600,則動點P的軌跡方程為11-3:點M與點F(4,0)的距離比它到直線l：x+5=0的距離小于1,則點M的軌跡方程是11-4：一動圓與兩圓OM：X2+j2=1和ON：X2+j2—8X+12=0都外切，則動圓圓心的軌跡為④代入轉(zhuǎn)移法：動點P(x,j)依賴于另一動點Q(x,j)的變化而變化，并且Q(x,j)又在某已知曲線上，0000則可先用X,j的代數(shù)式表示X,j，再將