2014年秋電大高等數(shù)學基礎形成性考核冊答案

高等數(shù)學基礎作業(yè)1（一）單項選擇題

第1章函數(shù)第2章極限與連續(xù)⒈下列各函數(shù)對中）中的兩個函數(shù)相等．x2A. f(x)( x)2，g(x)x B. f(x) ，g(x)xx2x21C. f(x)lnx3，g(x)3lnx D. f(x)x1，g(x)

x1f(x)的定義域為(,f(xf(x的圖形關于對稱．A.坐標原點 B. x軸C. y軸 D. yx⒊下列函數(shù)中為奇函數(shù)是（B）．A. yx2) B. yxcosxaxaxC. y D. yx)2⒋下列函數(shù)中為基本初等函數(shù)是（C）．A. yx1 B. yx21, x02yx

y, x0⒌下列極限存計算不正確的是（D）．A. lim x2 1 B. limln(1x)0xx

2 x0C. limsinx

0 D. limxsin10x x x x⒍當x0時，變量（C）是無窮小量．sinx 1A. B.x x1C. xsin D. ln(x2)x⒎若函數(shù)f(x)在點x0

滿足（A），則f(x)在點x0

連續(xù)。A. limf(x)f(xxx0

) B. f(xx0

的某個鄰域內(nèi)有定義C. limxx0

f(x)f(x0

) D. limxx0

f(x)limxx0

f(x)（二）填空題f(x)

x29xx29

x)的定義域是|x．⒉已知函數(shù)f(xx2x，則f(x) ．1⒊ )x ．x 2x1 1 2x1 1lim(1 )xlim(1 ) 2e2x

2x x 2x 1f(x)xxxk,x1, x0

, x0，在x0處連續(xù)，則k e ．x0⒌函數(shù)y 的間斷點是 x0 ．x, x0limf(x)Axxxx0 （二）計算題⒈設函數(shù)求：f(2),f(0),f(1)．

f(xA稱為xx0x, x0f(x)x, x0

時的無窮小量 ．解：f22，f00，f1e1e2x1⒉求函數(shù)ylgx2x1

的定義域． 2x10 1解：ylg 有意義，要求 解得x 或x0x x0 22則定義域為x|x或x12

x0DORhDORhEB解：AC設梯形ABCD即為題中要求的梯形，設高為h，即OE=h，下底CD＝2R直角三角形AOE中，利用勾股定理得OE2ROE2R2h2R2h2h則上底＝2AE2 R2hR2h2h故S2

2R2 R2h2 hR⒋求limsin3x．x0sin2xsin3x3x sin3xlimsin3x

lim 3x lim 3x 3

＝133x0sin2x x0sin2x2x

x0sin2x 2 1 2 2

x21．

2x 2xx1sin(x

x21

lim(x1)(x1)lim

x1

112x1sin(x1) x1 sin(x1) x1sin(x1) 1x1⒍求limtan3x．x0 xlimtan3x

limsin3x 1

limsin3x

1 31133x0 x

x0

x cos3x x0 3x cos3x 1⒎求lim

1x21．(1x21)(1x(1x21)(1x21)(1x21)sinx1x21(1x21)sinx解：lim解：sinx

lim lim x2x0 x0 x0⒏求x

x1x

limx0()x．

x1x21x2

sinxx

0 111x1解：

1 1 1 1 (1 )x [(1 )x x x x

e1lim( )xlim( 3)xlim 3 lim e4xx3 x x

x

1x e31 (1 )x

[(1 )3⒐求lim

x26x8．

x x x3x4x2

5x4x26x8 x4x2

x

42 2lim

lim

lim x4x25x4 ⒑設函數(shù)

x

x1

x4x1 41 3(x2)2, x1f(x)x, 1x1x1, x1討論f(x)的連續(xù)性，并寫出其連續(xù)區(qū)間．x1,x1（1）limfxlimx1x1limfx1

x

x1

x1

110limfxlimfxfxx處不連續(xù)（2）

limfxlimx2

1221x1limx

x

x1limx1x1f 11所以limfxlimfxffxx1處連續(xù)x1由（1）（2）得f

x1在除點x1外均連續(xù)fx的連續(xù)區(qū)間為《高等數(shù)學基礎》第二次作業(yè)第3章導數(shù)與微分（一）單項選擇題⒈設f(0)0且極限lim

f(x)存在，則lim

f(x)

（C ）．x0 x x0 xA. f(0) B. f(0)C. f(x) D. 0cvxf(x

可導，則lim

f(x0

2h)f(x)0

（D ）．0 h0 2hA. 2f(x0

) B. f(x)0C. 2f(x0

) D. f(x)0f(1x)f(1)⒊設f(x)ex，則limx0 x

（A ）．A. e B. 2eC. 1e D. 1e2 4⒋設f(x)x(x1)(x2) (x99)，則f(0)（D ）．A.99B.99C.99!D.99!⒌下列結論中正確的是（C）．f(xx0

有極限，則在點x0

可導．f(xx0f(xx0

x0x0

可導．有極限．f(xx0

有極限，則在點x0

連續(xù)．（二）填空題x2sin1

, x0⒈設函數(shù)f(x)0,

xx0

，則f(0) 0 ．df(lnx) 2ln x 5⒉設f(ex)e2x5ex，則dx

．x xx1x⒊曲線f(x)

1在2處的切線斜率是k222π 22⒋曲線f(x)sinx在( ,處的切線方程是y4yx2xy2x2xlnx)

x 2 2 4yxlnxy1x（三）計算題⒈求下列函數(shù)的導數(shù)y：

3 3 1x⑴y(xx3)ex

y(x23)ex

x2ex2⑵ycotxx2lnx ycsc2xx2xlnx⑶yx2

y

2xlnxxlnx ln2x⑷y⑸y

cosx2xx3lnxx2

yy

x(sinx2xln2)3(cosx2x)1x41sinx( 2x)(lnxx2)cosxsinx sin2xsinx⑹yx

sinxlnx y4x3cosxlnx⑺y

sinxx23x

y

3x(cosx2x)(sinxx2)3xln332xex 1⑻yextanxlnx yex

tanx

cos2x x⒉求下列函數(shù)的導數(shù)y：x2⑴x2x21x2x21x2⑵ylncosx3sinx3y 3xcosx3

3x

tanx3x x x⑶yx x x7yx83x3x x

y

7 1x88y

1 2(xx12)3(1(xx1

1 1x2)3 2⑸ycos2exyexsin(2ex)⑹ycosex2⑹y2ex

sinex2⑺ysinnxcosnxynsinn1xcosxcosnxnsinnxsin(nx)⑻y5sinx2y2xln5cosx25sinx2yesin2x⑼ysin2xesin2x⑽yxx2 ex2⑽yxx2(x2xlnx)2xex2⑾y⑾

ex eexy xe

( exlnx)eexexexe⒊在下列方程中，yy(x)是由方程確定的函數(shù)，求y：⑴ycosxe2yycosxysinx2e2yyy

ysinxcosx2e2y⑵ycosylnxysiny.ylnxcosy.1xy

cosysinylnx)⑶2xsinyx2y2xcosy.y2siny

2yxx2y

y(2xcosy

x2)

2yx

2sinyy

2xy2ysiny2xy2cosyx2

y2 y2 y2⑷yxlnyyy

y1yyy1⑸lnxeyy21eyy2yyxy

1x(2yey)⑹y

1exsiny2yyexcosy.ysinxy

exsiny2yexcosy⑺e

e

y3eyyex3y2yexy

3y2ey⑻y5x2yy5xln5y2yln2y

5xln512yln2⒋求下列函數(shù)的微分dy：⑴ycotxcscx1 cosxdy( )dx⑵y

cos2lnxsin

x sin2xdy

1sinxlnxcosxx dxsin2x1x⑶y11(1x)x)21x21

1x

x)

1x211x21x x)21x1x31x兩邊對數(shù)得：lny1ln(1x)ln(1x)3y1(1 1 )y 31x 1xy

( 1 1 )1 1x331x1 1x331x⑸ysin2exdy2sinexex3exdxsinex)exdx⑹ytanex3dysec2ex33x2dx3x2ex

sec2xdx⒌求下列函數(shù)的二階導數(shù)：⑴yxlnxy1lnxy1x⑵yxsinxyxcosxsinxyxsinx2cosx⑶yarctanxy

11x2y

2x(1x2)2⑷y3x2y23x

ln3 y4x23x

ln2

32ln33x2（四）證明題設f(x)是可導的奇函數(shù)，試證f(x)是偶函數(shù)．證：因為f(x)是奇函數(shù)所以f(x)f(x)f(x)(1)f(xf(x)f(x)所以f(x)是偶函數(shù)。《高等數(shù)學基礎》第三次作業(yè)．（一）單項選擇題．

第4章導數(shù)的應用f(x)滿足條件則存在abf)A.在(a,b)內(nèi)連續(xù) B.在(a,b)內(nèi)可導

f(b)f(a)baC.在(a,b)內(nèi)連續(xù)且可導 D.在[a,b]內(nèi)連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導⒉函數(shù)f(x)x2

4x1的單調(diào)增加區(qū)間是）．A. (,2) B. (1,C. (2,) D. (2,)⒊函數(shù)yx24x5在區(qū)間(6,6)內(nèi)滿足）．A.先單調(diào)下降再單調(diào)上升 B.單調(diào)下降C.先單調(diào)上升再單調(diào)下降 D.單調(diào)上升⒋函數(shù)f(x)滿足f(x)0的點，一定是f(x)的（C ）．A.間斷點 B.極值C.駐點 D.拐點⒌設f(x)在(a,b)內(nèi)有連續(xù)的二階導數(shù)，x0

(a,b)，若f(x)滿足（C），則f(x)在x取到極小值．0A. f(x0C. f(x

)0,f(x0)0,f(x

)0 B. f(x0)0 D. f(x

)0,f(x0)0,f(x

)0)00 0 0 0f(x)在(abf(x)0,f(x)0f(x)在此區(qū)間內(nèi)是（A）．A.單調(diào)減少且是凸的 B.單調(diào)減少且是凹的C.單調(diào)增加且是凸的 D.單調(diào)增加且是凹的（二）填空題f(x)(ab)內(nèi)可導，x0

(a,b)，且當xx0

時f(x)0，當xx 時0f(x)0，則x0

是f(x)的極小值 點．⒉若函數(shù)f(x)在點x0

可導，且x0

是f(x)的極值點，則f(x0

) 0 ．yx2的單調(diào)減少區(qū)間是(,0．f(x)e的單調(diào)增加區(qū)間是(0,)⒌若函數(shù)f(x)在[a,b]內(nèi)恒有f(x)0，則f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)．⒍函數(shù)f(x)25x3x3的拐點是 x=0 ．（三）計算題⒈求函數(shù)y(x1)(x5)2的單調(diào)區(qū)間和極值．Xyy(,2)+上升2極大27(2,5)-下降5極小0(5,Xyy(,2)+上升2極大27(2,5)-下降5極小0(5,)+上升駐點x2,x5列表：極大值：f(2)27

2(x5)(x2)極小值：f(5)0⒉求函數(shù)yx22x3在區(qū)間[0,3]內(nèi)的極值點，并求最大值和最小值．令：y2x20 x駐點）f(0)3 f6 f2最大值最小值

f(3)6f(1)2⒊試確定函數(shù)yax3

bx

cxdabc,d，使函數(shù)圖形過點(244和點10)xx1是拐點．442xd 10abcd解： 012ac

a1b3c16 06ab d24⒋求曲線y22x上的點，使其到點A(2,0)的距離最短．設p(x,y)是yd

2x上的點，d為p到A點的距離，則：(x(x2)2y2(x2)22x令d

2(x2)2

x1 0

x12 (x2)22x(x2)2 (x2)22x(x2)22x⒌圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為L體積最大？設園柱體半徑為R，高為h，則體積3VR2h(L2h2)h3令：V[h(2h)h2][L23h2]0 L 3h h L23232R L23

當h

,R333

L時其體積最大。⒍一體積為V的圓柱體，問底半徑與高各為多少時表面積最?。吭O園柱體半徑為R，高為h，則體積V2h

3V3V2

2Rh2R22VRV

2令：S2033

R3R3V23答：當R3V23⒎欲做一個底為正方形，容積為62.5立方米的長方體開口容器，怎樣做法用料最??？解：設底連長為x，高為h。則：62.562.5x2h

hx2

250Sx250

4xhx2x令S2x 0x2

x3125x5答：當?shù)走B長為5米，高為2.5米時用料最省。（四）證明題⒈當x0時，證明不等式xln(1x)．ln(1x)證：由中值定理得：

x)ln1 1

( 0)x)x

x x)1 1xx) 當x時）⒉當x0時，證明不等式ex設f(x)ex(x1)

x1．f(x)ex10 當x時） 當x時f(x)單調(diào)上升且f(0)0f(x)0,即ex(x證畢《高等數(shù)學基礎》第四次作第5章 不定積分第6章 定積分及其應用（一）單項選擇題⒈若f(x)的一個原函數(shù)是1，則f(x)（D ）．xA. lnx B. 1x2

1 2C. D.x x3⒉下列等式成立的是）．Af(x)dxf(x)B. df(x)f(x)C. df(x)dxf(x) D. ddx

f(x)dxf(x)⒊若f(x)cosx，則f(x)dx（B ）．A.sinxc B. cosxc C. sinxc D. cosxc⒋dx2f(x3)dx（B）．dx1 1A. f(x3) B. x2f(x3) x⒌若f(x)dxF(xc，則x

f(x) D. f(x33 31f( x)dx（B ）．1xA. F( x)c B. 2F( x)c C. F(2 x)c x

1 F( x)c⒍由區(qū)間[a,b]上的兩條光滑曲線yf(x)和yg(x)以及兩條直線xa和xb所圍成的平面區(qū)域的面積是）．f(x)g(x)]dx B.b[g(x)f(x)]dxaC. ba（二）填空題

af(x)g(x)dx D. f(x)g(x)]dxaf(x的不定積分是f(x)dx．F(x)G(x)是同一函數(shù)的原函數(shù)，則F(x)G(x)之間有關系式F(xG(x)c(常數(shù)⒊d

ex2dxex2⒋(tantanxc⒌若f(x)dxcos3xcf(x)9cos(3x)⒍3(sin5x1)dx33 2⒎若無窮積分11 xp

dx收斂，則p0（三）計算題cos1⒈ xdxcos1d(1)sin1cx2 x x xxxx⒉e dx2exd 2excxxx⒊ 1 dx1 d(lnx)