2006全國初中數(shù)學競賽試題及答案

2006年全國初中數(shù)學競賽試題及答案2006年全國初中數(shù)學競賽試題考試日t間2006年4月2日上午9：30—11：30分120分一、選擇題（共 5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）．在高速公路上，從 3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀．剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是（）（A）36（B）37（C）55（D）90．已知， ，且=8，則a的值等于（）A）－5（B）5（C）－9（D）93.Rtz\ABC三個頂點A,B,C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h，則（）h（B）h=1（C）1h（D）h2．一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了 34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（）A）2004（B）2005（C）2006（D）2007.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。 O,點在劣弧AB上，連結(jié)DP，交AC于點Q．若QP=QO，則的值為（）（A）B）C）二、填空題（共 5小題，每小題6分，滿分30分）6．已知a，b，c為整數(shù)，且 a＋b=2006，c－a=2005．若a，則a＋b＋c的最大值為．．如圖，面積為的正方形 DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC,其中a,b,c為整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則的值等于．．正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米．甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿A-B-C-D-E-A-…方向繞廣場行走,甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分． 那么出發(fā)后經(jīng)過分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上．．已知0a1，且滿足，則的值等于．（表示不超過 x的最大整數(shù) ）．小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字 8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字 2，成為一個八位數(shù)的電話號碼．小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是．三、解答題（共 4題，每小題15分，滿分60分）．已知，，為互質(zhì)的正整數(shù)（即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1）,且w8,1）試寫出一個滿足條件的x；2）求所有滿足條件的x．．設(shè)，，為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式求a的取值范圍．.如圖，點P為。0外一點，過點P作。0的兩條切線，切點分別為A,B.過點A作PB的平行線，交。0于點C.連結(jié)PC,交。0于點E;連結(jié)AE,并延長AE交PB于點K.求證：PE?AC=CE?KB.．10個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中．求n的最小值．2006年全國初中數(shù)學競賽試題參考答案一、選擇題（共 5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）．在高速公路上，從 3千米處開始，每隔4千米經(jīng)過一個限速標志牌；并且從10千米處開始，每隔9千米經(jīng)過一個速度監(jiān)控儀．剛好在19千米處第一次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施，那么第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是（）（A）36（B）37（C）55（D）90答：C．解：因為4和9的最小公倍數(shù)為36，19＋36=55，所以第二次同時經(jīng)過這兩種設(shè)施的千米數(shù)是在 55千米處．故選C．．已知， ，且=8，則a的值等于（）A）－5（B）5（C）－ 9（D）9答：C．解：由已知可得，．又8，所以解得a=－9故選C．Rtz\ABC三個頂點A,B,C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h，則（）（A）h（B）h=1（C）1h（D）h2答：B．解：設(shè)點A的坐標為（a，a2），點C的坐標為（c，c2）（|c||a|），則點B的坐標為a，a2），由勾股定理，得，，所以．由于，所以a2－c2=1，故斜邊AB上高h=a2－c2=1故選B．．一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了 34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（）（A）2004（B）2005（C）2006（D）2007答：B．解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內(nèi)角和增加360°．于是，剪過k次后，可得（k＋1）個多邊形，這些多邊形的內(nèi)角和為（k+1）X360 .因為這（k＋1）個多邊形中有 34個六十二邊形，它們的內(nèi)角和為34X（62—2）X180 =34X60X180 ,其余kMW有34=k—33（個），而這些多邊形的內(nèi)角和不少于（k-33）X180.灰以十1）X360 >34X60X（18033升X180 ,解f等2005.當我們按如下方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結(jié)論．先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和 1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形……如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形．再取33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這 33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個六十二邊形和33X5階三角形.于是共剪了58+33+33X58=2005 （刀）故選B．.如圖，正方形ABCD內(nèi)接于。O,點在劣弧AB上，連結(jié)DP，交AC于點 Q．若QP=QO，則的值為（））答：D．解：如圖，設(shè)。0的半徑為r,QO=m,貝UQP=m,QC=r+m,QA=r－m．在。0中，根據(jù)相交弦定理，得QA-QC=QP-QD.即（r—m）（r+m）=m-QD,所以QD=.連結(jié)DO，由勾股定理，得 QD2=DO2＋QO2，即，解得所以，故選D．二、填空題（共 5小題，每小題6分，滿分30分）c－a=2005．若a6．已知a，b，c為整數(shù)，且 a＋b=2006，則a＋c－a=2005．若a答：5013．解：由，，得．因為， a，a為整數(shù)，所以，a的最大值為1002．于是， a＋b＋c的最大值為5013．．如圖，面積為的正方形 DEFG內(nèi)接于面積為1的正三角形ABC,其中a,b,c為整數(shù)，且b不能被任何質(zhì)數(shù)的平方整除，則的值等于．答：．解：設(shè)正方形DEFG的邊長為x,正三角形ABC的邊長為m,則，由^ADGs△ABC,可得，解得于是，由題意，，，，所以．．正五邊形廣場ABCDE的周長為2000米．甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發(fā)，沿A-B-C-D-E-A-…方向繞廣場行走,甲的速度為50米/分，乙的速度為46米/分．那么出發(fā)后經(jīng)過分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上．答：104．解：設(shè)甲走完x條邊時，甲、乙兩人第一次開始行走在同一條邊上，此時甲走了400x米，乙走了46X=368x米.于是368(x—1)+800－400(x－1)400，所以， 12.5<x13.5x=^,此時.．已知0a1，且滿足，則的值等于． (表示不超過 x的最大整數(shù) )答：6．解：因為0,所以，，…，等于0或1.由題設(shè)知，其中有18個等于1，所以=0，=1，所以，1W2；故18w30aa9,于是6<10a<,所1>6.．小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字 8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字 2，成為一個八位數(shù)的電話號碼．小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是．答：282500．解：設(shè)原來電話號碼的六位數(shù)為，則經(jīng)過兩次升位后電話號碼的八位數(shù)為.根據(jù)題意，有81X=.記，于是，解得x=1250X(20871a).因為0Wx<,所以0W1250x（20871a）<,故w.因為a為整數(shù)，所以a=2.于是x=1250x（208—71x2）=82500所以，小明家原來的電話號碼為282500．三、解答題（共 4題，每小題15分，滿分60分）11．已知，，為互質(zhì)的正整數(shù)（即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1）,且w8,1）試寫出一個滿足條件的x；2）求所有滿足條件的 x．解：（1）滿足條件. 5分（2）因為，，為互質(zhì)的正整數(shù)，且w 8,所以，即．當a=1 時， ，這樣的正整數(shù)不存在．當a=2 時， ，故 =1 ，此時．當a=3 時， ，故 =2 ，此時．當a=4 時， ，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在．當a=5 時， ，故 =3 ，此時．當a=6 時， ，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在．當a=7 時， ，故 =3 ，4，5此時，，．當a=8 時， ，故 =5 ，此時所以，滿足條件的所有分數(shù)為，，，，，，. 分1512．設(shè)， ，為互不相等的實數(shù)，且滿足關(guān)系式①求a的取值范圍.解法一：由①— 2X②得,所以1.當a—1時，= 分10又當時，由①，②得，③④將④兩邊平方，結(jié)合③得化簡得，故，解得，或.所以，a的取值范圍為a—1且，. 分 15解法二：因為，，所以所以.又，所以，為一元二次方程⑤的兩個不相等實數(shù)根，故，所以a-1.當a—1時，= 分10另外，當時，由⑤式有，即或，解得，或.當時，同理可得或.所以，a的取值范圍為a—1且，. 分 1513.如圖，點P為。0外一點，過點P作。0的兩條切線，切點分別為A,B.過點A作PB的平行線，交。0于點C.連結(jié)PC,交。0于點E;連結(jié)AE,并延長AE交PB于點K.求證：PE?AC=CE?KB.證明：因為AC//PB,所以/KPE=/ACR.PA是。0的切線，所以/KAP=ZACE,故/KPE=ZKAP,于是AKPE^AKAP,所以，即．由切割線定理得所以. 分10因為AC//PB,△KPE^AACE,于是故，即PE?AC=CE?KB. 分?一 1514．10個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中．求n的最小值．解：設(shè)10個學生為，，…，，n個課外小組，，…，.首先，每個學生至少參加兩個課外小組．否則，若有一個學生只參加一個課外小組，設(shè)這個學生為，由于每兩個學生至少在某一個小組內(nèi)出現(xiàn)過，所以其它9個學生都與他在同一組出現(xiàn)，于是這一組