（渝皖瓊）2019學年高中數(shù)學 第一章 立體幾何初步 7.2 棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺的體積學案 北師大版2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE12學必求其心得，業(yè)必貴于專精7．2棱柱、棱錐、棱臺和圓柱、圓錐、圓臺的體積學習目標1。掌握柱體、錐體、臺體的體積計算公式，會利用它們求有關幾何體的體積。2。掌握求幾何體體積的基本技巧．知識點一柱、錐、臺體的體積公式幾何體體積公式柱體圓柱、棱柱V柱體＝ShS—柱體底面積，h—柱體的高錐體圓錐、棱錐V錐體＝eq\f(1,3）ShS—錐體底面積，h-錐體的高臺體圓臺、棱臺V臺體＝eq\f（1，3）(S上＋S下＋eq\r(S上·S下）)hS上、S下-臺體的上、下底面面積，h-高知識點二柱體、錐體、臺體的體積公式之間的關系V＝ShV＝eq\f（1,3)（S′＋eq\r(S′S)＋S）hV＝eq\f(1，3)Sh。1．錐體的體積等于底面面積與高之積．(×)2．臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差．（√）類型一多面體的體積例1如圖，四邊形ABCD為正方形,QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝eq\f（1，2)PD.（1）證明：PQ⊥平面DCQ;（2）求棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值．(1)證明由題知四邊形PDAQ為直角梯形．因為QA⊥平面ABCD,QA平面PDAQ，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD。又四邊形ABCD為正方形,DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC。在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝eq\f(\r（2)，2)PD，則PQ⊥QD。又DC∩QD＝D，DC，QD平面DCQ,所以PQ⊥平面DCQ.（2)解設AB＝a。由題設知AQ為棱錐Q－ABCD的高，所以棱錐Q－ABCD的體積V1＝eq\f（1，3）a3。由(1）知PQ為棱錐P－DCQ的高．而PQ＝eq\r（2）a,△DCQ的面積為eq\f（\r(2），2）a2,所以棱錐P－DCQ的體積V2＝eq\f(1,3）a3.故棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值為1.反思與感悟求幾何體體積的四種常用方法(1)公式法：規(guī)則幾何體直接代入公式求解．（2)等積法:如四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可．(3）補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱、三棱柱補成四棱柱等．(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積．跟蹤訓練1如圖,在三棱柱中，若E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，平面將三棱柱分成體積為的兩部分，那么＝________。答案7∶5解析設三棱柱的高為h，底面的面積為S，體積為V，則V＝V1＋V2＝Sh。因為E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，所以＝eq\f（1,4）S,＝eq\f（1,3)heq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(S＋\f(1,4）S＋\r（S·\f(S,4）)))＝eq\f(7,12)Sh，＝Sh－＝eq\f(5，12)Sh，故。類型二旋轉體的體積例2體積為52cm3的圓臺，一個底面面積是另一個底面面積的9倍，求截得這個圓臺的圓錐的體積．解由底面面積之比為1∶9知,體積之比為1∶27.截得的小圓錐與圓臺體積比為1∶26,∴小圓錐的體積為2cm3,故原來圓錐的體積為54cm3。反思與感悟要充分利用旋轉體的軸截面,將已知條件盡量歸結到軸截面中求解，分析題中給出的數(shù)據(jù)，列出關系式后求出有關的量，再根據(jù)幾何體的體積公式進行運算、解答．(1）求臺體的體積，其關鍵在于求高,在圓臺中，一般把高放在等腰梯形中求解．(2）“還臺為錐”是求解臺體的體積問題的重要思想，作出截面圖，將空間問題平面化，是解決此類問題的關鍵．跟蹤訓練2設圓臺的高為3,如圖，在軸截面中母線AA1與底面直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對角線垂直于腰，則圓臺的體積為________．考點題點答案21π解析設上，下底面半徑，母線長分別為r，R，l.作A1D⊥AB于點D,則A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴AD＝eq\f(A1D，tan60°）＝eq\r（3),∴R－r＝eq\r（3）。BD＝A1D·tan60°＝3eq\r（3)，∴R＋r＝3eq\r（3）.∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3），而h＝3.∴V圓臺＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f（1，3)π×3×［(2eq\r(3))2＋2eq\r(3）×eq\r(3)＋(eq\r（3））2］＝21π。∴圓臺的體積為21π。類型三幾何體體積的求法命題角度1等體積法例3如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體,E為AA1的中點,F為CC1上一點，求三棱錐A1－D1EF的體積．考點柱體、錐體、臺體的體積題點錐體的體積解又三棱錐F－A1D1E的高為CD＝a,反思與感悟(1）三棱錐的每一個面都可當作底面來處理．（2）利用等體積法可求點到面的距離．跟蹤訓練3如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1,在三棱錐A1－ABD中，求A到平面A1BD的距離d?？键c題點解在三棱錐A1－ABD中,AA1是三棱錐A1－ABD的高，AB＝AD＝AA1＝1，A1B＝BD＝A1D＝eq\r（2).∵eq\f(1，3)×eq\f（1，2)×12×1＝eq\f（1,3)×eq\f（1,2)×eq\r（2）×eq\f（\r（3）,2)×eq\r（2）×d，∴d＝eq\f（\r（3)，3)。命題角度2割補法例4如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2,EF與平面AC的距離為3，求該多面體的體積．考點題點解如圖,連接EB,EC，AC。四棱錐E－ABCD的體積VE－ABCD＝eq\f(1,3)×42×3＝16.因為AB＝2EF,EF∥AB，所以S△EAB＝2S△BEF.所以VF－EBC＝VC－EFB＝eq\f(1,2)VC－ABE＝eq\f（1,2）VE－ABC＝eq\f(1,2）×eq\f(1,2)VE－ABCD＝4。所以該多面體的體積V＝VE－ABCD＋VF－EBC＝16＋4＝20.反思與感悟通過“割補法”解決空間幾何體的體積問題，需要思路靈活,有充分的空間想象力，什么時候“割”，什么時候“補"，“割”時割成幾個圖形,割成什么圖形，“補”時補上什么圖形,都需要靈活的選擇．跟蹤訓練4如圖所示，一個底面半徑為2的圓柱被一平面所截，截得的幾何體的最短和最長母線長分別為2和3，求該幾何體的體積．考點題點解用一個完全相同的幾何體把題中幾何體補成一個圓柱,如圖所示，則圓柱的體積為π×22×5＝20π,故所求幾何體的體積為10π。1.已知高為3的棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形(如圖）,則三棱錐B1—ABC的體積為(）A。eq\f(1，4) B.eq\f(1，2)C。eq\f（\r(3),6） D。eq\f（\r（3),4)考點柱體、錐體、臺體的體積題點錐體的體積答案D解析V＝eq\f（1,3)Sh＝eq\f（1,3)×eq\f(\r（3)，4）×3＝eq\f(\r(3),4).2．圓錐的軸截面是等腰直角三角形，側面積是16eq\r(2)π,則圓錐的體積是()A。eq\f（128π,3）B。eq\f（64π,3)C．64πD．128eq\r(2)π考點柱體、錐體、臺體的體積題點錐體的體積答案B解析設圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意知2r＝eq\r（l2＋l2)，即l＝eq\r（2)r，∴S側＝πrl＝eq\r(2)πr2＝16eq\r（2）π，解得r＝4.∴l(xiāng)＝4eq\r（2)，圓錐的高h＝eq\r(l2－r2）＝4，∴圓錐的體積為V＝eq\f(1，3)Sh＝eq\f(1,3）π×42×4＝eq\f(64π,3）.3．棱臺的上、下底面面積分別是2,4，高為3,則該棱臺的體積是(）A．18＋6eq\r(2) B．6＋2eq\r(2)C．24 D．18考點題點答案B解析V＝eq\f（1,3)(2＋4＋eq\r(2×4))×3＝6＋2eq\r（2)。4．已知某圓臺的上、下底面面積分別是π，4π,側面積是6π，則這個圓臺的體積是________．考點柱體、錐體、臺體的體積題點臺體的體積答案eq\f（7\r（3)π，3）解析設圓臺的上、下底面半徑分別為r和R，母線長為l，高為h，則S上＝πr2＝π,S下＝πR2＝4π?！鄏＝1,R＝2，S側＝π（r＋R)l＝6π。∴l(xiāng)＝2，∴h＝eq\r（3），∴V＝eq\f（1，3)π（12＋22＋1×2)×eq\r（3）＝eq\f（7\r（3)π,3）。5．如圖是一個底面直徑為20cm的裝有一部分水的圓柱形玻璃杯,水中放著一個底面直徑為6cm，高為20cm的圓錐形鉛錘，當鉛錘從水中取出后，杯里的水將下降__________cm?？键c題點答案0。6解析將鉛錘取出后，水面下降部分實際是圓錐的體積．設水面下降的高度為xcm，則π×eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（20，2)))2x＝eq\f（1，3）π×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（6,2）））2×20，得x＝0.6cm。1．柱體、錐體、臺體的體積之間的內(nèi)在關系為V柱體＝Sheq\o(,\s\up7（S′＝S)）V臺體＝eq\f(1,3)h（S＋eq\r（SS′）＋S′）eq\o（→，\s\up7（S′＝0))V錐體＝eq\f（1，3)Sh.2．在三棱錐A－BCD中，若求點A到平面BCD的距離h,可以先求VA－BCD，h＝eq\f（3V,S△BCD）.這種方法就是用等體積法求點到平面的距離，其中V一般用換頂點法求解，即VA－BCD＝VB－ACD＝VC－ABD＝VD－ABC，求解的原則是V易求，且△BCD的面積易求．3．求幾何體的體積，要注意分割與補形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形將其轉化為規(guī)則的幾何體求解．一、選擇題1。如圖，ABC－A′B′C′是體積為1的棱柱，則四棱錐C－AA′B′B的體積是（)A.eq\f（1,3）B.eq\f（1,2）C。eq\f（2,3) D。eq\f（3，4)考點題點答案C解析∵VC－A′B′C′＝eq\f（1,3）VABC－A′B′C′，∴VC－AA′B′B＝eq\f(2，3）VABC－A′B′C′＝eq\f(2,3）。2。如圖，已知正三棱錐S－ABC,D，E分別為底面邊AB,AC的中點,則四棱錐S－BCED與三棱錐S－ABC的體積之比為（)A．1∶2 B．2∶3C．3∶4 D．4∶3答案C解析兩錐體高相等,因此V四棱錐S－BCED∶V三棱錐S－ABC＝S四邊形BCED∶S△ABC＝3∶4.3．已知圓錐的母線長為8，底面圓的周長為6π，則它的體積是（)A．9eq\r（55)π B．9eq\r（55)C．3eq\r(55）π D．3eq\r(55）考點題點答案C解析設圓錐的底面圓的半徑為r，高為h，則2πr＝6π，∴r＝3.∴h＝eq\r(64－32）＝eq\r（55)，∴V＝eq\f(1,3）π·r2·h＝3eq\r(55）π.4.如圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f（π,2），AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2,將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（)A.eq\f（5，3)πB.eq\f(4，3)πC.eq\f（2,3)πD．2π考點組合幾何體的表面積與體積題點柱、錐、臺、球切割的幾何體的表面積與體積答案A解析由題意,旋轉而成的幾何體是圓柱,挖去一個圓錐（如圖)，該幾何體的體積為π×12×2－eq\f(1，3）×π×12×1＝eq\f(5，3）π.5．若一個圓錐的軸截面是等邊三角形,其面積為eq\r（3)，則這個圓錐的母線長為()A．2B．2eq\r（2）C.eq\r（2）D。eq\r(3)考點題點答案A解析如圖所示，設等邊三角形ABC為圓錐的軸截面，由題意知圓錐的母線長即為△ABC的邊長,且S△ABC＝eq\f(\r(3）,4)AB2，∴eq\r(3）＝eq\f（\r（3）,4)AB2，∴AB＝2.6．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1,則三棱錐D1－ACD的體積是（)A。eq\f（1，6） B。eq\f（1,3）C。eq\f(1，2） D．1答案A解析三棱錐D1－ADC的體積V＝eq\f(1,3)S△ADC×D1D＝eq\f（1,3)×eq\f(1,2）×AD×DC×D1D＝eq\f（1，3)×eq\f(1，2)＝eq\f（1,6）.7．將若干毫升水倒入底面半徑為2cm的圓柱形器皿中，量得水面高度為6cm,若將這些水倒入軸截面是正三角形的倒圓錐形器皿中，則水面高度為（）A．6eq\r（3）cm B．6cmC．2eq\r(3，18）cm D．3eq\r（3，12)cm考點柱體、錐體、臺體的體積題點錐體的體積答案B解析設圓錐中水的底面半徑為rcm，由題意知eq\f(1，3)πr2×eq\r（3）r＝π22×6，得r＝2eq\r（3),∴水面的高度是eq\r（3)×2eq\r(3)＝6cm.8．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2，側棱長為eq\r（3）,D為BC的中點，則三棱錐A－B1DC1的體積為()A．1B。eq\f(3，2)C．3D。eq\f（\r(3)，2）考點題點答案A解析在正△ABC中，D為BC中點，則有AD＝eq\f（\r（3），2)AB＝eq\r(3),＝eq\f（1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r（3）.又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，平面BB1C1C∩平面ABC＝BC，AD⊥BC，AD平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C，即AD為三棱錐A－B1DC1底面上的高．∴·AD＝eq\f(1，3)×eq\r(3）×eq\r(3)＝1。二、填空題9．設甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側面積相等,且eq\f(S1,S2）＝eq\f（9,4)，則eq\f（V1，V2）的值是________．考點題點答案eq\f（3,2）解析設兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2,由eq\f(S1，S2）＝eq\f(9,4），得eq\f（πr\o\al(2,1）,πr\o\al（2，2）)＝eq\f(9，4),則eq\f(r1,r2）＝eq\f（3，2）.由圓柱的側面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，所以eq\f（V1,V2)＝eq\f(πr\o\al（2,1）h1，πr\o\al(2，2)h2)＝eq\f(r1，r2）＝eq\f（3,2)。10。如圖，在△ABC中，AB＝8,BC＝10，AC＝6,DB⊥平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD＝3，F(xiàn)C＝4，AE＝5。則此幾何體的體積為________．考點題點答案96解析用“補形法”把原幾何體補成一個直三棱柱，使AA′＝BB′＝CC′＝8，所以V幾何體＝eq\f（1,2)V三棱柱＝eq\f(1,2)×S△ABC·AA′＝eq\f(1,2)×24×8＝96。11。如圖，在三棱柱A1B1C1－ABC中，已知D，E，F(xiàn)分別為AB，AC，AA1的中點，設三棱錐A－FED的體積為V1,三棱柱A1B1C1－ABC的體積為V2，則V1∶V2的值為______．考點柱體、錐體、臺體的表面積與體積題點其他求體積、表面積問題答案eq\f(1，24）解析設三棱柱的高為h，∵F是AA1的中點，∴三棱錐F－ADE的高為eq\f(h，2)，∵D，E分別是AB，AC的中點，∴S△ADE＝eq\f（1,4)S△ABC,∵V1＝eq\f（1，3）S△ADE·eq\f(h,2)，V2＝S△ABC·h，∴eq\f（V1，V2）＝eq\f（\f（1,6)S△ADE·h，S△ABC·h)＝eq\f（1,24）.三、解答題12．在四邊形ABCD中,A(0，0),B（1,0)，C(2,1),D(0,3)，繞y軸旋轉一周，求所得旋轉體的體積．解如圖為所得旋轉體，由一個圓錐和一個圓臺組成．∵C(2,1)，D(0，3），∴圓錐的底面半徑r＝2，高h＝2.∴V圓錐＝eq\f(1，3)πr2h＝eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(8，3）π.∵B(1，0),C（2,1），∴圓臺的兩個底面半徑R＝2，R′＝1，高h′＝1?！郪圓臺＝eq\f（1,3）πh′(R2＋R′2＋RR′）＝eq\f（1，3）π×1×(22＋12＋2×1)＝eq\f（7,3）π，∴V＝V圓錐＋V圓臺＝5π。13。如圖所示是一個邊長為5＋eq\r（2）的正方形,剪去陰影部分得到圓錐的側面和底面展開圖，求該圓錐的體積．考點題點解設圓錐的底面半徑為r,母線長為l，高為h,則依題意有eq\f（1