高中數(shù)學(xué)人教B版必修二學(xué)案：2.3.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

.3圓的方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程［學(xué)習(xí)目標(biāo)］1.會(huì)用定義推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn) .2.會(huì)根據(jù)已知條件求TOC\o"1-5"\h\z圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 .產(chǎn)預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)主挑戰(zhàn)自我?點(diǎn)>落實(shí) ［知識(shí)鏈接］.平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓 ^.確定一個(gè)圓的基本要素是圓，口和半徑 ..平面上兩點(diǎn)間的距離公式 d=MX2-xi2+y2-yi-2.［預(yù)習(xí)導(dǎo)引］.圓的定義及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是圓 ^定點(diǎn)一圓的圓心；定長(zhǎng)一圓的半徑 .(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)圓的圓心是C(a,b),半徑為r,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x—a)2+(yb)2=r2,當(dāng)圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，圓的半徑為r,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2+y2=r2..點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓有三種位置關(guān)系，即點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn)在圓內(nèi)，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有兩種方法：⑴將所給的點(diǎn)M與圓心C的距離跟半徑r比較：若|CM|=r,則點(diǎn)M在圓上;若|CM|>r,則點(diǎn)M在圓夕卜;若|CM|vr,則點(diǎn)M在圓內(nèi).(2)可利用圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2來確定：點(diǎn)M(m,n)在圓C上?(m—a)2+(n—b)2=r2;點(diǎn)M(m,n)在圓C外?(m—a)2+(n—b)2>r2;點(diǎn)M(m,n)在圓C內(nèi)?(m—a)2+(n—b)2vr2科課堂講義j重點(diǎn)難點(diǎn)，個(gè)個(gè)擊破 要點(diǎn)一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系例1已知點(diǎn)A(1,2)不在圓C：(x—a)2+(y+a)2=2a2的內(nèi)部，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解由題意，點(diǎn)A在圓C上或圓C的外部，.<1-a)2+(2+a)2>2a2,5-..2a+5>0,..a>—2,又aw。，5，a的取值范圍是一2,0U(0,+8).規(guī)律方法判斷點(diǎn)P(x。，y。)與圓(x—a)2+(y—b)2=r2的位置關(guān)系有幾何法與代數(shù)法兩種， 對(duì)于幾何法，主要是利用點(diǎn)與圓心的距離與半徑比較大小 ^對(duì)于代數(shù)法，主要是把點(diǎn)的坐標(biāo)直接代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，具體判斷方法如下：①當(dāng)(x。一a)2+(y。一b)2<r2時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)，②當(dāng)(xo—a)2+(y。一b)2=r2時(shí)，點(diǎn)在圓上，③當(dāng)(x。一a)2+(y。一b)2>r2時(shí)，點(diǎn)在圓外.跟蹤演練1點(diǎn)P(m2,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是( )A.在圓外 B.在圓內(nèi)C.在圓上 D.不確定答案A解析把點(diǎn)P(m2,5)代入圓的方程x2+y2=24得m4+25>24,故點(diǎn)P在圓外.要點(diǎn)二求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求過點(diǎn)A(1,—1),B(—1,1)且圓心在直線x+y—2=。上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.解方法一設(shè)點(diǎn)C為圓心，二?點(diǎn)C在直線x+y—2=。上，，可設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(a,2—a).又???該圓經(jīng)過A,B兩點(diǎn)，|CA|=|CB|.7a-12+2-a+12=勺a+12+2-a-12,解得a=1.???圓心坐標(biāo)為C(1,1),半徑長(zhǎng)r=|CA|=2.

故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—1)2+(y—1)2=4.1——1方法二 由已知可得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),kAB= =—1,所以弦AB的垂直平-1-1分線的斜率為k=1,所以AB的垂直平分線的方程為y-0=1(x-0),即y=x.則圓心是直線y=x, x=1,由 得x+y—2=0, y=1,y=x, x=1,由 得x+y—2=0, y=1,即圓心為。,1),圓的半徑為q1-12+[1——1]2=2,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—1)2+(y—1)2=4.規(guī)律方法 直接法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)， 一般先從確定圓的兩個(gè)要素入手， 即首先求出圓心坐標(biāo)和半徑，然后直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 .跟蹤演練2以兩點(diǎn)A(-3,—1)和B(5,5)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是 ( )A.(x-1)2+(y-2)2=10 B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x—1)2+(y—2產(chǎn)=5 D.(x—1)2+(y—2產(chǎn)=25答案D解析 二.點(diǎn)A(—3,—1)和B(5,5)的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),???以A、B為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑r=印5+32+5+12=5.，所求圓的方程為(x-1)2+(y—2)2=25.要點(diǎn)三圓的方程的綜合應(yīng)用例3已知圓心在x軸上的圓C與x軸交于兩點(diǎn)A(1,0),B(5,0),(1)求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)P(x,y)為圓C上任意一點(diǎn)，求P(x,y)到直線x—y+1=0的距離的最大值和最小值.解(1)由已知，得C(3,0),???所求方程為(x-3)2+y2=4.(2)圓心C到直線x—y+1=0的距離|3—0+1|“2+|3—0+1|“2+-12=2.2.??.P到直線的最大距離為2+2取,最小距離為2近—2.規(guī)律方法 解答本題應(yīng)用了圓的性質(zhì)， 即圓上任意一點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑， 解題過程中用數(shù)形結(jié)合的思想能有效地找到解題的捷徑， 即過圓心作已知直線的垂線， 便于求解此題.跟蹤演練3已知圓C:(x—3)2+(y—4)2=1,點(diǎn)A(0,—1),B(0,1),設(shè)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，令d=|PA|2+pB|2,求d的最大值及最小值.解設(shè)P(x,y),則d=|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2.,.|CO|2=52=25,.?.(5-1)2<x2+y2<(5+1)2.即16<x2+y2<36.??.d的最小值為2X16+2=34.最大值為2X36+2=74.二當(dāng)堂檢測(cè)丁當(dāng)堂訓(xùn)編.體驗(yàn)成功 .圓(x—2)2+(y+3)2=2的圓心和半徑分別是( )A.(—2,3),1 B.(2,—3),3C.(-2,3),/ D.(2,-3),也答案D.以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 ( )A.x2+y2=2 B.x2+y2=4C.(x—2)2+(y—2)2=8 D.x2+y2=>/2答案B.已知兩圓C1：(x―5)2+(y—3)2=9和C2：(x―2)2+(y+1)2=5,則兩圓圓心間的距離為.答案5解析 C1圓心為(5,3),C2圓心為(2,-1),則d=45—22+3+12=5..圓的直徑端點(diǎn)為A(2,0),B(2,—2),則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案(x—2)2+(y+1)2=1解析圓心C(2,—1),半徑「=、2—22+0+22=1,，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y+1)2=1..若圓C的半徑為1,其圓心與點(diǎn)（1,0）關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為答案 x2+（y-1）2=1解析 由題意知圓C的圓心為（0,1）,半徑為1,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y—1）2=1.「課堂小結(jié) 1.確定圓的方程主要方法是待定系