數(shù)學分析練習：數(shù)分題庫11

PAGE（三十二）數(shù)學分析試題（二年級第一學期）一敘述題（每小題10分，共30分）1敘述含參變量反常積分一致收斂的Cauchy收斂原理。2敘述Green公式的內容及意義。3敘述n重積分的概念。二計算題（每小題10分，共50分）1．計算積分，其中C為橢圓，沿逆時針方向。2．已知其中存在著關于兩個變元的二階連續(xù)偏導數(shù)，求關于的二階偏導數(shù)。3．求橢球體的體積。4．若為右半單位圓周，求。5．計算含參變量積分()的值。三討論題（每小題10分，共20分）1若積分在參數(shù)的已知值的某鄰域內一致收斂，則稱此積分對參數(shù)的已知值一致收斂。試討論積分在每一個固定的處的一致收斂性。2討論函數(shù)的連續(xù)性，其中在上是正的連續(xù)函數(shù)。數(shù)學分析試題（二年級第一學期）答案1一敘述題（每小題10分，共30分）1含參變量反常積分關于在上一致收斂的充要條件為：對于任意給定的，存在與無關的正數(shù)，使得對于任意的，成立。2Green公式：設為平面上由光滑或分段光滑的簡單閉曲線所圍的單連通區(qū)域。如果函數(shù)在上具有連續(xù)偏導數(shù)，那么，其中取正向，即誘導正向。Green公式說明了有界閉區(qū)域上的二重積分與沿區(qū)域邊界的第二類曲線積分的關系。3．設為上的零邊界區(qū)域，函數(shù)在上有界。將用曲面網分成個小區(qū)域（稱為的一個分劃），記為的體積，并記所有的小區(qū)域的最大直徑為。在每個上任取一點，若趨于零時，和式的極限存在且與區(qū)域的分法和點的取法無關，則稱在上可積，并稱此極限為在有界閉區(qū)域上的重積分，記為。二計算題（每小題10分，共50分）1解令則.2解令則，.故即3解由于對稱性，只需求出橢球在第一卦限的體積，然后再乘以8即可。作廣義極坐標變換（）。這時橢球面化為。又，于是。所以橢球體積。4解的方程為：。由，符號的選取應保證，在圓弧段上，由于，故而在圓弧段上，由于，故所以。5解。當時，由于，故為連續(xù)函數(shù)且具有連續(xù)導數(shù)，從而可在積分號下求導。。于是，當時，（常數(shù)）。但是，，故，從而。三討論題（每小題10分，共20分）1解設為任一不為零的數(shù)，不妨設。取，使。下面證明積分在內一致收斂。事實上，當時，由于，且積分收斂，故由Weierstrass判別法知積分在內一致收斂，從而在點一致收斂。由的任意性知積分在每一個處一致收斂。下面說明積分在非一致收斂。事實上，對原點的任何鄰域有：，有。由于，故取，在中必存在某一個，使有，即因此，積分在點的任何鄰域內非一致收斂，從而積分在時非一致收斂。2．解當時，被積函數(shù)是連續(xù)的。因此，為連續(xù)函數(shù)。當時，顯然有。當時，設為在上的最小值，則。由于及，故有。所以，當時不連續(xù)。（三十三）數(shù)學分析試題（二年級第一學期）一敘述題（每小題10分，共30分）1敘述二重積分的概念。2敘述Gauss公式的內容。3敘述Riemann引理。二計算題（每小題10分，共50分）1．求球面與錐面所截出的曲線的點處的切線與法平面方程。2．求平面，圓柱面，錐面所圍成的曲頂柱體的體積。3．計算三重積分。其中。4利用含參變量積分的方法計算下列積分。5計算其中為上半橢球面定向取上側.三證明題（每小題10分，共20分）1．若及證明不等式2．證明關于在上一致收斂，但在上非一致收斂.數(shù)學分析試題（二年級第一學期）答案一敘述題（每小題10分，共30分）1．設為上的零邊界區(qū)域，函數(shù)在上有界。將用曲線網分成個小區(qū)域（稱為的一個分劃），記為的面積，并記所有的小區(qū)域的最大直徑為。在每個上任取一點，若趨于零時，和式的極限存在且與區(qū)域的分法和點的取法無關，則稱在上可積，并稱此極限為在有界閉區(qū)域上的二重積分，記為。2．設是中由光滑或分片光滑的封閉曲面所圍成的二維單連通閉區(qū)域，函數(shù)，和在上具有連續(xù)偏導數(shù)。則成立等式，這里的定向為外側。3．設函數(shù)在可積且絕對可積，則成立。二計算題（每小題10分，共50分）1求球面與錐面所截出的曲線的點處的切線與法平面方程。解設，。它們在處的偏導數(shù)和雅可比行列式之值為：和，，。所以曲線在處的切線方程為：，即法平面方程為，即。2求平面，圓柱面，錐面所圍成的曲頂柱體的體積。解其體積，其中。設。。故3解4解：首先，令，則，在積分中，再令，其中為任意正數(shù)，即得再對上式兩端乘以，然后對從到積分，得注意到積分次序可換，即得由于故5利用廣義球面坐標代入曲面方程就可得曲面的參數(shù)方程為易得因此三證明題（每小題10分，共20分）1．證明考慮函數(shù)在條件下的極值問題，設解方程組可得從而如果時，則結論顯然成立.2．證明首先證在上一致收斂.由于因而一致有界，而是