高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程》解答題專練(含答案)

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)《參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程》解答題專練LISTNUMOutlineDefault\l3[選修4－4，坐標(biāo)系與參數(shù)方程]以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))=eq\r(2)，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).(1)寫出曲線C1的普通方程和曲線C2的參數(shù)方程；(2)設(shè)M，N分別是曲線C1，C2上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求|MN|的最小值．LISTNUMOutlineDefault\l3[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))＝2.(1)把曲線C1，C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并判斷C1，C2的位置關(guān)系；(2)斜率為－eq\f(\r(3),3)的直線l交曲線C1于A，B兩點(diǎn)，求△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積的最大值．LISTNUMOutlineDefault\l3[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝－1＋2t))(t為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＋6sinθ=0.(1)求直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)若直線l與圓C相交于M，N兩點(diǎn)，求△MNC的面積．LISTNUMOutlineDefault\l3[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋t，,y＝－4＋t))(t為參數(shù))．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=2cosθ.直線l交曲線C于A，B兩點(diǎn)．(1)寫出直線l的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－2，－4)，求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積．LISTNUMOutlineDefault\l3[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(3,5)t，,y＝－2＋\f(4,5)t))(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=tanθ.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，－\f(π,4)))，求eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)的值．LISTNUMOutlineDefault\l3選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù)).在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，圓C的方程為ρ=2eq\r(5)sinθ.(1)寫出直線l的普通方程和圓C的直角坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(3，eq\r(5))，圓C與直線l交于A、B兩點(diǎn)，求|PA|＋|PB|的值.LISTNUMOutlineDefault\l3【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（ɑ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C2的極坐標(biāo)方程為θ=eq\f(π,4)(ρ∈R)．（1）求C1的極坐標(biāo)方程；（2）若直線C2與曲線C1相交于M，N兩點(diǎn)，求|MN|．LISTNUMOutlineDefault\l3已知曲線C1的參數(shù)方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋2cosθ，,y＝2sinθ))(θ為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程是ρ=4sinθ.(1)求曲線C1與C2交點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)；(2)A，B兩點(diǎn)分別在曲線C1與C2上，當(dāng)|AB|最大時(shí)，求△AOB的面積(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－t，,y＝t－1))(t是參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線C2：ρ=8sinθ.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)判斷直線C1與曲線C2的位置關(guān)系，若相交，求出弦長.LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)cosα，,y＝sinα))(α為參數(shù))，在以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為eq\f(\r(2),2)ρcos（θ+eq\f(π,4)）=－1.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)過點(diǎn)M(－1,0)且與直線l平行的直線l1交C于A，B兩點(diǎn)，求點(diǎn)M到A，B兩點(diǎn)的距離之積.LISTNUMOutlineDefault\l3選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),y＝sin2α＋1))(α為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2=4ρsinθ－3.(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)求曲線C1上的點(diǎn)與曲線C2上的點(diǎn)的距離的最小值.LISTNUMOutlineDefault\l3選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\r(2)t,y＝\r(2)t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=eq\f(sinθ,1－sin2θ).(1)寫出直線l的極坐標(biāo)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)若點(diǎn)P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求P到直線l距離的最小值，并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).LISTNUMOutlineDefault\l3已知曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸并取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，(1)求曲線C的極坐標(biāo)方程，并說明其表示什么軌跡；(2)若直線l的極坐標(biāo)方程為，求曲線C上的點(diǎn)到直線l的最大距離．LISTNUMOutlineDefault\l3在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．(1)求C與l的直角坐標(biāo)方程；(2)過曲線C上任意一點(diǎn)作P與l垂直的直線，交l于點(diǎn)A，求│PA│的最大值．LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，直線l的極坐標(biāo)方程為。(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程與曲線C的普通方程；(2)若Q是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，直線l上有兩點(diǎn)A，B，始終滿足|AB|=4，求△MAB面積的最大值與最小值。

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)依題意：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))=eq\f(\r(2),2)ρsinθ－eq\f(\r(2),2)ρcosθ=eq\r(2)，所以曲線C1的普通方程為x－y＋2=0.因?yàn)榍€C2的極坐標(biāo)方程為：ρ2=2ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))=eq\r(2)ρcosθ＋eq\r(2)ρsinθ，所以x2＋y2－eq\r(2)x－eq\r(2)y=0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)=1，所以曲線C2的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(2),2)＋cosθ,y＝\f(\r(2),2)＋sinθ))(θ是參數(shù))．(2)由(1)知，圓C2的圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))圓心到直線x－y＋2=0的距離d=eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)＋2)),\r(2))=eq\r(2)，又半徑r=1，所以|MN|min=d－r=eq\r(2)－1.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)C1：ρ2＝2ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ·\f(1,2)＋sinθ·\f(\r(3),2)))?x2＋y2＝x＋eq\r(3)y，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝1.C2：ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosθ·\f(1,2)＋sinθ·\f(\r(3),2)))＝2?x＋eq\r(3)y－4＝0.圓C1的圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))到直線C2的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)－4)),2)＝1，等于圓C1的半徑，故C1，C2相切．(2)設(shè)直線l：x＋eq\r(3)y＋c＝0，則圓心C1到直線l的距離d＝eq\f(|2＋c|,2)＜1?－4＜c＜0，則|AB|＝2eq\r(12－d2)＝eq\r(－4c－c2)，原點(diǎn)O到直線l的距離d1＝eq\f(|c|,2)，所以S△AOB＝eq\f(1,2)|AB|·d1＝eq\f(1,2)eq\r(－4c－c2)·eq\f(|c|,2)＝eq\f(1,4)·eq\r(－4c3－c4).令f(c)＝－4c3－c4，則f′(c)＝－12c2－4c3＝－4c2(3＋c)，在(－4，－3)上，f′(c)＞0，在(－3，0)上，f′(c)＜0，故當(dāng)c＝－3時(shí)，S△AOB取得最大值，且最大值為eq\f(3\r(3),4).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)將直線l的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得y=－1＋2x，整理得直線l的普通方程為2x－y－1=0.由圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＋6sinθ=0，得ρ2＋6ρsinθ=0.將ρ2=x2＋y2，y=ρsinθ代入，得x2＋y2＋6y=0，故圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y＋3)2=9.(2)由(1)知，圓C的圓心C(0，－3)，半徑r=3，則圓心C到直線l的距離d=eq\f(|2×0－（－3）－1|,\r(22＋（－1）2))=eq\f(2\r(5),5).所以|MN|=2eq\r(r2－d2)=2eq\r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))\s\up12(2))=eq\f(2\r(205),5).所以△MNC的面積S=eq\f(1,2)|MN|×d=eq\f(1,2)×eq\f(2\r(205),5)×eq\f(2\r(5),5)=eq\f(2\r(41),5).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋t，,y＝－4＋t))(t為參數(shù))，得直線l的普通方程為x－y－2=0.∴直線l的極坐標(biāo)方程為ρcosθ－ρsinθ－2=0.易得曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2x.(2)∵直線l：x－y－2=0經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－4)，∴直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)T，,y＝－4＋\f(\r(2),2)T)) (T為參數(shù))．將直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)T，,y＝－4＋\f(\r(2),2)T，))代入y2=2x，化簡得T2－10eq\r(2)T＋40=0，∴|PA|·|PB|=|T1T2|=40.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由曲線C1的參數(shù)方程消去參數(shù)t可得，曲線C1的普通方程為4x＋3y－2=0；由x=ρcosθ，y=ρsinθ可得，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為y=x2.(2)由點(diǎn)P的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，－\f(π,4)))可得點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(2，－2)．曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2－\f(3,5)t，,y＝－2＋\f(4,5)t))(t為參數(shù))，代入y=x2得9t2－80t＋150=0，設(shè)t1，t2是點(diǎn)A，B對應(yīng)的參數(shù)，則t1＋t2=eq\f(80,9)，t1t2=eq\f(50,3)＞0.∴eq\f(1,|PA|)＋eq\f(1,|PB|)=eq\f(|PA|＋|PB|,|PA|·|PB|)=eq\f(|t1＋t2|,|t1t2|)=eq\f(8,15).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))得直線l的普通方程為x＋y－3－eq\r(5)=0.又由ρ=2eq\r(5)sinθ得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2eq\r(5)y=0，即x2＋(y－eq\r(5))2=5.(2)把直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)t))eq\s\up12(2)=5.即t2－3eq\r(2)t＋4=0.由于Δ=(3eq\r(2))2－4×4=2>0，故可設(shè)t1、t2是上述方程的兩實(shí)數(shù)根，所以t1＋t2=3eq\r(2)，t1·t2=4.又直線l過點(diǎn)P(3，eq\r(5))，A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，所以|PA|＋|PB|=|t1|＋|t2|=t1＋t2=3eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3解：（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為．（2）由（1）知的極坐標(biāo)方程為，將代入得，∴，，故．LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋2cosθ，,y＝2sinθ，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2＝2cosθ，,y＝2sinθ，))所以(x＋2)2＋y2=4，又由ρ=4sinθ，得ρ2=4ρsinθ，得x2＋y2=4y，把兩式作差得，y=－x，代入x2＋y2=4y得交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)，(－2,2).(2)如圖，由平面幾何知識可知，當(dāng)A，C1，C2，B依次排列且共線時(shí)，|AB|最大，此時(shí)|AB|=2eq\r(2)＋4，O到AB的距離為eq\r(2)，∴△OAB的面積為S=eq\f(1,2)(2eq\r(2)＋4)·eq\r(2)=2＋2eq\r(2).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)由C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4－t，,y＝t－1))(t是參數(shù))消去t得x＋y－3=0，所以直線C1的普通方程為x＋y－3=0.把ρ=8sinθ的兩邊同時(shí)乘ρ，得ρ2=8ρsinθ，因?yàn)閤2＋y2=ρ2，y=ρsinθ，所以x2＋y2=8y，即x2＋(y－4)2=16，所以曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋(y－4)2=16.(2)由(1)知，曲線C2：x2＋(y－4)2=16是圓心坐標(biāo)為(0,4)，半徑為4的圓，所以圓心(0,4)到直線x＋y－3=0的距離d=eq\f(|0＋4－3|,\r(2))=eq\f(\r(2),2)<4，所以直線C1與曲線C2相交，其弦長為2eq\r(42－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)=eq\r(62).LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)曲線C化為普通方程為eq\f(x2,3)＋y2=1，由eq\f(\r(2),2)ρcos（θ+eq\f(π,4)）=－1，得ρcosθ－ρsinθ=－2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x－y＋2=0.(2)直線l1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))，代入eq\f(x2,3)＋y2=1化簡得，2t2－eq\r(2)t－2=0，設(shè)A，B兩點(diǎn)所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則t1t2=－1，所以|MA|·|MB|=|t1t2|=1.LISTNUMOutlineDefault\l3解：(1)x2=[eq\r(2)sin(α+eq\f(π,4))]2=(sinα＋cosα)2=sin2α＋1=y，所以C1的普通方程為y=x2.將ρ2=x2＋y2，ρsinθ=y代入C2的方程得x2＋y2=4y－3，所以C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－4y＋3=0.(2)將x2＋y2－4y＋3=0變形為x2＋(y－2)2=1，它的圓心為C(0，2).設(shè)P(x0，y0)為C1上任意一點(diǎn)，則y0=xeq\o\al(2,0)，從而|PC|2=(x0－0)2＋(y0－2)2=xeq\o\al(2,0)＋(xeq\o\al(2,0)－2)2=xeq\o\al(4,0)－3xeq\o\al(2,0)＋4=（xeq\o\al(2,0)-eq\f(3,