2023年高考數(shù)學(理數(shù))一輪復習課時26《平面向量的數(shù)量積》達標練習（教師版）

2023年高考數(shù)學(理數(shù))一輪復習課時26《平面向量的數(shù)量積》達標練習一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3已知矩形ABCD中，AB=eq\r(2)，BC=1，則eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))=()A.1B.－1C.eq\r(6)D.2eq\r(2)【答案解析】答案為：B；解析：設eq\o(AB,\s\up10(→))=a，eq\o(AD,\s\up10(→))=b，則a·b=0，∵|a|=eq\r(2)，|b|=1，∴eq\o(AC,\s\up10(→))·eq\o(CB,\s\up10(→))=(a＋b)·(－b)=－a·b－b2=－1.故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知平面向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，a與b的夾角為eq\f(2π,3)，且(a＋λb)⊥(2a－b)，則實數(shù)λ的值為()A.－7B.－3C.2D.3【答案解析】答案為：D.解析：依題意得a·b＝2×1×coseq\f(2π,3)＝－1，由(a＋λb)·(2a－b)＝0，得2a2－λb2＋(2λ－1)a·b＝0，即－3λ＋9＝0，解得λ＝3.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－4，則△ABC的面積為()A.4B.5C.2D.3【答案解析】答案為：C.解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,2)，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).∵eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA＝2eq\r(2)×2cosA＝－4，∴cosA＝－eq\f(\r(2),2)，∵0<A<π，∴sinA＝eq\f(\r(2),2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|sinA＝2.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|=eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|，|eq\o(AB,\s\up6(→))|=|eq\o(AC,\s\up6(→))|=3，則eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))的值為()A.3B.－3C.－eq\f(9,2)D.eq\f(9,2)【答案解析】答案為：D解析：由|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))|=eq\r(3)|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|兩邊平方可得，eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=3(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2=4eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，又|eq\o(AB,\s\up6(→))|=|eq\o(AC,\s\up6(→))|=3，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(9,2)，又因為eq\o(CB,\s\up6(→))=eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))=(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))·(－eq\o(AC,\s\up6(→)))=eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=9－eq\f(9,2)=eq\f(9,2).故選D.LISTNUMOutlineDefault\l3已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)且(a－b)⊥b，則m＝()A.－8B.－5C.5D.8【答案解析】答案為：B解析：由(a－b)⊥b知：(a－b)·b＝0，所以a·b－b2＝0，即3－2m－13＝0，所以m＝－5.LISTNUMOutlineDefault\l3已知不共線的兩個向量a，b滿足|a－b|=2且a⊥(a－2b)，則|b|=()A.eq\r(2)B.2C.2eq\r(2)D.4【答案解析】答案為：B.解析：由a⊥(a－2b)得a·(a－2b)=|a|2－2a·b=0.又∵|a－b|=2，∴|a－b|2=|a|2－2a·b＋|b|2=4，則|b|2=4，|b|=2，故選B.]LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，AB=4，AC=2，∠BAC=60°，點D為BC邊上一點，且D為BC邊上靠近C的三等分點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))=()A.8B.6C.4D.2【答案解析】答案為：A；解析：因為eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(16,3)＋eq\f(8,3)=8.LISTNUMOutlineDefault\l3在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(9,2)，|eq\o(AC,\s\up6(→))|=3，|eq\o(AB,\s\up6(→))|=3，M，N分別是BC邊上的三等分點，則eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))的值是()A.eq\f(11,2)B.eq\f(13,2)C.6D.7【答案解析】答案為：B.解析：不妨設eq\o(AM,\s\up6(→))=eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))=eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(AN,\s\up6(→))=(eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)))=eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(5,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))2=eq\f(2,9)(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2)＋eq\f(5,9)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=eq\f(2,9)×(32＋32)＋eq\f(5,9)×eq\f(9,2)=eq\f(13,2)，故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知圓O是△ABC的外接圓，其半徑為1，且eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))=2eq\o(AO,\s\up7(→))，AB=1，則eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))=()A.eq\f(3,2)B.3C.eq\r(3)D.2eq\r(3)【答案解析】答案為：B；解析：因為eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))=2eq\o(AO,\s\up7(→))，所以點O是BC的中點，即BC是圓O的直徑，又AB=1，圓的半徑為1，所以∠ACB=30°，且AC=eq\r(3)，則eq\o(CA,\s\up7(→))·eq\o(CB,\s\up7(→))=|eq\o(CA,\s\up7(→))|·|eq\o(CB,\s\up7(→))|cos∠ACB=3.故選B.LISTNUMOutlineDefault\l3已知直線y=x＋m和圓x2＋y2=1交于A，B兩點，O為坐標原點，若eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\f(3,2)，則實數(shù)m=()A.±1B.±eq\f(\r(3),2)C.±eq\f(\r(2),2)D.±eq\f(1,2)【答案解析】答案為：C解析：設A(xA，yA)，B(xB，yB)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,x2＋y2＝1，))消去y得2x2＋2mx＋m2－1=0，由Δ=4m2－8(m2－1)>0，得－eq\r(2)<m<eq\r(2)，又xAxB=eq\f(m2－1,2)，xA＋xB=－m，所以yAyB=(xA＋m)(xB＋m)=eq\f(m2－1,2)，由eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(AO,\s\up6(→))·(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))=－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→))2=－xAxB－yAyB＋1=－m2＋2=eq\f(3,2)，解得m=±eq\f(\r(2),2).故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3已知A，B，C三點不共線，且eq\o(AD,\s\up6(→))=－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→))，則SKIPIF1<0=()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.6D.eq\f(1,6)【答案解析】答案為：C解析：如圖，取eq\o(AM,\s\up6(→))=－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))=2eq\o(AC,\s\up6(→))，以AM，AN為鄰邊作平行四邊形AMDN，此時eq\o(AD,\s\up6(→))=－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(AC,\s\up6(→)).由圖可知S△ABD=3S△AMD，S△ACD=eq\f(1,2)S△AND，而S△AMD=S△AND，∴SKIPIF1<0=6.故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若點E為邊CD上的動點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))的最小值為()A.eq\f(21,16)B.eq\f(3,2)C.eq\f(25,16)D.3【答案解析】答案為：A.解析：解法1：如圖，以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，則A(1,0)，B(eq\f(3,2),eq\f(\r(3),2))，C(0，eq\r(3))，令E(0，t)，t∈[0，eq\r(3)]，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1，t)·(－eq\f(3,2),t－eq\f(\r(3),2))＝t2－eq\f(\r(3),2)t＋eq\f(3,2)，∵t∈[0，eq\r(3)]，∴當t＝－eq\f(－\f(\r(3),2),2×1)＝eq\f(\r(3),4)時，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))取得最小值，(eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→)))min＝eq\f(3,16)－eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),4)＋eq\f(3,2)＝eq\f(21,16).故選A.解法2：令eq\o(DE,\s\up6(→))＝λeq\o(DC,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，由已知可得DC＝eq\r(3)，∵eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DC,\s\up6(→)))·(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋λeq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋λeq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＋λ2|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＝3λ2－eq\f(3,2)λ＋eq\f(3,2).當λ＝－eq\f(－\f(3,2),2×3)＝eq\f(1,4)時，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))取得最小值eq\f(21,16).故選A.二 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝1，A＝60°，點M在AB邊上，且AM＝eq\f(1,3)AB，則eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))等于__________.【答案解析】答案為：1解析：因為eq\o(DM,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(DM,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\f(4,3)eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝1＋eq\f(4,3)－eq\f(4,3)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(7,3)－eq\f(4,3)|eq\o(AD,\s\up6(→))|·|eq\o(AB,\s\up6(→))|·cos60°＝eq\f(7,3)－eq\f(4,3)×1×2×eq\f(1,2)＝1.LISTNUMOutlineDefault\l3已知銳角三角形ABC中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|=4，|eq\o(AC,\s\up6(→))|=1，△ABC的面積為eq\r(3)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=________.【答案解析】答案為：2.解析：[由S△ABC=eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|sinA=eq\r(3)得sinA=eq\f(\r(3),2)，又A∈(0,eq\f(π,2))，則A=eq\f(π,3)，故eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))=|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|cosA=4×1×eq\f(1,2)=2.]LISTNUMOutlineDefault\l3已知點O為△ABC的外心，且|eq\o(AC,\s\up6(→))|=4，|eq\o(AB,\s\up6(→))|=2，則eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))=________.【答案解析】答案為：6.解析：[因為點O為△ABC的外心，