導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例

導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用與生活中的優(yōu)化問題舉例一、選擇題（每小題3分，共15分）1.(2009·湖南高考）若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上的圖象可能是（）【解析】選A.由已知，在區(qū)間［a,b］上各點處的斜率k是遞增的，由圖易知，選A.2.（2010·日照模擬）已知f(x)=x3-ax在［1,+∞)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是（）(A)0(B)1(C)2(D)3【解析】選D.f′(x)=3x2-a≥0在［1,+∞)上恒成立，即:a≤3x2在［1,+∞)上恒成立，而(3x2)min=3×12=3.∴a≤3,故amax=3.3.已知f(x)=2x3-6x2+m(m為常數(shù))在［-2,2］上有最大值3,那么此函數(shù)在［-2,2］上的最小值是（）(A)-37(B)-29(C)-5(D)以上都不對【解析】選A.∵f′(x)=6x2-12x=6x(x-2),∴f(x)在(-2,0)上為增函數(shù),在(0,2)上為減函數(shù),∴當x=0時,f(x)max=m.∴m=3,從而f(-2)=-37，f(2)=-5.∴最小值為-37.4.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+c，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的極小值是（）(A)a+b+c(B)8a+4b+c(C)3a+2b(D)c【解析】選D.由f′(x)的圖象知：x=0是f(x)的極小值點，∴f(x)極小值=f(0)=c.5.(20１０·肇慶模擬）函數(shù)f(x)=ax3+x+1有極值的充要條件是（）（A）a≥0（B）a≤0（C）a>0（D）a<0【解析】選D.由于f′(x)=3ax2+1,易知當a≥0時，f′(x)≥0恒成立，即函數(shù)為增函數(shù)，此時無極值，當a<0時，函數(shù)在(-∞,-］上遞減，在(-,)上遞增，在（,+∞）上遞減，故當x取,-時分別取得極大值和極小值，故選D.二、填空題（每小題3分，共9分）6.函數(shù)y=2x3-2x2在區(qū)間［-1,2］上的最大值是____.【解析】令y=f(x)=2x3-2x2,則由f′(x)=6x2-4x=0.得x=0或x=.∵f(-1)=-4,f(0)=0,f()=-,f(2)=8,所以最大值為8.答案：87.若直線y=m與y=3x-x3的圖象有三個不同的交點，則實數(shù)m的取值范圍為____.【解析】由已知得：m=3x-x3有三個不同實根,亦即函數(shù)f(x)=x3-3x+m有3個不同的零點.∵f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),且當x<-1時，f′(x)>0,當-1<x<1時，f′(x)<0,當x>1時，f′(x)>0.∴當x=-1時,f(x)有極大值，當x=1時，f(x)有極小值，要使f(x)有3個不同的零點，如圖所示：只需,解得-2<m<2.答案：（-2，2）f(-1)>0f(1)<08.設(shè)函數(shù)y=f(x)在(a,b)上的導(dǎo)數(shù)為f′(x),f′(x)在(a,b)上的導(dǎo)數(shù)為f″(x),若在(a,b)上，f″(x)<0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在(a,b)上為“凸函數(shù)”，若函數(shù)f(x)=x4-mx3-x2為區(qū)間(-1,3)上的“凸函數(shù)”，則實數(shù)m的值為____.【解析】由函數(shù)f(x)=x4-mx3-x2得，f′(x)=x3-mx2-3x,f″(x)=x2-mx-3.若f(x)為區(qū)間（-1，3）上的“凸函數(shù)”，則有f″(x)=x2-mx-3<0在區(qū)間(-1,3)上恒成立，由二次函數(shù)的圖象知，

,即,得m=2.答案：2f″(-1)=1+m-3≤0m≤2f″(3)=9-3m-3≤0m≥2三、解答題（9題8分，10題8分，共16分）9.（2010·南通模擬）甲乙兩地相距400千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/小時，已知該汽車每小時的運輸成本P（元）關(guān)于速度v（千米/小時）的函數(shù)關(guān)系是P=v4-v3+15v，(1)求全程運輸成本Q（元）關(guān)于速度v的函數(shù)關(guān)系式；（2）為使全程運輸成本最少，汽車應(yīng)以多大速度行駛？并求此時運輸成本的最小值.【解析】（1）Q=P·===(2)Q′=-5v,令Q′=0,則v=0（舍去）或v=80,當0＜v＜80時，Q′＜0.當80＜v≤100時，Q′＞0,∴v=80千米/小時時，全程運輸成本取得極小值，即最小值.從而Qmin=Q(80)=（元）.10.已知函數(shù)f(x)=x4+ax3-a2x2+a4(a>0).(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=1恰有兩個交點，求a的取值范圍.【解析】（1）f′(x)=x3+ax2-2a2x=x(x2+ax-2a2)=x(x-a)(x+2a)(a>0)令f′(x)=0，得x=0,x=a或x=-2a.當x變化時，f(x),f′(x)的變化情況如表：

∴f(x)的增區(qū)間為（-2a,0)與(a,+∞),f(x)的減區(qū)間為（-∞,-2a)與(0,a).(2)由（1）知：當x=-2a時，f(x)極小值=-a4.當x=a時，f(x)極小值=a4,當x=0時，f(x)極大值=a4.要使y=1與函數(shù)f(x)的圖象恰有兩個交點，如圖①或②.只需-a4<1<a4或a4<1,即a>或0<a<1.（10分）已知函數(shù)f(x)=x3-x2+px-p(p是實常數(shù)）.(1)若f(x)在(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求p的取值范圍；（2）當p≠0時，過點（1，0）作曲線y=f(x)的切線能作三條，求p的取值范圍.【解析】(1)f′(x)=px2-2x+p,x∈(0,+∞).①p=0時,f′(x)=-2x<0,此時f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.∴p=0.②p>0時,f′(x)的對稱軸為x=∈(0,+∞),∴f′(x)min=f′()=≥0p≤-1或p≥1.∴p≥1.③p<0時,f′(x）的對稱軸為x=<0,此時f′(x)=px2-2x+p在(0,+∞)內(nèi)遞減，要使f(x)在(0,+∞)內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需f′(0)≤0即可.∴p<0.綜上所述：p≤0或p≥1即為所求.(2)f′(x)=px2-2x+p，顯然p≠0，點（1，0）不在曲線y=f(x)上p≠3.設(shè)過（1，0）作直線與曲線y