函數(shù)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

關(guān)于函數(shù)曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第一頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日觀察下列兩圖的特點(diǎn)：一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)第二頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日１.曲線凹凸性的定義定義2.6

若在某區(qū)間(a,b)內(nèi)曲線段總位于其上任意一點(diǎn)處切線的上方，則稱該曲線段在(a,b)內(nèi)是凹的,(a,b)為曲線的凹區(qū)間；若曲線段總位于其上任一點(diǎn)處切線的下方，則稱該曲線段在(a,b)內(nèi)是凸的,(a,b)為曲線的凸區(qū)間.第三頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日

在我們不知道曲線形狀的時(shí)候,用曲線凹凸性的定義判斷曲線的凹凸性顯然是不可能的,如何方便地判斷曲線的凹凸性呢?2.曲線凹凸性的判定上圖可見(jiàn)：

切線斜率k↗

凹曲線第四頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日上圖可見(jiàn)：

凸曲線

切線斜率k↘第五頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日定理2.12設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)

存在(1)若在(a,b)內(nèi)f(x)>0

,則曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)是凹的；(2)若在(a,b)內(nèi)f(x)<0

,則曲線y=f(x)在區(qū)間(a,b)

內(nèi)是凸的。第六頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日

例1解注意到：第七頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日注意：拐點(diǎn)一定在曲線上。怎樣判斷曲線的拐點(diǎn)呢？定義2.7

連續(xù)曲線y=f(x)上凹弧與凸弧的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn).函數(shù)凹凸性凹凸區(qū)間凹凸區(qū)間分界點(diǎn)（拐點(diǎn)）第八頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日拐點(diǎn)

凹凸性分界點(diǎn)

切線斜率k↗凸曲線

切線斜率k↘凹曲線前已述及:所以:凸曲線

凹曲線但反向不一定成立第九頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日據(jù)以上分析總結(jié)出曲線凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)的判定步驟:(1)求函數(shù)y=f(x)的定義域;(2)求出f“(x)，找出定義域內(nèi)使f”(x)=0的點(diǎn)和f“

(x)不存在的點(diǎn)；

(3)用上述各點(diǎn)按照從小到大的順序依次將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間，考察每個(gè)小區(qū)間上f“

(x)的符號(hào)；從而判斷曲線在各個(gè)子區(qū)間上的凹凸性,最后確定拐點(diǎn).

第十頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日例2

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)．(2)(3)列表考察函數(shù)的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn):解

(1)函數(shù)的定義域?yàn)榘脊拯c(diǎn)（2，–17）凸拐點(diǎn)(０，–５)凹f(x)＋0－0＋f"(x)(2,+∞)2(0,2)0(-∞,0)x第十一頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日例3

解因?yàn)楣拯c(diǎn)一定在曲線上，所以從而有即(1)式和(