2023學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)禺山高級(jí)中學(xué)高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問(wèn)物幾何？”人們把此類(lèi)題目稱(chēng)為“中國(guó)剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如．現(xiàn)將該問(wèn)題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．2．已知雙曲線(xiàn)：的左右焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)C漸近線(xiàn)上一點(diǎn)，，均位于第一象限，且，，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A． B． C． D．3．造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱(chēng)為中國(guó)古代四大發(fā)明，此說(shuō)法最早由英國(guó)漢學(xué)家艾約瑟提出并為后來(lái)許多中國(guó)的歷史學(xué)家所繼承，普遍認(rèn)為這四種發(fā)明對(duì)中國(guó)古代的政治，經(jīng)濟(jì)，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動(dòng)作用.某小學(xué)三年級(jí)共有學(xué)生500名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問(wèn)中國(guó)古代四大發(fā)明，能說(shuō)出兩種發(fā)明的有45人，能說(shuō)出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計(jì)該校三級(jí)的500名學(xué)生中，對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人4．甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；④甲同學(xué)成績(jī)的方差小于乙同學(xué)成績(jī)的方差.以上說(shuō)法正確的是（）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④5．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數(shù)，則a的值為（）A． B． C． D．6．已知定點(diǎn)都在平面內(nèi)，定點(diǎn)是內(nèi)異于的動(dòng)點(diǎn)，且，那么動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是（）A．圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) B．橢圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)C．雙曲線(xiàn)，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) D．拋物線(xiàn)，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)7．若復(fù)數(shù)，，其中是虛數(shù)單位，則的最大值為()A． B． C． D．8．從某市的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查了部分男生，獲得了他們的身高數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)頻率分布直方圖，可知這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為A． B．C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積等于（）cm3A． B． C． D．10．已知集合，，若，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．411．當(dāng)輸入的實(shí)數(shù)時(shí)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的不小于103的概率是（）A． B． C． D．12．已知，滿(mǎn)足條件（為常數(shù)），若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,,,,則滿(mǎn)足的正整數(shù)的所有取值為_(kāi)_________．14．在一塊土地上種植某種農(nóng)作物，連續(xù)5年的產(chǎn)量（單位：噸）分別為9.4，9.7，9.8，10.3，10.8.則該農(nóng)作物的年平均產(chǎn)量是______噸.15．三棱柱中，，側(cè)棱底面，且三棱柱的側(cè)面積為.若該三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的表面上，則球的表面積的最小值為_(kāi)____．16．若展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccosC+ac2cosA．（1）求角B的大?。唬?）若△ABC外接圓的半徑為，求△ABC面積的最大值.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn)，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值．20．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的值.21．（12分）從拋物線(xiàn)C：（）外一點(diǎn)作該拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)PA、PB（切點(diǎn)分別為A、B），分別與x軸相交于C、D，若AB與y軸相交于點(diǎn)Q，點(diǎn)在拋物線(xiàn)C上，且（F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)）.（1）求拋物線(xiàn)C的方程；（2）①求證：四邊形是平行四邊形.②四邊形能否為矩形？若能，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)商在其開(kāi)發(fā)的某小區(qū)前修建了一個(gè)弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開(kāi)發(fā)商計(jì)劃從點(diǎn)出發(fā)建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設(shè)．（1）用表示線(xiàn)段并確定的范圍；（2）為了使小區(qū)居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長(zhǎng)度設(shè)計(jì)到最長(zhǎng)，求的最大值．

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【答案解析】從21開(kāi)始，輸出的數(shù)是除以3余2，除以5余3，滿(mǎn)足條件的是23，故選C.2．D【答案解析】由雙曲線(xiàn)的方程的左右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線(xiàn)上的一點(diǎn)，為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)上的一點(diǎn)，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點(diǎn)，且,點(diǎn)在直線(xiàn)上，并且，則，，設(shè)，則，解得，即，代入雙曲線(xiàn)的方程可得，解得，故選D．點(diǎn)睛：本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，離心率的求法，考查了轉(zhuǎn)化思想以及運(yùn)算能力，雙曲線(xiàn)的離心率是雙曲線(xiàn)最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線(xiàn)的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．3．D【答案解析】

先求得名學(xué)生中，只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學(xué)生中對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的人數(shù).【題目詳解】在這100名學(xué)生中，只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有人，設(shè)對(duì)四大發(fā)明只能說(shuō)出一種或一種也說(shuō)不出的有人，則，解得人.故選：D【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查利用樣本估計(jì)總體，屬于基礎(chǔ)題.4．A【答案解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【題目詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,故①錯(cuò)誤；,,則,故②錯(cuò)誤,③正確；顯然甲同學(xué)的成績(jī)更集中,即波動(dòng)性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【答案點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).5．A【答案解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得，根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知原式為，該復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以.故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的分類(lèi)，屬基礎(chǔ)題.6．A【答案解析】

根據(jù)題意可得,即知C在以AB為直徑的圓上.【題目詳解】,，,又，,平面,又平面，故在以為直徑的圓上，又是內(nèi)異于的動(dòng)點(diǎn)，所以的軌跡是圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)A,B故選：A【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了線(xiàn)面垂直、線(xiàn)線(xiàn)垂直的判定，圓的性質(zhì)，軌跡問(wèn)題，屬于中檔題.7．C【答案解析】

由復(fù)數(shù)的幾何意義可得表示復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離，由兩點(diǎn)間距離公式即可求解.【題目詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，其中，故選C【答案點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，由復(fù)數(shù)的幾何意義，將轉(zhuǎn)化為兩復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離求值即可，屬于基礎(chǔ)題型.8．C【答案解析】

由題可得，解得，則，，所以這部分男生的身高的中位數(shù)的估計(jì)值為，故選C．9．D【答案解析】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算它的體積為：V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=（6+1.5π）cm1．故答案為6+1.5π．點(diǎn)睛：根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)計(jì)算它的體積即可．10．B【答案解析】

解出,分別代入選項(xiàng)中的值進(jìn)行驗(yàn)證.【題目詳解】解：，.當(dāng)時(shí),，此時(shí)不成立.當(dāng)時(shí),，此時(shí)成立，符合題意.故選:B.【答案點(diǎn)睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.11．A【答案解析】

根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的運(yùn)行，直至不滿(mǎn)足條件退出循環(huán)體，求出的范圍，利用幾何概型概率公式，即可求出結(jié)論.【題目詳解】程序框圖共運(yùn)行3次，輸出的的范圍是，所以輸出的不小于103的概率為.故選:A.【答案點(diǎn)睛】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)輸出結(jié)果、幾何概型的概率，模擬程序運(yùn)行是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.12．B【答案解析】

由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，我們可以畫(huà)出滿(mǎn)足條件件為常數(shù)）的可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式，分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程組，消參后即可得到的取值．【題目詳解】畫(huà)出，滿(mǎn)足的為常數(shù)）可行域如下圖：由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9，可得直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)，使目標(biāo)函數(shù)取得最大值，將，代入得：．故選：．【答案點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù)，我們可以先畫(huà)出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程（組，代入另一條直線(xiàn)方程，消去，后，即可求出參數(shù)的值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．20,21【答案解析】

由題意知數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)值檢驗(yàn)即可.【題目詳解】解:由題意知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列,偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,則;.當(dāng)時(shí),,.當(dāng)時(shí),,.由此可知,滿(mǎn)足的正整數(shù)的所有取值為20,21.故答案為:20,21【答案點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)與求和公式,是綜合題,分清奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.14．10【答案解析】

根據(jù)已知數(shù)據(jù)直接計(jì)算即得.【題目詳解】由題得，.故答案為：10【答案點(diǎn)睛】本題考查求平均數(shù)，是基礎(chǔ)題.15．【答案解析】

分析題意可知，三棱柱為正三棱柱，所以三棱柱的中心即為外接球的球心，設(shè)棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則三棱柱的側(cè)面積為，球的半徑表示為，再由重要不等式即可得球表面積的最小值【題目詳解】如下圖，∵三棱柱為正三棱柱∴設(shè)，∴三棱柱的側(cè)面積為∴又外接球半徑∴外接球表面積.故答案為：【答案點(diǎn)睛】考查學(xué)生對(duì)幾何體的正確認(rèn)識(shí)，能通過(guò)題意了解到題目傳達(dá)的意思，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，能夠利用題目條件，畫(huà)出圖形，尋找外接球的球心以及半徑，屬于中檔題16．1【答案解析】

由題意得展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和求出的值，然后再計(jì)算展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和.【題目詳解】由題意展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即，故，令，則展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和為.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題，需要運(yùn)用定義加以區(qū)分，并能夠運(yùn)用公式和賦值法求解結(jié)果，需要掌握解題方法.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）B（2）【答案解析】

（1）由已知結(jié)合余弦定理，正弦定理及和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求cosB，進(jìn)而可求B；（2）由已知結(jié)合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍，然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【題目詳解】（1）因?yàn)閎（a2+c2﹣b2）＝ca2cosC+ac2cosA，∴，即2bcosB＝acosC+ccosA由正弦定理可得，2sinBcosB＝sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB，因?yàn)?，所以，所以B；（2）由正弦定理可得，b＝2RsinB2，由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2accosB，即a2+c2﹣ac＝4，因?yàn)閍2+c2≥2ac，所以4＝a2+c2﹣ac≥ac，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)取等號(hào)，即ac的最大值4，所以△ABC面積S即面積的最大值.【答案點(diǎn)睛】本題綜合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面積公式在求解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題.18．（1）是函數(shù)的極大值點(diǎn)，理由詳見(jiàn)解析；（2）1.【答案解析】

（1）將直接代入，對(duì)求導(dǎo)得，由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷，故而構(gòu)造函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況，最后得出，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）利用題目已有條件得，再證明時(shí)，不等式恒成立，即證，從而可知整數(shù)的最小值為1.【題目詳解】解:（1）當(dāng)時(shí)，.令，則當(dāng)時(shí)，.即在內(nèi)為減函數(shù)，且∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).綜上，是函數(shù)的極大值點(diǎn).（2）由題意，得，即.現(xiàn)證明當(dāng)時(shí)，不等式成立，即.即證令則∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.∴在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，的最大值為.∴當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，不等式成立.綜上，整數(shù)的最小值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值，最值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此來(lái)求解函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍，對(duì)學(xué)生要求較高，然后需要學(xué)生能構(gòu)造新函數(shù)處理恒成立問(wèn)題，為難題19．（1）；（2）見(jiàn)解析【答案解析】

將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)即可求出函數(shù)的最小正周期根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出函數(shù)在定義域上的最大值和最小值【題目詳解】（Ⅰ）由題意得原式的最小正周期為.（Ⅱ），.當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.綜上，得時(shí)，取得最小值為0；當(dāng)時(shí)，取得最大值為.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和與差的余弦公式展開(kāi)，輔助角公式，三角函數(shù)的性質(zhì)等，較為綜合，也是?？碱}型，需要計(jì)算正確，屬于基礎(chǔ)題20．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【答案解析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過(guò)導(dǎo)數(shù)求證即可（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來(lái)進(jìn)行分類(lèi)討論即可【題目詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，所以.所以當(dāng)時(shí)，.解：（2）因?yàn)椋?討論：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為0；②當(dāng)時(shí)，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極大值，所以極小值.當(dāng)時(shí)，有.又，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極小值，所以極大值.若，則，得，所以，所以當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.綜上，所求實(shí)數(shù)的值為.【答案點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問(wèn)題和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，本題的難點(diǎn)在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如，進(jìn)而分類(lèi)討論，本題屬于難題21．（1）；（2）①證明見(jiàn)解析；②能，.【答案解析】

（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的定義，求出，即可求拋物線(xiàn)C的方程；（2